Este documento presenta conceptos básicos de geometría analítica en el espacio tridimensional. Introduce el espacio tridimensional y el sistema de coordenadas cartesianas de tres dimensiones. Explica conceptos como planos, puntos, ejes de coordenadas y octantes. Luego, cubre ecuaciones de planos y superficies cuadráticas como esferas, cilindros y paraboloides. Incluye ejemplos para ilustrar cómo encontrar puntos, trazas y secciones de estas superficies. El objetivo es que los estudiantes aprend

1. MA263 CÁLCULO II
න
𝐶
𝐅 ⋅ 𝑑𝐫
ඵ 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦
Geometría analítica en el
espacio

2. MA263 CÁLCULO II
UNIDAD 1
Geometría analítica en el espacio
• Competencia: Razonamiento Cuantitativo – nivel 2.
• Logro de la unidad: Al finalizar la unidad, el estudiante describe en forma
ordenada regiones del plano y del espacio limitadas por superficies, empleando el
sistema de coordenadas cartesianas.
2

3. MA263 CÁLCULO II
Logro de la sesión
Al finalizar la sesión, el estudiante,
esboza planos y superficies cuádricas
incompletas.
3

4. MA263 CÁLCULO II
Temario
❖ Espacio tridimensional. Punto en el espacio
❖ Planos coordenados. Planos
❖ Superficies cuádricas incompletas y cilindros
4

5. MA263 CÁLCULO II
El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de
espacio tridimensional, y se denota por ℝ3. Cada terna ordenada (𝑥; 𝑦; 𝑧)se
denomina punto del espacio tridimensional.
x
y
z
𝑥
𝑦
𝑧
(0; 𝑦; 𝑧)
(0; 𝑦; 0)
(𝑥; 𝑦; 0)
(𝑥; 0; 0)
(𝑥; 0; 𝑧)
(0; 0; 𝑧)
(0; 0; 0)
𝑃(𝑥; 𝑦; 𝑧)
5
Espacio tridimensional

6. MA263 CÁLCULO II
A saber:
1) Se tienen 3 ejes
coordenados:
Eje 𝑥
Eje 𝑦
Eje 𝑧
2) Se determinan 3 planos
coordenados:
Plano 𝑥𝑦 : 𝑧 = 0
Plano 𝑥𝑧 ∶ 𝑦 = 0
Plano 𝑦𝑧 ∶ 𝑥 = 0
3) El espacio se divide en 8 octantes
6
Sistema tridimensional de coordenadas
Plano 𝑥𝑦
Plano 𝑦𝑧
Plano 𝑥𝑧

7. MA263 CÁLCULO II 7
Primer octante
Se determina por los ejes x,y,z positivos

8. MA263 CÁLCULO II
Donde: A, B y C son constantes, no todos nulas.
A𝑥 + B𝑦 + C𝑧 + D = 0
x
y
z
8
Ecuación general del plano
Para este caso particular
A, B y C son números
reales positivos y D un
número negativo.

9. MA263 CÁLCULO II 9
Discusión de la ecuación de una superficie
Cortes con los planos
coordenados (Trazas)
• Con el plano 𝑥𝑦 ∶ 𝑧 = 0
• Con el plano 𝑦𝑧 ∶ 𝑥 = 0
• Con el plano 𝑥𝑧 ∶ 𝑦 = 0
Cortes con los ejes coordenados
• Con el eje x : Hagamos, y = 0 y z = 0 x = xo
• Con el eje y : Hagamos, x = 0 y z = 0 y = yo
• Con el eje z : Hagamos, x = 0 y y = 0 z = zo
Secciones planas paralelas a los
planos coordenados
• Paralelos a 𝑥𝑦 ∶ 𝑧 = 𝑘.
• Paralelos a 𝑦𝑧 . 𝑥 = 𝑘.
• Paralelos a 𝑥𝑧 ∶ 𝑦 = 𝑘.

10. MA263 CÁLCULO II
Sección plana
Es la curva de intersección de un plano paralelo a algún plano
coordenado, con la superficie.
Traza
Es la curva de intersección de la superficie con un plano
coordenado. Existen tres trazas
10
A saber

11. MA263 CÁLCULO II
x
y
z
Ejemplo 1
Solución
11
Ejemplo 1
a. 𝑥 = 5, en el primer octante
ቊ
𝑥 = 5
𝑦 = 0
ቊ
𝑥 = 5
𝑥 = 0
ቊ
𝑥 = 5
𝑧 = 0
Punto de corte
con el eje x:
Punto de corte
con el eje y:
Traza en el
plano xy:
Traza en el
plano yz:
Traza en el
plano xz:
Punto de corte
con el eje z:

12. MA263 CÁLCULO II 12
Planos paralelos a los planos coordenados
CASO 1
x
y
z
𝑥 = k
Plano paralelo al
plano yz (x=0)
x
y
z
𝑧 = k
Plano paralelo al
plano xy (z=0)
Plano paralelo al
plano xz (y=0)
𝑦 = k
x
y
z
k k
k

13. MA263 CÁLCULO II
x
y
z
Ejemplo 1
b. 2𝑥 + 3z = 6, considerando 𝑦 ≥ 0
Solución.
13
ቊ
2𝑥 + 3z = 6
𝑦 = 0
ቊ
2𝑥 + 3z = 6
𝑥 = 0
ቊ
2𝑥 + 3z = 6
𝑧 = 0
Punto de corte
con el eje x:
Punto de corte
con el eje y:
Traza en el
plano xy:
Traza en el
plano yz:
Traza en el
plano xz:
Punto de corte
con el eje z:

14. MA263 CÁLCULO II
CASO 2
x
y
z
𝐀𝒙 + 𝐁𝒚 = 𝐃
x
y
z
𝐀𝒙 + 𝐂𝒛 = 𝐃
Plano paralelo al eje z (plano
perpendicular al plano xy)
Plano paralelo al eje y (plano
perpendicular al plano xz)
x
y
z
𝐁𝒚 + 𝐂𝒛 = 𝐃
Plano paralelo al eje x (plano
perpendicular al plano yz)
14
Planos paralelos a los ejes coordenados

15. MA263 CÁLCULO II
Ejemplo 1
d. 3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 12, en el primer octante
Solución.
15
x
y
z
ቊ
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 12
𝑦 = 0
ቊ
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 12
𝑥 = 0
ቊ
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 12
𝑧 = 0
Punto de corte
con el eje x:
Punto de corte
con el eje y:
Traza en el
plano xy:
Traza en el
plano yz:
Traza en el
plano xz:
Punto de corte
con el eje z:

16. MA263 CÁLCULO II
CASO 3
A𝑥 + B𝑦 + C𝑧 + 𝐷 = 0
x
y
z
Punto de corte
con el eje x
Punto de corte
con el eje z
Punto de corte
con el eje y
16
Ecuación del plano
Para este caso particular
A, B y C son números
reales positivos y D un
número negativo.

17. MA263 CÁLCULO II
Nota: Toda ecuación de la forma (*) NO representa necesariamente una superficie, por ejemplo:
o
Superficies cuádricas
Se llama superficie cuadrática al conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen una
ecuación de la forma:
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑧2
+ 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑦𝑧 + 𝐹𝑥𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0 (∗)
Estudiaremos solo los casos, cuando los coeficientes: D=E=F=0
Ejemplos
a. 𝑧 = 3𝑥2 + 4𝑦2 b. 𝑥2 − 4𝑦2 + 𝑧2 = 9
0
5
4
2 2
2
2
=
+
+
+ z
y
x 0
2 2
2
2
=
+
+ z
y
x
17

18. MA263 CÁLCULO II
Un cilindro es una superficie generada por el desplazamiento de una recta llamada generatriz que
se mueve de tal manera que se mantiene siempre paralela a una recta fija y siempre mantiene
contacto con curva plana fija llamada directriz.
18
Cilindro
Superficies Cuádricas incompletas
Observación: La recta móvil se llama generatriz y la curva fija directriz de la superficie cilíndrica.

19. MA263 CÁLCULO II 19
Nota 1: En este curso sólo consideraremos, que la directriz es una
curva contenida en uno de los planos coordenados y las generatrices
son paralelas a los ejes coordenados. A estos cilindros se les conoce
como cilindros rectos.
Nota 2: La ecuación de una superficie cilíndrica recta, cuyas
generatrices son perpendiculares al plano coordenado donde está su
directriz, carece de la variable no medida en ese plano coordenado, en
consecuencia se puede demostrar que una ecuación incompleta
representa un cilindro.
Cilindros particulares

20. MA263 CÁLCULO II
𝑦 = 𝑥2
𝑥2 + 2𝑧2 = 9
Cilindro
parabólico
Cilindro
elíptico
𝑦2
+ 𝑧2
= 4
Cilindro
circular
𝑧2
− 𝑥2
= 1
Cilindro
Hiperbólico
20
Algunos ejemplos

21. MA263 CÁLCULO II
Ejemplo 1. Para cada caso, dadas las superficies representados por las ecuaciones: determine y
ubique los puntos de corte de la superficie con los ejes coordenadas (si los hubiera), determine y
grafique las trazas, y algunas secciones planas. Además, esboce la gráfica de la superficie e
identifique de qué superficie se trata.
21
d. 𝑆1: 4𝑦2 + 𝑧2 = 16, en el primer octante
e. 𝑆2: 𝑧 = 4 − 𝑥2, considerando 𝑧 ≥ 0

22. MA263 CÁLCULO II 22
z
x
y
d. 𝑆1: 4𝑦2 + 𝑧2 = 16, en el primer octante
Sección plana
paralela al
plano :
ቊ 4𝑦2 + 𝑧2 = 16
= 0
Punto de corte
con el eje y:
Traza en el
plano :
Punto de corte
con el eje z:
ቊ 4𝑦2
+ 𝑧2
= 16
=

23. MA263 CÁLCULO II 23
e. 𝑆2: 𝑧 = 4 − 𝑥2, considerando 𝑧 ≥ 0
z
x
y
Sección plana
paralela al
plano :
ቊ𝑧 = 4 − 𝑥2
= 0
Punto de corte
con el eje x:
Traza en el
plano :
Punto de corte
con el eje z:
ቊ𝑧 = 4 − 𝑥2
=

24. MA263 CÁLCULO II
Complete los
ejercicios de
la sesión 1.1
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25. MA263 CÁLCULO II
CIERRE…
❖ Dar un ejemplo de una ecuación que represente un cilindro con generatrices
paralelas al eje 𝑧
❖ ¿Qué característica debe presentar una ecuación cuadrática para afirmar que
representa un cilindro recto con directriz en un plano coordenado?
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26. MA263 CÁLCULO II 26
Bibliografía básica

27. MA263 CÁLCULO II 27
Aprendizaje autónomo
Nociones básicas de geometría del espacio
Ruta de aprendizaje
• Planifique su tiempo para poder realizar la
lectura de la sesión y practicar lo que sea
necesario para dominar los temas.
• Revise el material multimedia de geometría
analítica en el espacio.