Este documento describe las curvas circulares compuestas de dos y tres radios. Explica que una curva compuesta está formada por dos o más curvas circulares simples unidas. Define los elementos geométricos clave de una curva de dos radios como los puntos de inicio, final y común, así como los radios y ángulos. Proporciona fórmulas para calcular las tangentes larga y corta de una curva de dos y tres radios.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
Ampliación Maracaibo
Plataforma SAIA
Materia: Vias de Comunicacion I
CURVAS COMPUESTAS
Autor:
GOMEZ PEÑA, Robin
C.I.: 9.799.075
Maracaibo, Agosto de 2016

2. INTRODUCCION
Curvas compuestas son las formadas por una sucesión de curvas circulares de diferente
radio. En el punto de contacto o de unión de dos de estas curvas, que se denomina P.C.C. (punto
común de curvas), puede trazarse una tangente a ambas, y los puntos de tangencia inicial y final
de una curva compuesta con las tangentes de una línea de proyecto se denominan, como en las
curvas simples, PC y PT.
En terrenos de montaña es frecuente el uso de curvas compuestas, entre cuyos elementos
existen relaciones que facilitan su cálculo y localización y que es preciso establecer.
En la localización de curvas compuestas de dos radios puede presentarse casos luego del
estudio del terreno en el lugar donde deba colocarse el PC y el PT, o ambos, sea inaccesible y
haya la necesidad de desplazar uno u otro de tales puntos, escogiendo su ubicación y midiendo
su respectiva distancia del PI.

3. CURVAS CIRCULARES COMPUESTAS
Las curvas circulares compuestas son aquellas que están formadas por dos o más curvas
circulares simples.
A pesar de que no son muy comunes, se pueden emplear en terrenos montañosos, cuando se
quiere que la carretera quede lo más ajustada posible a la forma del terreno o topografía natural,
lo cual reduce el movimiento de tierras. También se pueden utilizar cuando existen limitaciones de
libertad en el diseño, como por ejemplo, en los accesos a puentes, en los pasos a desnivel y en
las intersecciones.
1 Curvas circulares compuestas de dos radios
En la Figura 1 aparecen los diferentes elementos geométricos de una curva circular compuesta de
dos radios, definidos como:
PI = Punto de intersección de las tangentes.
PC = Principio de la curva compuesta.
PT = Fin de la curva compuesta o principio de tangente.
PCC = Punto común de curvas o punto de curvatura compuesta.
Punto donde termina la primera curva circular simple y empieza la segunda.
R1 = Radio de la curva de menor curvatura o mayor radio.
R2 = Radio de la curva de mayor curvatura o menor radio.
O1 = Centro de la curva de mayor radio.
O2 = Centro de la curva de menor radio.
Δ = Ángulo de deflexión principal.
Δ1 = Ángulo de deflexión principal de la curva de mayor radio.
Δ2 = Ángulo de deflexión principal de la curva de menor radio.
T1 = Tangente de la curva de mayor radio.
T2 = Tangente de la curva de menor radio.
TL = Tangente larga de la curva circular compuesta.

4. TC = Tangente corta de la curva circular compuesta.
Figura 1 Curva circular compuesta de dos radios
Los elementos geométricos que caracterizan cada curva circular simple se calculan en forma
independiente en cada una de ellas, utilizando las expresiones para curvas circulares simples,
deducidas anteriormente.
Para la curva compuesta es necesario calcular la tangente larga TL y la tangente corta TC, así:
∆ = ∆1 + ∆2

5. 𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐸𝐸 − 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐸𝐸
𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐸𝐸 = 𝑎𝑎 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + (𝑂𝑂2 𝐷𝐷 − 𝑂𝑂2 𝐶𝐶)
En el triángulo rectángulo ABO1:
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑂𝑂1 𝐵𝐵 sin ∆1 = 𝑅𝑅1 sin ∆1
En el triángulo rectángulo O2D.PT:
𝑂𝑂2 𝐷𝐷 = 𝑂𝑂2. 𝑃𝑃𝑃𝑃 sin ∆ = 𝑅𝑅2 sin ∆
En el triángulo rectángulo O2CB:
𝑂𝑂2 𝐶𝐶 = 𝑂𝑂2 𝐵𝐵 sin ∆1= 𝑅𝑅2 sin ∆1
En el triángulo rectángulo PI.E.PT:
𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐸𝐸 = 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝑃𝑃𝑃𝑃 cos ∆ = 𝑇𝑇𝐶𝐶 cos ∆
Por lo tanto,
𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑂𝑂2 𝐷𝐷 − 𝑂𝑂2 𝐶𝐶 − 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐸𝐸
𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑅𝑅1 sin ∆1 + 𝑅𝑅2 sin ∆ − 𝑅𝑅2 sin ∆1 − 𝑇𝑇𝐶𝐶 cos ∆
𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑅𝑅2 sin ∆ + (𝑅𝑅1−𝑅𝑅2) sin ∆1 − 𝑇𝑇𝐶𝐶 cos ∆
En el triángulo rectángulo PI.E.PT:
sin ∆ =
𝐸𝐸. 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝑃𝑃𝑃𝑃
=
𝑏𝑏
𝑇𝑇𝐶𝐶
, 𝑇𝑇𝐶𝐶 =
𝑏𝑏
sin ∆
𝑏𝑏 = 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝑂𝑂1 − 𝐴𝐴𝑂𝑂1 = 𝑅𝑅1 − 𝐴𝐴𝑂𝑂1
𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐷𝐷
En el triángulo rectángulo ABO1:
𝐴𝐴𝑂𝑂1 = 𝑂𝑂1 𝐵𝐵 cos ∆1= 𝑅𝑅1 cos ∆1
En el triángulo rectángulo O2D.PT:
𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐷𝐷 = 𝑂𝑂2 𝑃𝑃𝑃𝑃 cos ∆ = 𝑅𝑅2 cos ∆

6. Entonces:
𝑏𝑏 = 𝑅𝑅1 − 𝐴𝐴𝑂𝑂1 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐷𝐷 = 𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅1 cos ∆1 + 𝑅𝑅2 cos ∆1 − 𝑅𝑅2 cos ∆
𝑏𝑏 = 𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2 cos ∆ − (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos ∆1
Luego:
𝑇𝑇𝐶𝐶 =
𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2 cos ∆ − (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos ∆1
sin ∆
Igualmente:
𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑅𝑅2 sin ∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) sin ∆1 − �
𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2 cos ∆ − (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos ∆1
sin ∆
� cos ∆
𝑇𝑇𝐿𝐿 =
𝑅𝑅2 sin2
∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) sin ∆ sin ∆1
sin ∆
+
−𝑅𝑅1 cos ∆ + 𝑅𝑅2 cos2
∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos ∆ cos ∆1
sin ∆
𝑇𝑇𝐿𝐿 =
𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅1 cos ∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos ∆2
sin ∆
2 Curvas circulares compuestas de tres radios
La Figura 2 muestra una curva compuesta de tres radios de longitudes diferentes tal que R1>R2>R3
y de ángulos de deflexión principal Δ1, Δ2 y Δ3 respectivamente. Los puntos H y D son los puntos
comunes a cada par de curvas circulares, o sea, los dos PCC de la curva compuesta. Para el
cálculo y localización de la curva circular compuesta es necesario determinar la tangente larga TL
y la tangente corta TC, así:
∆ = ∆1 + ∆2 + ∆3
𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑎𝑎 − 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐺𝐺 , donde,
𝑎𝑎 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐵𝐵
𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝑂𝑂3 𝐹𝐹 − 𝑂𝑂3 𝐸𝐸 , entonces,
𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐸𝐸𝐸𝐸 − 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐺𝐺
𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑂𝑂3 𝐹𝐹 − 𝑂𝑂3 𝐸𝐸 − 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐺𝐺 [1]

7. Los segmentos AH, BH, CD, O3F, O3E y PI.G se determinan en los siguientes triángulos
rectángulos:
Triangulo O1AH => 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑂𝑂1 𝐻𝐻 sin ∆1= 𝑅𝑅1 sin ∆1
Triangulo O2BH => 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑂𝑂2 𝐻𝐻 sin ∆1= 𝑅𝑅2 sin ∆1
Triangulo O2CD => 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑂𝑂2 𝐷𝐷 sin(∆1 + ∆2) = 𝑅𝑅2 sin(∆1 + ∆2)
Triangulo O3F.PT => 𝑂𝑂3 𝐹𝐹 = 𝑂𝑂3. 𝑃𝑃𝑃𝑃 sin ∆ = 𝑅𝑅3 sin ∆
Triangulo O3ED => 𝑂𝑂3 𝐸𝐸 = 𝑂𝑂3 𝐷𝐷 sin(∆1 + ∆2) = 𝑅𝑅3 sin(∆1 + ∆2)
Triangulo PI.G.PT => 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐺𝐺 = 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝑃𝑃𝑃𝑃 cos ∆ = 𝑇𝑇𝐶𝐶 cos ∆
Figura 2 Elementos de una curva circular compuesta de tres radios

8. Por lo tanto, en [1]:
𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑅𝑅1 sin ∆1 − 𝑅𝑅2 sin ∆1 + 𝑅𝑅2 sin(∆1 + ∆2) + 𝑅𝑅3 sin ∆ − 𝑅𝑅3 sin(∆1 + ∆2) − 𝑇𝑇𝐶𝐶 cos ∆
𝑇𝑇𝐿𝐿 = (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) sin ∆1 + (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) sin(∆1 + ∆2) + 𝑅𝑅3 sin ∆ − 𝑇𝑇𝐶𝐶 cos ∆ [2]
La tangente corta TC, en el triángulo rectángulo PI.G.PT, es:
sin ∆ =
𝐺𝐺. 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝑃𝑃𝑃𝑃
=
𝑏𝑏
𝑇𝑇𝐶𝐶
, 𝑇𝑇𝐶𝐶 =
𝑏𝑏
sin ∆
, donde,
𝑏𝑏 = 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐷𝐷𝐷𝐷
𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝑂𝑂1 − 𝐴𝐴𝑂𝑂1 = 𝑅𝑅1 − 𝐴𝐴𝑂𝑂1
𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝑂𝑂2 − 𝐶𝐶𝑂𝑂2
𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝐽𝐽𝐽𝐽 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐹𝐹
𝑇𝑇𝐶𝐶 =
𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐷𝐷𝐷𝐷
sin ∆
=
𝑅𝑅1 − 𝐴𝐴𝑂𝑂1 + 𝐵𝐵𝑂𝑂2 − 𝐶𝐶𝑂𝑂2 + 𝐷𝐷𝐷𝐷 − 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐹𝐹
sin ∆
[3]
Los segmentos AO1, BO2, CO2, DE y PT.F se determinan en los siguientes triángulos rectángulos:
Triángulo O1AH => 𝐴𝐴𝑂𝑂1 = 𝑂𝑂1 𝐻𝐻 cos ∆1= 𝑅𝑅1 cos ∆1
Triángulo O2BH => 𝐵𝐵𝑂𝑂2 = 𝑂𝑂2 𝐻𝐻 cos ∆1= 𝑅𝑅2 cos ∆1
Triángulo O2CD => 𝐶𝐶𝑂𝑂2 = 𝑂𝑂2 𝐷𝐷 cos(∆1 + ∆2) = 𝑅𝑅2 cos(∆1 + ∆2)
Triángulo O3ED => 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑂𝑂3 𝐷𝐷 cos(∆1 + ∆2) = 𝑅𝑅3 cos(∆1 + ∆2)
Triángulo O3F.PT => 𝑃𝑃𝑃𝑃. 𝐹𝐹 = 𝑂𝑂3. 𝑃𝑃𝑃𝑃 cos ∆ = 𝑅𝑅3 cos ∆
Por lo tanto, en [3]:
𝑇𝑇𝐶𝐶 =
𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅1 cos ∆1 + 𝑅𝑅2 cos ∆1 − 𝑅𝑅2 cos(∆1 + ∆2) + 𝑅𝑅3 cos(∆1 + ∆2) − 𝑅𝑅3 cos ∆
sin ∆
Luego:
𝑇𝑇𝐶𝐶 =
𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅3 cos ∆ − (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos ∆1 − (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) cos(∆1 + ∆2)
sin ∆
(1-01)

9. La tangente larga TL se obtiene reemplazando la ecuación (1-01) en [2]:
𝑇𝑇𝐿𝐿 = (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) sin ∆1 + (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) sin(∆1 + ∆2)
+ 𝑅𝑅3 sin ∆
− �
𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅3 cos ∆ − (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos ∆1 − (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) cos(∆1 + ∆2)
sin ∆
� (cos ∆)
𝑇𝑇𝐿𝐿 =
(𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) sin ∆ sin ∆1 + (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) sin ∆ sin(∆1 + ∆2) + 𝑅𝑅3 sin2
∆ − 𝑅𝑅1 cos ∆
sin ∆
+
𝑅𝑅3 cos2
∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos ∆ cos ∆1 + (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) cos ∆ cos(∆1 + ∆2)
sin ∆
𝑇𝑇𝐿𝐿 =
𝑅𝑅3(sin2
∆ + cos2
∆) − 𝑅𝑅1 cos ∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) (sin ∆ sin ∆1) + (cos ∆ cos ∆1)
sin ∆
+
(𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3)[sin ∆1 + sin(∆1 + ∆2) + cos ∆ cos(∆1 + ∆2)]
sin ∆
𝑇𝑇𝐿𝐿 =
𝑅𝑅3(1) − 𝑅𝑅1 cos ∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos(∆ − ∆1) + (𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅3) cos[∆ − (∆1 + ∆2)]
sin ∆
Pero, ∆ − ∆1= ∆2 + ∆3 y ∆ − (∆1 + ∆2) = ∆3
Luego:
𝑇𝑇𝐿𝐿 =
𝑅𝑅3 − 𝑅𝑅1 cos ∆ + (𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2) cos(∆2 + ∆3) + (𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅3) cos ∆3
sin ∆
(1-02)
Las expresiones anteriores para TC y TL sólo son válidas bajo la condición de que R1>R2>R3, en
ese orden.
Sin embargo, un caso más general es aquel en el cual siempre el radio de la primera curva es R1,
el de la segunda R2 y el de la tercera R3, cualesquiera sean sus longitudes; como por ejemplo, el
mostrado en la Figura 3. En esta situación, es más conveniente denominar las tangentes de la

10. curva compuesta como tangente de entrada TE o del lado del PC y tangente de salida TS o del
lado del PT. Dichas tangentes se calculan así:
𝑇𝑇𝐸𝐸 = 𝑇𝑇1 + 𝑋𝑋 , donde,
𝑋𝑋
sin 𝛼𝛼
=
𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 + 𝑌𝑌
sin 𝛽𝛽
, esto es,
𝑇𝑇𝐸𝐸 = 𝑇𝑇1 +
(𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 + 𝑌𝑌)sin 𝛼𝛼
sin 𝛽𝛽
, pero,
𝑌𝑌
sin Δ3
=
𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3
sin 𝜌𝜌
Figura 3 Caso General de una curva circular compuesta de tres radios

11. 𝑇𝑇𝐸𝐸 = 𝑇𝑇1 + �𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 +
(𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3) sin Δ3
sin 𝜌𝜌
� �
sin 𝛼𝛼
sin 𝛽𝛽
�
𝜌𝜌 = 180° − (Δ2 + Δ3) , sin 𝜌𝜌 = sin[180° − (Δ2 + Δ3)] = sin(Δ2 + Δ3)
𝛼𝛼 = (Δ2 + Δ3) , sin 𝛼𝛼 = sin(Δ2 + Δ3)
𝛽𝛽 = 180° − Δ , sin 𝛽𝛽 = sin(180° − Δ) = sin Δ
Por lo tanto:
𝑇𝑇𝐸𝐸 = 𝑇𝑇1 + �𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 +
(𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3) sin Δ3
sin(Δ2 + Δ3)
� �
sin(Δ2 + Δ3)
sin Δ
� (1-03)
Para la tangente de salida se tiene:
𝑇𝑇𝑆𝑆 = 𝑇𝑇3 + 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 , donde,
𝑎𝑎
sin Δ1
=
𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 + 𝑌𝑌
sin 𝛽𝛽
=
𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 +
(𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3)sin Δ3
sin 𝜌𝜌
sin 𝛽𝛽
𝑎𝑎 = �𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇2 +
(𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3)sin Δ3
sin(Δ2 + Δ3)
� �
sin Δ1
sin Δ
�
𝑏𝑏
sin Δ2
=
𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3
sin 𝜌𝜌
, 𝑏𝑏 =
(𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3) sin Δ2
sin(Δ2 + Δ3)
Por lo tanto:
𝑇𝑇𝑆𝑆 = 𝑇𝑇3 + �𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 +
(𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3) sin Δ3
sin(Δ2 + Δ3)
� �
sin Δ1
sin Δ
� +
(𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇3) sin Δ2
sin(Δ2 + Δ3)
(1-04)
Los valores de las tangentes simples T1, T2 y T3 se calculan en cada curva como:
𝑇𝑇1 = 𝑅𝑅1 tan
Δ1
2
; 𝑇𝑇2 = 𝑅𝑅2 tan
Δ2
2
; 𝑇𝑇3 = 𝑅𝑅3 tan
Δ3
2
Dependiendo del valor de las longitudes de los radios T1, T2 y T3, en la Figura 4, se presentan las
seis posibles configuraciones.

12. Figura 4 Casos de curvas circulares compuestas de tres radios

13. Ejemplo:
Elementos geométricos y deflexiones de una curva circular compuesta de dos radios.
Datos:
Según la Figura 5, se tienen tres alineamientos rectos AB, BC y CD con la siguiente información:
Azimut alineamiento AB = 32°
Azimut alineamiento BC = 66°
Azimut alineamiento CD = 144°
Radio de la curva 1 = R1 = 76.800m
Cuerda Unidad de la curva 1 = C1 = 10m
Cuerda Unidad de la curva 2 = C2 = 5m
Abscisa del PC = K0+968.000
Distancia de BC = 60.000m
Los tres alineamientos deben unirse con una curva compuesta de dos radios (R1>R2), donde el
tramo BC es la tangente común a las curvas simples.
Figura 4
Calcular: a.- Las tangentes larga y corta de la curva compuesta
b.- Las deflexiones de la curva compuesta