Flujo eléctrico

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE
FÍSICA II.
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO PARA
ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA Y
TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 3: FLUJO DE CAMPO
ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS.
Ing. Willians Medina.
Maturín, febrero de 2017.

Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss.
Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2
CONTENIDO.
CONTENIDO........................................................................................................................2
PRESENTACIÓN. ...............................................................................................................5
ACERCA DEL AUTOR. .....................................................................................................6
Fórmulas básicas de geometría. ..........................................................................................8
3.1.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A CARGAS PUNTUALES..................9
Ejemplo 3.1......................................................................................................................9
Ejemplo 3.2. Problema 17 del Serway. Séptima Edición. Página 688. ...........................9
Ejemplo 3.4......................................................................................................................9
Ejemplo 3.5. Problema 11 del Serway. Quinta Edición. .................................................9
Ejemplo 3.6. Problema 6 del Serway. Séxta Edición. Página 755...................................9
Ejemplo 3.8. Problema 14 del Serway. Quinta Edición. ...............................................10
Ejemplo 3.10. Problema 14 del Serway. Séptima Edición. Página 687. .......................11
Ejercicios propuestos. ....................................................................................................11
3.2.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES CONTINUAS
DE CARGA..........................................................................................................................13
Varillas. .............................................................................................................................13
Esferas...............................................................................................................................14
Ejemplo 3.13..................................................................................................................14
Cilindros............................................................................................................................15
Ejemplo 3.14..................................................................................................................15
3.3.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DE SUPERFICIES REGULARES
PLANAS...............................................................................................................................16
Campo eléctrico constante. ...............................................................................................16
Ejemplo 3.15..................................................................................................................16
Ejemplo 3.16. Un plano de carga...................................................................................16
Ejemplo 3.18. Problema 4 del Serway. Séptima Edición. Página 686 – 687. ...............17
Ejemplo 3.20. Campo uniforme en superficie tetraédrica. Problema PR-3.10 del
Figueroa. Quinta Edición. Página 120. ..........................................................................17
Ejemplo 3.21..................................................................................................................18
Ejemplo 3.22. Problema 3 del Serway. Séptima Edición. Página 686. .........................18
Ejemplo 3.23. Problema 29 del Tipler. Sexta Edición. Página 758...............................18

Campo eléctrico variable...................................................................................................22
Ejemplo 3.24..................................................................................................................22
Ejemplo 3.25. Problema 2 del Serway. Quinta Edición. Página 631.............................23
Ejemplo 3.27..................................................................................................................23
Ejemplo 3.28. Flujo eléctrico a través de un disco circular. Problema 56 del Serway.
Séptima Edición. Página 690. Problema PR-3.04 del Figueroa. Quinta Edición. Página
115..................................................................................................................................24
Ejemplo 3.29. Superficie cilíndrica encerrando carga puntual. Problema PR-3.05 del
Figueroa. Quinta Edición. Página 115. ..........................................................................25
3.4.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DE SUPERFICIES REGULARES
CURVAS..............................................................................................................................27
Ejemplo 3.31..................................................................................................................27
Ejemplo 3.32..................................................................................................................28
Ejemplo 3.33. Flujo eléctrico en superficie cilíndrica. Problema PR-3.02 del Figueroa.
Quinta edición. Página 113............................................................................................28
Ejemplo 3.34. Flujo eléctrico a través de un hemisferio. Problema 3 del Resnick.
Quinta Edición. Página 629. Problema PR-3.03 del Figueroa. Quinta Edición. Página
114..................................................................................................................................29
3.5. LA LEY DE GAUSS.....................................................................................................31
UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA ESFÉRICAMENTE SIMÉTRICA...........................31
Relación entre el campo eléctrico, la carga interna y el área. ...........................................31
Campo eléctrico de una distribución de carga con simetría esférica. ...............................32
Campo eléctrico de una distribución de carga con simetría cilíndrica..............................33
No conductores..................................................................................................................33
Ejemplo 3.35..................................................................................................................33
Ejemplo 3.36..................................................................................................................33
Ejempo 3.37. Problema 12 del Serway. Quinta Edición................................................34
Ejemplo 3.38..................................................................................................................34
Ejemplo 3.39..................................................................................................................34
Ejemplo 3.40. Problema 42 del Tipler. Sexta Edición. Página 759...............................35
Ejemplo 3.42. Modelo de cargas en un núcleo atómico. Problema PR-3.16 del
Figueroa. Página 125. ....................................................................................................36
Ejemplo 3.43. Campo constante dentro de una esfera cargada. Problema PR-3.18 del
Figueroa. Página 128. Problema 13 del Resnick. Quinta Edición. Página 632. ............36
Ejemplo 3.44..................................................................................................................37
Ejemplo 3.45..................................................................................................................37
Ejemplo 3.46..................................................................................................................38
Ejemplo 3.47..................................................................................................................38

Ejemplo 3.48. Problema 1 del Resnick, Quinta Edición. Página 631............................39
Conductores.......................................................................................................................47
Ejemplo 3.49..................................................................................................................47
Ejemplo 3.50..................................................................................................................47
Ejemplo 3.51..................................................................................................................48
Ejemplo 3.52..................................................................................................................48
Ejemplo 3.53..................................................................................................................49
UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA CILÍNDRICAMENTE SIMÉTRICA.......................57
No conductores..................................................................................................................57
Ejemplo 3.55..................................................................................................................57
Ejemplo 3.56. Cilindro macizo con carga no homogénea. Problema PR-3.13 del
Figueroa. Página 122. ....................................................................................................57
Ejemplo 3.57..................................................................................................................58
Ejemplo 3.58..................................................................................................................58
Ejemplo 3.59..................................................................................................................59
Ejemplo 3.60..................................................................................................................59
Ejemplo 3.62..................................................................................................................60
Ejemplo 3.63..................................................................................................................60
Ejemplo 3.64. Problema 8 del Resnick. Quinta Edición. Página 632............................61
Conductores.......................................................................................................................67
Ejemplo 3.65. Problema 18 del Resnck. Quinta Edición. Página 630...........................67
BIBLIOGRAFÍA. ...............................................................................................................72
TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE
ELECTRICIDAD (FÍSICA II)..........................................................................................73
OBRAS DEL MISMO AUTOR. .......................................................................................74

PRESENTACIÓN.
La presente es una Guía de Ejercicios de Física II para estudiantes de Ingeniería,
Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de
Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y
Química de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de
algunos ejemplos, la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación
en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los
mismos.
Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y
exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Física II en los núcleos de
Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía
especializada en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y
responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma
integrada de información existente en la literatura.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Física, así como las sugerencias que
tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través
de los teléfonos: +58-424-9744352, correo electrónico: medinawj@udo.edu.ve ó
medinawj@gmail.com, twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,
Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.
Ing. Willians Medina.

ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la
Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó
sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas
mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por
LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios
universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó
como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica
Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a
la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de
Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado
Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma
corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte
del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan
Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de
preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando
finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad
de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos
de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006,
forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias,
Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO),
cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial),
Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV
(Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de

Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Desde el año 2010 ha sido autor de
video tutoriales para la enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y
ecuaciones diferenciales a través del portal http://www.tareasplus.com/, es autor de
compendios de ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de
Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica,
Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e
Ingeniería Económica. Adicionalmente es tutor certificado en el site www.coursehero.com/.
En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración
de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso
y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda,
siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a
los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como
una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2016)
ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a
través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con
privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual
cuenta con un promedio diario de 3500 visitas, y en forma privada (versión completa)
mediante la corporación http://www.amazon.com/. Es miembro del Colegio de Ingenieros
de Venezuela.

Fórmulas básicas de geometría.
Cilindro.
Área de las superficies
circulares: 2
rS 
Área de la superficie lateral:
LrS 2
Volumen: LrV 2

Esfera.
Área de la superficie: 2
4 rS 
Volumen: 3
3
4
rV 
Cono circular
recto.
Área de la superficie circular:
2
rS 
22
hrrS 
Cono truncado.
Área de la superficie circular
superior: 2
1rS 
Área de la superficie circular
inferior: 2
2rS 
22
1221 )()( hrrrrS  
r
L

3.1.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A CARGAS PUNTUALES.
Ejemplo 3.1.
Una carga puntual C104 8
q se halla en el centro de una superficie cúbica de 4 cm de
arista. Calcule el flujo del campo eléctrico en dicha superficie cerrada.
Solución.
Ejemplo 3.2. Problema 17 del Serway. Séptima Edición. Página 688.
Una carga de C170  está en el centro de un cubo con una arista de 80.0 cm. a) Determine
el flujo total a través de cada una de las caras del cubo. b) Encuentre el flujo a través de la
superficie total del cubo. c) Cambiarían sus respuestas a los incisos a) y b) en caso de que la
carga no estuviera ubicada en el centro? Explique por qué.
Solución.
Una carga puntual de C0.12  está colocada en el centro de un cascarón esférico con un
radio de 22.0 cm. ¿Cuál es el flujo eléctrico total que pasa a través de a) la superficie del
cascarón y b) cualquier superficie hemisférica de la misma? c) Dependen los resultados del
radio del cascarón? Explique su respuesta.
Solución.
Ejemplo 3.4.
Una carga puntual de C0462.0  está dentro de una pirámide. Determinar el flujo eléctrico
total a través de la superficie de la pirámide.
Solución.
Ejemplo 3.5. Problema 11 del Serway. Quinta Edición.
Una carga puntual de C5 se coloca en el centro de una esfera con un radio de 12 cm.
¿Cuál es el flujo eléctrico a través de la superficie de esta esfera?
Solución.

Ejemplo 3.6. Problema 6 del Serway. Séxta Edición. Página 755.
Una carga puntual q está ubicada en el centro de un anillo uniforme que tiene una densidad
de carga lineal  y un radio a, según se observa en la figura. Determine el flujo eléctrico
total a través de una esfera centrada en la carga puntual y de radio R, siendo R < a.
Solución.
En la figura se muestran cuatro superficies cerradas, S1 a S4, así como las cargas –2 Q, Q y
–Q. (Las líneas de color son las intersecciones de las superficies con el plano de la página).
Determine el flujo eléctrico a través de cada superficie.
Solución.
a) Dos cargas de C8  y C5  están dentro de un cubo cuyo lado es 0.45 m. ¿Cuál es el
flujo eléctrico total a través del cubo? Repita a) si las mismas cargas están dentro de un
cascarón esférico de radio 0.45 m.
Solución.
Las cargas siguientes están localizadas en el interior de un submarino: C00.5  ,
C00.9  , C0.27  y C84.0  . a) Calcule el flujo eléctrico neto a través del casco del

submarino. b) Cómo es el número de líneas de campo eléctrico que salen en comparación
con las que entran, igual o menor?
Solución.
Una carga puntual positiva Q está en el centro de un cubo de arista L. Además otras seis
cargas puntuales negativas idénticas q están colocadas simétricamente alrededor de Q como
se muestra en la figura. Determine el flujo eléctrico a través de una de las caras del cubo.
Solución.
Una carga puntual C00.5 Q se localiza en el centro de un cubo de arista L = 0.100 m.
Además, simétricamente alrededor de Q, como se muestra en la figura, existen otras seis
cargas puntuales idénticas C00.1 q . Determine el flujo eléctrico a través de una de las
caras del cubo.
Solución.
Ejercicios propuestos.
1. [TM] Medidas cuidadosas del campo eléctrico en la superficie de una caja negra indican
que el flujo neto que sale de la superficie de la caja es 6.0 kN.m2
/C. a) ¿Cuál es la carga
neta en el interior de la caja? b) Si el flujo neto que sale de la superficie de la caja fuese
cero, ¿podría obtenerse la conclusión de que no hay ninguna carga en el interior de la caja?
Explique sus respuestas.
Respuesta: a) C103125.5 8
q .

2. [RH] Separamos la carga de un conductor aislado originalmente sin carga sosteniendo
muy cerca una varilla de carga positiva, como se indica en la figura. Calcule el flujo que
pasa por las cinco superficies gaussianas mostradas. Suponga que la carga negativa
inducida en el conductor es igual a la carga positiva q de la varilla.
Respuesta:
0
1

q
 ,
0
2

q
 ,
0
3

q
 , 04  ,
0
5

q

3. [TM] ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de una cara de un cubo que tiene una carga
puntual de C00.3  en su centro?
Respuesta: /CN.m45.56470 2
E
4. [RH] Una carga puntual de C.841  está en el centro de una superficie cúbica gaussiana,
de 55 cm de lado. Calcule E a través de la superficie.
Respuesta: /CkN.m208 2
E
5. [TM] Una carga puntual está colocada en el centro de un cubo imaginario de 20 cm de
lado. El flujo eléctrico que sale de una de sus caras es –1.50 kN.m2
/C. ¿Cuánta carga hay en
su centro?
Respuesta: C109687.7 8
q
6. [RS] Una esfera de radio R rodea una carga puntual Q, que se encuentra en su centro. a)
Demuestre que el flujo eléctrico a través de un casquete circular de semiángulo  es
)cos1(
2 0



Q
E . ¿Cuál es el flujo correspondiente para b) º90 y c) º180 ?

Respuesta: b)
02
Q
E  ; c)
0
Q
E 
7. [RS] Una carga puntual Q se localiza justo por encima del centro de la cara plana de un
hemisferio de radio R, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el flujo eléctrico que pasa a) a
través de la superficie curva y b) a través de la cara plana?
Respuesta: a)
02
Q
E  ; b)
02
Q
E


3.2.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES
CONTINUAS DE CARGA.
Varillas.
Una carga lineal infinitamente larga con una carga uniforme por unidad de longitud  está
a una distancia d del punto O, como se muestra en la figura. Determine el flujo eléctrico
total a través de la superficie de una esfera de radio R con centro en O como resultado de la
carga lineal. Tome en cuenta cuando R < d y R > d.

Solución.
8. [DF] Una línea recta de carga infinita, con densidad  , atraviesa un cubo de lado a,
perpendicularmente a dos de sus caras y por sus centros, como se indica en la figura. ¿Cuál
es el flujo de campo eléctrico que atraviesa cada una de las caras del cubo?
Respuesta: Cara que intersectan la línea de carga: 0E , Caras que no intersectan a la
línea de carga:
04
a
E 
Esferas.
Ejemplo 3.13.
Una esfera no conductora de radio R = 1 m tiene una densidad de carga 34
C/m102 
 .
¿Cuál es el flujo del campo eléctrico de esta esfera en otra esfera concéntrica con la cargada
y de radio:
a) r = R/2
b) r = 2 R

Solución.
9. Una esfera no conductora tiene un radio igual a 1 m y una densidad de carga
310
C/m102 
 . Calcule el flujo del campo eléctrico de esta esfera en un cubo de arista
0.5 m y cuyo centro coincide con el centro de la esfera.
E
10. [RS] Una esfera sólida aislante, de radio a, tiene una densidad de carga volumétrica
uniforme y tiene una carga positiva total Q. Una superficie de radio r, que comparte un
centro común con la esfera aislante, se infla partiendo de r = 0. a) Encuentre una expresión
para el flujo eléctrico que pasa a través de la superficie de la esfera como función de r para
r < a. b) Encuentre una expresión para el flujo eléctrico para r > a. c) grafique el flujo en
términos de r.
Respuesta: a) 3
0
3
a
rQ
E

 ; b)
0
Q
E 
11. [RH] Una esfera conductora cargada uniformemente de 1.22 m de radio tiene una
densidad de carga superficial de 2
C/m.138  . ¿Cuál es el flujo eléctrico total que sale de su
superficie?
E
Cilindros.
Ejemplo 3.14.
Un cilindro de radio a y longitud L tiene una carga uniforme 0 . Determinar el flujo en la
superficie exterior del cilindro.
R

Solución.
3.3.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DE SUPERFICIES
REGULARES PLANAS.
Campo eléctrico constante.
Ejemplo 3.15.
Una superficie plana de área A está inclinada de modo que su normal hace un ángulo  con
un campo eléctrico uniforme E. Calcúlese E para esta superficie.
Solución.
Ejemplo 3.16. Un plano de carga.
Determinar el flujo a través de la superficie plana de área “A” que se encuentra cerca de un
plano no conductor e infinito que lleva una carga por unidad de área “ ”.
Solución.
a
L

A

Una espira de 40 cm de diámetro se rota en un campo eléctrico hasta encontrar la posición
de máximo flujo eléctrico. El flujo eléctrico en esa posición es de C/N.m102.5 25
 . ¿Cuál
es la intensidad del campo eléctrico?.
Solución.
Ejemplo 3.18. Problema 4 del Serway. Séptima Edición. Página 686 – 687.
Imagine una caja triangular cerrada en reposo en un campo eléctrico horizontal con una
magnitud de N/C1080.7 4
E , como se muestra en la figura. Calcule el flujo eléctrico a
través de a) la superficie rectangular vertical, b) la superficie inclinada, c) la superficie total
de la caja.
Solución.
Una pirámide de base horizontal cuadrada, de 6.00 m de lado, y con una altura de 4.00 m
está colocada en un campo eléctrico vertical de 52.0 N/C. Calcule:
a) El flujo eléctrico total que pasa a través de las cuatro superficies inclinadas de la
pirámide.
b) El flujo eléctrico que pasa a través de la base.
c) Verifique que el flujo eléctrico total a través de la pirámide es cero.
Solución.

Ejemplo 3.20. Campo uniforme en superficie tetraédrica. Problema PR-3.10 del
Figueroa. Quinta Edición. Página 120.
Un campo uniforme, oE

, está aplicado a un tetraedro regular cuyas caras son triángulos
equiláteros de lado a. Si el campo lo atraviesa perpendicularmente por su base, determine el
flujo eléctrico a través de cada una de las tres caras superiores del tetraedro.
Solución.
Ejemplo 3.21.
[RS] Un campo eléctrico de magnitud 3.50 kN/C es aplicado a lo largo del eje de las x.
Calcule el flujo eléctrico a través de un plano rectangular de 0.350 m de ancho y 0.700 m
de largo suponiendo que a) el plano es paralelo al plano y z, b) el plano es paralelo al plano
x y, c) el plano contiene el eje de las y, y su normal forma un ángulo de 40º con el eje de las
x.
Solución.
Un campo eléctrico uniforme jbiaE  atraviesa por una superficie de área A. ¿Cuál es
el flujo que pasa a través de esta área si la superficie se encuentra a) en el plano y z, b) en el
plano x z y c) en el plano x y?
Solución.
Ejemplo 3.23. Problema 29 del Tipler. Sexta Edición. Página 758.
Un campo eléctrico dado por E = (300 N/C) i para x > 0 y E = (–300 N/C) i para x < 0. Un
cilindro circular recto de 20 cm de longitud y 4 cm de radio tiene su centro en el origen y su
eje está situado a lo largo del eje x de modo que una de las bases está en x = 10 cm y la otra
en x = –10 cm. a) ¿Cuál es el flujo saliente que atraviesa cada base? b) ¿Cuál es el flujo que
E
a a
aa

atraviesa toda la superficie curvada (lateral) del cilindro? c) ¿Cuál es el flujo neto que
atraviesa toda la superficie cilíndrica? d) ¿Cuál es la carga neta en el interior del cilindro?
Solución.
12. [RH] La superficie cuadrada de la figura mide 3.2 mm por lado. Está inmersa en un
campo eléctrico uniforme con E = 1800 N/C. Las líneas del campo forman un ángulo de
65º con la normal “que apunta hacia afuera”, como muestra en la figura. Calcule el flujo
que atraviesa la superficie.
Respuesta: –7.8 mN.m2
/C
13. Una superficie plana que tiene un área de 32 m2
se rota en un campo eléctrico uniforme
de intensidad N/C102.6 5
E . Calcule el flujo eléctrico a través del área cuando el
campo eléctrico está: a) perpendicular a la superficie, b) paralelo a la superficie y c)
haciendo un ángulo de 75º con el plano de la superficie.
Respuesta: a) 0E ; /CN.m10984.1 27
E ; c) /CN.m109164.1 27
E
14. [TM] Consideremos el campo eléctrico uniforme (–3 N/C) i + (4 N/C) j. a) ¿Cuál es el
flujo de este campo que atraviesa un cuadrado de 10 cm de lado cuyo plano es paralelo al
plano y z? b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano
forma un ángulo de 30º con el eje x?
Respuesta: a) /CN.m03.0 2
E ; b) /CN.m109808.5 23
E
15. [RS] En un día en el cual existe la amenaza de una tormenta eléctrica existe un campo
eléctrico vertical de magnitud N/C1000.2 4
 por arriba de la superficie de la Tierra. Un
automóvil con un tamaño rectangular de 6.00 m por 3.00 m circula por una carretera con

una inclinación descendente de 10.0º. Determine el flujo eléctrico que corre a través del
fondo del automóvil.
Respuesta: 355 kN.m2
/C
16. [RS] En un campo eléctrico uniforme se hace girar un lazo con un diámetro de 40.0 cm
hasta encontrar la posición en la cual existe el máximo flujo eléctrico. El flujo en esa
posición tiene un valor de /CN.m1020.5 25
 . ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico?
Respuesta: 4.14 MN/C
17. [RH] Un cubo con bordes de 1.4 m presenta la orientación que se indica en la figura,
dentro de una región de un campo eléctrico uniforme. Calcule el flujo eléctrico que pasa
por la cara derecha si el campo está dado por a) (6 N/C) i, b) (–2 N/C) j y c) (–3 N/C) i + (4
N/C) j. d) Calcule el flujo total a través del cubo para esos campos.
Respuesta: b) 0
18. [RH] El flujo eléctrico neto que atraviesa las caras de un dado (un miembro de un par
de dados) tiene una magnitud en unidades de 103
N.m2
/C igual al número N de puntos en la
cara (1 a 6). El flujo se realiza hacia adentro con número N impares y hacia afuera con los
números N pares. ¿Cuál es la carga neta dentro del dado?
q
19. [RS] a) A una distancia d de un plano infinito está localizada una carga puntual q.
Determine el flujo eléctrico a través del plano debido a la carga puntual. b) Si una carga
puntual q está localizada muy cerca del centro de un cuadrado muy grande sobre la línea
x
y
z
1.4 m

perpendicular a dicho cuadrado y que pasa por su centro. Determine el flujo eléctrico
aproximado que pasa a través del cuadrado debido a la carga puntual. c) Explique por qué
las respuestas a los incisos a) y b) son idénticas.
Respuesta: a)
02
Q
E  ; b)
02
Q
E  ; c) El plano y el cuadrado son similares a la carga
20. [RS, RH] En la figura, la línea ag es la diagonal de un cubo. En la extensión de la línea
ag, muy cerca al vértice a del cubo, se encuentra una carga puntual q. Determine el flujo
eléctrico a través de cada una de las caras del cubo que se encuentran en el punto a.
Respuesta:
024
Q
E


21. [DF] Sea un paralelepípedo de base cuadrada de longitud a y con altura 2a, como se
indica en la figura. Una partícula con carga Q se encuentra situada en el punto medio de
una de las aristas largas. a) ¿Cuál es el flujo a través de la cara cuadrada A? b) ¿Cuál es el
flujo total en las seis caras del paralelepípedo?
a
A
Q
a
2a

Respuesta:
024
Q
E 
22. [RH] Una red para cazar mariposas se encuentra en un campo eléctrico uniforme como
se ve en la figura. El borde, un círculo de radio a, está alineado de manera perpendicular al
campo. Determine el campo eléctrico que cruza la red en relación con la normal hacia
afuera.
Respuesta: EaE
2

Campo eléctrico variable.
Ejemplo 3.24.
Considere la superficie cúbica cerrada de lado 2 m que se muestra en la figura.
Encuentre el flujo del campo eléctrico E

en cada cara del cubo si:
a) iE 5.0

b) ixE 2.0

c) jyixE 04.01.0 

x
y
z

(Las componentes de E

están medidas en N/C)
d) ¿Cuál es la carga neta en el interior del cubo en cada caso?
Solución.
Ejemplo 3.25. Problema 2 del Serway. Quinta Edición. Página 631.
Las componentes del campo eléctrico en la figura son 0xE , 2
1
ybEy  , 0zE , donde
2
1
N/c.m8830b . Calcule a) el flujo E a través del cubo y b) la carga dentro de él.
Suponga que a = 0.13 cm.
Solución.
Un campo eléctrico no uniforme se da por la expresión kxcjzbiyaE  , donde a, b y
c son constantes. Determine el flujo eléctrico a través de una superficie rectangular en el
plano x y, que se extiende de x = 0 a x = w y de y = 0 a y = h.
Solución.
Ejemplo 3.27.
[RS] Un campo eléctrico está dado por kxbizaE  , donde a y b son constantes.
Determine el flujo eléctrico a través de la superficie triangular que se aprecia en la figura.
x
y
z
a
a
a
a

Solución.
Ejemplo 3.28. Flujo eléctrico a través de un disco circular. Problema 56 del Serway.
Séptima Edición. Página 690. Problema PR-3.04 del Figueroa. Quinta Edición. Página
115.
Una carga puntual Q está localizada sobre el eje de un disco de radio R a una distancia b
del plano del disco (Figura).
a) Determine el flujo eléctrico de la carga que pasa a través del disco.
b) Demuestre que en el caso de que una cuarta parte del flujo eléctrico de la carga pasara a
través del disco, entonces R sería igual a a3 .

Solución.
Ejemplo 3.29. Superficie cilíndrica encerrando carga puntual. Problema PR-3.05 del
Figueroa. Quinta Edición. Página 115.
Una carga puntual Q se encuentra en el centro de una superficie cilíndrica de radio R y
altura 2 a.
a) Calcule por integración directa el flujo del campo eléctrico que atraviesa la superficie
cilíndrica.
b) Utilice el resultado del problema anterior para verificar que el flujo total sobre la
superficie cerrada coincide con lo que predice la ley de Gauss.
Solución.
R
a2

23. [RH] Determine el flujo neto que atraviesa el cubo de la figura si el campo eléctrico
está dado por a) E = (3 N/C.m) y j y b) (–4 N/C) i + [6 N/C + (3 N/C.m) y] j. c) En cada
caso, ¿cuánta carga contiene el cubo?
Respuesta: a) Cara sobre el plano y = 1.4 m: /CN.m232.8 2
E . Todas las demás caras:
0E . b) Cara sobre el plano x = 0: /CN.m84.7 2
E . Cara sobre el plano x = 1.4 m:
/CN.m84.7 2
E . Cara sobre el plano y = 0: /CN.m76.11 2
E . Cara sobre el
plano y = 1.4 m: /CN.m992.19 2
E . Cara sobre el plano z = 0 y z = 1.4 m: 0E . c)
C107.2888 -11
q y C107.2888 -11
q
24. [RS, DF] La superficie cerrada de dimensiones a = b = 0.400 m y c = 0.600 m está
colocada como se observa en la figura. La arista izquierda de la superficie cerrada está
ubicada en la posición x = a. El campo eléctrico en toda la región no es uniforme y está
dado por ixE )0.20.3( 2
 N/C, donde x está expresado en metros. Calcule el flujo
eléctrico neto que sale de la superficie cerrada. ¿Cuál es la carga neta que se encuentra
dentro de la superficie?
x
y
z
1.4 m

E ; pC38.2q
3.4.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DE SUPERFICIES
REGULARES CURVAS.
Un cono con base circular de radio R está colocado de tal forma que su eje es vertical. Un
campo eléctrico uniforme E se aplica en la dirección vertical. Demuestre que el flujo a
través de la superficie cónica (sin contar su base) está dado por la expresión ER2
 .
Solución.

Ejemplo 3.31.
[RS] Un cono con una base de radio R y altura h se coloca en una mesa. Si un campo
uniforme horizontal E penetra en el cono, como se muestra en la figura, determine:
a) El flujo eléctrico que entra por el lado izquierdo del cono.
b) El flujo eléctrico que sale por el lado derecho del cono.
c) Verifique que el flujo eléctrico total a través del cono es cero.
Solución.
Ejemplo 3.32.
Calcule el flujo eléctrico que atraviesa un cilindro de radio R, si el campo eléctrico E es
uniforme y perpendicular al eje del cilindro.
Solución.
E
R
L

Ejemplo 3.33. Flujo eléctrico en superficie cilíndrica. Problema PR-3.02 del Figueroa.
Quinta edición. Página 113.
Un campo uniforme E penetra una superficie que tiene forma de un cilindro de radio R
cortado por la mitad (como indica la figura). Las líneas de campo entran
perpendicularmente por la base que tiene forma rectangular plana, de longitud L y ancho
2R.
a) Calcule el flujo del campo eléctrico a través de las superficies planas y curvas del
semicírculo.
b) Demuestre que la carga encerrada por la superficie entera es cero.
Solución.
Ejemplo 3.34. Flujo eléctrico a través de un hemisferio. Problema 3 del Resnick.
Quinta Edición. Página 629. Problema PR-3.03 del Figueroa. Quinta Edición. Página
114.
Calcule E en a) la base plana y en b) la superficie curva de un hemisferio de radio R. El
campo E es uniforme y paralelo al eje del hemisferio; las líneas de E entran por la base
plana. Utilice la normal que apunta hacia afuera.

Solución.
25. [RS] Calcule el flujo eléctrico total a través de una superficie paraboloide debido a un
campo eléctrico uniforme de magnitud E0 en la dirección que aparece en la figura.
Respuesta: ErE
2

26. [RS] Una esfera hueca no conductora y sin carga, con un radio de 10.0 cm, rodea una
carga de C0.10  localizada en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano. Una
broca de radio 1.00 mm es alineada a lo largo del eje de las z, y se hace una perforación en
la esfera. Calcule el flujo eléctrico a través de la perforación.
Respuesta:

3.5. LA LEY DE GAUSS.
UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA ESFÉRICAMENTE SIMÉTRICA.
Relación entre el campo eléctrico, la carga interna y el área.
Flujo eléctrico.
 AdEE .
 cosAdEE
El campo eléctrico es normal a la superficie y por tanto paralelo al diferencial de área en
cada punto, resultando que el ángulo entre el diferencial de área y el campo eléctrico es
nulo, 0 .
 AdEE
El valor del campo eléctrico es constante sobre la superficie esférica ó cilíndrica (superficie
gaussiana) porque en cada caso todos los puntos sobre la superficie equidistan de la carga
eléctrica:

 AdEE
AEE 
0
in
E
q
 (Ley de Gauss).
0
inq
AE 
A
q
E in
0

La expresión anterior es útil para determinar campos eléctricos cuando la distribución de
carga está caracterizada por un alto grado de simetría.
Nota del autor:
La expresión
A
q
E in
0
 puede:
- Ser tomada como una ecuación general para determinar el campo eléctrico siempre que se
tenga una configuración con simetría esférica o cilíndrica tanto para no conductores como
para conductores
- Ser deducida en cada problema en particular.
La forma de aplicar dicha ecuación para resolver los problemas dependerá de las
exigencias del Profesor. Si al estudiante se le da la libertad, puede usarla en forma directa,
mientras que si se le exige su deducción, debe obtenerla aplicando las condiciones ya
descritas y posteriormente resolver la situación planteada en el problema. Particularmente
considero que si se trata de una deducción generalizada, una vez que se verifican las
condiciones que la generan, debe ser aplicada de manera directa omitiendo su deducción.
Campo eléctrico de una distribución de carga con simetría esférica.
Área de la superficie de una esfera.
2
4 rA 
)4( 2
0 r
q
E in



2
04 r
q
E in


Campo eléctrico de una distribución de carga con simetría cilíndrica.
Área de la superficie de un cilindro.
LrA 2
)2(0 Lr
q
E in


Lr
q
E in
02 

No conductores.
Ejemplo 3.35.
Una esfera no conductora tiene un radio igual a 1 m y una densidad de carga
310
C/m102 
 .
a) Calcule la magnitud del campo eléctrico de la esfera en uno de los vértices de un cubo de
arista 0.5 m y cuyo centro coincide con el centro de la esfera.
b) Calcule la magnitud del campo eléctrico de la esfera en uno de los vértices del cubo.
Solución.
Ejemplo 3.36.
Calcule la magnitud del campo eléctrico de una esfera no conductora de radio R y carga Q
uniformemente distribuida en un punto que está a una distancia r de su centro siendo:
a) r < R
b) r > R
c) Grafique E

en función de r.

Solución.
Ejempo 3.37. Problema 12 del Serway. Quinta Edición.
En un día claro, el campo eléctrico cerca de la superficie de la Tierra es de 100 N/C
apuntando radialmente hacia adentro. Si el mismo campo eléctrico existe en cualquier
punto de la superficie de la tierra, determine la carga total que debería estar almacenada en
la Tierra.
Solución.
Ejemplo 3.38.
Una esfera sólida de 40.0 cm de radio tiene una carga positiva total de C0.26  distribuida
uniformemente por todo su volumen. Calcule la magnitud del campo eléctrico de a) 0 cm,
b) 10.0 cm, c) 40.0 cm y d) 60.0 cm del centro de la esfera.
Solución.
Ejemplo 3.39.
[DF] Una esfera no conductora de radio R y densidad de carga uniforme  , tiene una
cavidad esférica de radio R2
1
como se indica en la figura.
a) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico en el punto A (que está en la línea que
une el centro de la esfera con el centro del hueco) es 






 2
2
12
0
3
)(8
11
3 Rrr
R
E



, siendo
r la distancia del centro de la esfera al punto A.
R

b) Demuestre, por dos mecanismos diferentes, que el campo eléctrico en el punto A ubicado
a una distancia r >> R está dada por 2
0
3
24
7
r
R
E




.
Solución.
Ejemplo 3.40. Problema 42 del Tipler. Sexta Edición. Página 759.
Una esfera sólida no conductora de radio R posee una densidad de carga volumétrica
proporcional a la distancia desde el centro: rA para r < R, siendo A una constante;
0 para r > R. a) Hallar el campo eléctrico Er, generado tanto en el interior como en el
exterior de la distribución de carga y representar Er en función de r. b) Dibujar una gráfica
del módulo del campo eléctrico como función de la distancia r medida desde el centro de la
esfera.
Solución.
Una distribución de carga de simetría esférica tiene una densidad de carga expresada por
r
a
 , siendo a una constante. Determine el campo eléctrico como una función de r.
r
R
A

Solución.
Ejemplo 3.42. Modelo de cargas en un núcleo atómico. Problema PR-3.16 del
Figueroa. Página 125.
En un modelo propuesto para un núcleo atómico ligero, la carga está distribuida en una
especie de nube esférica de radio r, con una densidad volumétrica que depende de la
distancia r al origen 





 2
2
0 1)(
a
r
r  para ar  .
a) Determine el campo eléctrico dentro y fuera de la nube.
b) ¿A qué distancia radial, tienen E el máximo valor? Determine el campo eléctrico
máximo.
Solución.
Ejemplo 3.43. Campo constante dentro de una esfera cargada. Problema PR-3.18 del
Figueroa. Página 128. Problema 13 del Resnick. Quinta Edición. Página 632.
La región esférica a < r < b tiene una carga por unidad de volumen de
r
A
 , donde A es
una constante. En el centro (r = 0) de la cavidad encerrada hay una carga puntual Q. ¿Cuál
a
R

debería ser el valor de A para que el campo eléctrico en la región a < r < b tenga una
magnitud constante?
Solución.
Ejemplo 3.44.
En el interior de una esfera maciza cargada no conductora de radio R existe un campo
eléctrico radial y de magnitud constante E0.
a) Demuestre que la densidad de carga de esta esfera es:
r
E
r 002
)(

  para Rr 0 .
b) Calcule E

de esta esfera para r > R.
Solución.
Ejemplo 3.45.
Dos cascarones esféricos de radios a y b concéntricos poseen carga 5 q (q > 0) y –3 q
respectivamente. Encuentre el campo eléctrico en puntos que están a una distancia r del
centro de los cascarones siendo:
a) r < a
a
b
Q
R

b) a < r b
Solución.
Ejemplo 3.46.
Un cascarón esférico no conductor tiene una densidad de carga  constante. El radio interno
del cascarón es a y el externo es b. Construya el gráfico de E

en función de r (siendo r la
distancia del centro del cascarón al punto donde se calcule E

), si 36
C/m102 
 , a =
0.15 m y b = 0.25 m. (Trabaje con el siguiente dominio de E

: m30.00  r )
Solución.
Ejemplo 3.47.
Una esfera de radio a que posee una densidad de carga constante 0 se halla rodeada por
un cascarón esférico con densidad de carga 0 , de radio interno b (b > a) y radio externo
c, como muestra la figura.
a
b
a
b
q5
q3

a) Determinar el campo eléctrico en los puntos:
i. r < a
ii. a < r c
b) Si un electrón gira en trayectoria circular de radio “r” concéntrica a las esferas y
colocadas entre ellas, determinar la energía cinética del electrón.
Solución.
Ejemplo 3.48. Problema 1 del Resnick, Quinta Edición. Página 631.
La “Ley de Gauss para la gravitación es mSdg
GG
  .
4
1
4
1



, donde m es la masa
encerrada y G es la constante de gravitación universal. Obtenga de la ecuación anterior la
ley de gravitación de Newton. ¿Qué importancia tiene el signo negativo?
Solución.
27. [TM] El campo eléctrico justo por encima de la superficie de la Tierra, medido
experimentalmente, es de 150 N/C, dirigido hacia abajo. a) ¿Cuál es el signo de la carga
neta en la superficie de la Tierra en estas condiciones? b) A partir de este dato, ¿qué carga
total se puede estimar que exista sobre la superficie de la tierra?
Respuesta: a) Positiva; b) 677218.35 C
28. [RS] El campo eléctrico presente en la superficie total de un casarón esférico delgado
con un radio de 0.750 m tiene un valor de 890 N/C y apunta radialmente hacia el centro de
la esfera. a) ¿Cuál es la carga neta en el interior de la superficie de la esfera? b) ¿Qué se
b c
a

puede concluir en relación con la naturaleza y distribución de la carga en el interior de la
envoltura esférica?
Respuesta: a) q = –55.6 nC; b) La carga negativa tiene una distribución esféricamente
simétrica
29. [TM] Si el módulo de un campo eléctrico situado en la atmósfera es N/C103 6
 , el aire
se ioniza y comienza a conducir la electricidad. Este fenómeno se denomina ruptura
dieléctrica. Una carga de C18 se sitúa en una esfera conductora. ¿Cuál es el radio
mínimo de una esfera que pueda soportar esta carga sin que se produzca la ruptura
dieléctrica?
Respuesta: R = 0.2322 m.
30. [TM] Una esfera de radio 6 cm posee una densidad de carga volumétrica uniforme
3
nC/m450 . Determinar el campo eléctrico en a) r = 2 cm, b) r = 5.9 cm, c) r = 6.1 cm
y d) r = 10 cm.
Respuesta: a) a) E = 338.8227 N/C; b) E = 999.5270 N/C; c) E = 983.4145 N/C: d) E =
365.9285 N/C
31. [RS] Una esfera sólida de plástico con un radio de 10.0 cm tiene una carga de densidad
uniforme en todo su volumen. El campo eléctrico existente a 5 cm del centro es de 86.0
kN/C y está dirigido radialmente hacia el interior. Determine la magnitud del campo
eléctrico a 15.0 cm del centro.
Respuesta: a) 35
C/m105688.4 
 ; b) N/C106444.7 4
E
32. [TM] Una esfera no conductora de radio R = 0.1 m posee una densidad de carga
volumétrica uniforme. El módulo del campo eléctrico en r = 2 R es 1883 N/C. a) ¿Cuál es
la densidad de carga volumétrica? b) Determinar el módulo del campo eléctrico en r = 0.5
R desde el centro de la esfera.
Respuesta: a) 36
C/m102 
 ; b) E = 3766 N/C
33. [RS] Determine la magnitud del campo eléctrico en la superficie de un núcleo de
plomo-208, que contiene 82 protones y 126 neutrones. Suponga que el núcleo de plomo

tiene un volumen igual a 208 veces el volumen de un protón, considere al protón como una
esfera de radio m1020.1 15
 .
Respuesta: N/C103358.2 21
E
34. [RH] En un trabajo publicado en 1911, Ernest Rutherford señalaba, a fin de hacerse una
idea de las fuerzas necesarias para desviar una partícula alfa a través de un gran ángulo;
consideremos un átomo que contenga una carga puntual positiva Ze en su centro y que esté
rodeado de una distribución de electricidad negativa, –Ze distribuida uniformemente en una
esfera de radio R. El campo eléctrico … a una distancia r del centro en un punto dentro del
átomo (es) 





 32
0
1
4 R
r
r
Ze
E

. Verifique la ecuación anterior.
35. [RS] Una esfera de radio 2 a está hecha de un material no conductor con una densidad
de carga volumétrica uniforme  . (Suponga que el material no afecta al campo eléctrico).
Se efectúa en seguida una cavidad de radio a en la esfera, como se muestra en la figura.
demuestre que el campo eléctrico dentro de la cavidad es uniforme y está dado por Ex = 0,
03
 a
Ey  . Sugerencia: El campo en el interior de la cavidad es la sobreposición del campo
debido a la esfera original sin perforación más el campo debido a una esfera del tamaño de
la cavidad con una densidad de carga negativa uniforme de  .
r

36. [RH] Una región esférica tiene una carga uniforme por unidad de volumen  . Sea r
 el
vector que del centro de la esfera se dirige a un punto general P dentro de ella. a)
Demuestre que el campo eléctrico en P está dado por
03
 r
Ey  . b) Una cavidad esférica se
crea en ella , como se aprecia en la figura. Mediante el concepto de superposición
demuestre que en todos los puntos de la cavidad el campo eléctrico es
03
 r
Ey  (campo
uniforme), donde a

es el vector que conecta el centro de la esfera al de la cavidad. Nótese
que ambos resultados no dependen del radio de la esfera ni del de la cavidad.
37. [TM, DF] Una capa esférica fina de radio R (Figura) tiene una carga total Q. Un
pequeño trozo circular es extraído de la superficie. a) ¿Cuál es el valor del módulo,
x
y
a
x
y
a2
a

dirección y sentido del campo eléctrico en el centro del hueco que deja el “tapón” extraído?
b) Utilizando el resultado del apartado a), calcular la fuerza eléctrica sobre el “tapón”
cuando se vuelve a colocar en el hueco. c) A partir de estos últimos resultados, calcular la
“presión electrostática” (fuerza/unidad de área) existente en toda la esfera.
Respuesta: a)
02

E ; b)
02
 A
F  ; c)
0
2
2

P ; d) 2
08 R
Q
E

 , 2
08 R
AQ
E

 ,
4
0
2
2
32 R
Q
P


38. [RH] Una esfera no conductora sólida de radio R tiene una distribución de carga
uniforme, con una densidad RrS /  donde S es una constante, y r la distancia del
centro de la esfera. Demuestre que el campo eléctrico dentro de la esfera está dado por
2
2
04
1
r
R
Q
E

 .
39. [TM] Una esfera de radio R contiene una densidad de carga volumétrica rB/ para
r < R, donde B es una constante y 0 para r > R. a) Hallar las expresiones del campo
eléctrico dentro y fuera de la distribución de carga. b) Hacer una gráfica del módulo del
campo eléctrico en función de la distancia al centro de la esfera.
Respuesta: a)
02
B
E  ; b) 2
0
2
2 r
RB
E


40. [TM] Una esfera de radio R contiene una densidad de carga volumétrica 2
/ rC para
r < R, donde C es una constante y 0 para r > R. a) Obtener las expresiones del campo
Agujero
Tapón

eléctrico dentro y fuera de la distribución de carga. b) Hacer una gráfica del módulo del
campo eléctrico en función de la distancia al centro de la esfera.
Respuesta: a)
r
C
E
0
 ; b) 2
0r
RC
E


41. [RS] Una esfera aislante sólida de radio R tiene una densidad que varía en función de r
de acuerdo con la expresión 2
rA , donde A es una constante y r está medida desde el
centro de la esfera. A) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico exterior de la esfera
(r > R) es igual a 2
0
5
5 r
RA
E

 . b) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico interior de
la esfera (r < R) es igual a
0
3
5
rA
E  .
42. [RS] Una distribución de carga de simetría esférica tiene una densidad de carga
expresada por
r
a
 , siendo a una constante. Determine el campo eléctrico como una
función de r.
43. [DF] Una esfera maciza de radio R tiene una distribución de carga 






a
r
10 que
varía con el radio, siendo 0 una constante y r una distancia variable radial. Determinar
a) ¿Cuál es el campo eléctrico dentro de la distribución, r < a?
b) ¿Cuál es el campo eléctrico fuera de la distribución, r > a?
c) Coinciden las expresiones obtenidas en (a) y (b) para los puntos de la frontera r = a?
d) El punto del valor máximo del campo eléctrico.
a

Respuesta: a) 






a
rr
E
43
1
0
0


; b) 2
0
3
0
12 r
a
E


 ; c) Si; d)
0
0
max
9
 a
E 
44. [DF] Una carga está distribuida en una esfera de radio R = 1 m con una densidad que
depende únicamente de la distancia radial r. Se sabe que el campo eléctrico en el interior de
la esfera está dado por la siguiente expresión
0
2
4
r
E  . ¿Cuál es la densidad de carga )(r
en C/m3
?
Respuesta: rr )(
45. [TM] Una corteza esférica no conductora y gruesa de radio interior a y de radio exterior
b posee una densidad  de carga volumétrica uniforme. Determinar el campo eléctrico en
todos los puntos.
Respuesta: r < a: E = 0; a < r < b: 2
0
33
0
3
)(
r
ar
E

 
 ; r > b: 2
0
33
0
3
)(
r
ab
E

 

46. Una esfera maciza no conductora de radio b con una cavidad esférica de radio a tiene
una distribución uniforme de carga y su carga total es Q. Determinar el campo eléctrico en
los puntos:
a) r < a
b) a < r b
Respuesta: a) E = 0; b) 233
33
)(
)(
rab
arQk
E


 ; c) 2
r
Qk
E 
a
b

47. [TM, DF] La mecánica cuántica considera que el electrón del átomo de hidrógeno no es
puntual, sino que le asigna una distribución de carga extendida en todo el espacio cuya
expresión es ar
e
a
e
r /2
3
)( 


 , donde r es la distancia al centro del núcleo, y a es el
denominado radio de Bohr (a = 0.0529 nm). Recordar que el núcleo de un átomo de
hidrógeno está formado por un protón que es una carga unidad positiva que se puede
considerar puntual. Calcular el campo eléctrico generado a una distancia r del núcleo.
Considerar el protón como una carga puntual.
Respuesta: 22
0
2
22
4
)22(
ra
erraaq
E
a
r
e




48. [RS] Un protón gira con una velocidad v = 294 km/s fuera de una esfera cargada de
radio r = 1.13 cm. Determine la carga de la esfera.
q
49. [RS] Una partícula con una carga de –60 nC está colocada en el centro de un cascarón
esférico no conductor con un radio interior igual a 20.0 cm y un radio exterior de 25.0 cm.
El cascarón esférico tiene una carga con una densidad uniforme de 3
C/m33.1  . Un
protón está en movimiento en una órbita circular justo en el exterior del cascarón esférico.
Calcule la velocidad del protón.
Respuesta: m/s109405.5 5
v
50. [RS] Considere un cascarón esférico delgado con un radio de 14.0 cm y una carga total
de C0.32  distribuida uniformemente sobre su superficie. Determine el campo eléctrico
a) a 10.0 cm y b) a 20.0 cm del centro de distribución de la carga.
Respuesta: a) E = 0; b) N/C101900.7 6
E
51. [TM] Una corteza esférica de radio 6 cm posee una densidad superficial uniforme de
carga 2
nC/m9 . Determinar el campo eléctrico en a) r = 2 cm, b) r = 5.9 cm, c) r = 6.1
cm y d) r = 10 cm.
Respuesta: a) E = 0; b) E = 0; c) E = 983.4145 N/C; d) E = 365.9285 N/C

52. [RH] Dos cascarones esféricos y concéntricos con carga eléctrica tienen un radio de
10.0 y 15.0 cm. La carga en el cascarón interno es de 40.6 nC y la del cascarón externo es
de 19.3 nC. Calcule el campo eléctrico en a) r = 12.0 cm, b) en r = 22.0 cm y c) en r = 8.18
cm del centro de los cascarones.
Respuesta: a) N/C105340.2 4
E ; b) N/C101123.1 4
E ; c) E = 0
53. [TM] Una esfera sólida de 1.2 m de diámetro con su centro sobre el eje x en x = 4 m,
tiene una carga volumétrica uniforme de densidad 3
C/m5   . Una corteza esférica
concéntrica con la esfera tiene un diámetro de 2.4 m y una densidad de carga superficial
uniforme 2
C/m5.1   . Calcular el módulo y la dirección del campo eléctrico en a) x =
4.5 m, y = 0; b) x = 4.0 m, y = 1.1 m y c) x = 2.0 m, y = 3.0 m.
Respuesta: a) iE N/C)104117.9( 4
 ; b) jE N/C)100706.2( 5
 ; c)
N/C100058.7 4
E , º69.303
54. [TM] Un plano infinito paralelo al plano y z en x = 2 m posee una densidad de carga
superficial uniforme 2
C/m2  . Una carga lineal infinita de densidad uniforme
C/m4  pasa por el origen formando un ángulo de 45º con el eje x en el plano x y. Una
esfera sólida no conductora con una densidad de carga volumétrica 3
C/m6  y radio
0.8 m está centrada sobre el eje x en x = 1 m. Calcular el módulo y la dirección del campo
eléctrico en el plano x y en x = 1.5 m, y = 0.5 m.
Respuesta: Campo de la esfera: N/C105972.1 5
E , º45 . Distancia perpendicular
entre la línea y la carga de prueba: R = 0.7071 m. Campo de la línea de carga:
N/C100168.1 5
E , º315 . Campo del plano infinito: N/C101294.1 5
E , º180 .
Campo resultante: N/C102786.8 4
E , º72.29 .
Conductores.
Ejemplo 3.49.
El campo eléctrico creado por una esfera conductora de radio 2.5 m tiene una magnitud
máxima de 105
N/C. Calcule la densidad de carga de la esfera.
Solución.

Ejemplo 3.50.
Una esfera conductora posee una densidad de carga 27
C/m1085.8 
 . La magnitud del
campo eléctrico en un punto situado a 2 m de la superficie de la esfera es 3.6104
N/C.
Calcule:
a) El radio de la esfera.
b) E

en la superficie de la esfera.
Solución.
Ejemplo 3.51.
Una esfera de cobre tiene un radio R = 15 cm. y posee una carga de C102 6
 . Calcule la
magnitud del campo eléctrico en puntos situados:
a) Dentro de la esfera, a una distancia de 10 cm de su centro.
b) En la superficie de la esfera.
c) Fuera de la esfera, a una distancia de 20 cm de su centro.
Solución.
R
R

Ejemplo 3.52.
Un cascarón metálico esférico de radios R1 y R2 tiene una carga neta igual a Q (Q > 0). En
el centro del cascarón se coloca una carga puntual q (q > 0).
Calcule E

en puntos que están a una distancia r de la carga puntual para:
a) r < R1
b) R2 > r > R1
c) r > R2
Solución.
Ejemplo 3.53.
Dos cascarones esféricos conductores concéntricos tienen radios 0.2 m y 0.3 m
respectivamente. A 0.25 m del centro de ambos cascarones el campo eléctrico tiene módulo
90 N/C y a 0.35 m del centro el campo eléctrico tiene magnitud 45 N/C. Calcule la carga de
cada cascarón. (Note que hay más de una solución y que éstas dependen de la dirección del
campo).
Solución.
1R
2R
q
a
b

Una esfera aislante y sólida, de radio a, tiene una densidad de carga uniforme  y una
carga total Q. Colocada en forma concéntrica a esta esfera existe otra esfera hueca,
conductora pero descargada, de radios interno y externo b y c, respectivamente, como se
observa en la figura. a) Determine la magnitud del campo eléctrico en las regiones r < a, a
< r < b, b < r < c y r > c. b) Determine la carga inducida por unidad de superficie en la
superficie interna y externa de la esfera hueca.
Solución.
55. [TM] Consideremos dos esferas conductoras concéntricas (Figura). La esfera exterior es
hueca y en ella se ha depositado una carga –7Q. La esfera interior es sólida y en ella hay
una carga +2Q. a) Supongamos que se conecta un alambre entre ambas esferas. Una vez
alcanzado el equilibrio electrostático, ¿Cambia el campo eléctrico de la superficie de la
esfera interna al conectar el cable? Si es así, ¿cómo cambia?
56. [RS] Un esfera conductora hueca está rodeada por un cascarón conductor esférico
concéntrico de radio mayor. La esfera tiene una carga –Q y el cascarón exterior una carga
b c
a
Q2
Q7

+3Q. Las cargas están en equilibrio electrostático. Utilizando la ley de Gauss, determine el
campo eléctrico presente en todas las regiones.
Respuesta: r < a: E = 0, a < r < b: 2
04 r
Q
E

 , r > b: 2
04
2
r
Q
E


57. [RH] Una esfera conductora cargada uniformemente de 1.22 m de radio tiene una
densidad de carga superficial de 2
C/m.138  . Calcule el campo eléctrico en la superficie
de la esfera.
E
58. [RH] Unos vehículos espaciales que viajan por los cinturones de radiación terrestre
chocan con los electrones atrapados. Puesto que en el espacio no hay tierra, la acumulación
resultante de la carga puede ser considerable y dañar los componentes electrónicos,
ocasionando perturbaciones en los circuitos de control y anomalías en la operación. Un
satélite esférico metálico de 1.3 m de diámetro acumula C.42  de carga en una revolución
orbital. Calcule el campo eléctrico resultante afuera de la superficie del satélite.
E
59. [RS] Una esfera sólida de cobre con un radio de 15.0 cm tiene una carga de 40.0 nC.
Determine el campo eléctrico a) a 12.0 cm, b) a 17.0 cm y c) a 75.0 cm del centro de la
esfera. d) ¿Cuáles serían sus respuestas si la esfera fuese hueca?
Respuesta: a) E = 0; b) N/C102439.1 4
E ; c) E = 639.11 N/C; d) La misma
60. [RH] La ecuación 0/E nos da el campo eléctrico en puntos cercanos a una
superficie conductora cargada. Aplíquela a una esfera conductora de radio r que tiene una
a
b

carga q en su superficie; demuestre después que el campo eléctrico fuera de ella es el
mismo que el de una carga puntual en el centro de la esfera.
Respuesta: 2
04 r
q
E


61. [RS] Un cascarón esférico conductor con un radio de 15.0 cm tiene una carga neta de
C40.6  distribuida uniformemente sobre su superficie. Determine el campo eléctrico a)
justo por dentro del cascarón y b) justo por fuera del cascarón.
Respuesta: a) E = 0; b) N/C105565.2 6
E
62. [RH] Un cascarón esférico delgado metálico sin carga tiene una carga puntual q en su
centro. Por medio de la ley de Gauss, obtenga las expresiones del campo eléctrico a) dentro
del cascarón y b) fuera de él. c) ¿Tiene el cascarón algún efecto en el campo debido a q? d)
Produce la presencia de q algún efecto en el cascarón? e) Si mantenemos una segunda carga
puntual fuera del cascarón, experimenta una fuerza? f) ¿Experimenta una fuerza la carga
interna? g) ¿Contradice esto a la tercera ley de Newton? Explique su respuesta afirmativa o
negativa.
Respuesta: a) 2
04 r
q
E

 ; b) 2
04 r
q
E

 ; c) Si. Si la carga es movida del centro, el
campo interno al cascarón sería distorsionado, y no podríamos aplicar la ley de Gauss para
encontrarlo.; d) Si. q induce cargas en las superficies interna y externa del cascarón. Habrá
una carga –q en la superficie interna y q en la superficie externa. e) Si. Existe un campo
eléctrico fuera del cascarón. f) No. El campo eléctrico en el exterior del cascarón no actúa a
través del conductor. El conductor actúa como un escudo. g) No, porque la carga externa
R

nunca experimentó atracción electrostática o repulsión de la carga interna. La fuerza es
entre el cascarón y la carga externa.
63. [TM] Una corteza conductora esférica con una carga neta cero tiene un radio interior a
y un radio exterior b. Se coloca una carga puntual q en el centro de la corteza. a) Utilizar la
ley de Gauss y las propiedades de los conductores en equilibrio para hallar el campo
eléctrico en cada una de las regiones r < a, a < r b. b) Determinar la densidad de
carga en la superficie interna (r = a) y en la superficie externa (r = b) de la corteza.
Respuesta: a) r < a; 2
04 r
q
E

 , a < r < b: E = 0; r > b: 2
04 r
q
E


64. [TM] Una carga puntual positiva de C.52  se encuentra en el centro de una corteza
conductora esférica sin carga, de radio interior 60 cm y de radio exterior 90 cm. a)
Determinar las densidades de carga de las superficies interior y exterior de la corteza y la
carga total de cada superficie. b) Determinar el campo eléctrico generado en cualquier
punto. c) Repetir a) y b) para el caso en que se añade una carga neta de C.53  a la
corteza.
Respuesta: a) 27
C/m105262.5 
i ; 27
C/m104561.2 
o ; C105.2 6
iq ,
C105.2 6
0

q ; b) r < 0.6 m;
4
2
102469.2
r
E

 , 0.6 m < r < 0.9 m: E = 0; r > 0.9 m:
4
2
102469.2
r
E


65. [RS] Para la configuración que aparece en la figura del ejemplo 3.54, suponga que a =
5.00 cm, b = 20.0 cm y c = 25.00 cm. Además, suponga que el campo eléctrico en un punto
10.0 cm del centro tiene un valor medido de N/C1060.3 5
 , radial hacia adentro, en tanto
que el campo eléctrico en un punto a 50.0 cm del centro es N/C1000.2 2
 radial y hacia
afuera. Con esta información encuentre a) la carga existente en la esfera aislante, b) la carga
neta de la esfera conductora hueca y c) las cargas en las superficies interna y externa de la
esfera conductora hueca.
Respuesta: a) C104 7
q ; b) C100556.4 7
q ; c) C104 7
iq , C1056.5 9
0

q

66. [DF] Una esfera no conductora de radio a y carga uniforme + Q está situada en el
centro de una esfera metálica hueca de radio interior b y radio exterior c. La esfera hueca
exterior contiene una carga –Q. Halle E (r) en las regiones siguientes:
a) dentro de la esfera sólida (r < a).
b) entre la esfera maciza y la hueca (a < r < b).
c) dentro de la esfera hueca (b < r < c).
d) fuera de la esfera hueca (r > c).
Respuesta: a) 3
04 a
rQ
E

 ; b) 2
04 r
Q
E

 ; c) E = 0; d) E = 0
67. [RH] La figura muestra una carga +q formando en una esfera conductora uniforme de
radio a y colocada en el centro de un cascarón conductor esférico de radio interno b y de
radio externo c. El cascarón externo tiene una carga de –q. Determine E (r) en los sitios a)
dentro de la esfera (r < a), b) entre la esfera y el cascarón (a < r < b), c) dentro del cascarón
(b < r < c) y d) fuera del cascarón (r > c). e) ¿Qué cargas aparecen en las superficies interna
y externa del cascarón?
Respuesta: a) E = 0; b) 2
04 r
q
E

 ; c) E = 0, d) E = 0
68. [RS] Una esfera conductora sólida con un radio de 2.00 cm posee una carga de
C00.8  . Concéntrica con la esfera sólida, un cascarón esférico conductor tiene un radio
interior de 4.00 cm y un radio exterior de 5.00 cm con una carga total de C00.4  .
Encuentre el campo eléctrico en las siguientes distancias del centro de esta configuración
de cargas: a) r = 1.00 cm, b) r = 3.00 cm, c) r = 4.50 cm y d) r = 7.00 cm.
b c
a

Respuesta: a) E = 0; b) N/C109889.7 7
E ; c) E = 0, d) N/C103367.7 6
E
69. [RS] Una esfera aislante y sólida, de 5.00 cm de radio, tiene una carga positiva neta de
C00.3  , con distribución uniforme en todo su volumen. Concéntrico a la esfera hay una
cubierta esférica conductora con radio interior de 10.0 cm y radio exterior de 15.0 cm, que
tiene carga neta de C00.1  , como se muestra en la figura. a) Considere una superficie
gaussiana esférica de 16.0 cm de radio y encuentre la carga encerrada por esta superficie. b)
¿Cuál es la dirección del campo eléctrico en el punto D, a la derecha de la cubierta y a un
radio de 16 cm? c) Encuentre la magnitud del campo eléctrico en el punto D. d) Encuentre
el vector de campo eléctrico en el punto C, a 12.0 cm de radio. e) Considere una superficie
gaussiana esférica a través del punto C y encuentre la carga neta encerrada por esta
superficie. f) Considere una superficie gaussiana esférica de 8.00 cm de radio y encuentre la
carga neta encerrada por esta superficie. g) Encuentre el vector de campo eléctrico en el
punto B, a 8 cm de radio. h) Considere una superficie gaussiana esférica a través del punto
A, a 4.00 cm de radio, y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. i) Encuentre
el vector de campo eléctrico en el punto A. j) Determine la carga sobre la superficie interior
de la cubierta conductora. k) Determine la carga sobre la superficie exterior de la cubierta
conductora.
b c
a

70. Una esfera conductora de radio a está colocada en el centro de un casquete esférico no
conductor cuyo radio interno es b y radio externo c, tal como se muestra en la figura. En la
esfera interna está distribuida uniformemente una carga +Q, y en el casquete externo la
carga es –Q. Determine E (r) para a) r < a, b) a < r < b, c) b < r < c , d) r > c.
Respuesta: a) r < a; E = 0; b) a < r < b: 2
04 r
Q
E

 ; c) b < r < c: 2
0
33
33
4 r
Q
bc
rc
E









 ; d) r >
c: E = 0
71. [TM] Consideremos las tres esferas metálicas concéntricas de la figura. La esfera I es
sólida con el radio R1. La esfera II es hueca con el radio R2 más interno y el radio R3
externo. La esfera III es hueca con radio R4 más interno y radio R5 externo. Inicialmente las
tres esferas tienen una carga nula. A continuación, añadimos una carga –Q0 a la esfera 1 y
una carga positiva +Q0 a la esfera III. a) Una vez que las cargas han alcanzado el equilibrio,
el campo eléctrico en el espacio comprendido entre las esferas I y II, está dirigido hacia el
centro, se aleja del centro o ninguna de ambas cosas? b) Representar E en función de r para
todo valor de r.
b c
a
10 cm
15 cm
5 cm

Respuesta: a) Hacia el centro. b) 0; f) r < R1, R2 < r < R3, r < R4: E = 0, R1 < r < R2 y R3 < r
< R4: 2
04 r
Q
E


UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA CILÍNDRICAMENTE SIMÉTRICA.
No conductores.
Ejemplo 3.55.
Calcule la magnitud del campo eléctrico de un cilindro de largo infinito y radio R con
densidad volumétrica 0 , en un punto que está a una distancia r del eje del cilindro, siendo:
a) r < R
b) r > R
c) Grafique E

en función de r.
Solución.
Ejemplo 3.56. Cilindro macizo con carga no homogénea. Problema PR-3.13 del
Figueroa. Página 122.
Un cilindro aislante infinitamente largo de radio R, tiene una densidad de carga volumétrica
que varía con la distancia radial como: 






a
r
r 1)( 0 (C/m3
), donde 0 y a son
constantes positivas. Halle el campo eléctrico a las distancias radiales a) r < R, b) r > R.
b c 1R2R3R4R5R

Solución.
Ejemplo 3.57.
Un cilindro infinito de radio b tiene un hueco de radio a, a lo largo de su eje central. En la
región comprendida entre a y b el cilindro tiene una densidad de carga no uniforme:
r
A
 (C/m3
)
Siendo A (C/m2
) una constante.
¿Cuál es el campo eléctrico en la región (a  r  b)?
Solución.
Ejemplo 3.58.
Un cilindro de longitud infinita y radio R tiene una densidad de carga 





 2
2
0
2
1
R
r
 ,
siendo 0 una constante positiva y r la distancia del eje del cilindro a un punto de él.
R
ba
L

a) ¿Qué superficie gaussiana conviene elegir para calcular E

creado por el cilindro en
puntos para los cuáles r < R?
b) Demuestre que la carga encerrada por la superficie gaussiana que eligió en a) es
2
222
0
2
)(
R
rRrL
q



c) Encuentre E

en un punto que está en el interior del cilindro a una distancia r de su eje.
Solución.
Ejemplo 3.59.
[WM] Aplicando la ley de Gauss, demuestre que el campo eléctrico a una distancia y de
una barra infinita, orientada según el eje x y cargada con densidad de carga lineal  está
dado por la expresión
y
k
E
2
 . Este resultado coincide con el obtenido en el capítulo 2,
mediante cálculo directo de campo.
Solución.
Ejemplo 3.60.
Una línea infinita de carga produce un campo de N/C1052.4 4
 a una distancia de 1.96 m.
Calcule la densidad de carga lineal.
Solución.
L
x
y
P
y

Un filamento recto uniformemente cargado de 7.00 m de longitud tiene una carga positiva
total de C00.2  . Un cilindro de cartón sin carga de 2.00 cm de longitud y 10.0 cm de
radio, rodea el filamento en su parte central, teniendo a este como el eje del cilindro.
Utilizando aproximaciones razonables, determine a) el campo eléctrico en la superficie del
cilindro y b) el flujo eléctrico total a través de dicho cilindro.
Solución.
Ejemplo 3.62.
Un cilindro no conductor de longitud infinita y radio R1 tiene una densidad de carga  .
Posee una cavidad cilíndrica coaxial de radio R2. Calcule la densidad de carga lineal que
debe haber en el eje del cilindro para que el campo eléctrico en el exterior del cilindro sea
cero.
Solución.
Ejemplo 3.63.
Dos cascarones cilíndricos muy largos de radios a y b respectivamente tienen el eje común.
La carga del cascarón tiene igual valor absoluto a la del otro pero distinto signo. Si la
densidad superficial de carga del cascarón de radio a es  , ¿Cuál es E

en puntos que se
encuentran en la parte central de los cascarones y a la distancia:
i) r < a del eje.
ii) a < r < b del eje.
1R2R

iii) r > b del eje.
Solución.
Ejemplo 3.64. Problema 8 del Resnick. Quinta Edición. Página 632.
La figura muestra una sección a través de dos largos cilindros concéntricos delgados de
radio a y b. Transportan cargas iguales y opuestas por unidad de longitud  . Por medio de
la ley de Gauss pruebe que a) E = 0 cuando r < a y que b) entre los cilindros E está dado
por
r
E

 02
1
 .
Solución.
72. [RS] Un filamento largo y recto tiene una carga por unidad de longitud de
C/m0.90  . Determine el campo eléctrico a las siguientes distancias del filamento,
medidas perpendicularmente a su longitud del mismo: a) 10.0 cm, b) 20.0 cm y c) 100 cm.
ba
ba

E ; b) N/C107036.7 6
E ; c) N/C106178.1 6
E
73. [TM] Una densidad lineal de carga infinita  está localizada a lo largo del eje z. Una
masa m que posee una carga q de signo opuesto al de  , se encuentra en una órbita circular
en el plano x y alrededor de la carga lineal. a) Deducir una expresión para la velocidad de la
partícula. b) Deducir una expresión para el periodo de la órbita en función de m, q, R y  ,
siendo R el radio de la órbita.
Respuesta: a)
m
q
v
02 

 ; b)
q
m
RT


 02
2
74. [TM] Una carga lineal infinita de densidad lineal uniforme C/m1.5   es paralela
al eje y en x = –2 m. Una carga puntual C3.1  está localizada en x = 1 m, y = 2 m.
Determinar el campo eléctrico en x = 2 m, y = 1.5 m.
Respuesta: N/C)1296.4180101357.5( 4
jiE 
75. [TM] Un cilindro no conductor infinitamente largo de radio R posee una densidad de
carga volumétrica uniforme 0)(  r .
a) Demostrar que el campo eléctrico viene dado por
0
0
2
 r
Er  cuando Rr 0 , y por
r
R
Er
0
2
0
2

 cuando r > R, donde r es la distancia desde el eje del cilindro.
b) Demuestre que si el cilindro es infinitamente delgado (línea de carga) el campo a una
distancia r viene dado por
r
Er
02 

 . Este resultado coincide con el que habíamos
obtenido en el capítulo 2, mediante cálculo directo de campo y en el ejemplo 3.59.
76. [TM] Un cilindro de longitud 200 m y radio 6 cm posee una densidad de carga
volumétrica uniforme 3
nC/m300 . Utilizar las fórmulas dadas en el problema 75 para
determinar el campo eléctrico en un punto equidistante de los extremos en a) r = 2 cm, b) r
= 5.9 cm, c) r = 6.1 cm y d) r = 10 cm.
Respuesta: a) E = 338.8227 N/C; b) E = 999.5270 N/C; c) E = 2999.4142 N/C; d) E =
1829.6427 N/C

77. [RS] Un cilindro aislante de longitud infinita y de radio R tiene una densidad de carga
volumétrica que varía en función del radio de la forma siguiente 






b
r
a0 siendo 0 ,
a y b constantes positivas y r la distancia al eje del cilindro. Utilice la ley de Gauss para
determinar la magnitud del campo eléctrico a las siguientes distancias radiales a) r < R y b)
r > R.
Respuesta: a) 






b
ra
E
320
0


; b) 






b
Ra
r
R
E
320
2
0


78. [TM] Un cilindro no conductor, de longitud infinita y radio R contiene una distribución
de carga rar )( , siendo a constante. Hallar las expresiones del campo eléctrico
generado por este cilindro en todos los puntos del espacio, es decir, una expresión para a) r
< R y otra para b) r > R.
Respuesta: a)
0
2
3
ra
E  ; b)
r
Ra
E
0
3
3

79. [TM] Un cilindro de radio a, sólido, infinitamente largo y no conductor, contiene una
densidad volumétrica de carga distribuida no uniformemente. Esta densidad varía con
respecto de la distancia al eje del cilindro, medida sobre su perpendicular, según la
expresión 2
)( rbr  , donde b es una constante. Obtener expresiones del campo eléctrico
a) r < a y b) r > a.
Respuesta: a)
0
3
4
rb
E  ; b)
r
Rb
E
0
4
4

80. [TM] Un cilindro de radio 3 cm está construido con un material no conductor y posee
una distribución de carga volumétrica dada por rCr /)(  , donde 3
nC/m200C .
Calcular el campo eléctrico para todos los valores de r.
Respuesta: r < 3 cm: N/C102588.2 4
E , r > 3 cm:
r
E
6454.677
 , con r = [m]

81. [TM] Una corteza cilíndrica no conductora, gruesa e infinitamente larga, de radio
interior a y radio exterior b, posee una densidad de carga volumétrica uniforme  .
Determinar el campo eléctrico en todos los puntos.
Respuesta: r < a: E = 0, a < r < b:
r
ar
E
0
22
2
)(

 
 , r > b:
r
ab
E
0
22
2
)(

 

82. [TM] Demostrar que el campo eléctrico debido a una corteza cilíndrica uniformemente
cargada e infinitamente larga de radio R y que posee una densidad de carga superficial  ,
viene dado por: E = 0 cuando Rr 0 y
r
R
E
0

 cuando r > R.
83. [TM] Una corteza cilíndrica de longitud 200 m y radio 6 cm posee una densidad de
carga superficial uniforme 2
nC/m9 . Hallar el campo eléctrico en a) r = 2 cm, b) r = 5.9
cm, c) r = 6.1 cm y d) r = 10 cm. Utilizar los resultados del problema 82.
Respuesta: a) E = 0; b) E = 0; c) E = 999.8047 N/C; d) E = 609.8809 N/C
84. [RS] Un cascarón cilíndrico con un radio de 7.00 cm y longitud de 240 cm tiene una
carga distribuida de manera uniforme sobre su superficie curva. La magnitud del campo
eléctrico en un punto que está a 19.0 cm radialmente hacia afuera de su eje (medido a partir
del punto medio de la envoltura) es de 36.0 kN/C. Determine a) la carga neta sobre la
envoltura y b) el campo eléctrico que existe en un punto a 4.00 cm del eje, medido
radialmente hacia afuera del punto medio de la envoltura.
Respuesta: a) C101326.9 10
q ; b) E = 0
85. [RH] Una carga positiva se distribuye uniformemente a través de un cascarón cilíndrico
largo no conductor de radio interno R y de radio externo 2 R. ¿A qué profundidad radial
debajo de la superficie externa de la distribución de carga será la fuerza del campo eléctrico
la mitad del valor superficial?
Respuesta: RRr 557.0
8
7313







 

86. [RS] Un cascarón aislante cilíndrico de longitud infinita, con radios interno y externo a
y b, respectivamente, tiene una densidad de carga volumétrica  . Una línea de densidad de

carga lineal uniforme  está colocada a lo largo del eje del cascarón. Determine el campo
eléctrico en todos los sitios.
Respuesta: r < a:
r
E
02 

 , a < r < b:
r
ar
E
0
22
2
)(

 
 , r > b:
r
ab
E
0
22
2
)(

 

87. [TM] Un contador Geiger es un típico aparato de un laboratorio de física Nuclear que
sirve para detectar radiación. Este instrumento está constituido por un tubo cilíndrico que
tiene un hilo recto de metal a lo largo de su eje central.
a) El diámetro del hilo debe ser de 0.500 mm y el diámetro interior del tubo de 4.00 cm. El
tubo se llena de un gas diluido en el que se establece una descarga eléctrica con la que se
produce la ruptura dieléctrica que sucede cuando el campo eléctrico alcanza
N/C1050.5 6
 . Determinar la máxima densidad de carga lineal que tiene que llevar el hilo
para que no se produzca la ruptura dieléctrica. Asumir que el tubo y el hilo son
infinitamente largos.
b) Supóngase que el radio del alambre central mide m25 , que el radio del cilindro mide
1.4 cm y el tubo tiene una longitud de 16 cm. El campo eléctrico en la pared del cilindro es
N/C109.2 4
 . Calcule la carga positiva en el alambre central.
Respuesta: a) C/m106495.7 8
 ; b) C106139.3 9

88. [TM] Suponer que la radiación ionizante produce un ión y un electrón a la distancia de
1.50 cm desde el eje del hilo central del tubo de Geiger del problema 87 a). Suponer que el
hilo central está positivamente cargado con una densidad lineal de carga igual a 76.5 pC/m.
En este caso, ¿qué velocidad adquirirá el electrón cuando impacte con el hilo?
Respuesta: m/s109179.4 5
v
89. [DF] Dos cascarones esféricos concéntricos, no conductores y de radio R y 2 R
respectivamente, tienen cargas distribuidas uniformemente.
a) Si un electrón (masa m y carga –e) gira con una rapidez v0 en una órbita circular de radio
r comprendido entre R y 2 R. ¿Cuál es la densidad de carga 1 del cascarón interno?

b) Si el campo eléctrico es nulo en un punto ubicado a distancia radial 3 R, ¿Cuál es la
densidad de carga 2 del cascarón externo?
Respuesta: a)
re
vm 0
2
0
1

  ; b)
re
vm
4
0
2
0
2

 
90. [RH] En la geometría del problema 89, un positrón gira en una trayectoria circular entre
los cilindros y concéntrica con ellos. Determine su energía cinética en electrón – volts.
Suponga que nC/m30 . (¿Por qué no necesita conocer el radio del los cilindros?)
Respuesta:
04 
 e
Ec  , eV63.269cE
91. [TM] Consideremos dos cortezas cilíndricas concéntricas infinitamente largas. La
corteza interior tiene un radio R1 y posee una densidad de carga superficial uniforme 1 ,
mientras que la exterior tiene un radio R2 y una densidad de carga superficial uniforme 2 .
a) Utilizar la ley de Gauss para hallar el campo eléctrico en las regiones r < R1, R1 < r < R2
y r > R2. b) ¿Cuál deberá ser el cociente de las densidades 12 / y el signo relativo de
ambas para que el campo existente sea cero cuando r > R2. ¿Cuál es entonces el campo
eléctrico entre las cortezas?
Respuesta: a) E = 0,
r
R
E
0
11


 ,
r
RR
E
0
2211

 
 ; b)
2
1
1
2
R
R



,
r
R
E
0
11



92. [RH] Dos grandes cilindros concéntricos cargados tienen un radio de 3.22 y de 6.18 cm.
La densidad de carga superficial en el cilindro interno es de 2
C/m1.24  y la del cilindro
externo es de 2
C/m0.18  . Determine el campo eléctrico en a) r = 4.10 cm y b) r = 8.20
cm.
E ; b) N/C106331.4 5
E
93. Dos cascarones cilíndricos muy largos de radios a y b respectivamente tienen el eje
común. La carga del cascarón tiene igual valor absoluto a la del otro pero distinto signo.
a) ¿Cuál es la relación entre las densidades superficiales de carga de estos cascarones?

b) Si la densidad superficial de carga del cascarón de radio a es  , ¿Cuál es E

en puntos
que se encuentran en la parte central de los cascarones y a la distancia:
i) r < a del eje.
ii) a < r b del eje.
Respuesta: a)
b
a
a
b



; b) i) E = 0, ii)
r
a
E
0

 , iii)
r
a
E
0


Conductores.
Ejemplo 3.65. Problema 18 del Resnck. Quinta Edición. Página 630.
En la figura se muestra una carga puntual nC126q en el centro de una cavidad esférica
de radio 3.66 cm en un trozo de metal. Con la ley de Gauss determine el campo eléctrico en
el punto P1, a la mitad de distancia del centro de la superficie y b) en el punto P2.
Solución.
ba

94. [RS] Una varilla de metal larga y recta tiene un radio de 5.00 cm y una carga por unidad
de longitud de 30.0 nC/m. Determine el campo eléctrico a las siguientes distancias, medidas
perpendicularmente al eje de la varilla: a) 3.00 cm, b) 10.0 cm y c) 100 cm
Respuesta: a) E = 0; b) E = 5392.5311 N/C; c) E = 539.2531.
95. [RH] Un alambre recto, delgado y muy largo transporta –3.60 nC/m de carga negativa
fija. Debe quedar rodeado por un cilindro uniforme de carga positiva, de radio 1.50 cm y
coaxial con el alambre. La densidad de carga volumétrica  del cilindro debe escogerse de
modo que el campo eléctrico neto fuera de él sea cero. Calcule la densidad de carga
positiva que se requiere  .
Respuesta: 36
C/m100930.5 
 .
96. [TM] La figura muestra la sección transversal de una porción de un cable concéntrico
infinitamente largo. El conductor interno posee una carga de 6 nC/m; mientras que el
conductor externo está descargado. a) Determinar el campo eléctrico para todos los valores
de r, siendo r la distancia desde el eje del sistema cilíndrico.
9 cm
3 cm
13 cm

Respuesta: a) r < 1.5 cm: E = 0, 1.5 cm < r < 4.5 cm:
r
E
85.107
 , 4.5 cm < r < 6.5 cm: E =
0, r > 6.5 cm:
r
E
85.107
 , r = [m]
97. Un cilindro no conductor de longitud L y radio a tiene una carga por unidad de volumen
2
2
0
a
r
  , en donde 0 es una constante y r es una distancia variable radial. Está rodeado
por un cascarón cilíndrico conductor de carga total –2 q y radio b. Determinar el campo
eléctrico en los puntos:
a) r < a
b) a < r b
Respuesta: a) 2
0
3
0
4 a
r
E


 ; b)
r
a
E
0
2
0
4

 ; c)
Lr
qLa
E
0
2
0
4
4

 

98. [RH] Un cilindro conductor muy grande (longitud L) que tiene una carga total + q está
rodeado por un cilindro conductor (también de longitud L), con una carga total –2 q, como
se muestra en la figura. Use la ley de Gauss para determinar a) el campo eléctrico en los
puntos fuera del cascarón conductor, b) la distribución de carga en él y c) el campo
eléctrico en la región situada entre los cilindros.
ba
L

Respuesta: a)
Lr
q
E
02 

 ; b) Una carga – q en la superficie interior y la carga restante – q
en la superficie exterior.; c)
Lr
q
E
02 

99. Un cilindro conductor de longitud L tiene una carga total –6 q y radio a. Está rodeado
por un cascarón cilíndrico conductor de carga total +2 q, radio b y longitud L. Determinar
el campo eléctrico en los puntos:
a) r < a
b) a < r b
Respuesta: a) 0E ; b)
Lr
q
E
0
3


 ; c)
Lr
q
E
0
2



ba
L
ba
L

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