Risk Management nelle Istituzioni Finanziarie

Risk Management nelle Istituzioni Finanziarie
Aspetti quantitativi e problemi aperti
Roberto Anglani, PhD
Risk Management, Banca Popolare di Bari SCpA, IT
Alumni Mathematica Organization, Bari, IT
SEMINARI MATHOUT
11/04/2017
Dipartimento di Matematica, Università di Bari
Roberto Anglani, PhD (BPB&AM) 11/04/2017 SEMINARI MATHOUT 1 / 63

Di cosa parleremo
1 Perché parlare di risk management.
2 Il ruolo delle banche nel sistema finanziario.
3 Perché e come si fa banking risk management.
4 Esempi: metodologie Value-at-Risk

Motivazioni
Perché parlare di banking
risk management.
E perché soprattutto in un dipartimento di matematica.

Motivazioni
MOTIVAZIONI
Il banking risk management
1
È un sistema complesso e multidisciplinare di processi, decisioni
e misure concepito per fronteggiare i rischi connessi all’attività
finanziaria.
2
È di primaria importanza per mantenere efficiente il sistema
finanziario e per garantirne la stabilità.
3
Si avvale di metodi e modelli matematici per la misura
quantitativa dei rischi e per il supporto alle decisioni strategiche.

Motivazioni
OBIETTIVI
Avvicinarsi alla modellizzazione matematica dietro le
quinte del contesto bancario ha quindi la duplice funzione di
illustrare:
I. l’utilizzo di teorie e modelli in un campo
apparentemente così lontano e “materiale”
II. le sfide derivanti dai limiti della
modellizzazione di fenomeni complessi governati anche
da norme di legge e comportamenti sociali.

Mercati e istituzioni finanziarie Sistemi economici e ruolo delle istituzioni finanziarie
Cosa si intende per “sistema
finanziario”.
E perché ci riguarda così da vicino.

Il sistema economico
Attività e risorse
Un sistema economico è un sistema complesso di individui, enti e
istituzioni (detti agenti o operatori o soggetti economici) che
interagiscono tra loro per il soddisfacimento dei propri
bisogni, mediante una serie di attività finalizzate all’utilizzo di
risorse.
Attività di un sistema economico: la produzione e lo scambio di
beni e servizi, il lavoro, il risparmio e l’investimento di capitali.
Risorse di un sistema economico: insieme limitato delle risorse a
disposizione che include gli impianti, le strumentazioni e beni
immobili, le risorse naturali, i capitali e le capacità lavorative oggetto
delle attività economiche di sfruttamento.

Il sistema finanziario
Mercati e istituzioni
Il risparmio e l’investimento di capitali rappresentano le attività di un
sottosistema economico detto sistema finanziario in cui diversi
soggetti, in deficit o in surplus sulla base di determinate
esigenze di consumo, si scambiano, tramite intermediari o
attraverso i mercati, flussi di danaro sottoforma di strumenti
finanziari.
I mercati finanziari: svolgono la
funzione economica di trasferire
le risorse finanziarie dalle unità in
surplus alle unità in deficit.
Le istituzioni finanziarie:
producono e offrono servizi
finanziari e garantiscono il
funzionamento dei mercati
finanziari.
Unità in
Surplus
Istituzioni Finanziarie
Mercati Finanziari
Unità in
Deficit
circuito indiretto circuito diretto

Le “interazioni” finanziarie
Anticipazione e differimento del consumo
L’interazione elementare di un sistema finanziario consiste
nell’anticipazione o nel differimento del consumo
ovvero nell’operazione di indebitamento o di investimento.
Un soggetto che possiede una quantità di capitale maggiore
rispetto a quella necessaria per soddisfare i propri bisogni può
differire il consumo, investendo una quantità di danaro con la
speranza di ottenere un profitto in un tempo futuro.
Un soggetto economico che, per soddisfare i propri bisogni,
necessita di capitali maggiori rispetto alla propria disponibilità,
ricorre all’indebitamento per disporre capitale aggiuntivo,
all’istante di tempo desiderato

Esempi di interazioni finanziarie
Introduzione al concetto di strumento finanziario
1: La Banca α investe nello Stato β (acquistando titoli di Stato)
2: La Banca α si indebita con la Banca δ (vendendo obbligazioni)
4: L’Impresa γ investe nella Banca α (acquistando azioni o obbligazioni)
5: L’Impresa γ si indebita con la Banca δ (prestito o vendendo obbligazioni)
6: L’Individuo η si indebita con la Banca α (mutuo)
8: L’Ente θ investe nella Stato β (acquistanto titoli di Stato)
9: La Banca δ investe nel Mercato ω (acquistando azioni e derivati)
Banca α
Stato β
Impresa γ
Banca δ
Individuo η
Ente θ Mercato ω
Individuo ξ
1
2
3
4
56
7
8
9
10

Perché le istituzioni
finanziarie sono così
importanti.
E perché di fatto non ne possiamo fare a meno.

Il ruolo degli intermediari finanziari
Cosa accadrebbe se non esistessero le banche
Problema. Alice vuole investire 100.000 per trarne un profitto.
Bob è un imprenditore che ha bisogno di 100.000 per l’acquisto di
un macchinario nuovo. Charlie ha bisogno di 100.000 euro per
comprare una casa.
1 Condizioni di mercato: Qual è un interesse ragionevole che
incontri le esigenze di Bob e Charlie (per evitare che si
rivolgano ad altri)?
2 Costi di transazione: Quanto costa un avvocato che stipuli un
contratto in cui si specificano condizioni, clausole e penali?
3 Asimmetria informativa: Quanto sono affidabili Bob e Charlie?
4 Selezione avversa: Qual è la probabilità di preferire il meno
affidabile in assenza di informazioni rilevanti? (Alta. Perché?)

Cosa fa una banca in teoria
Soluzione. Alice, Bob e Charlie si rivolgono ad una banca.
1 Condizioni di mercato: Una banca offre un tasso di interesse
vantaggioso ad Alice per invogliarla ad aprire un deposito e
offre prestiti a condizioni di “mercato” a Bob e Charlie.
2 Costi di transazione: La standardizzazione dei contratti
permette la riduzione dei costi di transazione;
3 Asimmetria informativa: Una banca raccoglie tutte le
informazioni possibili su Bob e Charlie valutando i rispetti rischi
di insolvenza, affrancando Alice dal problema dell’asimmetria
informativa.
4 Selezione avversa: Avendo maggiore esperienza sul
monitoraggio di altre controparti, una banca può mitigare il
rischio di una selezione avversa tra Bob e Charlie.

Le banche nel sistema economico
L’intermediazione finanziaria fornita dalle banche è quindi
fondamentale per un efficiente funzionamento del sistema
economico perché
1 garantisce il flusso di fondi da unità in surplus a unità in deficit;
2 promuove la trasformazione e riduzione del rischio;
3 mitiga i problemi originati dall’asimmetria informativa;
4 offre servizi di liquidità.
Pertanto, è importante gestire correttamente i rischi connessi
all’attività finanziaria.

Rischio nella banche
Cosa si intende quando
parliamo di rischio
nelle banche
E perché ogni tanto se ne parla.

Rischio nella banche Core business e tassonomia dei rischi
Il core business delle banche, semplificato
Cosa fanno le banche
Funding
Raccogliere denaro dei clienti (depositi, c/c, titoli
obbligazionari, ecc.);
Lending
Finanziare individui e imprese con il denaro “raccolto” (mutui,
prestiti, linee di credito);
Investing
Investire il denaro raccolto su strumenti finanziari (azioni,
obbligazioni, derivati, ecc.).
+ Wealth management financial planning, gestione portafogli
clientela, ecc.

La raccolta o le passività
Funding
Quando una banca raccoglie denaro da individui e enti (in surplus)
si indebita.
Ad esempio, incalando i nostri risparmi sui c/c o aprendo un deposito o acquistando
un’obbligazione, di fatto, stiamo prestando soldi alla nostra banca di “fiducia”.
A seconda della forma di contratto, la banca deve quindi far fronte a
impegni di pagamento e alla corresponsione di interessi passivi
detta costo della raccolta.

Gli impieghi o le attività
Lending & Investing
Al pari di ogni altra azienda, la banca con i soldi “presi in prestito”
deve svolgere delle attività che non solo le consentano di ripagare i
debiti, ma anche generare utili.
Pertanto, a sua volta presta danaro a individui o enti (in deficit)
richiedendo la corresponsione di interessi attivi.
E/o investe in altri strumenti finanziari che possano portare ricavi in
forma di rendimenti, dividendi, cedole, etc.
Tutto questo, ovviamente, comporta l’assunzione di un
certo numero di rischi.

Una tassonomia semplificata dei rischi
Credit Risk: Perdite potenziali originate dall’eventuale
insolvenza dei debitori.
Market Risk: Perdite potenziali originate da fluttuazioni di
mercato.
Operational Risk: Perdite potenziali originate da processi,
persone e sistemi interni non adeguati o eventi.
Liquidity Risk: Incapacità della banca di far fronte e in modo
economico agli obblighi di pagamento
Business Risk: Perdite potenziali originate dall’indebolimento
della posizione competitiva della banca sul mercato
Reputational Risk: Perdite potenziali originati da un
indebolimento dello standing nell’opinione pubblica

Rischio nella banche Eventi da rischi non controllati
È mai accaduto che
rischi non controllati
abbiano generato perdite?
Ovviamente sì e sono stati devastanti.

La crisi dei subprime del 2007
Il fallimento di Lehman Brothers
FALLITA
LEHMAN BROTHERS
-6,700,000,000 USD
-26,000 DIPENDENTI

La crisi dei subprime del 2007
Crisi su scala globale
-4,100,000,000,000 USD
TOTALE PERDITE PER BANCHE E
ISTITUZIONI A LIVELLO MONDIALE.

Una perdita “operativa” del 2008
Il celebre caso di Jérôme Kerviel
-5,000,000,000 EUR
SOCIÉTÉ GÉNÉRALE

I derivati e il terremoto di Kobe del 1995
Nick Leeson e il fallimento della banca più antica d’Inghilterra
FALLITA
BARINGS BANK
-1,300,000,000 EUR

Rischio nella banche Il “quantitative” risk management
Come si fa risk management
nelle banche.
E perché la matematica è importante.

Come “si fa” risk management nelle banche
I vincoli normativi
Mediante un sistema di processi finalizzato a
Individuare Misurare
Controllare Mitigare
i rischi che minacciano la stabilità, la redditività e le strategie
dell’azienda.
Questo sistema si muove all’interno di un complesso normativo regolato da:
Disposizioni di Vigilanza Prudenziale (Circolare 285/2013 Banca d’Italia);
Direttive Europee; Accordi di Basilea; Disposizioni BCE;
Regolamenti emanati dalla Consob;
Leggi dello Stato in materia di intermediazione finanziaria.

Perché “si fa” il risk management, in pratica
E a cosa serve
1
Serve a supporto delle decisioni strategiche
individuazione dei rischi potenziali e valutazione degli impatti.
2
Serve a definire metodi di misura e di monitoraggio
delle principali aree di rischio.
3
Serve a determinare il capitale adeguato alla
copertura permanente di tutti i rischi ai quali è o
potrebbe essere esposta la banca.

Perché entra in gioco la matematica
E con quali regole
1 Per quantificare le perdite potenziali e “inattese”
2 mediante metodi e modelli
Statistics, Theory of Distributions, Numerical Analysis, Linear
Algebra, etc.
3 sulla base di enormi quantità di dati eterogenei
Multivariate statistics, Time Series Analysis
4 analizzando fenomeni deterministici e stocastici
Probability, Stochastic Calculus, Multivariate Statistics,
Statistical Learning, Monte Carlo, etc.
5 governati da agenti economici (non sempre razionali), vincoli
normativi, fattori endogeni ed esogeni
Generalized linear models, behavioural models, econometrics.

Metodologie quantitative
Come si misura il rischio, in
pratica.
I modelli matematici alla base del Value-at-Risk.

Metodologie quantitative Il rischio di mercato
Il rischio di mercato
Definizione e scopo della misura
Le banche generalmente investono in strumenti finanziari (azioni,
obbligazioni, commodities, valute e derivati) che compongono
portafoglio di investimenti o trading book della banca.
Il trading book ha un valore che varia nel tempo in
maniera stocastica.
Problema: Come misurare il rischio che il valore del trading
book subisca perdite inattese a causa delle fluttuazioni
delle condizioni di mercato (come variazioni dei prezzi delle
azioni, variazioni dei tassi di interesse, variazioni dei tassi di
cambio, ecc.)

Metodologie quantitative Il rischio di mercato
Tre cose non matematiche da sapere
Ma che rende più avvincente la stima dei rischi
1
NON è un mero esercizio di probabilità e statistica, ma è un obbligo
di legge ed è soggetta pertanto ad un certo numero di “condizioni
al contorno” date da vincoli normativi.
2
Serve a monitorare l’operatività finanziaria, cioè a evitare che i
trader espongano eccessivamente la banca (come nel caso di
SoGén e Barings Bank).
3
Serve a misurare il capitale adeguato alla copertura
dell’esposizione della banca ai rischi di mercato → Primo Pilastro di
Basilea

Metodologie quantitative Il Value-at-Risk
Definizione matematica del problema
Loss function e severità
Sia V(t) il valore di un portafoglio rischioso al tempo t.
Definiamo la loss del portafoglio sull’intervallo [t, t + ∆t] la differenza
L[t,t+∆t] = −(Vt+∆t − Vt) . (1)
La distribuzione cumulata delle perdite è definita come
FL( ) = P(L ≤ ) . (2)
Problema: determinare una statistica che misuri la severità del
rischio legato ad un portafoglio caratterizzato dalla loss
distribution FL( ).

Il Value-at-Risk
La distribuzione delle perdite
Soluzione: Dato un livello di confidenza α ∈ (0, 1). Il VaR di
portafoglio al livello α è dato da
VaRα = inf{ ∈ R : P(L > ) ≤ 1 − α} (3)
Se definiamo la funzione quantile di una funzione crescente F come
qα(F) = F←
(α) = inf{x ∈ R : F(x) ≥ α} (4)
possiamo notare quindi che il VaR non è altro che una funzione
quantile1 della distribuzione delle perdite:
VaRα(L) = qα(L) . (5)
1
Perché non prendere la massima perdita possibile, cioè inf{ ∈ R|FL( ) = 1}? In
alcuni casi, il supporto di FL non è limitato pertanto la massima perdità risulterebbe
infinita.

Il Value-at-Risk
Esempio
Il problema è abbastanza semplice quando si tratta di calcolare il
VaR per un portafoglio con un solo strumento.
Consideriamo, ad esempio, la serie storica quinquennale delle
perdite giornaliere di un titolo azionario e calcoliamo i quantili della
distribuzione.
α VaR(1d)
95% -188.64
99% -323.54

Metodologie quantitative Metodologie VaR
Il Value-at-Risk
Metodi di calcolo
Problema: Come eseguire la stima del VaR su un portafoglio
con N strumenti differenti?
Soluzione: Esiste una famiglia di approcci basati su differenti ipotesi
e metodi di calcolo sintetizzabili in tre differenti metodi:
1 parametric VaR
2 historic VaR
3 Monte Carlo VaR
La scelta del metodo dipende dal problema da affrontare, dalla
qualità dei dati, dal tipo di approssimazione che si accetta, dal tipo e
la rischiosità di strumenti che compongono il portafoglio, ecc.

Portafoglio con singolo titolo
Parametric VaR
Sia Ri = log V(ti+1)/V(ti) la serie storica dei rendimenti di un
portafoglio composto da un singolo titolo azionario.
L’approccio parametrico si basa sull’assunzione che la distribuzione
dei rendimenti segua una determinata forma analitica con densità
di probabilità f(x), tale che
P(R ≤ u) = Φ(u) =
u
−∞
f(x)dx
Pertanto il VaRα sarà determinato dall’esposizione sul singolo titolo
per la funzione quantile di Φ, ovvero:
VaRα = V × Φ−1
(1 − α) (6)

Parametric VaR
Nell’approccio varianza-covarianza la distribuzione dei rendimenti
si approssima con la normale N(µ, σ). Il VaRα è dato
dall’esposizione V sul titolo, moltiplicato per quel rendimento uα
tale che la probabilità che R < uα sia 1 − α. In simboli:
1 − α =
uα
−∞
1
√
2πσ
exp−(R−µ
2σ )
2
dx .
Ovvero,
VaR(α) = V × uα = V × Φ−1
(1 − α) .
Con il cambio di variabile z = R−µ
σ si può far ricorso alla normale
standard sicché uα = µ + zασ, pertanto
VaR(α)= V · (µ + zασ) con 1 − α =
zα
−∞
1
√
2π
exp−(z
2 )
2
dz (7)

Parametric VaR – Esempio numerico
Semplificazione computazionale
L’ipotesi di normalità dei rendimenti permette di ricondurre il
problema di valutazione del VaR al calcolo della varianza σ2 dei
rendimenti.
Data la serie storica biennale dei rendimenti giornalieri di un certo titolo azionario e
di voler calcolare il VaR95% e il VaR99%. L’esposizione è 1,000,000 EUR e la dev.st.
= 0.4179% (si impone µ = 0)
.
α .95 .99
zα 1.65 2.33
VaR param. 6,895 EUR 9,737 EUR
F←
(α) 6,181 EUR 10,824 EUR
A cosa si deve la differenza delle stime?

L’effetto "fat-tails"
Fit alternativi
Fat-tails
La distribuzione normale è insensibile a fenomeni di code spesse
della distribuzione empirica. Pertanto a volte si deve valutare
l’opportunità di utilizzare altre distribuzioni alternative (ad es. la
t-Student).

Il mapping dei rischi
Un classico problema di risk management
Problema: Come generalizzare la stima del VaR di un
portafoglio con centinaia di strumenti finanziari sensibili alle
variazioni dei tassi di interesse (obbligazioni), dei valori dei titoli
sottostanti (derivati), ecc.?
Soluzione: IL MAPPING DEI RISCHI. Supponiamo che il valore del
portafoglio al tempo t sia dato da una qualche funzione del tempo e
di un vettore di d fattori di rischio Zt = (Zt,1, Zt,1, . . . , Zt,d) noti al
tempo t:
f : R+
× Rd
→ R
(t, Zt) → Vt = f(t, Zt) (8)
La rappresentazione Vt = f(t, Zt) si dice mapping dei rischi.

Approssimazione lineare o “delta”
Indicati con (Xt)t∈N le variazioni dei fattori di rischio, tale che
Xt+1 ≡ Zt+1 − Zt (9)
la funzione loss di portafoglio al tempo t + 1 assume la forma:
Lt+1 = − [f(t + 1, Zt + Xt+1) − f(t, Zt)] . (10)
Poiché Zt è nota al tempo t la distribuzione di perdite è determinata
dalla distribuzione delle variazioni dei fattori di rischio introduciamo
un operatore loss che mappa le variazioni dei fattori di rischio nelle
perdite:
l[t](x) : Rd
→ R
x → − [f(t + 1, Zt + x) − f(t, Zt)] (11)

Approssimazione lineare o “delta”
Ipotesi lineare o approccio “delta”
Se f è di classe C1, allora possiamo definire l’approssimazione al
primo ordine della portfolio loss come
L∆
t+1 = −
∂f(t, Zt)
∂t
∆t + f(t, Zt), Xt+1 = −
∂Vt
∂t
∆t +
d
i=1
∂Vt
∂zi
Xi
t+1
L’approssimazione lineare dell’operatore loss è pertanto
l∆
[t](x) = −
∂Vt
∂t
∆t +
d
i=1
∂Vt
∂zi
xi (12)
Le quantità δi = ∂Vt
∂zi
indicano la sensitivity del portafoglio alle
variazioni dei fattori di rischio → le “greche” delle opzioni.

Esempio di portafoglio con d azioni
Consideriamo, al tempo t, un portafoglio con d azioni differenti
(l’i−esima azione è presenta con un numero di pezzi λi. Denotiamo
con (Si
t)t∈N il prezzo dell’azione i al tempo t e indichiamo come
fattore di rischio il logaritmo dei prezzi sicché
Zi
t≡ ln Si
t Xi
t+1 ≡ ln Si
t+1 − ln Si
t (13)
Vt =
d
i=1
λi exp(Zi
t) Lt+1 =
d
i=1
λiSi
t[exp(Xi
t) − 1] (14)
Conseguemente la loss del portafoglio in approssimazione “delta” è
data da:
L∆
t+1 =
d
i=1
λiSi
tXi
t+1 = −Vt
d
i=1
wi
tXi
t+1 = −Vtw Xt+1 (15)
essendo wi = λiSi
t/Vt il peso dello strumento i.

Approssimazione delta-normal
Varianza-Covarianza o Delta-Normal
Nell’ipotesi in cui:
la loss di portafoglio è una funzione lineare delle variazioni dei
fattori di rischio;
le variazioni dei fattori di mercato X seguano una distribuzione
normale multivariata con media µ e covarianza Σ
si ha
E(l∆
[t](X)) = Vtw µ var(l∆
[t](X)) = V2
t w Σw . (16)
Pertanto, il VaR è dato da
VaRα = V2
t w Σw · Φ−1
(α) (17)

Parametric VaR (Delta-Normal)
La diversificazione del rischio
In presenza di 2 strumenti, è facile osservare quale sia il ruolo delle
correlazioni tra i fattori di rischio degli strumenti nella
diversificazione del rischio.
Infatti per due strumenti si ha
VaRp(α) = Vp · zα w, Σw
= Vp · zα w1σ2
1 + w2σ2
2 + 2w1w2 · ρ · σ1σ2 (18)
Pertanto, se
ρ = 1: il VaR di portafoglio coincide con la somma dei VaR dei
singoli strumenti (VaRp = VaR1 + VaR2)
ρ ≤ 1: il VaR di portafoglio è minore della somma dei due VaR
dei singoli strumenti (VaRp ≤ VaR1 + VaR2)

I problemi del Delta-Normal VaR
Approfondimenti
PRO
1. Semplificazione computazionale;
2. Utile per portafogli non complessi;
3. Determinazione delle sensibilità del
portafoglio alle sole variazioni dei fattori
di rischio;
5. Riduzione della dimensionalità del
problema ad un numero limitato di
posizioni fittizie nei confronti di indici o
parametri di mercato. → CAPM
CONTRO
1. Insensibilità a distribuzioni
leptocurtiche (fat-tails) → Fit alternativi
t−Student, Gaussian mixtures.
2. Aumento delle probabilità di
conseguire perdite superiori a quelle
indicate dal VaR → Backtesting VaR.
3. Non considera dipendenze non lineari
dalle variazioni dei fattori di rischio →
Approccio delta-gamma.
Il risk-mapping richiede a monte una selezione statistica dei fattori di rischio e una
manutenzione numerica molto accurata.
Alcuni strumenti non sono mappabili su indici “convenzionali” → tecniche
statistiche per la costruzione indici e curve ad hoc

Historic VaR
La simulazione storica
Ipotesi
Le potenziali variazioni dei fattori di rischio sono rappresentate dalla
distribuzione empirica delle variazioni passate.
Procedura
1. Si esegue il mapping statistico delle posizioni su un certo numero di fattori di
rischio.
2. Si costruisce la serie storica del rendimento complessivo di portafoglio sulla
base dei pesi delle esposizioni fittizie sugli indici di mercato.
3. Si stabilisce il quantile per la determinazione del VaR.
Vantaggi e svantaggi
1. Non si fanno assunzioni sulla distribuzione dei rendimenti;
2. La correlazione tra fattori di rischio è catturata implicitamente;
3. Si assume implicitamente che la distribuzione futura sia eguale a
quella passata su differenti orizzonti temporali.

Metodologie quantitative Intermezzo: Simulazioni Monte Carlo
Intermezzo sui metodi Monte Carlo
Definizione
I metodi Monte Carlo
costituiscono una classe di
metodologie computazionali che
restituiscono stime numeriche
sulla base di un campionamento
casuale.
Le origini risalgono al Progetto
Manhattan. I formalizzatori del
metodo sono Enrico Fermi, John
von Neumann e Stanislaw Marcin
Ulam

La stima di π con metodo Monte Carlo
Codice Python
1 Cerchio di raggio r = 1 iscritto in un quadrato di lato 2.
2 Area cerchio Ac = π; Area quadrato Aq = 4; Rapporto Ac/Aq = π/4.
3 Generiamo casualmente N coppie ordinate (x, y) di numeri compresi tra 0 e 1
4 Contiamo quelle per cui x2
+ y2
≤ 1 (punti rossi).
5 Stima di π = 4 × (num. punti rossi)/totale punti.

La stima di π con metodo Monte Carlo
Codice Python
import numpy as np # importa numpy
import matplotlib.pyplot as plt
N = 100000
x = np.random.rand(1,N)[0]
y = np.random.rand(1,N)[0]
r = (x**2+y**2)**0.5
quadrante = sum(r <= 1.0)
pigreco = 4* quadrante/float(N)
errperc = abs(round (100*( np.pi -pigreco )/np.pi ,2))
fig , ax = plt.subplots(figsize =(10 ,7))
plt.scatter(x,y)
plt.scatter(xt ,yt , color = ’red’)
ax.legend(frameon = False , fontsize = 12)
ax.set_xlabel("x", fontsize =12)
ax.set_ylabel("y", fontsize =12)
ax.set_title("Simulazione Monte Carlo / N = "+str(npoint )+
" puntin"+"$pi$ stimato = "+str(pigreco), fontsize =16, fontweight = "bold")

Il pricing delle opzioni con metodi Monte Carlo
Payoff e premio di un’opzione
Alice compra oggi da Bob un’opzione call europea che le consente
di acquistare tra 6 mesi (da Bob), 100 azioni Google ad un
prezzo prefissato di 850 USD (strike). Oggi il prezzo di GOOG è 824.
Alice è rialzista (bullish) Bob è ribassista (bearish)
Payoff = max(S − K, 0) Payoff = max(K − S, 0)
Profit = Payoff-Premium Payoff = Payoff-Premium
Chi divulgò in Italia l’uso dei diagrammi di profitto? Enrico de Montel R. Scuola Superiore di Commercio di Bari (1896)

Il pricing delle opzioni con metodi Monte Carlo
Payoff e premio di un’opzione
1 GOOG arriva a 900. Alice esercita l’opzione. Bob deve
acquistare 100 azioni Google a 900 e rivenderle ad Alice a 850.
Alice ricava 50 dollari ad azione, Bob ne perde 50 ad azione
(Bob è stato fortunato. Le posizioni short non opportunamente
coperte possono generare perdite teoricamente illimitate)
2 GOOG arriva a 840. Alice non esercita l’opzione. Il contratto
scade e Bob ha ricavato il premio.
Problema: quanto vale uno strumento (derivato) il cui valore di
mercato dipende da quello di un’altro strumento finanziario? In
altre parole, quanto vale il premio?

Il pricing delle opzioni con metodo Monte Carlo
Approccio semplificato
1 Simuliamo i “possibili” cammini dell’azione in un determinato
periodo di tempo (abbiamo bisogno di un’ipotesi economica);
2 Valutiamo a scadenza T tutti i possibili payoff dell’opzione:
E{max(ST − K, 0)}
3 Scontiamo a valore attuale il valore di aspettazione di tutti i
payoff: e−rTE{max(ST − K, 0)}
Ipotesi del mercato efficiente
Nessuna asimmetria informativa;
Nessuna frizionalità (no costi di transazioni, titoli infinitamente
indivisibili);
Mercato liquido: gli strumenti sono facilmente scambiabili.
Nessun rischio di credito.

Il pricing delle opzioni con metodo Monte Carlo
Approccio semplificato
Nell’ipotesi di mercato efficiente, le informazioni rilevanti sono contenute tutte
nell’istante presente. L’evoluzione del prezzo è un processo stocastico (moto
browniano) in cui gli incrementi della variabile sono indipendenti tra loro e
identicamente distribuiti secondo una normale gaussiana a media zero e varianza
data dagli step temporali.
Un moto browniano geometrico è un p.s. in cui il logaritmo della variabile aleatoria
segue un moto browniano con un termine di deriva.
S(ti+1) = S(ti) exp µ −
σ2
2
(ti+1 − ti) + σ ti+1 − ti · Zi+1

Simulazione pricing call europea
Codice Python
from scipy.stats import norm
import numpy as np
from random import random
import pandas as pd
S0 = 42; mu = 0.0; r = 0.1; sigma = 0.2; K = 40; T = 1; nstep = 250;
dt = 1.0/ nstep; nsimulation = 100
MC = pd.DataFrame ({})
for i in range( nsimulation ):
St = [S0]
for j in range(nstep ):
print "Simulation N.: "+str(i)+"t "+"Step: "+str(j)
G = np.exp((mu -0.5* sigma **2)* dt+sigma*np.sqrt(dt)* norm.ppf(random ()))
St.append(St[ -1]*G)
MC.loc[:, "SIM"+str(i)] = St
fin = np.array(pd.DataFrame(MC , index = [nstep ]))[0] -K
payoff = np.maximum(list(fin), [0.0]* nsimulation)
price = np.exp(-r*T)*np.mean(payoff)
print(price)

Metodologie quantitative Monte Carlo VaR
Monte Carlo VaR
Procedura e problemi aperti
1 Scelta della distribuzione di densità di probabilità congiunta
f(z1, . . . , zd) che meglio approssima la distribuzione empirica
dei d fattori di rischio rappresentativi del portafoglio;
2 Stima dei parametri della distribuzione;
3 Simulazione di N scenari casuali estratti dalla distribuzione f;
4 Calcolo della distribuzione delle perdite e scelta del percentile
corrispondente al livello di confidenza prescelto.
Problema aperto
Il tema fondamentale legato al Monte Carlo VaR è nella
determinazione della distribuzione multivariata che deve tener
conto necessariamente delle strutture di dipendenza tra i fattori
di mercato.
→ Teoria delle Copule, Distribuzioni “stabili”

Metodologie quantitative Commenti finali
Sulle metodologie quantitative per il risk
management
Conclusioni
1 Le metodologie VaR sono largamente utilizzate nel risk
management anche nelle aree di rischio di → credito o dei
rischi → operativi.
2 Esiste una pletora di metodologie per ogni area di rischio che
necessitano di competenze che vanno dallo scripting al calcolo
stocastico → Linkedin.
3 La sfida di un buon quantitative risk manager consiste
principalmente nel giusto equilibrio tra
rigore metodologico
scelta di una buona approssimazione
buon senso aziendale (economicità e rapidità)
4 Il QRM è un campo di → ricerca. ancora apertissimo: metodi
statistici per l’aggregazione dei rischi, finanza frattale, ecc.

Suggerimenti Bibliografia
Bibliografia consigliata
Letture e approfondimenti

Suggerimenti Bibliografia
Filmografia consigliata
Letture e approfondimenti. Romanzati.

Fine
FINE.
Grazie per l’attenzione.
Non sono le cose che non sai a metterti nei guai.
È quello che dai per certo che invece non lo è.
It ain’t what you don’t know that gets you into trouble.
It’s what you know for sure that just ain’t so.
– Mark Twain
(Incipit di The Big Short)
Contatti
E-mail | Linkedin | SlideShare

Fine
L’Expected Shortfall
Una misura coerente di rischio
Problema: Il VaR fornisce un
valore minimo con cui possono
andare male le cose. Ma come
facciamo a sapere quanto ci
aspettiamo di perdere se la
situazione si mette male?
Soluzione: Si misura l’Expected
Shortfall a livello di confidenza α
come
ESα(L) = E{L|L ≥ VaRα(L)} . (19)

Fine
Gli strumenti finanziari
Definizione ex-art. 1 del D.Lgs. 24/02/1998 n. 58
Le interazioni finanziarie sono veicolate da strumenti finanziari.
Tali strumenti (o contratti) formalizzano un accordo tra due o più
operatori in cui si stabilisce uno scambio di importi in determinati
periodi di tempo e sotto un certo numero di condizioni.
gli strumenti del mercato dei capitali2;
gli strumenti del mercato monetario3;
le quote di organismi di investimento collettivo del risparmio
(fondi di investimento);
i contratti di opzione, future, swap;
gli strumenti derivati per il trasferimento del rischio di credito;
2
Mercato nel quale vengono trattati strumenti di debito o partecipativi (azioni) a
medio-lungo termine (scadenza superiore a 12 mesi) o a scadenza indeterminata.
3
L’insieme delle negoziazioni aventi ad oggetto prestiti monetari con durata
inferiore ai 12 mesi, o ai 18 mesi

Fine
Il rischio di mercato
Il Value-at-Risk
Nel 1987, il CEO e Chairman di J.P. Morgan, Dennis
Weatherstone chiese al risk di ricevere alle 16:15 (four-fifteen) di
ogni giorno una misura sintetica espressa in valore monetario
che potesse rispondere alla domanda
How much can we lose on our trading portfolio by tomorrow’s
close?
I risk manager proposero il Value-at-Risk (“valore a rischio”)
come una misura di perdita massima che potrebbe essere subita,
entro un determinato orizzonte temporale, tale che una perdita
superiore può verificarsi con una probabilità inferiore ad un certo
valore.

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