Rodny Moros 24165640 Referencia - Fundamentos de la matemática segunda edición.

1. Estructuras Discretas IActividad N° 2
Rodny Moros
Autor: Rodny Moros
C.I.: V-24.165.640
Funciones Proposicionales
Son las expresiones que se obtiene a partir de variables proposicionales: p., q, r. entre otras,
mediante aplicaciones de los conectivos lógicos, se llaman formas proposicionales, esta se
denotará con letras mayúsculas A, B, C,… en caso de que se quiera enfatizar las variables
que intervienen en las funciones proposicionales se escribirá así: A(p, q); B(p1,p2,p3), etc.
Ejemplo
Son formas preposicionales las siguientes expresiones
1. 𝑨( 𝒑, 𝒒) = ~[ 𝒑 → (~𝒒)]
2. 𝐵( 𝑝, 𝑞, 𝑟) = 𝑝 ∧ ( 𝑞 ∧ 𝑟)
3. 𝐶( 𝑝1, 𝑝2 , 𝑝3) = 𝑝1 → [𝑝2 ↔ (𝑝3 ∧ (∼ 𝑝1))]
Para ser precisos, se define forma proposicional como una expresión que se obtiene
siguiendo las siguientes reglas:
1. Todas las variables proposicionales son formas proposicionales. A estas las
llamaremos formas proposicionales atómicas.
2. Si A y B son formas proposicionales, entonces también lo son:
∼ 𝐴, 𝐴 ∧ 𝐵, 𝐴 ∨ 𝐵, 𝐴 ∨ 𝐵, 𝐴 → 𝐵 𝑦 𝐴 ↔ 𝐵
Signos de agrupación
Los signos de agrupación, paréntesis, corchetes, etc., son usados en la construcción de
formas proposicionales para evitar las ambigüedades. Asi, los paréntesis permiten diferenciar
las dos formas:
( 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟 𝑦 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)
Que tiene significaciones distintas. En ( 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟, la conectiva principal es ∧. En cambio, en
la forma 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) la conectiva principal es ∨.
Se llama conectiva principal de un forma proposicional (no atómica) a la última conectiva que
se usó para construir dicha forma proposicional. Así, en 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑡) la conectiva principal es
→. En cambio, en ( 𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑡 es ∧ y en ∼ (𝑝 ↔ 𝑞) es ∼.

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Con el objeto de aligerar la escritura, se adoptan las siguientes convenciones que permiten
eliminar algunos signos de agrupación sin caer en ambigüedades.
Convención 1: asignamos el siguiente rango a cada conectiva
↔ Rango 4
→ Rango 3
∧,∨,∨ Rango 2
∼ Rango 1
Además, se establece que el rango de una forma proposicional atómica es 0 y que el rango
de una forma proposicional no atómica es el rango de su conectiva principal.
Así, 𝑝 ∧ (𝑞 ↔ 𝑟) es de rango 2, ~(𝑝 → 𝑞) es de rango 1 y , 𝑝 ↔ (𝑞 ∨ 𝑟) es de rango 4.
Convención 2: Se escribirá, ∼∼ 𝑝 en lugar de , ∼ (∼ 𝑝)
Convención 3: Si una forma proposicional es de la forma (A) α B, donde α representa a una
de las conectivas ↔, →,∧,∨ ó ∨, y si el rango α es mayor que el rango de A, entonces se
escribe AαB en lugar de (A) α B.
Similarmente, si se tiene A α (B) y el rango de α es mayor que B, entonces se escribe A α B
en lugar de A α (B).
Ejemplo
a. ( 𝑝 ∧ 𝑞) ↔ 𝑟 se puede escribir así: 𝑝 ∧ 𝑞 ↔ 𝑟
En efecto, como el rango de ↔ es mayor que el de 𝑝 ∧ 𝑞, los paréntesis pueden
suprimirse.
b. (~𝑝 → (~𝑞) puede escribirse así: ~𝑝 → ~𝑞
En efecto, como el rango → es mayor que el de ~𝑝 y el de ~𝑞 , los dos juegos de
paréntesis pueden ser suprimidos.
c. [( 𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑡] ↔ [~(~𝑝) ∧ 𝑠] se puede escribir así: (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑡 ↔ ~~𝑝 ∧ 𝑠
En efecto, como el rango de ↔ es mayor que el rango de las preposiciones de ambos
extremos, los dos pares de corchetes pueden ser eliminados.
Ejemplo
Colocar los signos de agrupación a la siguiente forma proposicional

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𝑝 → 𝑞 ↔ ~𝑡 ∨ ~(𝑝 ∨ 𝑡)
Solución
El conectivo de mayor rango es↔, entonces agrupamos del modo siguiente
[ 𝑝 → 𝑞] ↔ [~𝑡 ∨ ~(𝑝 ∨ 𝑡)]
Además, como el conectivo de mayor rango en ~𝑡 ∨ ~(𝑝 ∨ 𝑡) ,esta última expresión se
agrupa así:
(~𝑡) ∨ (~(𝑝 ∨ 𝑡))
Finalmente se tiene
[ 𝑝 → 𝑞] ↔ [(~𝑡) ∨ (~(𝑝 ∨ 𝑡))]
Tabla de la Verdad de Formas Proposicionales
Como cada forma proposicional está definida únicamente mediante operaciones
veritativas, el valor lógico de una forma proposicional depende únicamente de los valores
lógicos que se asigne a sus variables proposicionales. Para el cálculo de este valor se
usan las tablas de la verdad.
Ejemplo
Construir la tabla de la verdad de la proposición (𝑝 ∧ ~𝑞) ↔ 𝑞
Solución
Existen dos métodos: el acumulativo y el abreviado
Método Acumulativo
Se asigna una columna para cada variable proposicional y una columna para cada
operación indicada, conservando el orden en que estas se llevaron a cabo.
En el caso (𝑝 ∧ ~𝑞) ↔ 𝑞, la primera operación que se llevó a cabo fue la negación,
siguió la disyunción y luego el bicondicional.
p q ~𝑞 𝑝 ∧∼ 𝑞 (𝑝 ∧ ~𝑞) ↔ 𝑞
1 1 0 0 1

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0 1 0 0 0
0 0 1 1 0
El orden en que se asignan los valores lógicos a las variables proposicionales p y q es
arbitrario. Sin embargo, conviene en mantener el orden en que aparecen en las dos
primeras columnas.
Método Abreviado
Este es el método que más se usa, ya que permite ahorrar tiempo y espacio, como primer
paso se escribe directamente la forma proposicional asignando inmediatamente valores
lógicos a las variables proposicionales (nivel 1) y a las negaciones de éstas (nivel 2).
Luego se asignan los valores a las conectivas conservando el orden en que éstas se
usaron para construir la forma proposicional. Así:
p q (𝑝 ∧ ~𝑞) ↔ 𝑞
1 1 1 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 0 1 1 0
1 1 3 2 4
Tautologías y Contradicciones
Tautología: es una forma proposicional que es verdadera para cualquier valor lógico que
se le asigne a sus variables proposicionales. En otras palabras, una forma proposicional
es una tautología si en su tabla de verdad, la columna bajo su conectiva principal está
formada solo por “unos”.
Contradicción: es una forma proposicional que es falsa para cualquier valor lógico que
se le asigne a sus variables proposicionales, o sea, si la columna bajo su conectiva
principal está formada solo por “ceros”.
Ejemplo
(𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑝 es una tautología. En efecto:
p q (𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑝
1 1 1 1
1 0 0 1

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Es claro que ~[(𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑝 ], por ser la negación de la tautología anterior, es una
contradicción.
Ejemplo
𝑝 ∨∼ 𝑝 , es una tautología y 𝑝 ∧∼ 𝑝 es una contradicción
𝑝 ∼ 𝑝 𝑝 ∨∼ 𝑝
1 0 1
0 1 1
𝑝 ∼ 𝑝 𝑝 ∧∼ 𝑝
0 1 0
1 0 0
A las tautologías se les llama también leyes de la lógica.