sistema

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN ENRIQUE GUZMÁN Y VALLE
“Alma Máter del Magisterio Nacional”
Escuela de posgrado WPR.
Programa: Educación Matemática
Asignatura: Álgebra lineal
Material de apoyo
1. Ecuación lineal
Definición.-
Dado el campo de los números reales, la expresión de la forma 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏, se
denomina ecuación lineal con 𝑛 incógnitas sobre el campo ℝ; donde 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 y 𝑏 son números
reales conocidos, y, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 son las incógnitas.
Ejemplos:
Las siguientes son ecuaciones lineales con dos y tres variables respectivamente.
 5𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0
 3𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = 7
2. Solución de una ecuación lineal
Dada la ecuación lineal 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏, se denomina solución de dicha ecuación a todo
conjunto {𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑛} de números reales que al reemplazar respectivamente a las incógnitas 𝑥1,
𝑥2, … , 𝑥𝑛 la transforman en una proposición verdadera.
En tal caso decimos que este conjunto de valores satisfacen la ecuación y lo representamos por la 𝑛 −
𝑢𝑝𝑙𝑎 ordenada (𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑛).
Observación.-
El conjunto solución de una ecuación lineal es el conjunto de todas las 𝑛 − 𝑢𝑝𝑙𝑎𝑠 ordenadas que la
satisfacen.
Por ejemplo:
Si tenemos la ecuación 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 6 = 0,
 Para 𝑥1 = 1, 𝑥2 = −2 y 𝑥3 = 3 se cumple la igualdad; por lo que la terna (1, −2,3) es una
solución de la ecuación.
 Mientras que al sustituir 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 1 y 𝑥3 = 3 no se verifica la igualdad, luego la terna
(2,1,3) no es solución de la ecuación.
LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2. En forma general las soluciones de una ecuación lineal pueden obtenerse considerando tres casos:
a) Si algún 𝑎𝑖 ≠ 0 (si algún coeficiente es distinto de cero)
Supongamos que 𝑎1 ≠ 0
Entonces a partir de la ecuación 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 se puede escribir
𝑥1 =
1
𝑎1
(𝑏 − 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛)
Luego, asignando valores (arbitrarios) a 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 se obtiene el valor de 𝑥1.
Ejemplo:
Sea la ecuación 2𝑥1 − 4𝑥2 + 𝑥3 = 8; el coeficiente 𝑎1 = 2 es diferente de cero, entonces podemos
escribir:
𝑥1 =
1
2
(8 + 4𝑥2 − 𝑥3)
Luego, para cualquier par de valores de x2 y x3 obtenemos un valor para x1.
Por ejemplo, si 𝑥2 = −1 y 𝑥3 = 2 se obtiene 𝑥1 = 1; así, la terna (1; −1;2) es una solución de la
ecuación.
b) Si 𝑎𝑖 = 0, para todo 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛; y 𝑏 ≠ 0
Es decir, se tiene la ecuación de la forma 0𝑥1 + 0𝑥2 + ⋯ + 0𝑥𝑛 = 𝑏, con 𝑏 ≠ 0.
Como es evidente, en este caso la ecuación no tiene solución.
c) Si 𝑎𝑖 = 0 y 𝑏 = 0, para todo 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.
Es decir, la ecuación es de la forma 0𝑥1 + 0𝑥2 + ⋯ + 0𝑥𝑛 = 0.
En tal caso, cualquier 𝑛 − 𝑢𝑝𝑙𝑎 de números reales es una solución de la ecuación.
3. Combinación lineal de ecuaciones
Definición.-
Dado el par de ecuaciones lineales 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 y 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓, y dos números reales 𝑘1 y 𝑘2 (no
ceros a la vez); la ecuación 𝑘1(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) + 𝑘2(𝑑𝑥 + 𝑒𝑦) = 𝑘1𝑐 + 𝑘2𝑓, se denomina combinación
lineal de las ecuaciones dadas.
Ejemplo:
Dadas las ecuaciones 2𝑥 − 5𝑦 = 8 y 𝑥 + 3𝑦 = 5
Multiplicando respectivamente por 3 y por (-4) y sumando estos productos, miembro a miembro, tenemos
la ecuación 2𝑥 − 27𝑦 = 4; entonces decimos que ésta es una combinación lineal de las ecuaciones
dadas.

3. En general, dadas “𝑚” ecuaciones con “𝑛” incógnitas
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
… … … ….
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
y “𝑚” números reales 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 cualesquiera (no todos nulos);
la ecuación:
𝑐1(𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛) + 𝑐2(𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛) + ⋯
+ 𝑐𝑚(𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛) = 𝑐1𝑏1 + 𝑐2𝑏2 + ⋯ + 𝑐𝑚𝑏𝑚
se denomina combinación lineal de las 𝑚 ecuaciones.
Observación:
La combinación lineal de ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas es otra ecuación lineal con 𝑛 incógnitas.
4. Sistemas de ecuaciones lineales
Definición.-
Llamamos sistema de 𝑚 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas a expresiones de la forma:
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
… … … ….
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
(1)
Donde los 𝑎𝑖𝑗 y los 𝑏𝑗 son números reales conocidos, con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 y 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, y los 𝑥𝑗 son
las incógnitas.
Observación.-
En los coeficientes 𝑎𝑖𝑗, el índice 𝑖 corresponde a la ecuación en la que se encuentra, mientras que 𝑗
corresponde a la incógnita; así 𝑎32 es el coeficiente de la segunda incógnita en la tercera ecuación.
En general, 𝑎𝑖𝑗 es el coeficiente de la incógnita 𝑥𝑗 en la 𝑖 −ésima ecuación.
Ejemplo:
La expresión (2𝑥1 − 3𝑥2 = 1  5𝑥1 + 2𝑥2 = 12) que usualmente se escribe
{
2𝑥1 − 3𝑥2 = 1
5𝑥1 + 2𝑥2 = 12
Es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

4. Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
… … … ….
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Puede ser expresado como
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
… … … …
𝑎m1 𝑎m2 … 𝑎𝑚𝑛
] [
𝑥1
𝑥2
…
𝑥𝑛
] = [
𝑏1
𝑏2
…
𝑏𝑛
]
O de manera simplificada 𝐴𝑋 = 𝐵, donde:
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
… … … …
𝑎m1 𝑎m2 … 𝑎𝑚𝑛
] es la matriz de coeficientes.
𝑋 = [
𝑥1
𝑥2
…
𝑥𝑛
] es la matriz de las incógnitas, y 𝐵 = [
𝑏1
𝑏2
…
𝑏𝑛
] es la matriz de los términos independientes.
5. Matriz ampliada
La matriz [
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
… … … …
𝑎m1 𝑎m2 … 𝑎𝑚𝑛
|
𝑏1
𝑏2
…
𝑏𝑛
] formada por los coeficientes y los términos independientes se
denomina matriz ampliada y se representa por 𝐴|𝐵.
Sistema de
ecuaciones
lineales
Conjunto de dos
o más ecuaciones
De primer grado
Con dos o más
variables.
Enlazadas por el
conectivo "y".

5. 6. Sistema lineal homogéneo
Si en el sistema general
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
… … … ….
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
𝑏1 = 𝑏2 = ⋯ = 𝑏𝑛 = 0, se dice que el sistema es homogéneo.
Ejemplo:
El siguiente es un sistema homogéneo con cuatro variables.
{
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 + 𝑥4 = 0
𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 = 0
2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 + 5𝑥4 = 0
7. Solución de un sistema de ecuaciones lineales
Dado el sistema {
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 − 𝑦 = 3
El conjunto solución de la primera ecuación es:
{(−2;7), (−1; 6), (0; 5), (1; 4), (3; 2), (𝟒; 𝟏), (
22
3
; −
7
3
) , (𝑡; 5 − 𝑡), … }
Mientras que el de la segunda ecuación es:
{(−2;−5), (−1;−4), (0; −3), (2; −1), (3; 0), (𝟒; 𝟏), (
9
2
; −
3
2
) , (𝑡; 𝑡 − 3), … }
Observamos que entre las infinitas soluciones que tiene cada una de estas ecuaciones, el par ordenado
(𝟒; 𝟏) es una solución común de ambas ecuaciones; por lo tanto es una solución del sistema.
Como veremos, ningún otro par de números reales satisface a la vez estas dos ecuaciones; entonces,
el conjunto solución del sistema es 𝑆 = {(𝟒; 𝟏)}.
Es decir, se denomina conjunto solución de un sistema de ecuaciones con dos variables al
conjunto formado por los pares ordenados de números reales que satisfacen a la vez a todas las
ecuaciones del sistema.
Observación:
En tal razón se dice que un sistema de ecuaciones lineales con dos variables es un conjunto de dos o
más ecuaciones de primer grado con dos o más variables, enlazadas mediante el conectivo lógico
“y”.

6. En general, dado un sistema de 𝑚 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas, se denomina solución del
sistema, a toda 𝑛 − 𝑢𝑝𝑙𝑎 ordenada (𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑛) de números reales que satisfacen a la vez las 𝑚
ecuaciones del sistema.
 Así, la terna (2, 1,0) es una solución del sistema
{
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 1
5𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 12
𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 0
Pues satisface a las tres ecuaciones; mas no así terna (6, 4, 1), porque no satisface la segunda
ecuación.
 Dado el sistema homogéneo
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0
Es fácil comprobar que la terna (0, 0, 0) es una solución del sistema.
De manera que, cualquier sistema homogéneo tiene siempre la solución (0, 0, … ,0), llamada la
solución cero o solución trivial.
8. Sistemas equivalentes
Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto
solución.1
Teorema: (Operaciones Gaussianas u operaciones elementales) (Cáceres y Chávez, 1987, p.57)
Un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas se transforma en otro equivalente si se efectúa
cualquiera de las siguientes operaciones:
a) Intercambio de dos ecuaciones cualesquiera dentro del sistema.
b) Multiplicación de una ecuación por un escalar no nulo.
c) Sumar una ecuación con un múltiplo escalar de otra.
La aplicación adecuada de las operaciones gaussianas a un sistema de ecuaciones lineales puede
conducirnos a un sistema equivalente mucho más simple, a partir del cual podemos encontrar la solución del
mismo de manera casi directa.
1
Gráficamente los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables compatibles determinados son rectas que se cortan
en un mismo punto.

7. Ejemplo:
Sea el sistema {
2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 10 (1)
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1 (2)
5𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 4 (3)
Reemplazando la segunda ecuación por (−3)𝐸1 + 2𝐸2 y la tercera ecuación por (−5)𝐸1 + 2𝐸3
se tiene el sistema
{
2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 10 (1)
𝑦 + 10𝑧 = −28 (3)
3𝑦 + 16𝑧 = −42 (4)
Para eliminar 𝑦 de la última ecuación la reemplazamos por (−3)𝐸3 + 𝐸4.
Entonces se tiene
{
2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 10
𝑦 + 10𝑧 = −28
−14𝑧 = 42
De donde se tiene, 𝑧 = −3.
Reemplazando este valor en la segunda ecuación se tiene 𝑦 = 2.
Luego, haciendo 𝑧 = −3 y 𝑦 = 2 en la primera ecuación se obtiene 𝑥 = 1.
Por lo tanto, la solución del sistema es 𝑆 = {(1,2, −3)}. (solución única)
Nota:
Gráficamente significa que los tres planos que representan las ecuaciones del sistema se cortan en
un solo punto.
Esta es solo una de las formas de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Luego veremos dos
métodos muy útiles, cada una de las cuales tiene sus propias ventajas. Pero previamente veamos
algunas definiciones y teoremas que serán de mucha utilidad.
9. Operación elemental fila
Definición.-
Dada la matriz 𝐴𝑚𝑥𝑛 , la función 𝑒(𝐴𝑚𝑥𝑛) es una operación elemental fila, si y solo si:
i) 𝑒(𝑎𝑛) = 𝑎𝑠𝑗 , 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑚
ii) 𝑒(𝑎𝑛) = 𝜆𝑎𝑟𝑗 , 𝜆 ∈ ℝ, 𝜆 ≠ 0
iii) 𝑒(𝑎𝑛) = 𝑎𝑟𝑗 + 𝜆𝑎𝑠𝑗 , 𝜆 ∈ ℝ, 𝜆 ≠ 0 , 𝑟 ≠ 𝑠
Es decir una operación elemental fila consiste en:

8. i) Intercambio de dos filas cualesquiera.
ii) Producto de una fila por un escalar diferente de cero,
iii) Suma de una fila con el múltiplo de otra.
(similares a las que se efectúan con las ecuaciones).
Teorema: (Hoffman y Kunze, p. 7)
A cada operación elemental fila 𝑒, le corresponde una operación elemental fila 𝑒−1
del mismo tipo
que 𝑒, tal que:
𝑒−1
(𝑒(𝐴)) = 𝑒(𝑒−1(𝐴)), para toda matriz 𝐴.
Nota: Significa que la operación inversa de una operación elemental fila existe, y es una operación
elemental fila del mismo tipo.
Prueba:
i) Si se intercambia las filas 𝑟 y 𝑠, 𝑒−1
= 𝑒.
ii) Supongamos que 𝑒 es la operación que multiplica la fila 𝑟 de una matriz por un escalar 𝑐 ≠ 0,
entonces 𝑒−1
multiplica la fila 𝑟 por 𝑐−1
.
iii) Si 𝑒 es la operación que reemplaza la fila 𝑟, por la fila 𝑟 más 𝑐 veces la fila 𝑠, con 𝑟 ≠ 𝑠; entonces
𝑒−1
será la operación que reemplaza la fila 𝑟, por la fila 𝑟 más (−𝑐) veces la fila 𝑠.
Definición.-
Si 𝐴 y 𝐵 son matrices de orden 𝑚𝑥𝑛 sobre ℝ, decimos que 𝐵 es equivalente a 𝐴, si 𝐵 puede ser
obtenido de 𝐴 por una sucesión finita de operaciones elementales.
Teorema: (Hoffman y Kunze, p. 7)
Si 𝐴 y 𝐵 son matrices equivalentes de orden 𝑚𝑥𝑛, los sistemas homogéneos 𝐴𝑋 = 0 y 𝐵𝑋 = 0
tiene exactamente las mismas soluciones.
Prueba:
Como 𝐴 y 𝐵 son matrices equivalentes, por la definición anterior, pasamos de 𝐴 a 𝐵 por una sucesión
finita de operaciones elementales fila.
Es decir:
𝐴 = 𝐴0 ⟹ 𝐴1 ⟹ ⋯ ⟹ 𝐴𝑘 = 𝐵
Basta probar que los sistemas 𝐴𝑗𝑋 = 0 y 𝐴𝑗+1𝑋 = 0 tienen la misma solución; lo que significa
que una operación elemental fila no cambia el conjunto solución.

9. Supongamos que 𝐵 es obtenido de 𝐴 por cualquiera de las tres operaciones elementales; entonces,
cada ecuación del sistema 𝐵𝑋 = 0 es una combinación lineal de las ecuaciones del sistema 𝐴𝑋 =
0.
Puesto que, la inversa de una operación elemental es otra operación elemental, cada ecuación en
𝐴𝑋 = 0 es también una combinación lineal de las ecuaciones del sistema 𝐵𝑋 = 0.
Por lo tanto, estos dos sistemas son equivalentes; lo que significa que tienen las mismas soluciones.
Definición.-
Una matriz 𝑅𝑚𝑥𝑛 se llama reducida por filas si:
i) el primer elemento no nulo de cada fila no nula de 𝑅 es 1.
ii) cada columna de 𝑅 que contiene el primer elemento diferente de cero en alguna fila tiene
todos sus otros elementos 0.
Ejemplos:
Las siguientes son matrices reducidas:
1 0
0 1
 
 
 
,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
 
 
, [
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 3
0 0 0 0
]
Observación.-
 Toda matriz identidad 𝐼𝑛𝑥𝑛 es una matriz reducida.
 Las siguientes no son matrices reducidas:
(
1 0 0 0
0 1 −1 0
0 0 1 0
) ,
0 2 1
1 0 3
0 0 0
 
 

 
 
 
 La primera matriz no satisface la segunda condición.
 Mientras que la segunda matriz no satisface la primera condición, pues la primera entrada diferente
de cero en la primera fila no es uno.
Teorema:
Si A es una matriz dada de dimensión 𝑚𝑥𝑛, la matriz reducida 𝑅 es una matriz equivalente a A,
con las siguientes características:
a) Los elementos de la diagonal de 𝑅 son 0 o 1.
b) Si hay 𝑘 unos en la diagonal de 𝑅, ellos están en las primeras 𝑘 filas de 𝑅.
c) Todos los elementos de la columna donde hay un 1 en la diagonal son 0.
d) Todos los elementos en la fila donde hay un cero en la diagonal son 0.

10. Teorema:
Toda matriz 𝐴𝑚𝑥𝑛 sobre el campo de los números reales, es equivalente a una matriz reducida por
filas.
Prueba:
Sea 𝐴𝑚𝑥𝑛 una matriz sobre ℝ.
 Si todos los elementos de la primera fila de A fueran ceros, se cumple la condición (𝑖) respecto
a esta fila.
 Si la primera fila tuviera un elemento diferente de 0.
Sea 𝑘 el menor entero positivo para el cual 𝑎1𝑘 ≠ 0, multiplicando la fila 1 por 𝑎−1
1𝑘 la condición
(𝑖) se cumple, respecto a esta fila.
Luego, ∀ 𝑖 ≥ 2, sumamos (−𝑎𝑖𝑘) veces la fila 1 a la fila 𝑖.
Así conseguimos que el primer elemento no nulo de la primera fila esté en la columna 𝑘 y sea 1,
mientras que los demás elementos de dicha columna sean 0.
Satisfaciéndose así la segunda condición.
 Consideremos ahora, la matriz que resulta del proceso anterior.
Si todos los elementos de la fila 2 son 0, ya no hay nada que hacer con esta fila.
Si algún elemento es diferente de cero, se multiplica esa fila por un escalar, de tal manera que el
primer elemento sea 1.
 Como la primera fila tiene una entrada diferente de cero en la columna 𝑘, el primer elemento no
nulo de la fila 2 no puede estar en la columna 𝑘; sino en una columna 𝑘´
≠ 𝑘.
 Luego sumando múltiplos apropiados de la fila 2 a las demás filas podemos obtener que todos los
elementos en la columna 𝑘´
sean 0 excepto el de la fila 2.
 Si la fila 1 fuera nula, es obvio que ninguna operación con las otras filas la afecta.
Operando análogamente con las demás filas, se llega a la matriz reducida.
Nota:
Lo importante de estas operaciones es que no alteran los elementos de la primera fila en las columnas
1, 2, … , 𝑘, tampoco se modifican los elementos de la columna 𝑘.
10.Rango de una matriz.-
i) Si 𝑅 es una matriz reducida, el número 𝑟 de filas no nulas se llama el rango de 𝑅.

11. ii) El rango de una matriz 𝐴 es igual al rango de su matriz reducida.
Nota: Resulta obvio que el 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴𝑚𝑥𝑛) ≤ 𝑚í𝑛(𝑚, 𝑛).
11.Compatibilidad de sistemas lineales
Un sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 se denomina compatible (o consistente), si tiene por lo menos una solución, de lo
contrario se denomina incompatible (o inconsistente).
11.1 Compatibilidad de un sistema de ecuaciones con dos variables.
i) El sistema de ecuaciones {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
se dice que es compatible con solución única, cuando el
determinante del sistema (o de los coeficientes) es diferente de cero; es decir:
det(𝑆) ≠ 0
O cuando,
𝑎
𝑑
≠
𝑏
𝑒
≠
𝑐
𝑓
.
ii) El sistema de ecuaciones {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
se dice que es compatible indeterminado (con infinitas
soluciones), cuando el determinante del sistema y los determinantes respecto a las variables son
ceros; es decir:
det(𝑆) = 0 , det(𝑥) = 0 y det(𝑦) = 0
O cuando,
𝑎
𝑑
=
𝑏
𝑒
=
𝑐
𝑓
.
iii) El sistema de ecuaciones {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
se dice que es incompatible (sin solución), cuando el
determinante del sistema es cero y los determinantes respecto a las variables son diferentes de
cero; es decir:
det(𝑆) = 0 , det(𝑥) ≠ 0 y det(𝑦) ≠ 0
O cuando,
𝑎
𝑑
=
𝑏
𝑒
≠
𝑐
𝑓
.
Resumiendo de manera esquemática:

12. Teorema de Kronecker - Capelli: (Pérez, 1990, p. 234)
Un sistema de ecuaciones lineales 𝐴𝑋 = 𝐵 es compatible si y solo si la matriz de coeficientes 𝐴 y
la matriz ampliada 𝐴|𝐵 tienen el mismo rango.
Es decir:
𝐴𝑋 = 𝐵 es compatible ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴|𝐵) = 𝑟
 Si los rangos de la matriz principal y la matriz ampliada coinciden con el número de incógnitas, el
sistema tiene solución única (por lo tanto el sistema es determinado).
Es decir, 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴|𝐵) = 𝑟
Tal que 𝑟 = 𝑛 ⟺ 𝐴𝑋 = 𝐵 tiene solución única, donde 𝑛 es el número de incógnitas.
 Si el rango de la matriz principal y la matriz ampliada es menor que el número de incógnitas, el
sistema tiene más de una solución (o sea, es indeterminado).
Es decir,
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴|𝐵) = 𝑟, tal que 𝑟 < 𝑛 ⟺ 𝐴𝑋 = 𝐵 tiene solución múltiple.
 Si el rango de la matriz ampliada es distinto al rango de la matriz principal, el sistema es
incompatible; por lo tanto no tiene solución.
Es decir,
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) ≠ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴|𝐵) ⟹ 𝑆 = ∅ ⟺ 𝐴𝑋 = 𝐵 es incompatible.
SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES
COMPATIBLE
TIENE SOLUCIÓN
DETERMINADO
SOLUCIÓN
ÚNICA
RECTAS SECANTES
INDETERMINADO
INFINITAS
SOLUCIONES
RECTAS COINCIDENTES
INCOMPATIBLE
NO TIENE SOLUCIÓN
RECTAS PARALELAS
Conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos
variables relacionadas entre sí mediante el concetor "y".

13. Teorema: (Hoffman y Kunze, p.13)
Si 𝐴 es una matriz de orden 𝑚𝑥𝑛, con 𝑚 < 𝑛 , el sistema homogéneo de ecuaciones lineales 𝐴𝑋 =
𝐵 tiene una solución no trivial.
Demostración:
Dado el sistema homogéneo 𝐴𝑋 = 0 (con m ecuaciones y n incógnitas).
Sea 𝑅 la matriz reducida por filas equivalente a la matriz de coeficientes 𝐴.
Entonces, los sistemas 𝐴𝑋 = 0 y 𝑅𝑋 = 0 tienen las mismas soluciones.
Si 𝑟 es el número de filas no nulas de R, entonces 𝑟 ≤ 𝑚.
Como 𝑚 < 𝑛 tenemos que 𝑟 < 𝑛; luego el sistema 𝐴𝑋 = 0 tiene una solución no trivial.
Ejemplo:
Una solución no trivial del sistema {
𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 0
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 0
es la terna (−7, 1, 3);
𝐴 = (
1 −2 3
1 1 2
) es de orden 2x3 y se cumple que 2 < 3.
Teorema: (Sáenz, 1978, p.213)
Si 𝛼 es una solución del sistema homogéneo 𝐴𝑋 = 0 y 𝛽 es una solución del sistema no homogéneo
𝐴𝑋 = 𝐵, 𝛼 + 𝛽 es una solución del sistema 𝐴𝑋 = 𝐵.
Prueba:
Debemos probar que 𝐴(𝛼 + 𝛽) = 𝐵.
Por hipótesis sabemos que: 𝐴𝛼 = 0 y 𝐴𝛽 = 0
Luego,
𝐴(𝛼 + 𝛽) = 𝐴𝛼 + 𝐴𝛽 = 0 + 𝐵 = 𝐵
Por tanto, 𝛼 + 𝛽 es solución del sistema 𝐴𝑋 = 𝐵.
Teorema: (Sáenz, 1978, p.213)
Si 𝛽1 y 𝛽2 son soluciones del sistema no homogéneo 𝐴𝑋 = 𝐵, 𝛽1 − 𝛽2 es solución del sistema
homogéneo 𝐴𝑋 = 0.
Demostración:
Por hipótesis, 𝐴𝛽1 = 𝐵 y 𝐴𝛽2 = 𝐵
Entonces, 𝐴𝛽1 − 𝐴𝛽2 = 𝐵 − 𝐵
𝐴(𝛽1 − 𝛽2) = 0

14. Luego 𝛽1 − 𝛽2 es solución del sistema homogéneo 𝐴𝑋 = 0.
Por tanto, toda solución de 𝐴𝑋 = 𝐵 puede obtenerse sumando una solución de 𝐴𝑋 = 0 a una
solución particular de 𝐴𝑋 = 𝐵.
De estos teoremas se sigue que:
Si el sistema no homogéneo tiene solución, entonces tiene tantas soluciones como el homogéneo
correspondiente.
Teorema:
Si 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 son soluciones del sistema homogéneo 𝐴𝑋 = 0.
Entonces toda combinación lineal de los 𝛼𝑖 de la forma 𝑘1𝛼1 + 𝑘2𝛼2 + … + 𝑘𝑛 𝛼𝑛, donde
los 𝑘𝑖 son escalares, es también una solución del sistema homogéneo 𝐴𝑋 = 0.
Teorema: (Lipschutz, p. 113)
Si 𝐴𝑋 = 𝐵 tiene más de una solución, entonces tiene un número infinito de soluciones.
Prueba
Sean 𝛽1 y 𝛽2 dos soluciones distintas de 𝐴𝑋 = 𝐵
Entonces 𝛽1 − 𝛽2 es una solución no trivial del sistema homogéneo 𝐴𝑋 = 0
Es decir: 𝐴(𝛽1 − 𝛽2) = 𝐴𝛽1 − 𝐴𝛽2 = 𝐵 − 𝐵 = 0
Por el teorema anterior, todo múltiplo 𝑘(𝛽1 − 𝛽2) de 𝛽1 − 𝛽2 es una solución de 𝐴𝑋 = 0.
Luego, para cada escalar 𝑘, 𝛽1 + 𝑘(𝛽1 − 𝛽2) es una solución distinta de 𝐴𝑋 = 𝐵.
Por consiguiente, 𝐴𝑋 = 𝐵 tiene un número infinito de soluciones.
Teorema: (Hoffman y Kunze, p.13)
Si 𝐴 es una matriz cuadrada de orden 𝑛𝑥𝑛, 𝐴 es equivalente a la matriz identidad 𝐼𝑛𝑥𝑛, si y solo
si, el sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 0 tiene solamente la solución trivial.
Prueba
i) Si 𝐴𝑛𝑥𝑛 es equivalente a 𝐼𝑛𝑥𝑛, entonces 𝐴𝑋 = 0 e 𝐼𝑋 = 0 tienen las mismas soluciones.
ii) Supongamos que 𝐴𝑋 = 0 tiene solamente la solución trivial 𝑋 = 0.
Sean, 𝑅𝑛𝑥𝑛 una matriz reducida equivalente a 𝐴; y 𝑟 el número de filas no nulas de 𝑅, entonces
𝑅𝑋 = 0 carece de solución no trivial.
Luego, 𝑟 ≥ 𝑛 … (𝛼)
Pero como 𝑅 tiene 𝑛 filas, 𝑟 ≤ 𝑛 … (𝛽)
De (𝛼) y (𝛽) se tiene, 𝑟 = 𝑛
Esto significa que 𝑅 tiene un 1 como primer elemento no nulo en cada una de sus 𝑛 filas, y
como esos 1 están en diferentes columnas, necesariamente 𝑅𝑛𝑥𝑛 = 𝐼𝑛𝑥𝑛.

15. Corolario: (Florey, 1989, p. 81)
Un sistema de 𝑛 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas tiene solución única, si y solo si la matriz de
los coeficientes es equivalente a la matriz identidad 𝐼𝑛.
12.Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales
Como se señaló anteriormente al resolver un sistema de 𝑚 ecuaciones con 𝑛 incógnitas,
debemos encontrar 𝑛 escalares (números reales) 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑛 que satisfagan las 𝑚 ecuaciones.
Obviamente a mayor número de ecuaciones e incógnitas el proceso de solución es más compleja; sin
embargo existen métodos como el de Gauss - Jordan que facilitan esta tarea.
12.1 El método de Gauss - Jordan
El método de Gauss - Jordan puede ser usado en general en la resolución de un sistema lineal de 𝑚
ecuaciones con 𝑛 incógnitas. Dado el sistema 𝐴𝑋 = 𝐵, debemos reducir la matriz ampliada 𝐴|𝐵, aplicando
convenientemente las operaciones gaussianas sobre las filas de dicha matriz.
A manera de ejemplo, a continuación resolvemos algunos sistemas de ecuaciones usando este método.
Ejemplo 1:
Sea el sistema
{
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 1
5𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = −3
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1
La matriz ampliada es
[
1 −1 −2
5 4 3
1 1 1
|
1
−3
−1
]
Multiplicando por (−5) la primera fila y sumando a la segunda; y multiplicando por (−1) la primera
fila y sumando a la tercera se tiene:
[
1 −1 −2
0 9 13
0 2 3
|
1
−8
−2
]
Multiplicando la segunda fila por (
1
9
) tenemos:
[
1 −1 −2
0 1
13
9
0 2 3
|
1
−
8
9
−2
]

16. Sumando la segunda fila a la primera, y multiplicando por (−2) la segunda fila para sumar a la tercera,
se tiene
[
1 0 −
5
9
0 1
13
9
0 2
1
9
|
|
1
9
−
8
9
−
2
9]
Multiplicando por 9 la tercera fila:
[
1 0 −
5
9
0 1
13
9
0 2 1
|
1
9
−
8
9
−2
] (∗)
Sumando a la segunda fila −
13
9
por la fila 3, y sumando a la primera
5
9
de la fila 3 se obtiene:
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
−1
2
−2
] (∗∗)
Aquí ya tenemos a solución del sistema, pues a partir de
𝑥 − 0𝑦 − 0𝑧 = −1
0𝑥 + 𝑦 + 0𝑧 = 2
0𝑥 + 0𝑦 + 𝑧 = −2
Se tiene {
𝑥 = −1
𝑦 = 2
𝑧 = −2
Luego, 𝑆 = {(−1,2, −2)}
Es importante observar que los rangos de la matriz principal y la matriz ampliada coinciden con el
número de incógnitas; es decir:
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴|𝐵) = 3
Lo cual corrobora que el sistema es compatible y además tiene solución única.
Es evidente que a partir de cualquiera de las matrices equivalentes podemos regresar a un sistema
de ecuaciones; así por ejemplo, si tomamos la matriz () se tiene el sistema de ecuaciones
𝑥 −
5
9
𝑧 =
1
9
𝑦 +
13
9
𝑧 = −
8
9
𝑧 = −2

17. Cuya resolución es sencilla.
Podemos también limitarnos a encontrar una matriz triangular, como el siguiente
|
1 −1 2
0 1
13
9
0 0 1
|
1
−
8
9
−2
|
De donde se tiene el sistema
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑦 +
13
9
𝑧 = −
8
9
𝑧 = −2
Reemplazando el valor de 𝑧 en la segunda ecuación se obtiene 𝑦 = 2, y reemplazando estos valores
de 𝑦 y 𝑧 en la primera ecuación se tiene 𝑥 = −1.
Ejemplo 2:
Dado el sistema
𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2
3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = −5
La matriz ampliada es
[
1 2 7
1 1 −1
3 −2 5
|
1
2
−5
]
Aplicando sucesivamente las operaciones indicadas se tiene:
[
1 2 7
1 1 −1
3 −2 5
|
1
2
−5
]
→ 𝐹1 + 𝐹2 →
→ 3𝐹1 + 𝐹3 →
[
1 2 7
0 3 6
0 −8 −16
|
1
3
−8
]
→
1
3
𝐹2 →
→
1
8
𝐹3 →
[
1 2 7
0 1 2
0 −1 −2
|
1
1
−1
]
→ 𝐹1 + (−2)𝐹2 →
→ 2𝐹2 + 𝐹3 →
[
1 0 3
0 1 2
0 0 0
|
−1
1
0
]
A partir de esta matriz podemos decir que el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de
la matriz ampliada; es decir:
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴|𝐵) = 2
Por lo tanto el sistema es compatible; o sea tiene solución.
Pero como dicho rango es menor que el número de incógnitas el sistema tiene infinitas soluciones.
En efecto, de la última matriz se tiene el sistema :

18. 𝑥 + 0𝑦 + 3𝑧 = −1
0𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
0𝑥 − 0𝑦 + 0𝑧 = 0
Luego, de las dos primeras ecuaciones tenemos:
𝑥 = −3𝑧 − 1
𝑦 = −2𝑧 + 1
Haciendo 𝑧 = 𝑡, el conjunto solución del sistema es:
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−3𝑡 − 1, −2𝑡 + 1, 𝑡), 𝑡 ∈ ℝ }, o,
𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1,1,0) + 𝑡(−3, −2,1), 𝑡 ∈ ℝ }
Donde (−1,1,0) es una solución particular del sistema no homogéneo 𝐴𝑋 = 𝐵 y 𝑡(−3, −2,1) es
la solución general del sistema homogéneo 𝐴𝑋 = 0 (𝑡 es un número real cualquiera).
La última ecuación 0𝑥 − 0𝑦 + 0𝑧 = 0 se verifica para cualquier terna de números reales; en
particular para los elementos de 𝑆.
Ejemplo 3:
Apliquemos el método de Gauss - Jordan para resolver el sistema:
𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 2
𝑥1 + 3𝑥2 + 7𝑥3 = 3
3𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = 1
[
1 2 4
2 3 7
3 −1 5
|
2
3
1
]
→ −2𝐹1 + 𝐹2 →
→ −3𝐹1 + 𝐹3 →
[
1 2 4
0 −1 −1
0 −7 −7
|
2
−1
−5
]
→ −𝐹2 →
→ −7𝐹2 + 𝐹3 →
[
1 2 4
0 1 1
0 0 0
|
2
1
2
]
En la última matriz se observa que el rango de la matriz principal es 2, mientras que el rango de la
matriz ampliada es 3; es decir:
2 = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) ≠ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴|𝐵) = 3
Esto significa que, estamos frente al caso de un sistema incompatible; pues a partir de la última matriz
se tiene el sistema
𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 2
0𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 1
0𝑥1 − 0𝑥2 + 0𝑥3 = 2
Donde la ecuación 0𝑥1 − 0𝑥2 + 0𝑥3 = 2 no tiene solución; en consecuencia el sistema tampoco
tiene solución.
Si consideramos el sistema homogéneo asociado, la última matriz sería

19. [
1 2 4
0 1 1
0 0 0
|
0
0
0
]
Cuyo conjunto solución es:
𝐻 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (−2𝑡, −𝑡, 𝑡) = 𝑡(−2, −1,1), 𝑡 ∈ ℝ }
Nota:
En forma similar se puede aplicar este método para determinar la compatibilidad o incompatibilidad
de cualquier sistema de ecuaciones lineales 𝐴𝑋 = 𝐵 y hallar la solución o soluciones en caso de que
fuera compatible.
12.2 El método de determinantes
El método de determinantes es aplicable a la solución de sistemas de ecuaciones lineales que tengan
igual número de ecuaciones y de incógnitas además cuya matriz de coeficientes tenga determinante distinto
de cero. Este método se basa en el siguiente teorema,
Teorema: (Rojo, 1987, p. 187)
Si 𝐴 es una matriz no singular de orden n, entonces el sistema lineal 𝐴𝑋 = 𝐵 admite solución única,
el valor de cada variable es el cociente entre el determinante que se obtiene al sustituir, en el determinante
del sistema, la columna de coeficientes de la variable por la columna de los términos independientes, y el
determinante del sistema.
Prueba:
Sea 𝐴𝑋 = 𝐵, como 𝐴 es una matriz no singular, existe su inversa que denotamos por 𝐴−1
.
Entonces, multiplicando por 𝐴−1
a ambos miembros, tenemos:
𝐴−1(𝐴𝑋) = 𝐴−1
𝐵
Asociando tenemos
(𝐴−1
𝐴)𝑋 = 𝐴−1
𝐵
𝐼𝑋 = 𝐴−1
𝐵
𝑋 = 𝐴−1
𝐵
Ésta es la única solución del sistema.
Ahora bien, como 𝐴−1
=
𝑎𝑑𝑗(𝐴)
𝑑(𝐴)
, con 𝑑(𝐴) ≠ 0.
Donde 𝑎𝑑𝑗(𝐴) es la adjunta de A y 𝑑(𝐴) es el determinante de A; se tiene que:
𝑥 =
𝑎𝑑𝑗(𝐴)𝐵
𝑑(𝐴)
Donde la i-ésima componente de la solución del sistema es:

20. 𝑥𝑖 =
|
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1,𝑖−1 𝑏1 𝑎1,𝑖+1 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2,𝑖−1 𝑏2 𝑎2,𝑖+1 … 𝑎2𝑛
… … … … … … … …
𝑎m1 𝑎m2 … 𝑎𝑛,𝑖−1 𝑏𝑛 𝑎𝑛,𝑖+1 … 𝑎𝑚𝑛
|
𝑑(𝐴)
El recíproco del teorema también se cumple, es decir; si el sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 tiene una única
solución, 𝐴 es inversible (no singular), lo que implica que 𝑑(𝐴) ≠ 0.
Ejemplos:
1) Dado el sistema {
2𝑥 − 𝑦 = 4
3𝑥 + 2𝑦 = 13
En primer lugar debemos calcular el determinante de la matriz de los coeficientes:
𝑑(𝐴) = |
2 −1
3 2
| = 4 + 3 = 7
Luego,
𝑥 =
|
4 −1
13 2
|
𝑑(𝐴)
=
8+13
7
= 3
𝑦 =
|
2 4
3 13
|
𝑑(𝐴)
=
26−12
7
= 2
Entonces la única solución del sistema es el par (3,2).
2) Sea el sistema
{
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1
2𝑥1 + 𝑥3 = 2
−𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 4
𝑑(𝐴) = |
0 1
1 2
| − 2 |
2 1
−1 2
| + |
2 0
−1 1
| = −9
Entonces:
𝑥1 =
|
1 2 1
2 0 1
4 1 2
|
−9
= −
1
9
, 𝑥2 =
|
1 1 1
2 2 1
−1 4 2
|
−9
= −
5
9
, 𝑥3 =
|
1 2 1
2 0 2
−1 1 4
|
−9
=
20
9
Es decir el conjunto solución es
𝑆 = {(−
1
9
, −
5
9
, −
20
9
)}

21. 3). Si tenemos el sistema
3𝑥 + 4𝑦 − 5𝑧 = 8
8𝑥 + 7𝑦 − 2𝑧 = −7
2𝑥 − 𝑦 + 8𝑧 = 13
El determinante de los coeficientes es |
3 4 −5
8 7 −2
2 −1 8
| = 0.
En este caso no tiene sentido aplicar la regla de Cramer.
Solo podemos decir que el sistema no tiene solución única; puede tratarse de un sistema
indeterminado (con infinitas soluciones), o de un sistema inconsistente (sin solución alguna).
Las siguientes proposiciones confirman estos resultados.
Corolario 1:
Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo que tiene determinante diferente de cero, sólo admite
la solución trivial.
Corolario 2:
Si 𝑑(𝐴) = 0, el sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 no tiene solución o tiene más de una solución; y recíprocamente,
si el sistema no tiene solución o tiene más de una solución, la matriz de coeficientes tiene
determinante cero.
Ejemplos:
1) Dado el sistema {
𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 0
el determinante de la matriz de coeficientes es |
1 1
1 1
| = 0 , y
usando otros métodos podemos determinar que el sistema no tiene solución.
2) En el sistema {
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 1
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 − 𝑧 = 3
El determinante de la matriz de coeficientes es 0; además se verifica que las ternas (2,1,1) y
(1, −2, −1) satisfacen el sistema; lo que indica que el sistema tiene más de una solución.
En general el conjunto solución del sistema es
𝑆 = {(
𝑡+3
2
,
3𝑡−1
2
, 𝑡) /𝑡 ∈ ℝ} o 𝑆 = {(
3
2
,
−1
2
, 0) + 𝑡 (
1
2
,
3
2
, 1) /𝑡 ∈ ℝ}
que geométricamente representa una recta en el espacio tridimensional.