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1. Lic. ENRRIQUE GUZMÁN ANTICONA FIC 2021-II
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTÍN
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
ÁREA DE MATEMÁTICA
EJERCICIOS SOBRE VECTORES EN EL PLANO
1. En cada una de las siguientes relaciones indique, si existe, el número real r que satisface:
a) r(3, -2) = s(6, 4)
b) r(3, -2) = s(-6, 4)
c) r(4, 2) + 3(4, -2) = 2(6, -3)
d) 2r(4, 6) + 3(-2, 4) = 2(-3, 6) + 4r(2, 3)
2. Determine la abscisa del punto M, sabiendo que su ordenada es igual a 4 y que su distancia al
punto N(1, -2) es igual a 10 unidades.
3. Encuentre en el eje de ordenadas un punto que diste 5 unidades del punto P(-3, 1)
4. Encuentre en el eje de abscisas un punto equidistante de los puntos P(-1, 0) y Q(7, -4)
Representación geométrica de los vectores
1. Si P, Q y R son los vértices de un triángulo, demostrar que 𝑷𝑸
̅̅̅̅ + 𝑸𝑹
̅̅̅̅ + 𝑹𝑸
̅̅̅̅ = 𝟎
̅
2. Sea 𝑎
̅ = (2, -1), 𝑏
̅ = (3, -3); una flecha que representa al vector 𝑣̅ = 2𝑎
̅ – 4𝑏
̅ tiene como punto
terminal (5, 5). Hallar el punto inicial.
3. Del punto A = (-3; 1) se ha trazado un segmento al punto B = (4; -2). ¿Hasta qué punto es necesario
prolongarlo en la misma dirección para que se duplique su longitud?
4. Halle los puntos simétricos respecto al origen de coordenadas de los puntos a) (3, 4) b) (-6, 3)
Paralelismo de vectores.
1. Dados los puntos A(2, 5), B(9, 2) y C(-3, 4), encuentre un punto D de tal manera que ABCD sea
un paralelogramo (tres soluciones)
2. Si 𝑑̅ = 𝑏
̅ + 𝑐̅ y si 𝑏
̅ // 𝑐̅, probar que 𝑑̅ es paralelo a 𝑎
̅ si y solo si 𝑐̅ es paralelo a 𝑎
̅.
3. Si el vector 𝑎
̅ = (1, 18) es expresado como 𝑎
̅ = 𝑥̅ + 𝑦
̅, donde 𝑥̅ // 𝑏
̅, 𝑦
̅ // 𝑐̅ y si 𝑏
̅ = (-1, 4), 𝑐̅ = (2m,
3m), hallar 𝑥̅.
Longitud o norma de un vector. Vectores unitarios. Angulo de inclinación de un vector en un
plano.
1. Un vector 𝑎
̅ tiene longitud 5 y el punto de apoyo en (1, -1). Encontrar el vector 𝑎
̅ si la abscisa
del punto terminal es 4.
2. En el siguiente hexágono regular de lado igual a 5, indique qué vectores son iguales y encuentre
la suma de todos los vectores de la figura en forma geométrica y en forma analítica.
A B
C
D
E
F
X

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3. Conociendo los vértices adyacentes de un paralelogramo A(2, 0) y B(-3, 3) y el punto de
intersección de sus diagonales Q = (-1, 0), hallar los otros dos vértices.
4. Hallar la longitud de la mediana del lado PQ en el triángulo cuyos vértices son P(3, 7), Q(-4, 0)
y R(1, -4)
5. El segmento cuyos extremos son A(3, 2) y B(18, 7) está dividido en cinco partes iguales. Halle
los puntos de división.
6. El avión se dirige al NE a 720 km/h (su velocidad relativa al aire). El viento está soplando hacia
el sur a 120 km/h. La velocidad v T del avión con respecto a tierra es la suma (resultante) de los
dos vectores anteriores. Determinar v T gráfica y analíticamente.
7. En la figura, si q = a + b + c , determinar q sabiendo que la segunda componente de q es cero,
|| b || = 20, ||a || = 10 2 , y que la primera componente de c es igual a 20.
8. En la figura, si P es un punto tal que el área del triángulo  es cinco veces el área del triángulo
, calcular ||OP ||
9. Dados los vectores u = (a, -b), v = (2b, c), u + v = (1, 1), si u // v , calcular ab/c
10. Sean 𝑎
̅ y 𝑏
̅ dos vectores en R2
tales que 𝑏
̅ es el vector opuesto de 𝑎
̅. Si 𝑏
̅ tiene el mismo sentido
que el vector 𝑐̅ = (-1/3, 1/4) y ||𝑎
̅|| = 5, determine el vector 𝑥̅ = 2𝑏
̅ + 𝑎
̅.
11. Si ABCDEF es un hexágono regular cuyo lado mide √21 unidades, determine ‖
1
3
𝐴𝐸
̅̅̅̅ +
2
3
𝐶𝐹
̅̅̅̅‖
Ortogonalidad y producto escalar. El vector a ⊥
:
1. Demuestre que 𝒂
̅ + 𝒃
̅ y 𝒂
̅ − 𝒃
̅ son perpendiculares si y solo si ||𝑎
̅|| = ||𝑏
̅||
2. Demuestre que el vector 𝒃
̅(𝒂
̅. 𝒄
̅) − 𝒄
̅(𝒂
̅. 𝒃
̅) es perpendicular a 𝑎
̅.
3. Demuestre que para todo par de vectores 𝑎
̅ y 𝑏
̅: ‖𝑎
̅. 𝑏
̅‖ ≤ ‖𝑎
̅‖ ‖𝑏
̅‖. SUG. Puesto que
‖𝑎
̅ − 𝑟𝑏
̅‖
2
≥ 0, para todo número r  R, desarrolle dicho cuadrado para r = (𝒂
̅. 𝒃
̅) / ‖𝑏
̅‖
2
, en
particular.
0
Y
X
45°
37°
O
Y
X
(0,6)
(-10,0)
P


B C
D
E
F
A

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4. Demuestre que:
a) (𝑎
̅ + 𝑏
̅)⊥
= 𝑎
̅⊥
+𝑏
̅⊥
b) 𝑎
̅. 𝑏
̅⊥
= −𝑎
̅⊥
. 𝑏
̅
c) (𝑎
̅⊥
)⊥
= −𝑎
̅
d) 𝑎
̅⊥
. 𝑏
̅⊥
= 𝑎
̅. 𝑏
̅
e) (𝑟𝑎
̅)⊥
= 𝑟𝑎
̅⊥
f) |‖𝑎
̅‖ − ‖𝑏
̅‖| ≤ ‖𝑎
̅ − 𝑏
̅‖
5. Si a = (-3, 5), b = (2, -3), halle la longitud del vector c = [(a + b ).(a – 2b )]b ⊥
6. Dados los vectores 𝑎
̅, 𝑏
̅ y 𝑝̅ en R2
determine los números r y s en términos de sus productos
escalares tal que el vector 𝑝̅ – r𝑎
̅ – s𝑏
̅ sea perpendicular a los vectores 𝑎
̅ y 𝑏
̅ simultáneamente.
7. Sea G =
1
3
(A + B + C) un punto del triángulo ABC y sea P cualquier punto, demuestre que:
‖𝑃𝐴
̅̅̅̅‖2
+ ‖𝑃𝐵
̅̅̅̅‖2
+ ‖𝑃𝐶
̅̅̅̅‖2
= 3‖𝑃𝐺
̅̅̅̅‖2
+ ‖𝐺𝐴
̅̅̅̅‖2
+ ‖𝐺𝐵
̅̅̅̅‖2
+ ‖𝐺𝐶
̅̅̅̅‖2
8. Si 𝑎
̅ y 𝑏
̅ son vectores paralelos no nulos y 𝑎
̅ = (12, 5) es tal que ||𝑎
̅ + 𝑏
̅|| = ||𝑎
̅|| ||𝑏
̅||, hallar (𝑎
̅ +
𝑏
̅)⊥
9. Pruebe que 𝑐̅ es paralelo al vector (𝑏
̅⊥
.𝑐̅)𝑎
̅ – (𝑎
̅⊥
.𝑐̅)𝑏
̅
10. En la figura PQRS es un rombo tal que ||𝑃𝑄
̅̅̅̅|| = a. Demuestre que 𝑃𝑅
̅̅̅̅. 𝑆𝑄
̅̅̅̅ = 0
11. Demuestre que el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A = (x1, y1), B = (x2, y2) y C =
(x3, y3) puede expresarse en la forma de: A =
2
1
3
3
2
2
1
1
y
x
1
y
x
1
y
x
1
12. Halle vectores unitarios 𝑎
̅ tales que el producto escalar 𝑎
̅.(2; -5) tome su mínimo valor y su
máximo valor.
13. Halle x  R tal que A = (x2
– 9, -x), B = (1 – x, x2
– 8), P = (2x2
– 1, x – 5) y 𝐴𝑃
̅̅̅̅ + 3𝑃𝐵
̅̅̅̅ = (0,0)
14. Si 𝑎
̅ y 𝑏
̅ son vectores no nulos del plano tales que |‖𝑎
̅‖ − ‖𝑏
̅‖| = ‖𝑎
̅ − 𝑏
̅‖, pruebe que 𝑎
̅ está
en la misma dirección que 𝑏
̅
15. Si 𝑎
̅ + 𝑏
̅ = (||𝑏
̅||, ||𝑎
̅||), demostrar que 𝑎
̅ es ortogonal a 𝑏
̅.
Combinación lineal de vectores. Independencia lineal de un conjunto de Vectores.
1. Dados los vectores a = (x, 2), b = (3, x), c = (2, 3), hallar x, r y s, donde c = ra + s b y r = 2s
2. Si 𝑎
̅, 𝑏
̅ y 𝑐̅ tienen el mismo punto inicial y c = s a + tb con s + t = 1, y si los puntos terminales
son P1, P2 y P3, demuestre que los vectores 𝑃1𝑃2
̅̅̅̅̅̅ y 𝑃1𝑃3
̅̅̅̅̅̅ son paralelos. Es decir P1, P2 y P3 son
colineales.
3. Demuestre que las mediatrices de un triángulo se intersectan en el mismo punto.
4. En el paralelogramo ABCD, M es punto medio de AB. Hallar s y t, si: AM = sAC + tDM
B
M
D
A
C
P Q
R
S

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5. En el paralelogramo PQRS de la figura, M es punto medio. Hallar s y t si PT = sQR + tPN
6. En el paralelogramo ABCD, M y N son puntos medios, hallar 2s – 3t si se sabe que DC = s MC
+ t ND.
7. Demuestre de en cualquier cuadrilátero los segmentos que unen los puntos medios de los lados
forman un paralelogramo.
8. Demuestre que los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un
cuadrilátero cualquiera ABCD se bisecan entre sí.
9. Demuestre que la suma de los cuadrados de las longitudes de las tres medianas de cualquier
triángulo es 3/4 de la suma de los cuadrados de los tres lados.
10. En la figura TP // OX , ||OP || = 8. Si OT = mOP + nOP ⊥
, calcular: m y n
11. En el triángulo ABC de la figura, CD es la altura trazada desde el vértice C, y DA es a AB como
2 es a 5. Si 𝐷𝐶
̅̅̅̅ = r 𝐴𝐵
̅̅̅̅ + s 𝐵𝐶
̅̅̅̅, calcule 5r + 3s
12. El punto A(-1, 6) es uno de los vértices del cuadrado ABCD cuyo centro es el punto E = (-3/2,
5/2). Hallar los vértices B, C y D
Ángulo entre Vectores:
1. Calcular los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A(1, 1), B(4, 6) y C(6, -3)
2. Para dos vectores cualesquiera no nulos 𝑎
̅ y 𝑏
̅ pruebe que:
a) El vector (
𝑎
̅
‖𝑎
̅ ‖
+
𝑏
̅
‖𝑏
̅ ‖
) biseca al ángulo entre 𝑎
̅ y 𝑏
̅.
b) Los vectores (
𝑎
̅
‖𝑎
̅ ‖
+
𝑏
̅
‖𝑏
̅ ‖
) y (
𝑎
̅
‖𝑎
̅ ‖
−
𝑏
̅
‖𝑏
̅ ‖
) son ortogonales.
c) Los vectores (‖𝑎
̅ ‖𝑏
̅ ± ‖𝑏
̅ ‖𝑎
̅) biseca al ángulo entre 𝑎
̅ y 𝑏
̅.
Q
T
S
P
R
N
Q
P
M
N
A
B
D
C
O
T P
Y
X
45°
30°
C
D A B

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3. El ángulo entre a y b es 150°, ||a || = 3 y || b || = 5; calcular ||a + b || y ||a – b ||
4. Dado un triángulo cuyos vértices son A(2, 1), B(6, 4) y C(-4, 9), hallar el punto de intersección
P de la bisectriz del ángulo A con el lado opuesto BC.
Proyección ortogonal. Componentes ortogonales. Área de un Paralelogramo. Área de un
Triángulo
1. Si 𝑏
̅ y 𝑐̅ son distintos de 0
̅, demuestre que:
a) Si 𝑏
̅ y 𝑐̅ son paralelos, entonces 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏
̅𝑎
̅ = 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑐̅𝑎
̅
b) Si 𝑏
̅ y 𝑐̅ tienen la misma dirección, entonces 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑦𝑏
̅𝑎
̅ = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑐̅𝑎
̅
c) Si 𝑏
̅ y 𝑐̅ tienen direcciones opuestas, entonces 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑦𝑏
̅𝑎
̅ = −𝐶𝑜𝑚𝑝𝑐̅𝑎
̅
2. Encontrar el vector AB de la figura:
3. Si 𝑎
̅ = (4, -2), 𝑏
̅ = (-2, 6) y 𝑤
̅ // (-1, 4), halle 𝑤
̅ = (𝑎
̅ – n𝑏
̅)⊥.
4. Hallar
a
oy
Pr b , si a
Compb = -3 y si (1; -1) tiene la misma dirección que b .
5. En la figura, ||𝑎
̅|| = 6. Halle s y t si: 𝑏
̅ = s 𝑎
̅ + t 𝑎
̅⊥
.
6. Dados A(5, 1), B(1, 2), C(3, 6), halle un punto D en el primer cuadrante de abscisa igual a 7
unidades de tal manera que el cuadrilátero ABCD tenga un área de 25 u2
.
7. Halle el área del triángulo cuyos vértices son:
a) A(2, 1), B(6, 3), C(8, - 4)
b) A(3, 3), B(4, 8), C(10, 1)
8. La figura ABCDEF es una estrella regular de 6 puntas. Si D = (7, 6 – 4√3), E = (3, 6 – 4√3),
halle los puntos A, B, C, F, P, Q, R, S, T, U y el centro M de la estrella.
9. El helado de la figura tiene la crema semicircular y el barquillo en forma de un triángulo isósceles.
Si P =
(−3,4)
√𝜋
, Q =
(5,10)
√𝜋
, encuentre el punto R si el área de la figura plana es de
25𝜋+200
2𝜋
u2
.
X
Y
A
0
B
35
8
15
12
A B
C
D
E
A
F
P
Q
R
S
T
U

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10. Los vectores a y b son los lados de un paralelogramo. Si ||a || = 6, ||a || = 2||b || y a
Compb =
10/3, determinar ||a – b ||
11. Hallar |a ⊥
. b |, si a = 3
||
b
||
b + 4
||
b
||
b
⊥
⊥
y b
Comp
a
⊥ = 2
12. Si 𝑎
̅ = 3 𝑖̅ + 4 𝑗̅, 𝑏
̅ = -5 𝑗̅ + 𝑖̅ y (x, y) = √26𝑃𝑟𝑜𝑦𝑏
̅𝑎
̅, calcule: x – 2y.
13. Si 𝑎
̅ es un vector que tiene la misma dirección que (1, 2), tal que ||𝑎
̅|| = 50 y 𝑏
̅ = (-2, -1), calcule
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏
̅𝑎
̅.
14. Dos lados de un triángulo miden 20 y 36. La diferencia de las longitudes de los segmentos
determinados en el tercer lado por la bisectriz es 12. Halle la mediana del tercer lado.
15. En un paralelogramo ABCD, m( D
Â
B ) = 60°, ||AB|| = 2, ||AD || = 4. Si p = || AC
oy
Pr AD
||, q =
|| AC
oy
Pr AB
||, hallar: p + q
16. Sean A(-3, 2), B y C(-1, 13) y D los vértices de un rectángulo, talque AC es una de sus diagonales
y AB es ortogonal al vector (4, -3). Halle los puntos B y D.
17. Si a es un número racional, A = (a + 4, a – 4), B = (a + 3, -2a), el baricentro del ABC es el
origen de coordenadas y el área del ABC es de 24 u2
, encontrar un vector unitario en la dirección
del vector (1, a)
18. Sean los puntos A(1, 1), B(2, 4) y C(5, 2). Hallar el punto P que está en el interior del triángulo
ABC para que los triángulos APB, BPC y APC tengan la misma área
19. Sea ABC un triángulo equilátero. Si 𝐴𝐵
̅̅̅̅ + m𝐻𝐵
̅̅̅̅ = n𝐴𝐶
̅̅̅̅, donde H es el punto de intersección de
las alturas, halle:
1
𝑚
+
1
𝑛
20. Sea ABCD un rectángulo, una de cuyas diagonales tiene por extremos los puntos A(3, 4) y C(9,
16). Silos lados de mayor longitud son paralelos al vector (1, 1), encuentre los vértices B y D.
P
Q
O
X
E
Y