ANUAL SAN MARCOS 2020

2. NÚMEROS PRIMOS
Y COMPUESTOS I
ARITMÉTICA

3. OBJETIVOS DE LA SESIÓN
Reconocer los números simples, primos y compuestos.
1
Reconocer los números PESI y sus propiedades.
2

4. INTRODUCCIÓN
Eratóstenes (276 a.C – 194 a.C) fue un científico y filósofo
de la Antigua Grecia que realizó trabajos en astronomía,
geografía, matemáticas y también en poesía e historia.
La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar
todos los números primos menores que un número
natural dado. Se forma una tabla con todos los números
naturales comprendidos entre 2 y n; y se van tachando los
números que no son primos de la siguiente manera:
Comenzando por el 2, se tachan todos sus múltiplos;
comenzando de nuevo, cuando se encuentra un número
entero que no ha sido tachado, ese número es declarado
primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, así
sucesivamente. El proceso termina cuando el cuadrado del
siguiente número confirmado como primo es mayor
que ”n”.
LA CRIBA DE ERATÓSTENES

5. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
ENTEROS POSITIVOS
Según su cantidad de divisores ℤ+; la clasificación
será:
I. Números Simples
Son aquellos que poseen a lo más dos divisores. A su
vez:
• La Unidad
Es el único número entero positivo que posee un solo
divisor (él mismo).
• Los Números Primos
Llamados también “primos absolutos”, son aquellos
que poseen exactamente dos divisores (la unidad y el
mismo número); estos son:
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; …
Número Divisores
6  1 ; 2 ; 3 ; 6
4  1 ; 2 ; 4
8  1 ; 2 ; 4 ; 8
4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14 ; 15 ; 16 ; …
Observación:
Todo número compuesto posee por lo menos un divisor
primo.
Primer número primo
Primer número compuesto
Ejemplos:
(1 divisor primo)
(2 divisores primos)
(1 divisor primo)
⋮ ⋮
II. Números Compuestos
Son aquellos que poseen más de dos divisores; estos
son:

6.  Los únicos números que son consecutivos y primos a la
vez son el 2 y el 3.
 Los tres únicos números impares consecutivos y primos
a la vez son el 3; 5 y 7.
Ejemplos:
; pero 15 no es primo.
; pero 21 no es primo.
Aplicación
Resolución:
Sea: “r” el residuo.
Por condición:
Halle el residuo que se obtiene al dividir el producto de
los 400 primeros números primos entre 12.
400 números primos
 Todo número primo mayor que 2 es de la forma 4 ± 1
lo contrario no siempre se cumple.
∘
• 15 = 4 − 1
∘
• 21 = 4 + 1
∘
2 × 3 × 5 × 7 × ⋯
Como “2” es el único número primo par y los demás son
impares; entonces:
398 números primos
398 veces
r = 6
5 × 7 × 11 × ⋯
2 + 1 2 + 1 … (2 + 1)
∘
∘
∘
6 × 2 + 1
∘
→ 12 + 6
∘
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS PRIMOS
 El conjunto de los números primos absolutos es infinito.
{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; …}
 El único número primo par es el 2, los demás son impares.
Piden: El valor del residuo.
= 12 + r
∘
= 12 + r
∘
2 × 3 ×
2 × 3 × = 12 + r
∘
= 12 + r
∘
= 12 + r
∘
∴ El valor del residuo es 6.

7. Ejemplo 1:
PROCEDIMIENTO PARA SABER SI UN NÚMERO ES
PRIMO O NO
¿Es 157 un número primo o compuesto?
Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada aproximada de 157.
157 = 12,5…
Paso 2: Se indican todos los números primos menores o
iguales a la parte entera de dicha raíz cuadrada.
Números primos ≤ 12
2; 3; 5;7; 11
Paso 3: Se determina si 157 es o no divisible entre cada uno
de los números primos indicados en el paso anterior:
2 + 1
3 + 1
5 + 2
7 + 3
11 + 3
157 =
Se observa que 157 no es
divisible por ninguno de
dichos números primos
∴ 157 es un número primo.
Ejemplo 2: ¿Es 203 un número primo o compuesto?
Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada aproximada de 203.
203 = 14,2…
Paso 2: Se indican todos los números primos menores o
iguales a la parte entera de la raíz cuadrada.
Números primos ≤ 14
2; 3; 5;7; 11;13
Paso 3:
2 + 1
3 + 2
5 + 3
7
⋮
203 =
Se observa que 203 es divisible
entre 7 , eso bastará para
afirmar que no es primo.
∴ 203 no es número primo.
Se determina si 203 es o no divisible entre cada uno
de los números primos indicados en el paso anterior:

8. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI)
Llamados también números “primos relativos” o
“coprimos”, son aquellos que poseen un solo divisor
común: La unidad.
Ejemplos:
• ¿18 y 35 son PESI?
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
18 :
35 : 1 ; 5 ; 7 ; 35
Único divisor común
∴ 18 y 35 son PESI
• ¿21 y 28 son PESI?
1 ; 3 ; 7 ; 21
21 :
28 : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28
Hay 2 divisores
comunes
∴ 21 y 28 no son PESI
• ¿12; 20 y 45 son PESI?
12 :
20 :
45 :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20
1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45
Único divisor común
∴ 12; 20 y 45 son PESI
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS PESI
1. Dos números enteros positivos y consecutivos siempre
son PESI.
2. Dos números impares positivos y consecutivos siempre
son PESI.
3. Si en un conjunto de más de dos números enteros
positivos al menos dos de ellos son números PESI,
entonces todo el conjunto de números son PESI.
Divisores
Divisores
Divisores

9. Aplicación 2
Resolución:
Piden: La suma de valores de “n”.
∴ La suma de valores de “n” es 13.
4. Si los números 𝑎 y 𝑏 (𝑎 > 𝑏) son PESI, se cumple que:
𝑎 𝑦 (𝑎 ± 𝑏) son PESI
𝑏 𝑦 (𝑎 ± 𝑏) son PESI
Observación:
Para determinar si dos números son PESI, bastará
analizar los divisores primos que estos tengan.
∙ Si: A es PESI con 45
Sus divisores primos
son el 3 y 5i
“A” no es múltiplo de 3 ni de 5.
Ejemplos:
∙ Si: B es PESI con 70 Sus divisores primos
son el 2; 5 y 7i
“B” no es múltiplo de 2; de 5 ni de 7.
Si los números 3n y 18 son PESI, calcule la suma de valores
de "𝑛".
Por condición:
Si: 3n es PESI con 18
Sus divisores primos
son el 2 y 3i
∙ 3n no es múltiplo de 2 ni de 3.
∙ "n" debe ser impar, pero no múltiplo de 3 para que 3n
no sea múltiplo de 3.
Valores de “n": 1 ; 5 ; 7
Por lo tanto:
Suma de valores
de "n" = 1 + 5 +7 = 13
Entonces:

10. BIBLIOGRAFÍA
 Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética Esencial - Colección Esencial.
Lumbreras Editores, 2014.
 Asociación Fondo de Investigadores y Editores.
Aritmética: Análisis razonado del número y sus
aplicaciones. Lumbreras Editores.

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