Aplicação de métodos numéricos de Runge-Kutta na resolução de EDO
1. APLICAÇÃO DE ALGUNS MÉTODOS NUMÉRICOS DE
RUNGE-KUTTA
NA RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
ORDINÁRIA REFERENTE AO PROBLEMA DO
RESFRIAMENTO DE NEWTON
RODRIGO ROMAIS
Departamento de Matemática – UNEMAT/Sinop
r.romais@gmail.com
2. Equações Diferenciais
Uma equação diferencial é uma igualdade que envolve uma função de uma
ou mais variáveis e suas derivadas até determinada ordem.
Pode ser encontrada em aplicações como reações químicas, decaimento
radioativo e corpos em queda.
Nem toda equação diferencial apresenta solução analítica. Para se
contornar esta problemática, surgem os métodos numéricos.
Em se tratando da resolução de EDO´s de primeira ordem, destacam-se os
Métodos de Runge-Kutta, devido à relativa facilidade de obtenção dos seus
algoritmos.
3. Problema Modelo
O problema modelo é governado por uma equação diferencial linear de
primeira ordem. Uma equação diferencial de primeira ordem é toda
equação do tipo:
(1)
em que:
- função incógnita ou solução da EDO;
- derivada da função incógnita;
- função da variável independente ;
- função da variável independente .
4. Problema Modelo
Figura 1 - Representação do problema modelo
A lei do resfriamento de Newton é contemplada pela equação:
(2)
5. Problema Modelo
A barra de ferro é aquecida em 60ºC, consequentemente submergido em
um recipiente termicamente controlado à 5ºC. No decorrer de 10 minutos
a temperatura da barra cai para 40ºC. Qual será a temperatura da barra no
decorrer de 22 minutos.
Caracterizado um Problema de Valor Inicial(PVI), segue algumas
condições iniciais:
6. Resolução Analítica
Da equação (1) e (2):
(3)
Fazendo analogia entre as equações (1) e (3):
(4)
(5)
A solução da equação (2), segundo a técnica do fator integrante é expressa
pela equação (6):
(6)
Conhecido o fator integrante U(t):
(7)
8. .
Resolução Analítica
A equação (8) é a solução geral da EDO. Como condição inicial admitimos que
Quando o tempo é igual à zero, a temperatura do corpo é To, e dessa forma, a
solução particular da equação (2) fica expressa por:
Substituindo na equação (8):
Encontra-se a solução particular para o problema:
(9)
9. Resolução Analítica
Do problema modelo é conhecido que a temperatura inicial do corpo To e
que a sua temperatura após 10 minutos é de , pode-se
agora encontrar o valor da constante k, assim como expressa a Equação (10) :
10. Resolução Analítica
Então, a expressão de k fica expressa:
(10)
Conhecido o valor de k, a função Temperatura do corpo fica expressa pela
equação (11):
(11)
+ .
A equação (11) também pode ser representada da seguinte maneira:
12. Resolução Analítica
A Figura 2 representa a variação da temperatura da barra de ferro ao longo
do tempo.
Figura 2 - Variação de temperatura do corpo (problema modelo).
Para o instante t=22 minutos, a temperatura do corpo segundo a equação
(11), é de T(t=22)=25.347659907ºC
13. Métodos Numéricos de Runge-Kutta
Basicamente, o desenvolvimento e consequentemente, a melhoria das
aproximações de métodos numéricos aplicados a resolução de equações
diferenciais ordinárias fundamentam-se em séries de Taylor, cuja melhoria
das aproximações ficam atreladas ao termo do truncamento da mesma.
Os Métodos de Runge-Kutta evitam essas dificuldades algébricas,
utilizando expressões menos “complicadas” e fornecendo precisão igual ao
da expansão da série de Taylor de mesma ordem.
14. Métodos Numéricos de Runge-Kutta
A expressão geral do Método de Runge-Kutta de ordem m, é expressa pela
equação (12):
(12)
Com i variando de 0 a n-1. Em que:
Constantes para cada método de ordem m
Sendo pj e r j,l , constantes para cada método de ordem m, para j>1.
15. Runge-Kutta de 1ª Ordem
Seja a EDO y’=f(x,y), com condições iniciais x e y . Deseja-se obter y=f(x), para
0 0
que x=x.
(13)
Constante para o método de ordem 1
16. Representação Geométrica de Runge-Kutta
A Figura 3 representa o comportamento do método numérico para três
partições de domínio, h=3.
Figura 3 – Método de Euler de 1ª Ordem para três partições de domínio
17. Representação Geométrica de Runge-Kutta
A Figura 4 representa o comportamento do método numérico para cinco
partições de domínio, h=5.
Figura 4 – Método de Euler de 1ª Ordem para cinco partições de domínio
18. Runge-Kutta de 2ª Ordem
De maneira análoga, a expressão para Runge-Kutta de 2ª Ordem fica expresso
pela equação (14):
(14)
Onde:
19. Runge-Kutta de 3ª Ordem
A expressão para Runge-Kutta de 3ª Ordem fica expresso pela equação (15):
(15)
Onde:
20. Runge-Kutta de 4ª Ordem
A expressão para Runge-Kutta de 4ª Ordem fica expresso pela equação (16):
(16)
Onde:
21. Runge-Kutta de 5ª Ordem
Por fim, a expressão de Runge-Kutta de 5ª Ordem, fica expresso pela equação
(17):
(17)
Onde:
22. Resolução Aproximada
Para a verificação do erro gerado em ambas aproximações, utiliza-se a
medida de erro percentual relativo, assim como expressa a equação (18):
(18)
Onde:
- Solução Analítica do Problema Modelo
- Solução Aproximada obtida pele Método Numérico
23. Resolução Aproximada
Para a verificação das aproximações segundo as versões de Runge-Kutta,
Serão utilizadas respectivamente 5, 10 e 20 partições no intervalo do
problema modelo que varia de 10 a 22 minutos, lembrando que temperatura
de interesse é referente ao tempo de 22 min.
SAN = T(t=22)=25.347659907ºC
24. Aproximações com 5 partições de Domínio
Tabela 1 - Aproximações para cinco partições e o erro encontrado.
Xn 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 5ª Ordem
10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000
12,4 36,203324961 36,073153245 36,401803839 36,402005767 36,402001476
14,8 32,818499674 32,885269528 33,173522409 33,173884749 33,173877048
17,2 29,800848150 30,024439925 30,277126404 30,277614039 30,277603675
19,6 27,110540689 27,457111019 27,678496141 27,679079482 27,679067083
22 24,712068176 25,153171732 25,347019634 25,347673848 25,347659943
Erro(%) 2,507496680 0,767282567 0,002525967 0,000054999 0,000000142
25. Aproximações com 5 partições de Domínio
O gráfico da Figura 5 ilustra a forma como as aproximações são realizadas
para ambos os métodos.
O gráfico da Figura 5 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.
27. Aproximações com 10 partições de Domínio
O gráfico da Figura 6 ilustra a forma como as aproximações são realizadas
para ambos os métodos.
O gráfico da Figura 6 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.
29. Aproximações com 20 partições de Domínio
O gráfico da Figura 7 ilustra a forma como as aproximações são realizadas
para ambos os métodos.
O gráfico da Figura 7 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.
30. Conclusões
O método de Runge-Kutta mostra-se como forma alternativa de resolução
de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, sendo de
fundamental importância em se tratando de problemas desprovidos de
solução analítica.
É importante destacar que, em se tratando de problemas sem soluções
analíticas conhecidas, a solução do problema para algum valor de domínio
de interesse é encontrada quando a diferença entre dois valores sucessivos
calculados sobre o mesmo ponto para várias malhas (com aumento
progressivo) é menor que uma tolerância (erro) pré-estabelecida.
31. Conclusões
Como era de se esperar, os resultados advindos das versões de Runge-
Kutta de 5a ordem aplicados na resolução do problema modelo,
independente da malha, mostrou ser o mais preciso dentre os demais.
Para finalizar, a utilização de um Método de Runge-Kutta de 1a ordem pode
apresentar resultados satisfatórios a medida em que a malha do problema
é aumentada, o que acarreta em um número maior de iterações e
consequentemente, em trabalho computacional maior.
32. Referências
BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. “Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno”. 5ª Ed. Rio de Janeiro. Guanabara
Koogan, 1994.
ROMAIS, R.; BENETTI, D.; CHRISTOFORO, A. L; REIS Jr, D. V. “ Aplicação de
Alguns Métodos de Runge-Kutta na Resolução de equações diferenciais
ordinárias”. II Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional
da Região Centro-Oeste, UNEMAT, Sinop – MT, 2009.
RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.R. “Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e
computacionais”. 2° ed. São Paulo. Pearson Makron Books, 1996.
ZILL, D.G. “Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem”. 1ª Ed.
São Paulo. Thomson, 2003.
