https://neculaifantanaru.com Adrian Rusu - Modelarea componentelor microelectronice active

2. Prefaţă
Dezvoltarea fără precedent a microelectronicii a determinat apariţia de componente
electroniceactive din ce în ce mai perfecţionate, avînd în vedere atît performanţele electrice cit
şi micşorarea dimensiunilorşi integrarea lor pe scară foarte largă.Ritmul rapidde dezvoltare a
tehnicii depăşeşte, de multe ori, ritmul de fundamentare ştiinţifică adecvată. Microelectronica
pune, însă, şi problema devansării laturii ştiinţifice şi de proiectare amănunţită, precisă,
deoareceînacest domeniual tehnicii, experimentele şi încercările trebuie limitate la minimum
datorită marilor valori materiale implicate.
Lucrarea de faţă se ocupă de modele pentru componentele microelectronice active.
Nivelul ştiinţificdestart,presupune cunoaşterea modelelor fizice fundamentale.Scopul lucrării
este de a înregistra progresele şi tendinţele actuale ale modelării.
Prima parte a lucrării este destinată prezentării sistemului general al ecuaţiilor fizicii
semiconductoarelorşi a principalelor aproximaţii făcute încadrul modelelor analitice.Urmează
prezentarea, principalelor modele folosite in analiza pe calculator a circuitelor integrate cu
tranzistoare MOS şi cu tranzistoare bipolare. O atenţie specială se acordă, într-un capitol
separat, modelării fenomenului de străpungere a componentelor active.
Lucrarea se adresează specialiştilor din microelectronică: ingineri, fizicieni,
matematicieni, care se ocupă de construcţia şi proiectarea dispozitivelor semiconductoare şi a
circuitelorintegrate, cadrelor didactice precum şi studenţilor din ultimii ani ai facultăţilor de
profil.
Autorul îşi exprimă apartenenţa la şcoala românească de microelectronică condusă cu
deosebită competenţă de prof. dr. doc. ing. Mihai Drăgănescu, membru corespondent al
Academiei Române, şcoală angrenată cu toate forţele pentru dezvoltarea microelectronicii din
ţara noastră şi ale cărei rezultate sînt astăzi referite în multe lucrări de specialitate, cu largă
circulaţie internaţională.
Atmosfera de înalt nivel ştiinţific, precum şi aprecierea eforturilor de a scrie o lucrare
ştiinţifică, pe care autorul le-a găsit în cadrul Facultăţii de Electronică şi Telecomunicaţii din
Institutul Politehnic Bucureşti şi în cadrul Centrului de Cercetare Ştiinţifică şi Inginerie
Tehnologică pentruComponenteElectronice — instituţie cu care colaborează de peste 15 ani —
au fost condiţii favorizante pentru apariţia acestei cărţi.
AUTOKIL
C u p r i n s
1. INTRODUCERE 9

3. 7
2. ECUAŢIILE GENERALE ALE FIZICII SEMICONDUCTOARELOR 11
2.1. Sistemul de bază al ecuaţiilor fizicii semiconductoarelor 11
2.2. Extinderi alesistemului debază 20
Bibliografie 30
3. APROXIMĂRI UZUALE PENTRU MODELE FIZICE ANALITICE 31
3.1. Neutralitatea electrică 31
3.2. Aproximaţia de golire 36
3.3. Aproximaţia desemnal mic 48
Bibliografie 49
4. MODELAREA TRANZISTOARELOR MOS 50
4.Î. Modelarea statică a tranzistoarelorMOS în regimde îmbogăţire51
4.2. Circuitul echivalent complet al tranzistorului MOS 62
4.3. Tranzistoare MOS implantate 67
4.4. Efecte de canal scurt 72
4.5. Modelul distribuitpentru tranzistoareMOS 76
Bibliografie 81
5. MODELAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 84
5.1. Modelul Ebers-Moll pentru regimul de curent continuu 84
5.2. Modelul Ebers-Moll pentru regimul de curent variabil 95
5.3. Modelul Gummel-Poon 107
5.4. Modelul de control prin sarcină 122
5.5. Modelul distribuit(Linvill) 124
Bibliografie 126
6. MODELAREA FENOMENULUI DE STRĂPUNGERE 128
6.1. Teoria fundamentală a fenomenului de străpungere 129
6.2. Străpungerea unor structuri fizice fundamentale 151
6.3. îmbunătăţirea tensiunii destrăpungerela diodelesemiconductoarerealizatepe
baza joncţiuniipn 163
6.4. Străpungerea diodelor Schottky 176
6.5. Străpungerea tranzistorului bipolar 186
6.6. Străpungerea tranzistorului MOS 189
Bibliografie193
Contents 196
CoaepacaHHe 198
1. INTRODUCERE

4. 8
tem de cX^tae t S't ^î** ^
IpiiiislSe
^î3SSff*/^,5SS
curent-tensiune-frecvenţă, I = I(V f)* & r mu’ sub forma- dependenţei
în ^ltimn ani s'a. dezvoltatlatura modelării proceselortehnologiceIn felul acesta
parametru constructiv! nu semai determină experimentai ci rezultatul modelului de
proces alecărui mărimi de intraresîntparametrii
tehnologici: temperaturi şi timpi de proces, coeficienţi de difuzie, energii de accelerare la
implantarea ionică etc. Modelul de proces determină astfel o creştere a preciziei modelelor
fiziceşi oferă soluţii deproiectarea proceselortehnologiceîn legătură directă cu performanţele
electrice dorite. ^
Pentru proiectarea circuitelor integrate interesează numai forma exacta, reală a
comportării electricea componentelor active şi pasive din interiorul lor fără a interesa natura
fenomenelorfizicecareau loc m structuri.Modelelefolositeîn proiectarea circuitelor integrate
au fost denumite modele experimentale (empirice). De regulă, aceste modele pleacă de la
caracteristicileelectricemăsurateI'1 = PHV},f}), unde j este numărul de ordine al măsurătorii
efectuate pe care le aproximează cu relaţii matematice adecvate. Deşi, multe din aceste relaţii
de aproximare7A = /A(F,/) sîntinspiratedupăforma relaţiilorobţinutedemodelelefizice,prin
modul de determinare a parametrilor aceştia
îsi pierd semnificaţia lor iniţială. ^ .
’ După metodele matematice folosite, modelele smt: analitice, numerice sau hibride. Tehnica
numerică este obligatorie atunci cînd se doreşte rezolvarea exactă, precisă a sistemului
ecuaţiilorfizicii semiconductoarelor.^ Metodele analitice se bazează pe aproximări iniţiale în
sistemul de ecuaţii. Fara a fi afectată în mod grav precizia calculelor, metodele analitice au
avantajul unordescrieri intuitive ale fenomenelor care au loc şi a dezvăluirii rapide a ponde-
Fig.1.1. Definirea principalelor tipuri de modele care se întilnesc în microelectronică

5. 9
rilor acestora. în plus, metodele analitice cer un timp de calcul mult mai mic decît metodele
numerice. Modelele experimentale (empirice) nu pot fi deut analitice. Modelele hibride
încearcă să reuneascăavantajeledepreciziealemetodelornumericecu avantajele de intuiţie şi
economie de timp ale metodelor
analitice. , , . . .
Odată cunoscute noţiunile de model şi modelare, se impune şi precizarea
unor termeni de microelectronică folosiţi în lucrare^ De la bun început trebuie arătată
dificultatea unei asemenea încercări datorită evoluţiei peimanente a domeniului si, în
consecinţă,a necesităţii demodificarepermanenta a semnificaţiilor. Consideraţiile următoare
se referă în speciaHa electronica pe semiconductoare, dar şi restul domeniului poate fi uşor
asimilat. _
Funcţiile electronice elementare sînt conducţia electrica unidirecţională (puternic
neliniară) şi amplificarea de putere a semnalelor electrice. Cea mai mică structură fizică care
realizează una sau ammdoua din funcţiile elementare se numeşte componentă electronică
activă. Se pot da exemple de componente electronice active: joncţiunea pn, contactul metal-
semiconductor, tranzistoru bipolar tranzistorul MOS etc. Aceste componente sînt definitorii
pentru domeniu. Electronica foloseşte şi alte componente specifice altor domenii.
— componente electronice pasive, care realizează o funcţie electrica
liniară (rezistente, condensatoare etc.) şi; • - • j .
—~ componente mecanice sau optomecamce care asigura prinderea structurilor,
evacuarea căldurii, introducerea sau extragerea radiaţiei electromagnetice etc. (exemple:
capsule, lentile, filtre etc.). .
Interconectarea inseparabilă a acestor trei tipuri de componente permite realizarea
dispozitivelor electronice şi a circuitelor electronice integrate.
Dispozitivul electronic este un ansamblu tehnic care conţine, dm punct de vedere al
numărului de componente active, numai o unitate. Restul ansamblului poate conţine cîteva
componentepasive(deexemplu,rezistenţede balastarela tranzistoare de putere sau LED-uri
etc.) şi componente mecanice.
Circuitul integrat este un ansamblu tehnic care conţine m mod msepara bil mai multe
componente active şi pasive şi, evident, componente mecanice.
Microelectronica este domeniul tehnicii şi ştiinţei care se ocupa cu reali zarea
dispozitivelor electronice şi a circuitelor electronice integrate.

6. 10
2. ECUAŢIILE GENERALE ALE FIZICII
SEMICONDUCTOARELOR
Studiul comportării electrice a oricărui dispozitiv electronic se face pe baza ecuaţiilor
generalealeelectrotehnicii -ecuaţiilelui Maxwell — completatecu ecuaţii dematerial specifice.
Faţă de metale, semiconductoarele prezintă următoarele elemente specifice pentru conducţia
electrică:
a. două tipuri de purtători de sarcină: electroni din banda de conducţie (descrişi
macroscopic de particula fictivă numită, simplu, electron) şi electroni dm banda de valenţă
(descrişi macroscopic de particula fictivă numită gol);
b. existenţa mai multor tipuri de curenţi de conducţie • de difuzie
termici etc.; ’ ' '
c. variaţia în timp a concentraţiilor purtătorilor de sarcină (fenomene de generare-
recombmare).
Pentru studiul acestor fenomene şi a ecuaţiilor aferente se recomandă bibliografia
generală [1—7],
2.1. Sistemul de bază al ecuaţiilor fizicii semiconductoarelor
Sistemul de bază cuprinde totalitatea ecuaţiilorfizicii semiconductoarelor in următoarele
condiţii:
a. cîmp magnetic exterior nul ($ext = 0) ;
b. temperatură uniformă în toată structura (VT = 0);
c. material omogen şi izotrop. ’
2.1.1. Ecuaţiile lui Maxwell
Pentru început se prezintă ecuaţiile cîmpului electromagnetic (Maxwell) pentru medii
omogene şi izotrope:
în sistemul demai sus s-au notat:1 — intensitatea cîmpului electric,
® — inducţia electrică; % - intensitatea cîmpului magnetic; »- md^a magnetică• —
permeabilitatea magnetica a vidului, s — permitmta a
electrică a 'semiconductorului; j - densitatea curentului total; jCo„d densitate curentdm de
conducţie; p. - densitatea de volum a săram.
'‘“'"pentru majoritateacazurilor care exclud situaţiile de frecvenţe foarte
mari, relaţia (2.6) capătă o formă mai simpla:
<1
X
II
1
§Si
Oh.
(2.1)
j = Jcond + di)! Bt = V x X; (2.2)
V • ® = Pv(r) ; (2.3)
V'â = 0; (2.4)
§!> =*= [Xq3C; (2-5)
®(r, 0=^' (2.6)

7. 11
S = s0 &. (2-7)
în absenta cîmpului magnetic aplicatdin exterior(a„t= 0), cimpul C'i.'i noatefi negliiat ■
într-adevăr,la densităţileuzualedecurenţi în componentelemicroelectronice,sepoate
neglija cîmpul magnetic ■ntern.ConseIPţa acesteineglijărieste faptulcă se poate def.n.
potenf.alulelectric scalar — notatcu <b sau u — conform relaţiei.
6= -Vip. (2’8>
Nepliiarea cîmpului magnetic (k x 0)nu înseamnă însă şi neglijarea densităţii curentului
toT(j) ceea ce ar reprezenta imposibilitatea calculuhu oncaru.
reeimctfZd"ctr Sate mai sus, in sistemu, de
semiconductoarelorintervin preponderentnumai trei dmecuaţiilelui Maxwell.
j — jcond + 8®l d t)
V • I) = pv(r); (2 1 0 )
S = ei. ^Z'n^
Introducînd relaţia (2.11)în relaţiile(2.9)şi (2.10),sistemul demai sus devine:
j — Jcond 4* £‘ C&l d t' , ^
V- § = ?v(r)/z- 2 A 2 f
Relaţia (2.13),corelată cu (2.8),capătă forma binecunoscută a ecuaţieilui Poisson
pentru potenţialul electric
= -p0(r)/e. (2'14)'
în coordonatecorteziene,ecuaţia lui Poisson sescrie
tfb ,B2 ± ?v{x,y,z) (2.15)
si reprezintă cea mai importantă ecuaţie dintre ecuaţiile lui Maxwell, aplicabilă
semiconductoarelor. Expresia densităţii de volum a sarcinii electrice într-un semiconductor este
Pv = qi p-» + Nl-NÎ). (2-16>
unde: q este sarcina elementară; p - concentraţia de g o l u r i - ^ncentratiS de electroni; NI
— concentraţia atomilor donori ionizaţi, — concentraţia
atomilor acceptori ionizaţi.
Cea mai utilizată aproximaţie pentru calculul concentraţiilor si N*A este aproximaţia
ionizării complete, conform căreia: ’ ’
iVJ st ND ; ATx « Na, (2.17)
unde ND este concentraţia atomilor de impurităţi donoare şi NA — concentraţia atomilor de
impurităţi acceptoare. în legătură cu această aproximaţie se poate consulta paragraful 2.2.7.
2.1.2. Ecuaţiile curenţilor de conducţie
în cazul presupunerilor sistemului de bază al ecuaţiilor fizicii semiconductoarelor,^
adică $> = 0 şi VT = 0, cauzeleapariţiei curenţilorelectrici deconducţie sînt cîmpul electric şi
gradientul concentraţiilor ’ purtătorilor de sarcină. Curenţii determinaţi de cîmpul electric se
numesc curenţi de cîmp, iarcurenţii determinaţi degradientul concentraţiilordepurtători* se
numesc curenţi de difuzie,
.. Apucarea unui cîmp electric asupraunui semiconductorfaceca purtătorii desarcinăsă
capeteo viteză medie (netă)pe direcţia cîmpului electric:

8. 12
r»c=—finS; (2.18)
V vc = (2.19)
unde vnc, ysv sînt vitezele de cîmp (drift) ale electronilor, respectiv golurilor. Coeficienţii de
proporţionalitate, u.n şi UP J se numesc mobilitatea electronului respectiva golului. '
Cunoscute fiind vitezele purtătorilor de sarcină, se poate exprima mărimea densităţii
curenţilor de cîmp jne şi jp c:
Jnc — QtlVnc
jp c = qpVPc . ^2'20)
Densitatea curentului de cîmp total este
ic = jnc + jpc = —qnvnc + qpvp c = q(n^n + py.p ) S = (l/p) ţ; (2.21)
în felul acesta se obţine proporţionalitatea dintre curentul de cîmp si intensitatea cîmpului
electric (legea lui Ohm); rezistivitatea semiconductorului (a) este data de 'r/
p = l/q(ttn„ + pn„). (2.22)
Curenţii de difuzie sînt generaţi de existenţa unor concentraţii de goluri sau electroni
neuniforme în spaţiu. Fenomenul de difuzie este descris cantitativ de prima lege a lui Fick,
careindică proporţionalitatea dintrefluxul departicule(F) şi gradientul concentraţieiacestora
(AC), conform relaţiei
* F = —D • VC, (2.23)
factorul de proporţionalitate, D, se numeşte coeficient dedifuzie.Aplicînd
r?., >a (2-23) pentru electroni (C = n) şi pentru goluri(C =
p) se obţin expre
siile densităţilor de curent de difuzie jmj, respectiv jp i :
}m = —qFn = ql)nVn; (2.24)
jvi = qFP = —qDnVp. (2.25)

9. 13
(2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
(2.35)
(2.36)
Coeficienţii dedifuziesîntdependenţi demobilităţi prin relaţiilelai Einstein:
O formă generalizată a relaţiilor lui Einstein este prezentată în paragraful
2.2.6.
Pentru a scriedensitatea curentului de conducţie se ţine seama de contribuţia
electronilor şi golurilor, atît prin componentele de cîmp cît şi de difuzie:
3P = Jpc + jpd = qpv-v* — qDp Vp.
Din motive de analogiecu expresiilecurenţilordecîmp,sedefinesc şi
vitezele purtătorilor de sarcină în procesul de difuzie vnd şi vp d :
vnd =jnă/(-qn) = - Dn■ Vn/n;
vP i = jpalq-p = — Dp ■ Vp/p.
Ca urmare, vitezele globale ale purtătorilor, determinate simultan de cîmp şi
de difuzie, vn şi vp , sînt:
Vn = Vnc + Vnd = jn/( — qn) ; Vp = vp c + vp d = jpjqp.
' Relaţiile de mai sus sînt utile în diferite calcule precum: timpi de tranzit,
spaţiu parcurs în procesul ionizării prin şoc etc.,undeconteazăviteza totală
a purtătorilor, indiferent de cauza care o determină.
2.1.3. Ecuaţiile de continuitate
Ecuaţiiledecontinuitatedescriuviteza devariaţie în timp a concentraţiilor de
purtători. Cauzele variaţiei în timp a concentraţiilor de goluri sau electroni sînt:
a. generarea datorită unor agenţi externi (avînd ca efect, de regulă, crearea
unor perechi electron-gol);
b. generarea-recombinarea internă;
c. fenomenele de transport (prin prezenţa curenţilor de conducţie).
Forma ecuaţiilor de continuitate este:
cnjBt = Gl — Rn + (1/?)’ ^' j»> 8p/ot[= Gl[— 0/?) ‘^' Jp>
unde GL este viteza de generare a perechilor electron-gol de către agenţi
externi şi Rn, RP sîntvitezelenete de recombinare termică (internă) ale elec-
tronilor,respectivgolurilor.Expresiilevitezelor Rn şi RP sîntdiscutateîn paragraful
2.2.9.
jn = jnc + jnd = ]
(2.26)
(2.27)
Dn = (kT/q) n„; DP
= {kT/q) fi*,.

10. 14
2.1.4. Sistemul ecuaţiilor de bază (Shockley)
Sistemul ecuaţiilor de bază, cunoscute şi sub denumirea de ecuaţii Shockley,
cuprinde 5 ecuaţii: două — ecuaţiile de curent (2.29), (2.30), două
— ecuaţiile de continuitate (2.35), (2.36) şi una — ecuaţia lui Poisson (2.13) corelată cu
(2.16) şi (2.17); acum, se transcriu alăturat, în formă tridimensională :
jn(r, t) = qn(r, t) pi» (r) ■ î(r, t) + qD„(r) Vn(r, t); (2.37)
jP (r, t) = qp(r, t) (r) • S(r, t) - qDp (r) Vp{r, t); (2.38)
3n(r, t)/dt = GL(r, t) - Rn(r, t) + (1 /q) V-jn(r, t); (2.39)
3p(r, t)/3t = GL{r. t) - Rp (r, t) - (1 /q) V • jv {r, t); (2.40)
V -1(r,
t) = (q/e) • [p(r, t) — n(r, t) + ND(r) — NA (r)]. (2.4l)
Ecuaţiile (2.37) ... (2.41) sînt ecuaţii macroscopice care descriu fenomene mediate
peste mai multe distanţe atomice. Pentru dispozitive cu dimensiuni liniare superioare
distanţei de 0,01 fj.ni (x20 distanţe atomice), valabilitatea acestor ecuaţii este asigurată.
’
Din punct de vedere matematic, relaţiile de mai sus formează un sistem de ecuaţii
cu derivate parţiale, neliniare, cuplate. Cuplajul dintre ecuaţii rezultă din faptul că
termenii Rn şi Rp depind deconcentraţiiledepurtători (vezi paragraful 2.2.9), iar ecuaţiile
curenţilorconţin mărimile 8, n şi p, la rîndul lor legate de ecuaţia lui Poisson. Caracterul
neliniar rezultă prin dependenţa de poziţie a coeficienţilor p.n, u.v , Dn şi Dp (vezi
paragrafele 2.2.6 şi 2.2.8).
Ca urmare, acest sistem de ecuaţii poate fi rezolvat riguros numai prin metode
numerice. Soluţii analitice se pot da numai în condiţiile unor aproximaţii descrise în
capitolul 3.
în multe cazuri estesuficientă orezolvareunidimensională, caz în care sistemul de
ecuaţii devine:
jn{x, t) = qin{x) n(x, t) ■ § (x, t) + qDn{x) ■ dn(x, t)/dx; (2,42)
j„(x, t) = qLv {x) p(x, t) • B(x, t) — qDP (x) • dp{x, t)/8x; (2.43)
8n(x, t)/8t = GL {X, t) - Rn{x, t) + (1 /q) ■ 8j«(x, t)/dx; (2.44)
8p{x, t)j8t = GL (X, t) - Rp (x, t) - (1 jq) • 8jp (x, t)/8x; (2.45)
8& (x, t)/8x = (q/E) [p(x, t) — n(x, t) -f ND(x) —
i^(*)]. (2.46)
în descrierile de pînă acuma sistemului de bază —indiferent de forma
unidimensională sau tridimensională — s-au folosit ca variabile mărimile §, p, n, jp şi jn.
Sistemul poate fi trecut în orice alt set de 5 variabile independente conform relaţiilor de
mai jos (pentru comoditate s-a ales varianta unidimensională) :
icond {x,t) = jp (x, t) + jn(x, t); (2.47)
Jdepi (x, t) = e • 8& (x, t)j8t] (2.48)
jif) “ jcond {x, jdepl ; (2.49)

11. 15
(2.50)
(2.51)
(2.52)
(2.53)
(2.54)
(2.55)
(2.56)
(2.57)
(2.58)
(2.59)
(2.60)(2.61)
(2.62)
(2.63)
(2.64)
S (x, t) = — ,94^ (x, t)/8x;
%(x, t) = $(x,t) -f (kT/q) In [p(x,t)/nt]; <bn(x, t) = ty(x,t) —
(kT/q) In [n(x, t)/nt],
unde s-au făcut notaţiile: /depl — densitatea curentului de deplasare; şi
—cvasiniveleleFermi pentru goluri şi,respectiv,electroni.Utilizatorul este liber să-şi
aleagă variabilele independente ale sistemului în funcţie de condiţiile la limită folosite şi
pentru a obţine cea mai simplă modalitate de rezolvare a acestuia.
2.1.5. Descrierea sistemului cu variabile normalizate
Utilizarea variabilelor normalizate simplifică mult calculele matematice în timpul
rezolvării pe calculator a sistemului de ecuaţii prin metode numerice. De asemenea, se
demonstrează uşor că sistemul de ecuaţii poate fi redus la un număr de trei ecuaţii cu trei
variabile. ’
în cele ce urmează seprezintă două metodeechivalentecarediferă numai prin natura
mărimilor de normalizare.
Prima metodă [7, 8] defineşte un set complet de mărimi de normalizare care
corespund unor parametri fundamentali. Conform acestui procedeu se definesc
următoarele 5 variabile normalizate şi 3 parametri normalizaţi :
P=p/nt (P0 = AyWi); N = n/ni (A7
0 = ;
B = i/(kT/qL*m);
Kp — Jp/0/Lj}i);
= jnj(qnţDq/Di),
Yn " Dn/D ©, Y p = Dp/D0 ; at = (R - G) / (Doni /L%).
Parametrii fundamentali utilizaţi pentru normalizare sînt: nt — concen-
traţia intrinsecă de purtători; kT — energia echivalentă termic; q — sarcina
elementară şi L&i — lungimea Debye intrinsecă, dată de
Lii = V zkT/qhii.
Mărimea de normalizare D0 seconsideră arbitrarcu valoarea10 cm2/s. Folosind
cantităţile normalizate şi presupunînd condiţii staţionare (3/St = 0), ecuaţiile
sistemului de bază în varianta tridimensională devin:
Kp = YP(P& ~ VP) ;
Kn — y„(A JF -f- VA ) ;
V ■ Kp = — 1! ;

12. 16
^ ' Kn — (2.65)
V • SF = P - N + AT
0 - P0 . (2.66)
înrelaţiile de mai sus s-a presupus Rn = Rp = R, iarcoordonatele spaţiale
au fost şi ele normalizate la mărimea L*m dată de (2.61). Sistemul (2.62) ...
... (2.66) capătă o formă compactă dacă variabilele P, N, 8F se înlocuiesc cu
variabilele şi ^ pe baza relaţiilor (2.50), (2.51) şi (2.52); relaţiile de
transformare, în transcriere normalizată, devin:
Op=4+lnP; (2.67)
0K=4>-lnJV; (2.68)
SF=-V-I. (2.69)
^ Pentru potenţiale,mărimea denormalizareeste kT/q. Cu aceste schimbări de variabilă
sistemul normalizat devine:
KP = P exp (- (L) V; (2.70)
Kn = —y»exp(i{> — <D„) V<D„; (2.71)
^ ■ Kp — — ‘T.f; (2.72)
V-Kn=+n{; (2.73)
= exp («J, - <D„) - exp (Op -«];)- (AT
0 - P0). (2.74)
Substituind ecuaţia (2.70) în ecuaţia (2.72)şi ecuaţia(2.71) în ecuaţia
(2.73) se obţine un sistem de numai 3 ecuaţii în necunoscutele &n şi
V ■ [Yj) exp (Oj, — ilj) VOp] = V.; (2.75)
V ■ [y, exp (^ - <D„) V 0„] = - ; (2.76)
= exp (^ — 0M) — exp (<&, - <L) - (A'0 - P0 ). (2.77)
^ Sistemul demai sus poatefi în continuaresimplificat.Observînd că mărimileşi intervin
numai sub exponenţială, se modifică relaţiile de transformare (2.67) şi (2.68) sub forma:
’
In O; = <{/ + In P] (2.78)
In <t>* = — -f- In N. (2.79)
Xoile variabile, şi pierd semnificaţia de cvasinivele Fermi; ele trebuie privite ca
simple auxiliare matematice. Utilizînd relaţiile de transformare (2.78), (2.79) şi (2.69) în
sistemul (2.62) ... (2.66), se obţine:
V • [Yp exp ( — ^) V<J£] = V.; (2.80)
v ■ [Tn exp (++) v o;] = ne; (2 .8 1 )
= O; exp (+ 4,) - 0; exp (-*) - (N0 - P0 ). (2.82)
Acest sistem reprezintă cea mai simplă formă matematică a ecuaţiilor de bază ale
fizicii semiconductoarelor.El reprezintă un punct de plecare pentru aplicarea metodelor
numerice de rezolvare [7, 8],
A doua metodă [9, 10] merge în fond pe aceeaşi cale de reducere a numărului de
ecuaţii, dar foloseşte un număr mai mic de mărimi de normalizare.

13. în cazul de faţă, mărimile de normalizare sînt q, kT şi sau, echivalent, se consideră
q = kT = nt= 1. (2.83)
în raport cu aceste mărimi de normalizare variabilele normalizate se notează
a) concentraţia de electroni (n) — u ;
b) concentraţia de goluri (p) — v;
c) concentraţia netă de impurităţi (Na — NA ) — N;
d) densitatea curentului de electroni (jn) — ja ;
e) concentraţia curentului de goluri (jv ) — jv ,'
f) potenţialul electric (40 — ^ ;
g) viteza netă de recombinare (Rn —Gh = Rv — GL) — R ',
h) mobilitatea electronului ((xn) —
i) mobilitatea golului (y.P ) — jj.„;
j) permitivitatea (e) — e. .
Cu aceste notaţii, sistemul ecuaţiilor de bază în varianta tridimensională (2.37) ...
(2.41) devine:
V. (eV<p) = w — v — N; (2.84)
8 ulst= R; (2.85)
8vl8 t = V.jv -R: (2.86)
ju = — wV^); (2.87)
jv = n„(Vv + WV+). (2.88)
în relaţiile de mai sus, ecuaţia fluxului electric este păstrată sub forma (2.84) care
permite descrierea unormedii neomogene,avînd variaţii spaţialedepermitivitate.în cazul
mediiloromogene, ecuaţia (2.84)devinebinecunoscuta ecuaţiea lui Poisson.Deasemenea,
trebuie notatcă sensurilecurenţilor ja şi jv sînt opuse sensurilor curenţilor jn şi, respectiv,
jv; această convenţie permite obţinerea din calcule a unor impedanţe pozitive. _
în condiţii staţionare, sistemul (2.84) ... (2.88) se reduce la trei ecuaţii prin aceeaşi
procedură ca la prima metodă de normalizare:
V. (£vij,) = u — v — Ar; (2.89)
V- [u„(Vz* - wV<v)] = R; (2-90)
V ■[{!„( Vw + »V+)] = /î. (2-91)
Sistemul de mai sus poate fi rescns utilizmd, în locul variabilelor ii şi v,
•cvasinivelele Fermi şi Oj, (normalizate) conform relaţiilor de transformare.
ii = exp (t|/ — ®u) = 7) exp (+40 ; (2-92)
v = exp (<&„ — 4*) = p exp ( —40- (2.93)
Noile variabile introduse, vj şi p, sînt echivalente, înfond, variabilelor
O* şi C>p utilizate la prima metodă de normalizare — vezi relaţiile (2.78) şi
(2.79) ; s-au utilizat, însă, notaţii diferite datorită sistemului diferit de mărimi de
normalizare. Folosind aceste transformări de variabile, sistemul (2.89) ... ... (2.91) devine:
V- (eV<J>) = 7) exp (+4/) -pexp(-4j) - Ni (2.94)

14. 18
(2.95)
JTXN3
-O-Nm
V- [>„ exp (+<{;) • Vyj] = R;
V- [;x„ exp (—!]>)• Vp] = R. (2.96)
Acestsistemeste, deci, echivalent celui obţinut prin prima metodă de normalizare.
Deosebirile de formă pot crea avantaje sau dezavantaje de calcul în funcţie de cazul
concretde rezolvat.Utilizatorul poateopta spreuna sau alta dintre variante astfel încît să
realizeze un volum minim de calcule.
2.1.6. Condiţii la limită
Sistemul ecuaţiilor de bază fiind un
sistem de ecuaţii diferenţiale se poate
rezolva numai cunoscînd condiţiile la
limită.Stabilirea unorcondiţii la limită
adecvateconstituieuneori odificultate
majoră. în cele ce urmează se vor
prezenta cîteva exemple din cele mai
în- tîlnite condiţii la limită; exem-
plificările se vor face pe o structură
bidimensională, prezentată în figura
2.1.Graniţa domeniului deintegrare s-
a notat cu Q. Această frontieră se
compune,de regulă,din două tipuri de
domenii.
pig
. 2.1. — Domeniu bidimensional a sistemului de
•— domenii contactate bază al ecuaţiilor semiconductoarelor,
ohmic,adică porţiuni desemiconductorpecares-au depus electrozi metalici, D.Di (i = 1,
«);
domenii necontactate (izolate), (j = 1, m). Pe domeniile con
tactateohmic se aplică condiţii detip Dirichlet,iarpecele izolate,condiţii detip Neumann
[6, 10].
Pe porţiunile de frontieră contactate ohmic, concentraţiile de purtători capătă
valorile de la echilibru termic, constante în timp, datorită vitezei de recombinare infinită
de la acest tip de contact. Valorile lor rezultă din sistemul :
n(X, t) - p(X, t) + NA(X) - ND(X) = 0, (2.97)
n{X,t)p(X,t) = n, (2.98)
unde cu X s-a notat coordonata de-a lungul graniţei fi.
Cvasinivelele Fermi de-a lungul frontierelor metalice auvalori egale pentru
electroni şi goluri (ca la echilibru termic) şi egale cupotenţialul
exterior
aplicat electrodului metalic: ’
^ On(Z, t) = <SV {X, t) = Vi(t); X e (i = 1, ..., n). (2.99)
Aşa cumrezultă din această relaţie, cvasinivelele Fermi sînt independente de coordonata
X de-a lungul domeniului QDi . în general, potenţialele Ve aplicate pe electrozi sînt
cunoscute, eventual chiar dependenţa de timp în cazul nestaţionar. Constanta arbitrară
aditivă în expresia potenţialului electric este înlăturată prin alegerea unui electrod cu
potenţial nul (V1 = 0, vezi figura 2.1). Cunoscînd expresiile cvasinivelelor Fermi pe
frontierele metalice.

15. 19
(2.102)
se poatedetermina expresia potenţialului electric peacelaşi contur,folosind relaţiile (2.51)
şi (2.52): ’
ty(X, t)=Vi(t) + (kT/q) ■ In {n(X,-)lni)=Vi{t) — (kTlq) • In (p(X,•)/««)• (2.100)
Condiţiilela limită detip Neumann,pefrontiereleizolate,obligă anulareaderivatelor
pe direcţie normală conturului, pentru toate mărimile în discuţie, adică:
n-Vtp(Z) = n Vn(X) = n-Vp(X) = 0; X e QNj (j = 1, w), (2.101)
unde n este vectorul normal pe conturul fi.
Adesea,conturul deintegrare Q cuprindeşi altedomenii decît cel de semiconductor,
de regulă domenii de oxid; vezi,’în acest sens, electrodul 4 (Yt) din figura 2.1.
Determinarea distribuţiilor de potenţial şi cîmp electric în interiorul oxidului se face cu
ajutorul ecuaţiei lui Poisson,eventual cu termen libernul (p„ = 0)— adică ecuaţia Laplace;
acestlucru esteposibil deoareceîn oxid nu se găsesc purtători liberi de sarcină şi, uneori,
se neglijează sarcinile fixe, adică p = n — N = 0. Tot în oxid, densitatea curentului de
conducţie(_;'Cond)estenulă;nu acelaşi lucru se poate spune şi despre curentul total care
conţineşi termenul curent de deplasare, care este nenul în condiţii nestaţionare. Trecerea
de la domeniu oxid la domeniul semiconductorsefacecu ajutorul relaţiilordecontinuitate
care vor fi descrise în pragraful 2.2.3.
2.2. Extinderi ale sistemului de bază
2.2.1. Influenţa unui cîmp magnetic
Aplicarea unui cîmp magnetic exterior într-un material semiconductor determină^
apariţia unui cîmpelectric intern perpendicular peplanul vectorilor j şi
conformexpresieiforţei Lorentz [1, 4], Acest cîmp electric intern
determină apariţia unei componente suplimentare de curent faţă de componentele
curentului prinse în sistemul de bază al
ecuaţiilor fizicii semiconductoarelor. în figura
2.2 se ilustrează apariţia cîmpului electric
intern prin efectul cîmpului magnetic; acest
efect poartă denumirea de efect Hali.
Pentru
simplificare, s-a considerat un cîmp electric
extern de-a lungul axei Ox (creat de
tensiunea Va) aplicatunuisemiconductor
de tip p. Acestcîmp electric creează un curentde
goluri, jvx . Cîmpul mag- _netic exterior,de
inducţieSbz, creează o
Fig. 2.2. — Ilustrarea efectului Hali. forţă asupra
golurilor îndreptată în
jos; ca urmare, apare o acumulare de sarcini
pozitiveîn partea de jos a probei şi, deci, un cîmp electric intern, By , îndreptat
în sus. Mărimea acestui cîmp este dată de
— Rlljpx®>z>

16. unde RH este constanta Hali; expresia constantei Hali este:
Rh = r(l/q) ■ (p _ bhi) / (fi + bn)*; b = ^/^ (2. i03>
si Tg^Fvnf1016^ determinabiI experimental, cu valori cuprinse între 1 18
rilnr - l' > * ^ ^ SUS & constantei Hal1 depinde de tipul purtăto
rilor, seobserva ca RH>0 pentru un semiconductordetip p şi R <o pentru un
semiconductor de tip n. P V
Cîmpul electric Bv crează un curent de goluri cu densitatea j cu o expresie
similară cu a oricărui curent de cîmp etatea jp y cu o
jpy = Op&y = qpLp &y = qpLp RHjvx &z. (2.104)
In mod asemănător, pentru electroni componenta suplimentară a curen-
tului, determinată prin efect Hali, este dată de mentara
a curen
jny = Gn&y = qni„&y = qnu.nRjjjnxă!>t) (2.104')
expresa de maisus este similară cu expresia curentului Halipentru poluri
cu diferenţa de semn datorată constantei RH P g
La °impUn ™Snctk,e intenseapareşi un efectnou - magnetorezis-care consta ln raderea
apreciabilă a conductivităţii materialului [4],
2.2.2. Influenţa unui gradient de temperatură
Existenţa unui gradient de temperatură determină apariţia unui curent
suplimentar faţa de celelalte componente cunoscute pină aici [l’, 4]
j= -^ T, (2.105)
dată de 56 nUmCŞte pUtere term°electrică diferenţială. Expresia lui 3 este
2 =
= —- | -^2 ~ 5 + ]n W”)] nV-n — [5/2 - s — In(jV„/p)] pnP 1 (2.106>
? ,l lLn + P'fLp ]’
unde N reprezintă densitatea efectivă de stări în banda de conducţie N -
r35atwefZdicLT'în b^da d6iValentă Şi S -Un c°eficientnumeric.Keiaţia (2.106)indicaca
puterea termoelectrică este negativă pentru semicon
ductoare de tip n şi pozitivă pentru semiconductoare de tip 5
Kelaţia (2.105) se adaugă în sistemul de bază al ecuaţiilor semiconduc toare
direct la densitatea curentului total (j) fără a face distinctie între contribuţia
electronilor şi golurilor. O relaţie similară pentru curentul termoelectric dar
defalcata pe electroni şi goluri se găseşte în lucrările [11] şi fl2] • expresia
curentului termoelectric de electroni este L1 -KI . expresia
jn — qnB^VT, ^2 107)
unde DJ este coeficientul de difuzie termic, dat de:
nT _ f (5/2 ~ s) ] n " ~ [ x J'D- (2.108)
o- A S<I™nd în m°d analogorelaţie pentru curentul termoelectric dee-olurr şi
adumnd rezultatele,seobţineo expresieaproximativsimilară cu (2.105)..

17. 21-
Fig. 2.3. — Vectorii inducţie
electrică la trecerea printr-o
suprafaţă de discontinuitate.
2.2.3. Medii neomogene şi anizotrope
Sistemul de bază al ecuaţiilor fizicii semiconductoarelor a fost scris pentru medii
omogene şi izotrope. Mărimile de material: e, u. şi D s-au considerat invariabile în raport
cu poziţia şi direcţia din spaţiu. Studiul componentelor semiconductoare arată că se
întîlnesc situaţii în care aceste premise nu sînt satisfăcătoare. De regulă, situaţiile
cunoscute arată că domeniul global de rezolvare (Q) se compune din mai multe domenii
omogene şi izotrope separate prin suprafeţe de discontinuitate. Astfel de exemple sînt:
_
— domeniu ’ semiconductor (omogen şi izotrop) învecinat cu domeniu izolator
(omogen şi izotrop), dar cu valori diferite pentru e, ji şi D;
— domenii semiconductoare cu valori diferite ale mobilităţii: suprafaţa
semiconductorului şi volumul său; . . v .. v
— domeniu semiconductor cu valori diferite ale mobilităţii după axele
cristalografice etc. ^ ^
Avînd în vedere cele de mai sus, sistemul ecuaţiilor de bază rămîne valabil pe
subdomenii omogene şi izotrope şi rămîne problema specifică a relaţiilor de trecere la
suprafeţele de discontinuitate dintre subdomenii [6, 13]. Se prezintă trei cazuri, cele mai
întîlnite, privind relaţiile de trecere, în absenţa cîmpului magnetic.
a) Trecerea firintr-o suprafaţă de discontinuitate a vectorului inducţie cîmp
electric (fig. 2.3). Considerînd două medii de permitivităţi ev respectiv e3, învecinate prin
suprafaţa S, legea locală a fluxului electric este
div, © = »• (®2 — ®i) = p», (2-1°9)
undeşi ®2 sîntvectorii inducţiecîmp electric situaţi de o parte şi de alta a suprafeţei 2, iar
ps este densitatea superficială desarcină pesuprafaţa 2.Relaţia (2.109) este echivalentă cu
®„2-®nl=Ps,(2-110)
unde®nl şi @„2
sîn^ componentelenormalealevectorilorinducţieelectrică corespunzători.
_
Dacă suprafaţadeseparaţienu conţinesarcini (p, = 0), relaţia (2.110) trece în relaţia
de continuitate pentru componenta normală a inducţiei
®sl = ®»2. (2-lH)
sau, echivalent
= e2®»2- (2.112)
Unul din cazurile cele mai întîlnite este dat de
suprafaţa de separaţie Si—Si02 unde relaţia (2.112) devine
succesiv
8»,sio,/S»,si = csi/ssio, = 11,7/3,9 = 3, (2.113)
ceea ce arată că intensitatea cîmpului electric în oxid este
mult crescută faţă de siliciu.
b) Conservarea componentei tangenţiale a vectorului intensitate cîmp elec tric
(fig. 2.4). Considerînd aceleaşi medii ca în cazul de mai sus, teorema poten-

18. 22
t (2.114)
(2.1.15)
Fig. 2.4. — Vectorii intensitate
cîmp electric la trecerea printr-o
suprafaţă de- discontinuitate
(conservarea componenţei tangen-
ţiale).
)
2
Fig. 2.5. — Vectorii densitate curent
electric de conducţie la trecerea
printr-o suprafaţă de discontinuitate.
(2.118)
ţialului electric aplicată peun conturcarecuprindeun punctdepesuprafaţa 2 arată că
t-61 = 0; Vps,
undet este vectorul unitartangentla suprafaţa 2 în punctulconsiderat.Relaţia demai sus
este, de fapt, relaţia deconservarea componentei tangenţialea intensităţii cîmpului
electric la trecerea . dintr-un mediu în altul
în procedurile de calcul numeric această condiţie se
îndeplineşte automat prin asigurarea
continuităţii potenţialului electric pe direcţie
normală (axa OY din figura 2.4)
(Y = 0+) = i}* (Y = 0_). (2.116)
c) Trecerea printr-o suprafaţă de discontinuitate a
vectorului densitate de curent electric de conducţie (fig. 2.5).
Pentru a preveni scrierea unui numărmarede indici se va
nota densitatea curentului electric deconducţiecu j (numai
în cadrul acestui paragraf). Aplicarea teoremei de
conservare a sarcinii, pentru suprafaţa 2, duce la relaţia
divj = n • (j2 — jx ) = — dpjdt. (2.117)
în cazul unor suprafeţe care nu au sarcini, sau în regim
cvasistaţionar (8ps /8t = 0), relaţia (2.117) trece în relaţia de
conservarea componentei normalea densităţiicurentului
electric de conducţie
Jm = -7("V2
(A nu se confunda _/(„) — componentă normală, cu
j% — componenta de electroni a densităţii curentului electric de conducţie).
Pentru un semiconductor învecinat cu un mediu izolant (exemplu, sistemul Si —
Si02), relaţia (2.118) devine
/(„)Si(Y = 0_) = y(Blsi0l(Y = 0+) = 0, (2.119)
relaţie rezultată din absenţa curenţilor de conducţie în izolatori.
2.2.4. îngustarea benzii interzise
în semiconductoareputernicdopatecumsînt,deexemplu,emitorul tranzistoarelor
bipolare,sau stratul îngropatdin circuitele integrate bipolare, apar o seamă de efecte noi
care duc la erori în calculul concentraţiilor de elec

19. 23-
troni sau goluri cu relaţiile„clasice" (2.51)şi (2.52). Deşi fenomenele fizice sînt complexe,
modelările fizice şi matematice ajung la rezultate satisfăcătoare pe baza conceptului de
îngustarea benzii interzise.în figura 2.6 seprezintă dependenţa lărgimii benzii interzise
de concentraţia totală de impurităţi [14].
Se observă că efectul contează pentru concentraţii totale (N = NA ~f ND) de peste IO17
cm~3. Modul cel mai utilizatdemodelarematematică a acestui fenomen esteînlocuirea în
expresiileconcentraţiilordepurtători desarcinăa mărimii constante n( cu mărimea nie(N)
— concentraţie intrinsecă efectivă dependentă de concentraţia totală de impurităţi [15,
16]. Atunci, concentraţiile de electroni şi goluri — vezi relaţiile (2.51) şi (2.52) — devin:
n = n,e{N) ■ exp [q(y — $„) / kT]; (2.120)
P = nit(N)-ex1? [q(<S>1 ,-^/kT]. (2.121)
între concentraţia intrinsecă şi lărgimea benzii interzise (Ee ) există
reia ţia:
nie(N) = a ■ exp [—Ea(N)/ 2kT]; (2.122)
nt = a ■ exp (—EG0/2kT), (2.123)
unde a este o constantă, iar Eao — lărgimea benzii interzise pentrusemicon
ductorul pur; ca urmare, concentraţia nu se poate exprima
nu(N) = n{ exp [(Eao — EG(N)) / 2kT]. (2.124)
Introducerea relaţiilor(2.120) şi (2.121) în expresiile curenţilor determină apariţia
unei componentesuplimentarea curentului deconducţie — mai precis a componentei de
difuzie — rezultată din gradientul lărgimii benzii
Fig. 2.6. — Dependenţa lărgimii benzii interzise de concentraţia totală de
impurităţi.

20. (2.127)
interzise. Acest lucru este exemplificat pentru curentul de electroni, model
unidimensional, conform relaţiei (2.42) şi relaţiilor (2.120) şi (2.124) ’
Jn = qnunB + qDnj^h exp (~°~^°(^) ' expp^^Mjj *
~ r, ^ (2.125)
~ ™ *> i n Dnn 3Lr
~ q»iinS + qDn--------------q —2_ . fU?.
d# 2kT 3x
' Comparind axeastă relaţie cu expresia (2.42) a curentului de electroni
in absenţa îngustării benzii interzise, apare o componentă suplimentară a curentului,
jnG , dată de
■ Dnn 8Er
im- e-'M)
f ,P^!.V1
j'a dependenţei analitice a lărgimii benzii interzise de concen
traţia totala de impurităţi se folosesc relaţii empirice • un exemplu este dat mai jos [10]
r
i+Krr
unde Fj şi A 0 sînt constante alese astfel încît relaţia matematică să cores-
punda cit mai exact cu determinările experimentale (vezi figura 2.6).
Uneori modelarea efectului îngustării benzii interzise este luată în considerare
separat pentru electroni şi separat pentru goluri — în funcţie de tipul dopăru—,
conform relaţiilor [17]: ’
n = ni n(N) ■ exp [q(<i — <p„) / kT]; (2.128)
p = nip (N) ■ exp [q(Op — <p) / kT]; (2.129)
MIP(N) ■ ni n(N) = n%. (2.130)
Utilizarea acestorrelaţii în expresiilecurenţilordetermină acelaşi efect ai apariţiei
unei componente suplimentare de curent. Este evident că pentru Min — fiig se
obţine cazul de modelare anterior.
2.2.5. Semiconductoare degenerate şi nedegenerate
. +înt.™ semiconductoraflatla echilibru termic,electronii sesupun statisticii Fermi-
Dirac; funcţia de distribuţie după energie (E) este
f(E) = 1 / [1 + exp[(£ — EF)lkT]], (2.131)
undeEF este nivelul energetic Fermi. Dacă nivelul Fermi este plasatîn banda interzisala
o distanţă mai^mare
decît 3kT/q de marginile acesteia (E, si Ev )
ticif Boltzmann caPătă 0 formă aproximativă care corespunde statis-
f(E) x exp [~(E - Ef ) / kT]; dacă Ee ~EF> 3kT/q;EF -Ev >
2>kT/q. (2'B2)
^COndUC?arde la
A
Cai^ Se aplit:ă statistica Boltzmann se numesc semiconductoare nedegenerate.
Pentru siliciu condiţiile cuprinse în relaţia (2.132)

21. 25
sau
r/ dvj
sîntsatisfăcutepentru dopări mai mici decîtIO1 cm' , ceea ce reprezintă majoritatea
cazurilorîntîlnite.Toaterelaţiiledin sistemul debaza al ecuaţiilorfizicii
semiconductoarelorsereferă la semiconductoarenedegenerateinclusivrelaţiilela
neechilibru termic (2.51)şi (2.52). _
Pentrusemiconductoare degenerate, deci cu dopări puternice, se obţin
alte relaţii privind expresiile concentraţiilor de purtători [1, 4]: la echilibru
termic aceste concentraţii sînt:
nQ = Nc{2/Jn)[(EF — Ec) / kT]; (2.133)
Po = Nv (2/^) SF1/2 [(£, - Ef ) I kT], (2.134)
unde funcţia F1 /z este integrala Fermi-Dirac de ordinul 1/2
* ) __ C°° r ‘V 2 ^n_______ (2.135)
1/2 l f Jo 1
+ exP (*) ” Vf)
Relaţii similare cu (2.133) şi (2.134) se folosesc şi pentru neechilibru
termic, înlocuind nivelul Fermi (EF) cu cvasinivele Fermi energetice
şi q®n)'-
n = Nc (2/ y/n) 8Fl l2 [(qO, - Ee ) / kT]; (2.136)
p = Nv (2/-Jn) SFm [(Ev - q%) / kT]. (2.137)
2.2.6. Relaţiile lui Einstein generalizate
Relaţiilelui Einstein (2.26)şi (2.27),folositeîn sistemul de bază al ecuaţiilor fizicii
semiconductoarelor, sînt valabile pentru semiconductoare nedegenerate,la echilibru
termic, dar se păstrează cu foarte bunăaproximaţie
şi laneechilibru termic [4]. Pentru semiconductoare degenerate se dau forme
generalizate ale relaţiilor lui Einstein [18]. Se cunosc mai multe modalitaţi,. practic
echivalente, de definire:
DJ;j.„ = (kT/q) • ffl /2(W/ (2
'1 3 8
>
Djun = (kT/q) - & 1/2 (rFC) / (d®mtnFc)/d^Fc)* (2.139)
sau
A./H. = (kT/q) ■ Sr^dr.Fc) i ^+l/2(%c) ; (2- 140>
în relaţiile de mai sus b este un număr depinzînd de tipul ciocnirii electronului cu
reţeaua [18], este integrala Fermi- Dirac de ordinul i
(2.141)
P(î + 1)'o 1 + exp (7; —
rl f ) iarr(J?c este datde
rtFC=(EF-Ec )/kT. (2-H2)

22. 26
(2.143)
Relaţii asemănătoaresepot da şi pentru raportul Dp/ y.P —■ privind golurile —
unde mărimea v]FC se înlocuieşte cu mărimea -qV P dată de
VF — ( Ev Ep) / k l.
Expresiile(2.138)...(2.140)sînt inoperante pentru calcule. De aceea, se
preferă expresii aproximative rezultînd din dezvoltarea în serie a funcţiilor integrale; o
astfel de expresie este [19]
Dn = (kT/q)y.n [1 + 0,35355 (n/Nc) — 9,9 • 10“3
(n/Nc Y + ...] (2.144)
sau, pentru goluri
Dv = (kT/q)l xp [1 + 0,35355 (p/Nv) - 9,9- 10~3 (p/Nv)* + ...]. (2.145)
Pentru cele mai multe cazuri, utilizarea primilor doi termeni din dezvoltarea în
serie dă suficientă precizie.
2.2.7. Ionizarea impurităţilor
Utilizarea aproximaţiei de ionizare totală a impurităţilor — relaţiile
(2.17) • reprezintă modalitatea cea mai convenabilă, din punct de vedere a simplităţii,
pentru calculul densităţii de volum a sarcinii electrice din ecuaţia lui Poisson.
Pentru semiconductoarenedegenerateaproximaţiadeionizaretotală este folosită
cu erori foarte mici [20]; astfel, considerînd’un nivel donor depărtat de banda de
conducţiecu 0,05 e, procentul de ionizare a impurităţilor donoare este de circa: 99,8%
pentru ND = lO10
cnr3
şi 83,6% pentru ND = = 1018
cnr3.Acelaşi procentpentru cazul ND =
1019
cm-3
devine « 47% ceea ce face inacceptabilă ipoteza ionizării totale.
. . aceea, pentru semiconductoare puternic dopate, calculul concentraţiei de impurităţi
ionizate se face cu ajutorul relaţiilor [4]:
unde g„ şi gA sînt factorii de degenerare pentru nivelele energetice donoare, respectiv
acceptoare (gD = 2; gA = 4), iar ED şi .E^ — poziţiile nivelelor energetice ale
impurităţilor.
2.2.8. Dependenţa mobilităţii de concentraţia de impurităţi
şi de intensitatea cîmpului electric
_ Mobilitatea purtătorilordesarcină trebuie înţeleasă în contextul tipului de mişcare în
care se află respectivul purtător’[5], Din acest punct de vedere se cunosc trei tipuri de
mobilitate:
. ' mobilitatea purtătorilor majoritari, rezultată din măsurători de
rezistivitate ;
mobilitatea purtătorilor minoritari, rezultată din antrenarea acestora în cîmp
electric, şi
m°bi^tatea Hali, rezultată din acţiunea forţei Lorentz.
Excluzînd din discuţie efectul cîmpului magnetic, rămîn de interpretat numai
primele două tipuri de mobilitate. Experienţele au demonstrat că nu

23. 27
există diferenţe apreciabile între mobilitatea purtătorilor majoritari şi a celor
minoritari; de aceea, în cele ce urmează nu se va mai specifica tipul de mobilitate.
.
Considerarea unei mobilităţi constante în rezolvarea ecuaţiilor semicon-
ductoarelorreprezintă osursă majoră deerori.Această aproximaţiepoate 1 utilizată
numai în unele modele analitice de prim ordin.
Dependenţa mobilităţii de concentraţia de impurităţi pentru principalele
materiale semiconductoare este binecunoscută, rezultat al determinărilor
experimentale.Utilizarea acestorrezultatese face prin găsirea unei funcţii analitice
care să aproximeze cît mai bine valorile măsurate pentru mobilitate. O astfel de
funcţie este [10, 21]
<J.(N) — + (jJ-max ' (Amin) / (1 + V o)'"' (2.148)
unde [Xmin> iw, N0 şi Y sînt parametri empirici ai modelului, iar N este concen-
traţia totală de impurităţi (N = NA + ND). Relaţia de mai sus este valabila atît
pentru electroni cît şi pentru goluri şi pentru oricare dm semiconductorn
cunoscuţi. .
Dependenta mobilităţii de intensitatea cîmpului electric se descrie tot cu
ajutorul unor relaţii de aproximare a rezultatelor experimentale. Pentru siliciu, o
astfel de relaţie care înglobează şi efectul concentraţiei de impurităţi este [21]
N, 6) = ’j. (N) {1 + [(i(.V) |S (2.H9)
Î-H
unde B si Vmax sînt parametri empirici ai modelului. Expresia lui ja(A) poate fi cea
dată de relaţia (2.148). Pentru GaAs, unde apare efectul de mobilitate diferenţială
negativă, relaţia deaproximare este mult mai complicata. Adesea,pentruunele
modele analitice, dependenţa de cîmp_ a mobilităţii
se dă subforma aproximaţiilorasimptoticeale expresiei vitezei [4].
V = fx0§; ;jl0 = const., (2.150)
la cîmpuri electrice slabe şi
v — v, = const., (2.151)
la cîmpuri electrice intense. ^
O alternativă pentru funcţia de aproximare a^ dependenţei mobilităţilor de
concentraţia de impurităţi şi de intensitatea cîmpului electric, pentru siliciu, este
prezentată în lucrarea [22] •
tilY _ , + ( 2 . 1 5 2 )
Ui ' X/S + .V„ |(|IA+F l B)
unde parametrii empirici ai modelului au valorile: [j,0 = 480 cm /Vs, A0 = 4 ■ 10l6
cm~3; S = 81; -4 == 6,1 • 10PV/cm;F = 1,6; B = 2,5 • IO4
/cm—
— pentru goluri si m0 = 1 400 cm2
/Vs; A0 = 3 • 10l6cm 3, 5 == 350, A — = 3,5 ■
103
V/cm; F = 8,8; B = 7,4 • 103
V/cm - pentru electroni.
în încheierea acestui paragraf trebuie precizat că modelările matematice
prezentateaici sereferă la mobilitatea devolum; problemelelegate de mobilitatea de
suprafaţă sînt tratate în capitolul 4.
2.2.9. Viteza netă de recombinare
în sistemul de bază al ecuaţiilor fizicii semiconductoarelor, viteza netă de
recombinare a fost considerată separat pentru electroni (R„) şi pentru goluri (Rp). în
absenţa centrilor de captură (alipire) în cadrul mecanismelor de recombinare indirectă

24. 28
[1], se poate considera egalitatea celor două viteze
R p =R n =R . (2.153)
Pentru siliciu, cel mai întîlnit mecanism de recombinare internă este cel de
recombinareindirectă prin intermediul unui singur centru de recombinare adînc (situat
în apropierea mijlocului benzii interzise).Expresiacorespunzătoarepentru viteza netă de
recombinare este dată în cadrul modelului Sho- ckley-Read-Hall [3]
RS R H = (pn - nf) / [tp0 ( n + nt) + t„0 ( p + p,) ] , (2.154)
undezP 0 şi t„0 sînt timpii de viaţă medii ai golurilor, respectiv electronilor, iar nt şi pt —
concentraţii fictive de purtători într-un semiconductor la care nivelul Fermi s-ar
suprapunepestenivelul energetic al centrilor de recombinare. Este evident că pentru un
nivel energetic al centrilorderecombinaresituatla mijlocul benzii interzise există relaţia
nt = pt = nt.
în vecinătatea suprafeţei semiconductorului, expresia vitezei nete de recombinare
se modifică:
^SRH(S) = s0 ■ (ps iis — tti) / (ps + ns -f 2nt), (2.155)
undefis şi ns sîntconcentraţiiledepurtători la suprafaţa semiconductorului,iars0 este un
parametru cunoscut sub denumirea de viteză de recombinare la suprafaţa [3]; în relaţia
(2.155) s-a considerat nt = pt = nt şi o comportare identică a golurilor şi a electronilor.
Pentru unele modele analitice simple se preferă o exprimare a vitezelor nete de
recombinare cu ajutorul relaţiilor:
Rp = (P — Po) / zp : Rn = (« — «o) / T»- (2.156)
unde tp şi tb sînt timpii de viaţă ai purtătorilor în exces, iar p0 şi n0 ~ concentraţiile de
purtători la echilibru termic.Relaţiile(2.156)au osimplitatefalsăpentru că timpii zp şi t„
nu au valori constante;considerarea unorvalori constantepentru ~p şi t„ duce,de regulă,
la erori apreciabile. Unul din cazurile în care relaţiile (2.156) dau satisfacţie este
joncţiunea pnla nivelemici de injecţie unde, în plus, se consideră valori egale pentru cei
doi timpi:
"j? = T n — ~0 -
La concentraţii mari de purtători trebuie luată în considerare şi viteza de
recombinare directă (Auger) [1]
Ra = (c„n + cpp) (pn — nV), (2.157)
unde c„ şi cp sînt doi parametri de model.

25. De asemenea,în zonelecu cîmp electric intens trebuieconsiderată viteza de generare
a perechilor electron-gol datorită ionizării prin impact (şoc) [4]
Ri = -G, = -(1 /q) ■ (o,|;, | + avjp), (2.158)
undeOLP şi a„ sîntcoeficienţii deionizare,dependenţi puternicdeintensitatea cîmpului
electric.Problema modelării fenomenului de ionizare prin impact este tratată pe larg în
capitolul 6.
B i b l i o g r a f i e
1. M. Drăgănescu, Electronica corpului solid, Edit. Tehnică, Bucureşti, 1972.
2. D. Dascalu, A. Rusu, M. Profirescu, I. Costea, Dispozitive şi circuite electronice, Edit. Didactică, şi
Pedagogică, Bucureşti, 1982.
3. A. S. Grove, Fizica si tehnologia dispozitivelor semiconductoare, Edit. Tehnică, Bucureşti,
1973. ' . , T
4. S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices, J. Wiley, New York, 1981.
5. R. W. Warner Jr., B. L. Grung, Transistors, Fundamentals for the Integrated-Circuit Engineer J. Wiley, New
York, 1983.
6. A. Timotin, V. Hortopan, Lecţii de bazele electrotehnicii, E.D.P., Bucureşti, 1964.
7. J. W. Slotboom, Electron Lett., 5, 677 (1969).
8. J.W. Slotboom, IEEE Trans. Electron Devices, 20, 669 (1973).
9. W. Van Roosbroeck, BSTJ, 29, 560 (1950).
10. M. S. Mock, Analysis of Mathematical Models of Semiconductor Devices, Boole Press, Dublin, 1983.
11. J. M. Dorkel, Solid-State Electronics, 26, 819 (1983).
12. R. Stratton, IEEE Trans. on Electron Devices, ED-19, 1268 (1972).
13. A. Rusu, C. Bulucea, Rev. Roum. Sci. Techn., serie Electrotech. et Energ., 18, 463 (1973).
14. J. W. Slotboom, Solid-State Electronics, 20, 279 (1977).
15. M. S. Mock, Solid-State Electronics 16, 1251 (1973).
16. R. T. Van Overstraeten, H. S. de Han, R. P. Mertens, IEEE Trans. Electron Devices,
ED-20, 290 (1973). ,
17. W. L. Engl, O. Manck, A. W. Wieder, Device Modeling, în Process and Device Modeling for Integrated Circuit
Design, NATO Advanced Study Institutes, Noordhoff (1977).
18. A. H. Marshak, D. Assaf, Solid-State Electronics, 16, 675 (1973).
19. H. Kroemer, IEEE Trans. on Electron Devices ED-25, 850 (1978).
20. M. Bodea. A. Rusu, Rezolvarea problemelor, anexă la A.S. Grove, Fizica şi tehnologia dispozitivelor
semiconductoare, Edit. Tehnică, Bucureşti, 1973.
21. B. M. Caughey, R. E. Thomas, Proceedings of the IEEE, 55, 2192 (1967).
22. D. L. Scharfetter, H. K. Gummel, IEEE Trans. Electron Devices, ED-16, 64 (1969).
3. APROXIMĂRI UZUALE PENTRU MODELE
FIZICE ANALITICE
Aşa cums-a arătat în capitolul 2, rezolvarea exactă a sistemului ecuaţiilor fizicii
semiconductoarelorsepoatefacenumai prin metodenumerice. Utilizarea unor metode
analiticesepoatefacenumai în condiţiileunoraproximaţii. Deşi sînt mai puţin precise
decîtmetodele numerice,metodele analiticeau avantajul unor reprezentări intuitive şi
simple ale rezultatelor. în plus, rezultatele metodelor analitice pot fi folosite drept
condiţii la limită pentru metodele numerice sau, chiar, soluţii iniţiale ale problemei.
Literatura generală a modelelor componentelor electronice active [1 — 8] pune în
evidenţă o mulţime de aproximaţii pentru metodeleanalitice. Una din cele mai folosite
aproximări este împărţirea domeniului semiconductor în regiuni de sarcină spaţială
(golite) şi regiuni neutre (cvasineutre). Descrierea comportării electrice a acestor tipuri
de regiuni se face conform ipotezei de nivel de injecţie: mic, mediu sau mare — pentru
regiunile cvasineutre — şi conform ipotezei de cvasiechilibru — pentru regiunile de
sarcină spaţială.Peaceeaşi liniea aproximării sarcinii din semiconductor se detaşează

26. 30
regimul curenţilor limitaţi de sarcina spaţială unde se neglijează sarcinile ionilor de
impurităţi. Lista aproximărilor uzuale trebuie completată, după caz, cu: ipoteza de
joncţiune groasă sau subţire, teoria diodei sau teoria difuziei, aproximaţia graduală,
condiţia de semnal mic, regim cvasistaţionar etc.Toate acestea se adaugă la
aproximaţiilediscutateîn capitolul 2,aproximaţii aplicatechiar la rezolvarea numerică
a sistemului de ecuaţii ale fizicii semiconductoarelor.
în prezentul capitol se discută cîteva din cele mai folosite aproximări pentru
modelele fiziceanalitice,a cărorutilizareducela obţinerea unorrezultatespectaculoase
din punct de vedere al simplităţii.
3.1. Neutralitatea electrică
Neutralitatea electrică înseamnă îndeplinirea condiţiei
P» = <l{p — « + N*D — N*a) = 0 (3.1)
în orice punctal domeniului semiconductorconsiderat.Aceastăcondiţieseîndeplineşte
exactnumai la semiconductoareomogene,izotrope,cu o dotareuniformă cu impurităţi,
aflate la echilibru termic. Acelaşi tip de semiconductor păstrează condiţia de
neutralitate electrică în unele situaţii de neechilibru termic cum este plasarea acestuia
într-un cîmp uniformde generareoptică, radioactivă sau într-un cîmp electric uniform
şi constant(cu uneleexcepţii,vezi dioda Gunn).în alte situaţii se poate vorbi, eventual,
numai decvasi-neutralitate.Cîteva din celemai cunoscute cazuri unde se poate aplica
ipo- etza de cvasineutralitate sînt prezentate în cele ce urmează.

27. 31
f- 4- +
£ int
( n ) - -
Ndi-0
Fig. 3.1. — Semiconductor dopat neuniform cu impurităţi,
aflat la echilibru termic.
(3.2)
(3.3)
(3.4)
3.1.1. Semiconductor cu dotare neuniformă aflat la echilibru termic
în figura 3.1 se prezintă un semiconductordetip n — model unidimensional —
dopatneuniformcu impurităţi donoare.Existenţa unui gradiental concentraţiei de
impurităţi donoare determină apariţia unui gradiental ’concentraţiei depurtători—
încazul
de faţă — interesează electronii. Electronii, purtători mobili,
difuzează spre zona cu concentraţie mai mică de impurităţi
determinînd apariţia unorsarcini electriceneteşi,ca urmare,apariţia unui cîmp electric
intern. Cîmpul electric intern se opune
continuării procesului de difuzie, astfel
că se obţine o situaţie staţionară. Este evident
că existenţa unui cîmp electric presupune
existenţa unei sarcini electrice p„ ^ 0 şi
încălcarea principiului neutralităţii, în
unele situaţii, cîmpul electric intern şi
densitatea de sarcină de volum sînt atît
de mici încît se poate considera că
semiconductorul este cvasineutru.
Pentru a se da un criteriu cantitativ se
pleacă de la ecuaţia lui Poisson
d^/dx2 = -(q/e) (ND - »),
unde s-a presupus: N*v xNB (ionizare completă), NA — 0 şi p 4, n (negii jarea
purtătorilor minoritari).
Conform cu relaţia (2.52),aplicată pentru echilibru termic,întrecon-
centraţia deelectroni şi potenţialul electric există legătura
ij; = const. + (kT/q) In n.
Introducînd această relaţieîn ecuaţialui Poisson seobţine» = NB +
(tkT/q2 ) (d2
/d*2)(In n).
Termenul cu derivata parţială deordinul doi arată măsuradevierii dela condiţia
de neutralitate
n = A*. (3.5)
Ca urmare, criteriul de cvasineutralitate se poate considera
(tkT/q2) | (d2
/d*2) (In n) < ND. (3.6)
Folosind în locul concentraţiei n concentraţiaNn — confcrmcu (3.5) în sens
aproximativ— după prelucrări algebrice,condiţia (3.6)devine
(3.7)
| (d2
/d%2) (In NB ) | < 1 /Li,

28. 32
undecu s-a notatlungimea Debyeextrinsecă dată de
LD = VzkT/q2 ND. (3.8)
Considerînd pentru un profil oarecareal concentraţiei de impurităţi o dezvoltare
în serie de puteri în jurul punctului x0 , din care se reţin numai primii doi termeni
ND(X)XND(X0 ) + a (x — x0 ), (3.9)
unde a este practic gradientul concentraţiei de impurităţi, condiţia de ca~i-
neutralitate (3.7) devine
a*4(ND/ Ld)2, (3.10)
sau, printr-o exprimare cu inegalitate simplă
a<ND/2>L-D. (3-11)
Relaţia demai sus poatefi considerată ca un criteriu general deaprecierea condiţiei de
cvasineutralitateîn cazul semiconductorului considerat:
3.1.2. Revenirea la neutralitate electrică
Se presupuneun semiconductorneutru electric la caresestrică în momentul t = 0
neutralitatea electrică, de exemplu, prin crearea într-o regiune a sa a unui exces de
goluri Ap(0). Datorită forţelor electrostatice dintre sarcinile nete care au apărut,
semiconductorul tindesă revină la neutralitate.Scăderea în timp a concentraţiei în exces
de goluri se face conform legii relaxării dielectrice
p(t) = A^(0) exp (—t/rD), (3.12)
unde este constanta dielectrică de relaxare, dată de
T D = e p , (3.13)
undee este permitivitatea şi p — rezistivitatea semiconductorului.Pentru siliciu cu e ss
IQ~1 2 F/cm şi p = IO cm se obţine TDK 1 ps. Pentru marea majoritate a dispozitivelor
semiconductoare această durată este foarte mică astfel încît se poate aprecia că
neutralitatea serestabileşteinstantaneu.Sîntînsă şi situaţii în care unele dispozitive de
frecvenţe foarte mari sau viteze de comutaţie ridicată — realizate pe substrate
semiconductoare rezistive
— ajungsă lucrezela limita constantei de timp a relaxării dielectrice. în aceste cazuri,
deşi în regim cvasistaţionar se realizează condiţia de cvasineutralitate, în regimul
specificat de lucru neutralitatea nu se mai respectă.
3.1.3. Injecţia laterală de purtători
Se presupune un semiconductor de tip n, uniform dopatcare, aşa cum
s-a arătat, esteneutru electric. Printr-o parte laterală aacestuia — model
unidimensional — seinjectează goluri (vezi figura 3.2).în urma injecţiei de

29. 33
©—►
©—-
>int (n)
conductor de tip n.
goluri, de-a lungul materialului se creează un gradient al concentraţiei de goluri.
Golurileatragelectronii astfel încîtşi aceştia capătă un gradientdeconcentraţie.Dacă în
fiecare punct al semiconductorului considerat s-ar îndeplini condiţia
Pn fino = Wff i0, (3-14)
adică excesul localdegoluri esteegal cu excesul local de electroni, atunci neutralitatea
se păstrează şi la neechilibru. Condiţia (3.14) nu poate fi niciodată îndeplinită exact
datorită diferenţei de mobilitate a purtătorilor. Deoarece > pip apare un exces de
sarcină pozitivă la capătul semiconductorului unde se face injecţia şi un
exces de sarcină negativă la capătul opus; de aici, apare un
cîmp electric intern în material. Sînt însă situaţii în care
relaţia (3.14)esteîndeplinită aproximativ — condiţia decva-sineutralitate— şi,în acest
fel, se poateneglija cîmpul electric in-
tern. Criteriilecantitativedeapreciere
a condiţiei decvasi-neutralitatevor fi
discutate în paragraful 3.1.4.
Prin analogie cu semicon-
ductorul descris în paragraful 3.1.1
este evident că mărimea sarcinilor
nete şi, inclusiv, a cîmpului electric
intern, suferă o creştere pe măsura
creşterii gradientului concentraţiei de
goluri. Acest gradient creşte odată cu
creşterea nivelului de goluri injectate,
pn(0), sau cu scurtarea
semiconductorului (efectde joncţiunescurtă).Cazurileîn caresemiconductorulpoate fi
consideratcvasineutru seînscriu în ipotezacunoscută sub denumirea de nivel mic de
injecţie. Celelaltecazuri formează ipoteza nivel mare de injecţie. în teoria joncţiunii
pn, graniţa convenţională dintre aceste situaţii este considerată de condiţia
Pn(Q) — ^»0‘
3.1.4. Ecuaţiilefizicii semiconductoarelorîn ipoteza de
cvasineutralitate
Utilizarea condiţiei de cvasineutralitate p„~0 sau, echivalent
p — nxNÂ — No, (3.15)
este cunoscută sub denumirea de aproximaţie ambipolară. în acest caz sistemul
ecuaţiilor fizicii semiconductoarelor nu mai conţine ecuaţia lui Poisson; aceasta se
înlocuieştecu relaţia (3.15).Utilizarea condiţiei deneutralitate în ecuaţia lui Poisson ar
fi dat rezultatul & = 0, ceea ce ar reprezenta
o eroare grosolană în calculul curenţilor. Chiar dacă condiţia de cvasineutralitate
asigură un cîmp electric foarte slab, valoarea acestui cîmp trebuie cunoscută pentru
determinarea satisfăcătoare a regimului electric. De aceea,

30. 34
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21>
h = {pj - qDpb[ip + (ND - j^)] ■ {8p/8 x)} /[(b-f 1 )p + + WD-NJ];
(kT/q2 DP) • [j - qDP(b - 1) • {dp/dx)] / [{b + l) p + b{N D - NA)] ;
ri =p — (NA — Nd ) ;
j n — j j p -
(3.29)
sistemul ecuaţiilor de bază (vezi paragraful 2.1) — model unidimensional —
cuprindeecuaţiilecurenţilor,ecuaţiiledetransportşi condiţia deneutralitate,
după cum urmează:
h = qpLv* - qDp ■ dpi dx) jn — qDn ■ fin/8x)
dpi8t = — R ~ (jq)- djvldx] dn/dt = — R + (1 /q) • (djn/dx) ; p
— n = Na — Nd .
Acestsistem are t°t 5 ecuaţii cu aceleaşi necunoscute,S, p, n, şi j»' Negiij]nd
curentul dedeplasare,densitateacurentului total prin structură
j j p “I- j n
are ° Y*Ioare constantă de-a lungul axei Ox. Această observaţie permite o
simplificare matematică deosebită. Cele cinci ecuaţii ale sistemului considerat, în
varianta ambipolară, (3.16) ... (3.20), se pot reduce la o singură ecuaţie
unde
(3.23)
i ,^n ™2.sura rezolvării ecuaţiei (3.22), deci, a cunoaşterii concentraţiei de goluri
p{x),
celelal
te
patru
variab
ile se
deter
mină
cu
relaţiile: ’
(3.24)
(3.25)
(3.26)
(3.27)
Ecuaţia (3.22)carereprezintăpunctuldeplecarea calculelorpoatefi scrisă într-
o formă simetrică în p şi n:
Această relaţieestecunoscută subdenumireadeecuaţia lui Roosbroeck.Mai mult,
ecuaţia (3.28) se poate scrie simplificat ’
dpjdt = -R + F*S • dpldx + D* ■ 82 p/8x2,
L.dJL
q dx
Na)
■ai
- Dv (b -j-
d 2 p
+
-f-D p b (3.22)
= -R- h {Nl> ~ NJ St[(b+l)P+ (ND-NA)]*
(b -f )p -f- (ND — Na) 8X Z
2 P + (ND
8p
1$^ J
dx
(3.28)
+
1
gj a*2
ct
LiPIv-p) - («/n»)
(p/Dn ) + (»/ D
p--n
P-

31. 35
(3.30)
eV •§ _ | eV • ©
q(p — Na) | q(n — Nd )
Ştiind că ecuaţia lui Poisson are
forma A - S = p»/e, relaţia (3.32)
certifică, de fapt, inegalităţile:
unde mărimile [x* şi D* sînt date de.
[x* = (p — n) l[(pl{i-p) — («/E*»)]
T
D* = (p + n) I [{p/Dn) + («/-Dp)] (3'31)
(Se observă că între D* şi [i* nu se respectă relaţia lui Einstein).
După rezolvarea ecuaţiilordemai sus,ecuaţia lui Poisson poate i acum folosită
pentru stabilirea unui criteriu cantitativ general de apreciere a condiţiei de
cvasineutralitate. Cunoscînd mărimea intensităţii cîmpului electric, criteriul de
cvasineutralitate este
«u. (3-32)
Pv<q(P~NA ); (3-
p V<q(n-ND). (3'
ceea ce constituiecondiţiiledeneglijare a densităţii de
volum a sarcinii electrice.
3.2. Aproximaţia de golire
Aproximaţia de golire se aplică în r e g i u n i l e semiconductoare unde exista un
gradient puternic al concentraţiei de impurităţi, reprezentmd, astfel, ca opuf
neutralităţii electrice. Asemenea situaţii se “tilnesc la joncţiuni pn contacte metal-
semiconductor,joncţiuni pn “dusede «mp repun / sau -bH>+ în aceste regiuni apar
cîmpuri electrice interne datorate, in special, sarcmn spadale a iondor de impurităţi.
Purtătorii desarcină au aici concentraţii foarte’mici dreptpentru careacesteregiuni se
numesc Ş1
regiuni golite. Conform aproximaţiei de golire, î„ regiunii de sarcini
spat,ala <gol.te)d=n- sitatea de volum a sarcinii electrice este uata de
Pvxq (N-D-N-A ), (3
-3 5
)
aproximaţie care provine din neglijarea sarcinii purtătorilor mobili
p-n<N‘ D-N'A . (3
-3 6
)
Aproximaţia de golire permite integrarea rapidă a ecuaţiei lui Polsson în model
unidimensional. Relaţiile analitice care descnu expresii e in cîmpului electric
potenţialului electric şi lărgimii regiunii golite „întâmple ^ a3aiS pentru modelele
analitice_ ş i of e ră .o precizie foarte buna în cele'maT mulL cazuri.în secţiunea
prezentă se ^^z^Me
obtinute prinaproximaţia de golire, cazurile mcare se obţin erori aprec; a
bile si seprezintă alternativeanaliticepentru descrierea regiunilor cu gradient ma r e al
CMcentratiei de impuritâţi. Exemplificările se fac pe joncţmn,*»ş. pe regiuni golite la
suprafaţa semiconductorului.

32. 36
(3.37)
(3.39)
Y(*) = (3.41)
(3.42)
3.2.1. Regiunea de sarcină spaţială a uneijoncţiunipn la echilibru
termic
Cel mai simplu caz de joncţiune pn la care se aplică aproximaţia de golire este o
joncţiune abruptă, avînd concentraţii constante de impurităţi în cele două regiuni ale
acesteia (fig.3.3). S-a luatîn consideraţiecazul în caredoparea celordouă regiuni nu este
mult diferită,adică NA xND;în figura 3.3,NA = IO16
cm-3
şi ND = 2 • IO16
cm-3. O astfel de
joncţiuneseva numi simetrică sau cvasimetricăspredeosebiredejoncţiunile’asimetrice,,
notate p+n (NA pND) sau n+p (ND^>NA ).
Fenomenul de difuzie a purtătorilor de sarcină face ca să scadă apreciabil
concentraţia acestora în vecinătateajoncţiunii metalurgice (x = 0). Scăderea concentraţiei
de electroni şi de goluri este mai evidentă atunci cînd se foloseşte o scară liniară pentru
reprezentarea grafică — figura 3.3 c. Ca urmare, densitatea de volum a sarcinii electrice
în interiorul regiunii golite se aproximează:
IpQ <1 x <c 0
o < * < /„o
(se presupune ionizarea completă a impurităţilor).
Delimitarea regiunii golite de cele două regiuni neutre,
prin abscisele lj>o ŞÎ ho, rezultă din condiţiile electrice de:
— neutralitatea globală a sarcinii în regiunea golită
(3.38)
— asigurarea unei diferenţe de potenţial între capetele regiunii golite- egală
cu diferenţa internă de potenţial
Y(/reo) - Y(-W = <Dfl0.
Integrînd ecuaţia lui Poissonunidimensională,cu expresia lui p„, dată
de (3.37), în condiţii la limită precizate în fig;ura 3.3, se obţin următoarele expresii
pentru intensitatea cîmpului electric şi potenţialul electric:
(3.40)
A/2S ) ( X -f- lP 0 ) 2
$£0 — (?Nfl/2e) (Lo — X Y-
Lărgimea totală a regiunii de sarcină spaţială (/0 = lno -f- lP 0 ) este
dată de
h = V(2e/?)• (WA + 1 /Nd ) 0V
Uneori relaţia de mai sus se modifică pentru a se ţine seamă de
contribuţia,la mărimea sarcinii p„, a purtătorilormajoritari la capeteleregiunii golite.
Pentru aceasta se apreciază că tensiunea susţinută de fiecare parte a regiunii golite
(din regiunea p şi din regiunea n) este’ mai mică cu kTjq faţi

34. 96
de valorile^consideratepînă acum;în consecinţă,relaţia(3.42)devine
(3.43)
Pentru o joncţiuneabruptă asimetrică, p+n(NA >ND) saun+p(NDş>NA), ■se
notează cu NB cea mai mică dintreconcentraţiile NA şi ND; relaţiile(3.42)
si (3.43) devin ___________ __________
l0 = J(2e/qNB )®B0 = LW 2<S>B0 /{kT/q) (3.44)
l0 = V(2e/q) • (1 /Na + 1/Nd) ■ (®B0 - 2 • Ar/?).'
Fig. 3.3. — Joncţiune pn abruptă, cvasimetrică; distribuţiile concentraţiilor de impurităţi
[a), de purtători (b, c), a sarcinii electrice (d)t intensităţii cîmpului electric (e) şi
potenţialului electric (/).
( d )
e)
(f)

35. 30
Fig. 3.5. — Joncţiune asimetrică cvasiabruptă; a —
concentraţia de impurităţi; b — densitatea de volum
a sarcinii; c — intensitatea cîmpului electric.
şi, respectiv
lo — V(2e/<7A^B) (^BO 2kTIq)—LD-J 2[Q>B0/ (kTjq)—-2], (3.45)
unde LD este lungimea Debye extrinsecă, dată de
LD — V ekT I q2 NB . (3.46)
Aplicarea relaţiilor (3.44) sau (3.45) la o joncţiune abruptă asimetrică duce, în cazul
unor nesimetrii puternice, la erori apreciabile. în astfel de situaţii intervin două fenomene
noi.Primul este ilustratîn figura 3.4.Datorită concentraţiei mari degoluri în regiunea p+ şi a
grosimii mici a regiunii golitedin această zonă (lv o —* 0), concentraţia degoluri în regiunea
n, goluri provenite prin difuzie din regiunea ft+, nu mai poate fi neglijată în raport cu
concentraţia de impurităţi donoare. Dacă se îndeplineşte inegalitatea
p{0) > Nd , (3.47}
se obţinechiarun strat de inversie în regiunea n a joncţiunii, lîngă joncţiunea metalurgică.
Ca urmare, ipoteza de golire p„ = qND pentru x e (OJ„0 ) nu mai este valabilă datorită
contribuţiei semnificative a golurilor din stratul
de inversie..
Al doilea fenomen specific joncţiunilor asimetrice este ilustrat în figura 3.5, unde s-a
consideratojoncţiunecvasiabruptă. Acest caz se apropie de realitate întrucît trecerea de la
concentraţia de impurităţi acceptoare la
—■—
4-
< invers» ' 1
n 1 î
'f v
WP
-nM
V»
X
-qNA
Fig. 3.4. — Apariţia unui strat de inversie în
regiunea n a unei joncţiuni pn aflată la
echilibru termic.

36. 40
-- l&ftr CU
lţ
pînă la o abscisă * = — ^ *P 0^ ':i_r ^ s
clectrică şi intensitate cîmp electric se modifica conform figurilor 3.5
concentraţia de impurităţi donoare nu se poate face cu pantă “fimta, c g dat Conform ipotezei
de golire, abscisa * = -lv0 se poate stabili, dator t valorii foarte mici, în zona de variaţie
(gradată) a concentraţiei de accepton. Aceeaşi ipoteză stabileşte totodată că în afara regiunii
golite se găsesc doua regiuni neutre. Dar, conform celor observate, zona p situata la stmga
absi- SC1 x==—lv are disponibil un gradient de concentraţie puternic. Aşa cu s-a arătat în
paragraful 3.1.1, o astfel de regiune semiconductoare nu poate fi neutră. De aceea, regiunea de
sarcină spaţială se continua in regiunea p
- • - 6 ”>' > în acest caz,distribuţiilede sarcină
b si c.
Tr
ebuie observat că extinderea regiunii golite în zona puternic dopata reduce posibilitatea
apariţiei stratului de inversie în
regiunea slab dopata acest lucru
se explică prin efectul de
îndepărtare a purtătorilor
majoritari dm regiunea puternic
dopată faţă de joncţiunea
metalurgica.
Aproximaţia de golire introduce unele erori şi în cazul joncţiunilor gradate liniar (fig.
3.6). Deşi sînt joncţiuni simetrice (lV Q — ţn0 — relaţiile (3.42) sau (3.43) introduc erori
datorită faptului ca maximul concentraţiei de ioni (acceptori sau donori) are loc la capetele
regiunii golite, acolo unde aproximaţia de golire este cel mai puţin justificată.
3.2.2. Joncţiunea pn polarizată
Dacă o joncţiune este polarizată cu o tensiune VA — în sensul de la J> către n _ ipoteza’de
golire îşi păstrează valabilitatea; relaţiile de calcul de la echilibru termic, (3.40), (3.41) şi (3.42),
pot fi folosite jşi m condiţiile= de polarizare electrică dacă termenul OB0 este înlocuit cu O?0 VA-
De exe p ^, fărgimea regiunii de sarcină spaţială (l) a unei joncţiuni abrup.e, asimetrica,
este dată de
ylŢ2z/qNB)-(OB0 -VA ). (3-48)
Procedura de modificare a relaţiilor de calcul, descrisă mai înainte, este justificată numai
în condiţiile unui nivel mic de injecţie care face ca toata tensiunea aplicată să se regăsească între
limitele regiunii golite. într-adevăr, S cum S-aParitat în paragmfu' 3.1.3. la nivel mic de mjecţ.e,
regiunile „eu- tre îşi păstrează cvasineutralitatea care constă m neglijarea cîmpului electricintern
şi, implicit, a căderilor de tensiune.
l

37. 41
Relaţia (3 48) pune în evidenţă faptul că în polarizare dirertă (V
/ <7r SgZl‘ de frcmi “ -i^oreaâ (aTitSSrJ^eîmil;
tatea l 1 î similar, pentru polarizare inversă (VA < 0), există inegali-
ii i s» tits1
.golită a întregii tensiuni aplicate (VA ) stabLs^e c^nditS^ ^ reglUnea
®„Mp) - O„(/„) = F,. (3 49)
QPv-v' dO^/d#; (3.50)
/„ = — • ddyd*. (3 51^
s:#SsSsSsSs|î^=?ss
s-w-sr^eai-^SSS»
$,(*) - $„(*) = F4, * e (-/„, /„). p 52)
şi golmf de'fonn^ ^ Un echivaIent în exPrcsi,lc concentraţiilor de electroni
pn = n- exp (qVA jkT).
3.2.3. Soluţii exacte pentru regiuni semiconductoarecu gradientmare al
concentraţieide impurităţila echilibru termic
Analiza prezentă pleacă de la integrarea ecinfipi Ini pA, xx *
mai neglija concentraţiile purtătorilor mobili de sarrin? H -a SC
ipoteza ionizării complete [8] ’ Se va Pastra
d2 ty/dx2 = (—q/s) (p _ n -|. ^D __ ^). (3 54)
ongma acea

38. = n
(3.57)
(3.58)
Ca urmare, concentraţia
valoare a potenţialului pentru care p purtătorilor mobili se scrie
p — n = n( [exp (—u) — exp («)] = — 2nt sinh (u).
Prin similitudinecu (3.55)expresiaconcentraţiei deimpurităţi sesene
NA — ND = —2ni sinh (U0) ] (^>
(mărimea U0 este constantă pentru fiecareregiunea unei joncţiuni abrupte,dardiferă dela o
regiunea la cealaltă).
în urma acestor transformări de variabile, ecuaţia (3.54) devine
dhi/dx2 = (1/£2D0 [sinh (u) — sinh (£/„)],
undeLm estelungimea Debye intrinsecă,dată de:
Lm = ekT/2q2 ni.
în figura 3.7 se prezintă, sub formă calitativă, graficul potenţialului electric şi
convenţiile de semne. Limitele asimptotice ale potenţiaiulm u (pentru x-+ ±oo) sînt notate cu
U0 1 şi U02 şi, conform cu relaţia (3.56),
corespund la:
U0 1 = - In (NAjnt); U0 2 = + In {ND/th).
Este evident că pentru o joncţiune pn semnele pentru U0 sînt: £/01 <
< 0 si C/n9 > 0. Calculele care se vor face pot fi extinse însă şi la alte struc-
turi cu gradient mare al concentraţiei de impurităţi, schimbmd corespun-
zător semnele pentru U0 1 şi Um. Astfel, pentru o structura p+p: Uol < »;
< 0, iar pentru o structură n+n: U0 1 > 0; U0 2 >0.
Integrarea ecuaţiei (3.57)
se va face în două trepte.
Prima treaptă este analitică şi
se bazează pe faptul că
d2 u/dx2
=
= (du/dx) ■ d (du/dx), (3.60)
alegînd ca limită-referinţă de
integrare x = oo, unde u — U9 t
şi du/dx = 0, se obţine
du/dx = (/2/Z.d1) {(«02 —
— u) sinh (U0 2 ) — [cosh(U0 2 ) —
- cosh {uW2 . (3.61)
Această relaţie exprimă de-
pendenţa cîmpului electric (£ == = —du/dx) de potenţialul electric («). Pentru a doua integrare
se face mai întîi o rearanjare algebrică
Fig. 3.7. — Model pentru soluţia generală a potenţialului
electric într-o joncţiune pn abruptă.
cosh (Uoz) + (U0 2 — u) sinh (U02 )yi2. (3.62)
(3.59)
In)
( P
)
NDNA
W
Ubi
Uj
0
U 02
dx!Lu = du I V2 [cosh (u) 42

39. 43
du
Limita-referinţă deintegrarese alegeacum:* = O unde u = U Arbitrar)
conform cu figura 3.7; integrînd, se obţine ’ 1
i ru
A
X
L™ '2 [cosh (u) - cosh (UQ2 ) + (U02 - u) sinh ' (163)
tni
Inte&rala din relaţia de maisus'nu maipoate fi rezolvată analitic Pentru o
prezentaremaisimplă a rezultatelor se fece oaltă alegere a refenntdor
SXZ**- N°Ua or!gine Pentru Potenţial estepunctul O’ cm iigura^ 3.7,conformcu aceasta
alegere, variabila pentru potenţial este
W = Un
2 ~ u■ (3.64)
, PentTU a nu folos.1 x ~ ~ 00 ca origine a distanţelor, se alege unDunct
arbitrar care corespunde unui potenţial W0, dat de
I Iro ~ 0,59944. (3.63)
Pentru abscisă se va păstra notaţia *, domeniul de interes fiind acum x <0
Folosind aceste noi variabile, relaţia (3.63) devine
* _ __ _J_ f w f___ ____________eL’»2 -f. e~^ ii/2
V2 J(r0 [ eL'oa (e-w' -j_ w — 1) -f e-^ (e'v __ y _ i) J (3-66)
«ude iD este lungimea Debye
LD =][EEl. ________ !__ ’ =](WI. i ,
1 q2 ND -f NA f q3 2n( cosh (U0) (3.67)
Relaţia (3.66)reprezintă distribuţia potenţialuluiîn funcţie de distantă şi
poate fi rezolvata numainumeric.Derivînd această relaţie sp nKtinp a intensităţii
cîmpuluielectric (în coordonat/^S^ * ^
— 'dW— = ./T z™(e~w+ W — 1) + eH^s! (e^ _ W - m*/2
d (x /LD) L el^wl -f e-l^osi ' J ' (3-68)
pot!"‘ ? rTT 3 59,; pen‘rn ° i<>nCtiuM M M b„ Se poziti41
„Ple,S fU H- f6,° d,s,tributie P»“ci, respectiv intensitatea cim-
pulu, electric o distribuţie lmiară - independentă de parametrul IJ --
pinâ la abscisa la care W * 2U„. Aceasti situaţie corespunde intru totuî cu
aproximaţia de golire. Pentru W > 20 „ se instaleazi un strat de inversie conform
celordiscutate in paragraful3.2.1;datorită densităţiimari de sarcina într-un astfel
de strat, potenţialul electric şi intensitatea cîmpului elec-
%urilUe 3 8 Ţ^9). ^ (P°rtmniIe V6rtiCale aIe Curbelor di»

40. 44
*Ao
Fig. 3.8. - Dependenţa potenţialului normalizat W de distanţa normalizată. xjLj) pentru o joncţiune abruptă.
SJo2 = 50 40 30 20 15 10 5 0
Fig 3 9 ___ Dependenţa intensităţii cîmpului electric norma
lizat dWld(xlL-D) de distanţa normalizată */LD pentru o joncţiune abruptă.
-> O, aÎJefn
Uitatele CaJC
+
ulului numeric asupra distribuţiei depotential (figura meazăconvertite
an expresii analitice de aproximare, după cumur-
W ~ (V2)- (—x/Lv )2 + 1, pentru */ZD < —1,22; (3.69)
W = 0,582-exp (—0,9 x/LD), x/LDe(—1,22;1,27);(3.70)W = exp (-
0,41209 - x/LD), xjL^> 1,27. (3.71)
Relaţia (3 69) este similară cu expresia (3.41) a potenţialului electric
in aproximaţiade golire,completată cu corecţia kT/q - vezi’ relaţia (3.45).
™ +-Avînd ţ1 vedere observaţiile privind apariţia stratului de inversie la ] ncţiumle
abrupte asimetrice, o aproximare mai bună pentru lărgimea regiunii de golire la
echilibru termic se obţine utilizind în relaţia f™4) urmatoarea expresie pentru
diferenţa internă de potenţial ’
$£0 = (2 U0 2 ) (kT/q) = 2 (kT/q) • In (Ay«<)• (3.72)
direct^PeÎfni1
Wt-Pe“tni ^ -P°^te păStra ?i în conditiiIe polarizării airecţe. Pentru joncţiunicvasisimetnce m orice regim de polarizare si pentru
joncţiuni asimetrice m regim de polarizare inversă — unde nu există strat
de inversie - serevine la expresia lui <1>£0 dată de aproximaţifde golir e
= (kT/q)-In (NAND/n2i)■ (3.73)
în concluzie, se pot face următoarele afirmaţii privind posibilitatea
«î^r'";asreeiuniIor de sarcină spaţiaB feradie
"* J
™

41. 45
- - i~ Solut“îe exactedovedesc că potmerge pe calea analitică numai pana la expresia
intensităţii cîmpului electric; pentru potentialul electric smt necesare metode
numerice. eia[nc
reeiun^ asimetrice există posibilitatea inversării
, P Aceasta situaţie se menţine în polarizare directă dar
a rPegimuMfekXcea ^ °d mar6 inter6S decunoaştere
- +Î1 J0Iîc[luî1,:a abfuptă estenumai un caz particularal joncţiunilorIulAbrupta'
J°nctluniIe difuzate se îndepărtează adesea de la’ mode-
în concluzie, aproximaţia de golire este cea mai eficace ipoteză a metodelor
analitice aplicate regiunilor de sarcină spaţială. Soluţiile exacte întăresc p cizia
acestei ipoteze prin corecţiile exprimate în relaţiile (3.69) şi (3.72).
3.2.4. Regiunea de sarcină spaţială la suprafaţa unui semiconductor
datorit? fennîSaiimUJ semiconductor se Pot forma regiuni de sarcină spaţială datorita
fenomenelor de recombinare care au loc aici sau prin efectul unui cîmp electric
exterior (structuri MIS). P
Apariţia unui strat de inversie reprezintă un fenomen fundamental- de
asemenea,seîntîlneşteşi regimul deacumularecareconstă în cSsterea concentraţiei
de purtători mobili la suprafaţă. ’
_prrri>n Prezentul paragraf interesează modul în care aproximaţia de golire permite
descrierea fenomenelor electrice din regiunile de sarcină spaţială de la suprafaţa
(regimul de golire şi de inversie). ’

42. 46
(3.74)
(3.75)
pxpmnlificareîn figura 3.10s-a consideratun semiconductordetip n, cu
concentraţia deimpurităţi constantă ND. Conformdesolire,la aplicarea unui potenţial
negativla suprafaţa,seformează,regiunedesarcină spaţialăavînd densitateadevoluma
sarcinii
p„ a qNn, x e (0, xd ),
unde * este lărgimea regiunii de golire. Rezultă că mărimile electrice din
Leastî%eSneStacefeaşi ca pentru ojoncţiuneabruptă asimetrică. p+n. Ca urmare,
analog cu relaţia (3.44)
xa = V (2e/?iVD)
unde J, este diferenţa de potenţial dintre suprafaţă şi volum (vezi figura 3.10) ÎS?,^mp£
spus - potenţialul de suptafaţ1 Aprox.nţaţ.a d,. gol,re este
valabilă pînă la inversie puternica, adica unde este dat a
a>a = (kTjq) In (ND/n(). (3-76)
Se reaminteştecă limita de inversieslabă esteconsiderata pentru
’ = <*>„ (3'77> iarpentru inversieputernică
= 20,. (3-78)
Aproximaţia degolirepermite calculul sarcinii totaledin regiunea golită dela
suprafaţă
Qs = qNDxa = ^2tqND^,. (3-79)
Pentru a putea compara rezultateleaproximaţieidegolirecu soluţiileexacteseapelează
la aceeaşi procedură ca in paragraful precedent(valabil Lc?£niabrupteasLSrice).De
altfel,în figura 3.10 s-a reprezentatşi variabila pentru potenţial W = U0 2 -«. undeU0 3 =
q^kT. De aceea.
q$B/kT
Fig. 3.10. — Model pentru calculul măi'imilor electrice
din regiunea de sarcină spaţială de la suprafaţa unui
semiconductor.

43. -w
tentatele privind polenţialul electric şi intensitatea cîmpului electric nre-
eSîa "xa§k aede„j;-3
t'-9-/n‘ ^ ?i In c“"‘ de
expresia exacta a densităţii de volum a sarcinii electrice atît pentru calculul
r £regim ,de inversie (ceea»™ ^
Se o Ş!T a C°,nStata valabilitatea aproximaţiei (3.74).
P. - densLea dePV^ ^ dC-V°lum a Sardnii - valoare exactă ;
£l° , aensitatea de olum a sarcinii — conform aproximaţiei de fmlirp onform cu notaţiile şi
rezultatele din paragraful precedent se obţine succesiv
_P^L = Nd ) ~(p~ n) [ ___ Isinh (U0 2 ) - sjnh (u) |
Pro 9lNA —Wj,l | sinh (U02) j "
-°’0 2 — e~uM — QUQZ~W e w—u0 2
(3.80)
— e~u<>2
ew— 2U02 I
(3.81)
fima^îl^Sh f6 re5atiile (3-80) sau (3-81) sînt prezentate în
lului normaliz'it dePefd^ntei raportului pv /P v o de mărimea potenţia-
uiui normalizat.In figura 3.11 b se prezintă dependenta
aceluiaşi raportde
d stanţa normalizatax)LD, distanţă avînd origineaîn punctulcu W0 = 0,59944.
Aproximaţia degolireeste valabilă pedomeniul in careraportul r/„ valoareunitară.
Devieri de la această aproximaţieau loc în apropierea limitei dinsprevoluma regiunii
de golire (**0) - pe o d i s t a n t ă I c{T apareinversia,in vecinătateasuprafeţei -pe
o distanţă -0,5° LD în fi-
U, 3 > 2 (Nd>m care
implă
expresia (3.80)
. ^ Pentru cazurile
capătă o formă mai
1
5
IJo 2 - 0
W
_J ______ l
1 0
5
Fig. 3.11. - Dependenţa densităţi de voiuai a sarcinii elecnice
a) sT dkt l de.ral°nle, normali2ate ale potenţialului electric (a) şi distanţei (6), avind
ca parametru doparea cu impurităţi
( U 0 ) . *
1
(a)
fv
^Vo
X/La
fiv 2
fv. 1 >

44. 48
i
I
v
Fig. 3.12. — Ilustrarea aproximaţiei de
semnal mic.
(3.86)
(3.87)
gura 3.11 s-au marcatprincipalelerezultateobţinutepentru cazul Up3 — 10 şi jy _ 20
= 2U0 2 (limita deinversieputernică).Mărimea regiunii golite ^^ ^
Dacă se utilizează aproximaţia de golire, sub forma relaţiei (3.75) ca mărimi
normalizate (vezi (3.44)), se obţine
xd =LT )J / kT — LB V W = 4,5 LD,
ceea ce corespunde unei erori de 1,5 L^, estimate mai sus. Eroarea scade însă în
regimul de golire, fără strat de inversie. Aceste rezultate confirmă şi pentru cazul
regiunilorgolitela suprafaţă,concluziileprivindvalabilitateaaproximaţiei de golire.
3.3. Aproximaţia de semnal mic
în studiul regimului variabil al componentelor electronice se întîlneşte adesea
aproximaţia de semnal mic. Aceasta corespunde regimului de funcţionare pentru
amplificatoareledesemnal,regimcaretrebuie să fie liniar. Caracteristica generală a
oricărei componente electronice active este însă neliniaritatea dependenţei dintre
mărimile electrice. Pentru a se putea obţine o funcţionare liniară, amplitudinea
variabilei independentesemicşorează pînăla nivelul la care dependenţa dintre cele
două variabile se poate aproxima cu tangenta la curbă în punctul’ static de
funcţionare considerat (vezi în acest sens figura 3.12, unde s-a considerat o
dependenţă i—v). Din punctdevedere matematic seapelează la dezvoltareaîn serie
a relaţiei neliniare i — v, în jurul punctului static (M0 ), de coordonate I — V:
Notînd componenta variabilă cu
(3.83)
aproximaţia de semnal mic precizează valoarea
maximă a acesteia (Va) pentru care relaţia (3.82) se
poate aproxima cu
Notînd cu ia componenta variabilăa răs-
punsului
ia = i(v ) ~ I> (3.85)
întrecele două componentesestabileşte
o relaţieliniară
ia = gVa,
undeg, admitanţa mutualăsau transadmitanţa,estedată de
di
g = T •
di> MQ
av M0

45. Stabilirea condiţiei desemnal mic depinde de forma concretă a dependenţei *
— v; conform cu (3.82) şi (3.86) condiţia matematică este
(1.88)
*52&! diy*
Cea mai restrictivă condiţiedesemnal mic aparela odependenţă exponenţială
» — v (de exemplu, o joncţiune pn polarizată direct):
t exp (qv/mkT), me(l, 2), (3.89)
condiţia (5.88) este echivalentă aici cu
Va<^vtkTjq = (25 ... 50) mV. (3.90)
Condiţia desemnal mic cea mai largă apare la o dependenţă i — v pătra- tică
(de exemplu, la tranzistoare cu efect de cîmp) — excluzînd cazul banal al
dependenţei liniare, unde Va —» oo. Presupunînd
i~(v-VT Y] v>VT (3.91)
(VT — tensiune de prag), condiţia (3.88) devine
Va< 2(V~Vt). (3.92)
Spredeosebire de relaţia (3.90), condiţia de semnal mic (3.92) depinde
şi de poziţia punctului static de funcţionare (prin tensiunea V).
Stabilirea măsurii în care trebuie îndeplinită inegalitatea din condiţia de
semnal mic se face în funcţie de caracterul concret al aplicaţiei.
B i b l i o g r a f i e
1. M. Drăgănescu, Procese electronice în dispozitive semiconductoare de circuit, Edit. Academiei
Bucureşti, 1962.
2. M. Drăgănescu, Electronica corpului solid, Edit. Tehnică, Bucureşti, 1972.
3. D. Dascălu, A. Rusu, M. Profirescu, 1. Costea, Dispozitive şi circuite electronice, Edit. Didactici şi
Pedagogică, Bucureşti, 1982.
4. M. Bodea, A. Rusu, Tehnologia dispozitivelor semiconductoare şi a circuitelor integrate — culegere de
probleme, I.P.B., 1973.
5. A. Rusu, C, Bulucea, Teoria şi proiectarea dispozitivelor semiconductoare şi a circuitelor integrate — culegere
de probleme, I.P.B., 1984.
6. S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices. J. Wiley, New York, 1981.
7. A. S. Grove, Fizica si tehnologia dispozitivelor semiconductoare, Edit. Tehnică, Bucureşti,.
1973. '
8. R. M. Warner Jr., B. L. Grung, Transistors, Fundamentals for the Integrated-Circuit Enginecr,. J. Wiley,
New York, 1983.

46. 4. MODELAREA TRANZISTOARELOR MOS
^ Tranzistorul MOS poate fi considerat cel mai reprezentativ dispozitiv al
microelectronicii actuale. Modelarea sa are legătură directă cu fenomenele fizice.
Parametrii de model rezultă direct din construcţie, cum este, de exemplu raportul
dintre lungimea şi lăţimea canalului, sau din tehnologie, cum este cazul tensiunii de
prag. Orientarea specifică a modelelor tranzistoarelor MOS se bazează pe o utilizare
relativ standardizată a dispozitivului în circuitele integrate. Celula elementară a
oricărui circuit integrat MOS este invertorul MOS realizat din două tranzistoare cu
acelaşi tip de canal, unul activ şi altul cu rol de sarcină, sau din două tranzistoare
complementare. Se poate deci afirma, la limită, că modelarea unui tranzistor MOS
este echivalentă cu modelarea întregului circuit.
Capitolul de faţă presupune cunoaşterea de către cititor a fenomenelor fizice
fundamentalealetranzistorului MOS;în acestsens sînt recomandate lucrările [1 — 8].
Tratarea urmăreşte o prezentare sistematică a modelelor cunos cute care sînt
aplicate in programele specializate de analiză pe calculator a circui telor integrate
MOS.
Tranzistorul MOS, prin construcţie, este un dispozitiv cu funcţionare
bidimensională. Tratarea analitică nu este însă posibilă în astfel de condiţii; singura
rezolvareposibilă apeleazăla metodenumerice.Soluţiilemetodelor numerice sînt cele
mai precise,darnu potfi utilizatepentru analiza de circuite integrate MOS. De aceea,
modelele analitice, folosite în programele de calcul pentru circuitele integrate MOS,
descriu, cu suficientă precizie, regimul cvasi- liniar al tranzistorului caracterizat de
continuitatea canalului de la sursă pînă la drenă. Această descriere are la bază
aproximaţia graduală. Pentru regimul de saturaţie se folosesc metode cvasiempirice
pentru descrierea modificării relativslabea curentului dedrenă cu tensiunea dedrenă.
O altă specificitatea modelelortranzistoarelor MOS este descrierea funcţionării
dispozitivelor cu canal lung. Pentru tranzistoarele cu canal scurt se păstrează, de
regulă,aceeaşi formă a modelului,dar parametrii de model au altă bază de definire şi
de calcul. Modele mai evoluate aduc însă modificări de esenţă ale modelelor pentru
tranzistoare cu canal lung prin descrierea unor efecte noi cum este, de exemplu,
acţiunea tranzistoarelor bipolare parazite.
Tratarea tranzistoarelor MOS se face identic, indiferent de tipul canalului. în
prezentul capitol se vor da relaţiile pentru tranzistorul MOS cu canal n.
4.1. Modelarea statică a tranzistoarelor MOS în regim de
îmbogăţire
TranzistorulMOS este privitca un dispozitiv cu patru terminale:sursa,poarta,
drena şi substratul. Substratul se consideră referinţă de potenţial, potenţialele
corespunzătoare celorlalţi trei electrozi fiind, respectiv*

47. 51
Vs> Şi VD. în figura 4.1 seprezintă ostructură detranzistor MOS cu canal n, ale cărui
dategeometrice sîntlungimea canalului, L, lăţimea canalului, Z, şi grosimea oxidului
de sub poartă, x0 . în continuare, se listează notaţiile pentru principalele mărimi
utilizate în modelarea fizică:
Qa — sarcina specifică (pe unitatea de arie) de pe poartă;
Qn — sarcina specifică a electronilor din canal;
Qs — sarcina specifică din semiconductor;
QB — sarcina specifică a ionilor de impurităţi din substrat;
NA — concentraţia atomilor de impurităţi din substrat;
VT — tensiunea de prag;
VFB — tensiunea de benzi netede;
k — factorul de substrat;
C0 — capacitatea specifică a oxidului;
— potenţialul Fermi al substratului;
V — potenţialul electric într-un punct al canalului;
JJL„ - mobilitatea electronului în canal.
IDs s — valoarea curentului dedrenă la limita deintrareîn saturaţiea
tranzistorului;
VDP — valoarea tensiunii dedrenă,corespunzătoareintrării în saturaţiea
tranzistorului.
4.1.1.Expresia generală a curentului de drenă
Exprimarea analitică a dependenţei ID = In{ Vs , VG , VD) se face în cadrul
aproximaţiei graduale. Conform acestei ipoteze, funcţionarea fundamental
bidimensională a tranzistorului MOS se studiază separat pe direcţia de curgere a
curentului (longitudinală) şi pe direcţia normală acesteia
unui tranzistor MOS în regim de îmbogăţire.

48. .52
Xj(y) = (1 / 4 )1
(transversală). Conform figurii 4.2, axa longitudinală se notează Oy, iar axa
transversală Ox. în termeni de cîmp electric, studiul separat pe cele două direcţii este
posibil dacă intensitatea cîmpului electric longitudinal este mică în comparaţie cu
intensitatea cîmpului electric transversal. Această inegalitate se respectă în regimul
cvasiliniar al tranzistorului, caracterizat prin continuitatea canalului între sursă şi
drenă.
rXp
Fig. 4.2. — Tranzistor MOS cu canal n, în regim cvasiliniar (canal continuu între sursă şi drenă), cu
precizarea elementelor de calcul pentru model.
Pentru exprimarea curentului de drenă în funcţie de tensiunile de polarizare
trebuie calculatărezistenţa canalului.Concentraţia deelectroni în canal (n) depinde
de coordonata y datorită faptului că potenţialul canalului variază de la sursă la
drenă. Rezistenţa di? a unei secţiuni infinitezimale dy a canalului este dată de
’ ’
di? == dy/a(y) Zdc , (4.1)
undeâ(y) reprezintă conductivitatea mediea canalului (medierea se consideră de-a
lungul axei Ox), iar de — grosimea canalului. Această grosime este relativ greu
definibilă,darea dispare în relaţia finală a curentului. Conductivitatea unui punct
din canal are expresia
a(x, y) = qn(x, y) an, (4.2)
undes-a neglijatcontribuţia purtătorilor minoritari. Sarcina specifică a electronilor
din canal are expresia
Qniy) = — n(x, y) dx. (4.3)
Cu aceste precizări, conductivitatea medie a canalului este
dc rdc
a{x, y) dx = (l/dc ) V qn(x, y) ix„ dx = — (un/dc )Qn(y), (4.4) o
Jo
unde s-a considerat o mobilitate constantă de-a lungul axei Ox. Dependenţa
mobilităţii depoziţia în canal prin intermediuldependenţei acesteia de
intensitatea cîmpuluielectric este luată în consideraţie separat ca o extindere
a modelului de bază.
Ţinînd seama derelaţia (4.4),expresia rezistenţei di? — relaţia (4.1) — devine
’
di? = —dy/Z[i„Q„(y). (4.5)
„ ^ 1 * jrrax
'f
c xl y
)
1*
07Z77Ă
0 K£ 1
vS—
X1
„ l 1
' Qn(y)
Qa(y)

49. 53
Aplicînd legea lui Ohmporţiunii infinitezimaledecanal străbătutădecurentul ID
şi la capetele căreia există căderea de potenţial dV, se obţine
dV = IDdR =- In- dy/Zy.nQn(y). (4.6)
Sarcina Qn se exprimă în continuare ca depinzînd de potenţialul V de-a lungul
canalului (prin intermediul coordonatei y) şi de potenţialul VG al porţii, deci Q„(Va,
V); relaţia (4.6) se rescrie
IDdy= -ZMVa, V)dV. (4.7)
Integrînd această relaţie între limitele y = 0, V = Vs şi y = L,
V = VD, se obţine
ID = -(Z/L) ^XDQ«(Vg , V) dV. (4.8)
JVs
Din considerentedenormalizare,în relaţia demai sus seînmulţeşte şi se împarte
cu capacitatea specifică a oxidului (C0) şi, apoi, se schimbă locul limitelor de integrare
(«>
L JvD Co
Notînd cu j(VG , V) o primitivă, dată de
f(VG) V) =C ^Va’ V fdV, (4.10)
J Co
expresia generală a curentului dedrenă în regiunea cvasiliniară a caracteristicilor este
ID = (Z/L) fi.»C0 J(VQ, Vs ) — f(VG , VD]. (4.11)
Domeniul de valabilitatea relaţiei demai sus este VD e (0, VDP ), unde tensiunea
VDP rezultă din relaţia
dlD/ dVDV D~V OP = 0 • (4.12)
în cazul în care mobilitatea n» este considerată constantă, relaţia (4.12) este
echivalentă cu condiţia Q„(y = L) — 0, adică cu dispariţia canalului lîngă drenă.
Pentru tensiuni dedrenă mai mari decît VDP (regim de saturaţie),curentul dedrenă are
expresia
ID^IDss = (Z/L)ll .nC0 [f(VG , Vs )-f(Ve , VDP )]. (4.13)
Acestcurentpoatefi consideratconstantîn raportcu potenţialul drenei;modelele
mai evoluate descriu însă o dependenţă slabă a acestuia de potenţialul drenei.
Expresiile concrete ale curentului de drenă în cele două regimuri de funcţionare se
obţin în funcţie de modul de calcul al sarcinii Q„.
4.1.2. Modele fundamentale
Modelele fundamentale presupun constante mobilitatea purtătorilor din canal
(|ljl„) şi valoarea curentului de drenă la saturaţie (LDs s ). Aceste modele constituie
puncte de plecare pentru modele mai precise.
Printre cele mai cunoscute modele sînt: Ihantola şi Moli [9], Pao şi Sah [10],
Brews şi Baccaroni [11, 12] şi Dang [13]. Toate cele patru modele se bazează pe
aproximaţia graduală. Dintre acestea, modelul Ihantola şi Moli se detaşează prin
simplitate, dar şi printr-o precizie ridicată. Modelul Pao şi Sah este cel mai precis
dintre ele; acest model, ca de altfel şi ultimile două din enumerarea de mai sus,
completează curentul din canal cu componenta de difuzie a acestuia. în plus,
exprimarea sarcinii QB se face ţinînd seama de contribuţia purtătorilor mobili. Ca
urmare, expresiile pentru curentul de drenă devin foarte complicate, fără a aduce

50. 54
sporuri însemnate de precizie.
De aceea modelul Ihantola şi Moli se detaşează ca singurul model funda-
mentalutilizatîn programele de analizăpe calculator a circuitelor integrate MOS. în
cele ce urmeazăse prezintăacestmodel împreună cu două variante simplificate ale
acestuia.
In condiţii de inversie,sarcina din semiconductor (Qs)se compune din sarcina
purtătorilor din canal, Qn, şi sarcina ionilor de impurităţi din regiunea de sarcină
spaţială de sub canal, QB
QS — QK^QB- H-M)
Sarcina Qs (negativă),egală şi de sens contrar cu sarcina de pe poartă,este dată
de [2,4]
Qs = ~ C0(VG - VFB— 2Oj - V). (4.15)
Sarcina QB se calculează cu
QB = — qNAxd (y) = - yllesqNA(2®F -f V), (4.16)
unde xd „ax( v) este lăţimea maximă atinsă la inversie puternică de regiunea de
sarcină spaţială la coordonata y, iar es este permitivitatea semiconductorului. Cu
aceste precizări, mărimea Q»/C0 , care intră în relaţia (4.10), devine
Qn/Co = — (VG — VFB ~ 2Q>f — V) + £(20f -f- F)
1/2
, (^'17)
unde s-a notat factorul de substrat
k = !2zs qNA IC0 . (4.18)
Atunci, funcţia f(VG, V), conform relaţiei (4.10), este
j(VG, V) = (1/2) {(VG - VFB -2Q>F - V)2 + (46/3) (2®,|-Fp], (4.19)
Curentulde drenă,conform relaţieigenerale (4.11),are expresia ID =
((3/2)[(VG - VFB - 2®F - Vs y - (VG - VFB - 20f - VD)2 +
+ (4&/3) (Vs + 2$fp - (4k/3) (VD + 20f)3/2], (4.20)
unde notaţia (3 are semnificaţia:
Ş = (Z/L) pi,C0. (4.21)
Relaţia (4.20) reprezintă forma generalăa caracteristicilor statice în
regiunea cvasiliniară; domeniul de valabilitate al acestei relaţii este:
Va > VT; 1,5 < VD < Vop. (4.22)
Tensiunea de prag, VT, are expresia
VT = FB -f- 2®f -)- Vs -f- k(Vs -j- 2O^)1/2, (4-23)
iartensiunea de drenă, VDP , la care se obţine saturaţia curentului, rezultă din relaţia
(4.12)
VDP = -20, + -k/2 + (£2/4 + VG- VFB)1/2]2. (4.24)
Expresia curentului dedrenă la saturaţie, IDSS, rezultă prin înlocuirea tensiunii
VD din (4.20) cu expresia (4.24) a tensiunii VDP .
Relaţia (4.20)a curentului dedrenă în regiunea cvasiliniară se poate scrie, după
cîteva prelucrări algebrice simple, sub forma
ID = p l(VG - VFB - 20,, - Vn/2) VB -{V0 - VFB - 20, - FS/2)FS +
+ (2/3) k{Vs + 20f)s/2 - (2/3) k(VD + 20/*]. (4.25)