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FUNCIONES
CUADRATICAS
► Todo   número elevado al cuadrado da
    como resultado un valor de signo
     positivo. Es así que la ecuación
     x2
  y =   tiene como dominio a todos los
reales y como conjunto imagen los reales
positivos incluido el cero. El valor mínimo
(en la imagen) de esta función será para
 x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que
 denominaremos vértice de la parábola.
► Una función cuadrática es toda función que
 pueda escribirse de la forma f(x) = a x 2+ b x
 + c, donde a, b y c son números cualesquiera,
 con la condición de que a sea distinto de 0 .
La función cuadrática más sencilla es
      f(x) = cuya gráfica es:
         x   2


►x   =       -3 -2 -1 -0'5 0 0'5       1 2 3
► f(x) = x 2 9 4 1 0'25 0 0'25         1 4 9
► Esta curva simétrica se llama parábola.
► Trace la   gráfica de g(x) = x2 – 4

Al comparar las tablas de valores para g(x) = x2 -
4 y f(a) = x2 que se muestran en la figura 27,
podemos ver que para valores correspondientes de
x, los valores y de g son cada uno de 4 menos que
los de f.

Véase la figura 27. El vérti-ce de esta parábola, en
este caso el punto más bajo, está en (0, -4). El eje
de la parábola es la recta vertical x = 0.
y


g(x) = x2 – 4         f(x) = x2


                                                        f(x) = x2
x y             x y
-2   0      -2    4                                                 x
-1   -3     -1    1                    (0.0)        1
 0   -4      0    0
 1   -3      1    1                        -2
 2   0       2    4                                     g(x) = x2 – 4
                                  (0.-4)
► Trace   la gráfica de g(x) = (x - 4)2

Al comparar los valores que aparecen con la figura
28 se observa que la gráfica de g(x) = (x - 4)2es
la misma que la de f(x) = x2, pero trasladada 4
unidades a la derecha.

El vértice está en (4, 0). Como se muestra en la
figura 28, el eje de esta parábola es la recta
vertical x = 4.
y


g(x) = (x – 4)2   f(x) = x2          4                  x=4
     x y          x y
     2   0        -2   4
     3   -3       -1   1
     4   -4        0   0
     5   -3        1   1
     6   0         2   4                                         x
                                 (0.0)          (4,0)
                              f(x) = x2       g(x) = (x2 – 4)2
►   Trace la gráfica de la función cuadrática f(x) = x2
                           - x - 6.

►  Como a > 0, la parábola abrirá hacia arriba. Ahora encuentre
   la intersección con el eje y.
f(x) = x2 - x – 6
f(0) = 02 - x - 6             Determine f(0)
f(0) = - 6

►  La intersección en el eje de y es (0, -6). Ahora encuentre las
   intersecciones en el eje x.
f(x) = x2 - x – 6
0 = x2 - x – 6                     sea f(x) = 0
0 = (x - 3) (x + 2)                Factorice
x-3=0 o x+2=0                    Igual cada factor a 0 y resuelva
x = 3 o x = -2
►   Las intersecciones en el eje x son (3,0) y (-2,0). El
    vértice, que se encontró en el ejemplo 6, es (1/2, -
    25/4). Localice los puntos encontrados hasta ahora, y
    ubique cualquier punto adicional como sea necesario.
    Aquí la simetría de la gráfica es útil. La gráfica se
    muestra en la figura 30      y
                              x=½   f(x) = x2 - x – 6

                                                        x
                   (- 2,0)      0           (3,0)
                    (-1,-4)
                                       (2,-4)

                         (0,-6)
                                     1 25
                                    ( − )
                                     2 4
Como hemos visto, el vértice de una parábola
vertical es el punto más alto o el punto más bajo de
la parábola. La ordenada del vértice da el valor
máximo o mínimo de y, mien-tras que la abscisa
indica en dónde ocurre ese máximo o mínimo.

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Graficas de funciones cuadraticas

  • 2. ► Todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo. Es así que la ecuación x2 y =   tiene como dominio a todos los reales y como conjunto imagen los reales positivos incluido el cero. El valor mínimo (en la imagen) de esta función será para x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que denominaremos vértice de la parábola.
  • 3. ► Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x 2+ b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .
  • 4. La función cuadrática más sencilla es f(x) = cuya gráfica es: x 2 ►x = -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3 ► f(x) = x 2 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9 ► Esta curva simétrica se llama parábola.
  • 5. ► Trace la gráfica de g(x) = x2 – 4 Al comparar las tablas de valores para g(x) = x2 - 4 y f(a) = x2 que se muestran en la figura 27, podemos ver que para valores correspondientes de x, los valores y de g son cada uno de 4 menos que los de f. Véase la figura 27. El vérti-ce de esta parábola, en este caso el punto más bajo, está en (0, -4). El eje de la parábola es la recta vertical x = 0.
  • 6. y g(x) = x2 – 4 f(x) = x2 f(x) = x2 x y x y -2 0 -2 4 x -1 -3 -1 1 (0.0) 1 0 -4 0 0 1 -3 1 1 -2 2 0 2 4 g(x) = x2 – 4 (0.-4)
  • 7. ► Trace la gráfica de g(x) = (x - 4)2 Al comparar los valores que aparecen con la figura 28 se observa que la gráfica de g(x) = (x - 4)2es la misma que la de f(x) = x2, pero trasladada 4 unidades a la derecha. El vértice está en (4, 0). Como se muestra en la figura 28, el eje de esta parábola es la recta vertical x = 4.
  • 8. y g(x) = (x – 4)2 f(x) = x2 4 x=4 x y x y 2 0 -2 4 3 -3 -1 1 4 -4 0 0 5 -3 1 1 6 0 2 4 x (0.0) (4,0) f(x) = x2 g(x) = (x2 – 4)2
  • 9. Trace la gráfica de la función cuadrática f(x) = x2 - x - 6. ► Como a > 0, la parábola abrirá hacia arriba. Ahora encuentre la intersección con el eje y. f(x) = x2 - x – 6 f(0) = 02 - x - 6 Determine f(0) f(0) = - 6 ► La intersección en el eje de y es (0, -6). Ahora encuentre las intersecciones en el eje x. f(x) = x2 - x – 6 0 = x2 - x – 6 sea f(x) = 0 0 = (x - 3) (x + 2) Factorice x-3=0 o x+2=0 Igual cada factor a 0 y resuelva x = 3 o x = -2
  • 10. Las intersecciones en el eje x son (3,0) y (-2,0). El vértice, que se encontró en el ejemplo 6, es (1/2, - 25/4). Localice los puntos encontrados hasta ahora, y ubique cualquier punto adicional como sea necesario. Aquí la simetría de la gráfica es útil. La gráfica se muestra en la figura 30 y x=½ f(x) = x2 - x – 6 x (- 2,0) 0 (3,0) (-1,-4) (2,-4) (0,-6) 1 25 ( − ) 2 4
  • 11. Como hemos visto, el vértice de una parábola vertical es el punto más alto o el punto más bajo de la parábola. La ordenada del vértice da el valor máximo o mínimo de y, mien-tras que la abscisa indica en dónde ocurre ese máximo o mínimo.