1. Resolução da Lista 5 de FF-207
01. Uma pequena bola de massa m, inicialmente em A, desliza sobre
uma superfície circular ADB sem atrito. Calcule quando a bola
está ao ponto C, a velocidade angular e a força exercida pela
superfície (em função de g, m, α, r) pelo método de Newton e
D’Alembert.
SOLUÇÃO:
Pelo método de D’Alembert:
Para facilitar os cálculos, vamos escolher o sistema de
coordenadas polar (r, α), pois com ele podemos facilmente
descrever a equação do vínculo holonômico que existe no
sistema, r é constante. Assim, a bola tem apenas um grau de
liberdade, α que será a coordenada generalizada. Então, temos
como deslocamento virtual:
Também, a única força aplicada na bola é o seu peso, que pode
ser decomposto na direção de (tangente à curva) e na direção
de (radial) em cada ponto. Assim, temos no ponto C:
Quanto à derivada do momento linear, temos:
Onde , pelo
fato de r ser constante. Assim, temos:

2. Finalmente, pelo método de D’Alembert, temos:
Fazendo a primeira integração dessa equação diferencial
ordinária, temos:
Esta é a velocidade angular da bola em C.
Pelo método de Newton:
Como o movimento é circular, a resultante das forças na direção
radial é a própria força centrípeta, dada pela seguinte fórmula:
As forças atuantes na direção radial são mostradas no diagrama
de corpo livre (Figura do enunciado que está à direita). Então,
temos:

3. 02. Calcule as acelerações dos corpos, para a figura abaixo através
do método de Newton, D’Alembert e Euler-Lagrange.
T1
m1
a1 T1
T2 a1 – a2
T2 m
2
a1 + a 2 m3 m2g
m3g
Onde:
SOLUÇÃO:
Pelo método de Newton:
Segundo a lei de Newton, temos:
Analisando o sistema da figura 1, vamos calcular a força
resultante sobre cada bloco.
Bloco 1:
Bloco 2:
Bloco 3:
Temos três equações e quatro incógnitas. Assim, falta uma
equação que é:
Pois a polia é móvel e divide a tensão pela metade.
Resolvendo o sistema de 4 equações e 4 incógnitas chegamos ao
seguinte resultado:

4. Assim, podemos determinar a aceleração de cada bloco:
Pelo método de D’Alembert:
De acordo com o Princípio de D’Alembert, temos que:

5. Onde é a resultante das forças aplicadas na partícula , é
a derivada temporal do momento linear de cada partícula e
é o seu deslocamento virtual. É importante observar que o
somatório “corre” sobre a quantidade de partículas do sistema e
não sobre as coordenadas generalizadas. Assim, temos:
Para a massa :
Para a massa :
Para a massa :
Das equações de vínculo, temos:
Da figura também tiramos que:

6. Substituindo na eq. (5), temos:
Como os deslocamentos e são independentes, podemos
separar em duas equações:
Multiplicando a primeira por e a segunda por
, temos:
Então a aceleração de cada massa é:
Pelo método de Euler-Lagrange:
Utilizando-se a equação de Lagrange, temos que:

7. Onde é a função Lagrangeana, é a energia cinética
total e é a energia potencial.
Da figura, segue que:
Das equações de vínculo, temos:
Da figura também tiramos que:
Então, temos:

8. Então, a função Lagrange é:
Há duas coordenadas generalizadas independentes, então
e e .
Substituindo na eq. (6), temos:

9. Se multiplicarmos as duas equações por -1, teremos o mesmo
sistema encontrado pelo método de D’Alembert. Logo, teremos
as mesmas soluções:
03. Encontrar a curva Braquistócrona pelo Princípio de Hamilton, ou
seja, a trajetória de menor tempo entre dois pontos de uma
partícula que está somente sob a ação da gravidade.
Considerando como a velocidade com que a partícula desce a
curva, o tempo total de descida será:
Considerando que a partícula cai do repouso, temos pela
conservação da energia que:
Também, temos que:

10. Então, ficamos com:
Para que seja estacionária, ou seja, para minimizarmos esse
funcional, teremos:
E devemos ter:
Multiplicando a equação por , temos:
Somando e subtraindo o termo , temos:

11. Podemos resolver essa equação de forma paramétrica. Para isso,
tomamos , teremos:
Logo, temos:
Além disso:

12. Então, integrando temos:
As equações (1) e (2) fornecem uma solução paramétrica para o
problema da braquistócrona. Ela é a representação paramétrica
de uma cicloide, mas precisamente de uma cicloide voltada para
cima, cujo raio da circunferência que a gerou é a ser
determinado pelas condições iniciais.