Curso de Nivelamento de Matemática

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Curso de Nivelamento de Matemática
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Organização

Cristiane Bonatti
Reitor da UNIASSELVI
Prof. Malcon Anderson Tafner
Pró-Reitor de Ensino de Graduação a Distância
Prof. Janes Fidélis Tomelin
Pró-Reitor Operacional de Ensino de Graduação a Distância
Prof. Hermínio Kloch
Diagramação e Capa
Davi Schaefer Pasold
Revisão:
Diógenes Schweigert
José Rodrigues
Marina Luciani Garcia

Todos os direitos reservados à Editora Grupo UNIASSELVI - Uma empresa do Grupo UNIASSELVI
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Copyright © Editora GRUPO UNIASSELVI 2011.
Proibida a reprodução total ou parcial da obra de acordo com a Lei 9.610/98.

3

NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Números racionais podem ser apresentados na forma
, na forma decimal (0,5) ou percentual (50%).
fracionária
Iniciaremos os estudos na forma fracionária.
Números Fracionários são todos os números resultantes
da divisão de dois números inteiros. Como 0, 1, -2, -27, 35,
, ..., podemos observar que dentro dos números racionais
estão os números inteiros.
Isso nos mostra de onde surgiram as frações. As frações
são representadas por um número fracionário, ou seja, a
parte de um todo, cada parte da fração representa o todo em
diversas partes iguais.
Fração como parte de um todo

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4

Analisando o quadro anterior, ele foi dividido em 8 partes
iguais e três dessas partes estão pintadas. Dizemos que este
quadro todo representa um inteiro. Se representarmos sua
parte pintada, temos , ou seja, três oitavos do quadro estão
pintadas e

(cinco oitavos) não.

Na representação da fração

, temos que o número 3

representa o numerador, o número 8 o denominador, e o traço
de fração (divisão). Eles são chamados de termos da fração.
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO EM NÚMERO MISTO E
VICE-VERSA
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO EM NÚMERO MISTO

1ª maneira

Observe a representação gráﬁca anterior, o número
de vezes em que o todo está dividido é representado pelo

5

denominador, por este motivo, mesmo na forma de número
misto, o denominador não se altera.
2ª maneira

Fazendo a leitura da divisão: o quociente é o número
inteiro que a fração representa, o divisor continua
sendo o denominador e o resto é o numerador.

Então:

Transformação de número misto em fração


6

1ª maneira

2ª maneira

Atenção
Observe que foi efetuada a operação inversa da divisão
do caso anterior, pois antes se dividia denominador por
numerador e encontrava-se a forma do número misto. Agora
multiplicamos a parte inteira pelo denominador e somamos
o numerador; lembrando que o denominador não se altera,
pois ele continua dividindo o todo em partes iguais.
Novamente observe que o denominador não se altera, pois
a quantidade de partes em que o todo está dividido é a mesma.


7

FRAÇÕES EQUIVALENTES
Frações equivalentes são as que têm o mesmo valor em
relação a uma fração para a outra, só que representada de
forma equivalente (igual, mesmo valor).
Exemplo:
, essas frações são frações equivalentes, pois todas
equivalem à metade.
Vejamos isso em uma representação gráfica, cada parte
representa uma parte de um todo.
Assim:

Para podermos entender um pouco melhor essa
situação, vamos conhecer a simplificação de fração.
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO
Simplificar uma fração é poder dividir o numerador e o

8

denominador por um mesmo número natural, diferente de
zero e de um, tornando essa fração mais simples. A fração
já está na sua forma mais simples e percebermos que não é
mais possível dividi-la, deixando-a em sua forma irredutível.
Exemplo:

(b) , a fração não pode ser simpliﬁcada, pois não existe
um mesmo número que divida o 4 e o 7 simultaneamente.
Sendo assim, é uma fração irredutível.
NÚMERO RACIONAL (Q)

Número Racional é todo número que pode ser
representado por uma fração com numerador e denominador
inteiros e denominador diferente de zero (não existe divisão
por zero).
O símbolo dos números racionais Q vem da
inicial da palavra quociente, que signiﬁca razão ou
fração.


9

Exemplo:
6 9 3
3 é um número racional, pois 3 = , , etc.
2 3 1
-12,75 é um número racional, pois -12,75 =
Todo número racional pode ser escrito na forma de um
número decimal, por meio de uma decimal exata ou de uma
dízima periódica.
Exemplo:

= 0,333...
O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
O conjunto formado pelos números racionais
é indicado pela letra Q:


10

Então, para ser um número racional, deve ser um valor
de x tal que x seja igual a uma fração com numerador e
denominador inteiro e que o denominador seja diferente de
zero.
A RELAÇÃO ENTRE OS CONJUNTOS DOS NÚMEROS
Observe através do diagrama a relação entre conjuntos

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, indica o conjunto dos números naturais;
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, indica o conjunto dos
números inteiros;
a


Q = Q = | a ∈Z e b ∈ Z * , indica o conjunto dos números
b


racionais.
Com isso podemos dizer que todo número natural
é também um número inteiro e todo número inteiro é
um número racional, ou ainda, que N está contido em
Z e que N e Z estão contidos em Q.


11

COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS RACIONAIS
Comparar dois números racionais signiﬁca dizer se o
primeiro é maior (>), menor (<) ou igual (=) ao segundo.
Exemplo:
, pois todo número negativo é menor que um número
positivo.
, pois 0 é maior do que qualquer número negativo.
, pois quanto mais próximo do 0 maior será o número
negativo.
A REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS NA
RETA NUMÉRICA
Como todo número racional pode ser representado na
sua forma decimal, existe uma relação de ordem em Q e,
portanto, podemos localizá-lo na reta real.
Lembrando que primeiramente precisamos localizar o
ponto de origem na reta e, como acabamos de ver, os números
inteiros estão dentro do conjunto dos números racionais.

12

Depois de marcados os números inteiros na reta,
podemos localizar os números racionais.
Exemplo:
(a)
é um número racional entre 1 e 2, pois

=-

= 0,75

(b)
- 0,27 é um número racional entre – 1 e 0, pois – 0,27


13

MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO
RACIONAL
Já estudamos módulo nos números inteiros. Só para
relembrar: módulo é a distância do ponto que representa esse
número até a origem.
Exemplo:

A distância do ponto A até a origem 0 (zero) é representada
que é de da unidade.
por
A distância do ponto B até a origem 0 (zero) é
que é de da unidade.
representada por
Então:
é um número racional, pois
é um número racional, pois

= – 1 = – 1,125
= 1 = 1,125


14

NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Nesse mesmo exemplo, podemos identiﬁcar também os
números opostos ou simétricos, que são representados
por dois pontos que estão à mesma distância da origem.
INVERSO DE UM NÚMERO RACIONAL
De todos os números racionais, o único que não tem
inverso é o zero.
Exemplo:
, o inverso de

.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
A adição de números inteiros pode ser realizada pela
redução das frações ao mesmo denominador positivo e pela
soma dos numeradores, conservando o denominador.
Exemplo:

No entanto, se observarmos a fração , é uma fração
equivalente a , ou seja, a primeira fração foi multiplicada por

15

2, por esse processo chegamos num mesmo denominador e,
então, podemos fazer a soma dos numeradores, conservando
o denominador.


16

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
COMUTATIVA
Numa adição de números racionais, a ordem das
parcelas não altera seu resultado.
Exemplo:

ASSOCIATIVA
Na adição de mais de dois números racionais, não
importa a ordem em que forem feitas as adições, pois podemos
agrupar valores e chegarmos aos mesmos resultados.
Exemplo:

ou

ELEMENTO NEUTRO
Qualquer número racional somado ao 0 (zero), resulta
nele mesmo.


17

ou

OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Qualquer número racional somado ao seu oposto resulta
em zero.
Exemplo:
ou
SUBTRAÇÃO
A subtração dos números racionais pode ser realizada
somando o primeiro número com o oposto do segundo, desse
modo resolvemos pelo mesmo método da adição.
Exemplo:
21

1


18

OPERAÇÕES
DECIMAIS

DE

NÚMEROS

RACIONAIS

COM

Para realizarmos este tipo de operação, podemos optar
entre duas formas de resolução:
1ª maneira
Transformar todos os valores em fração
Exemplo:

Utiliza-se a simpliﬁcação de frações para tornar as
operações mais fáceis.

2ª maneira
Transformar todos os valores em decimal (usamos a
regra do arredondamento no caso dos números decimais.
Exemplo:

Observe:

19

Toda fração é uma divisão, então transformar uma
fração em número decimal é dividir o seu numerador
pelo seu denominador.

MULTIPLICAÇÃO
Na multiplicação de números racionais, multiplicamos
os numeradores e os denominadores da seguinte forma.
Numerador multiplica numerador e denominador multiplica
denominador.
Exemplo:
ou
ou
Para multiplicação de números racionais na forma
decimal, basta multiplicar seus valores absolutos.
Exemplo:
(-0,876) . (-0,87) = +0,76212
0,76212

ou

(0,87) . (0,876) = +


20

(0,876) . (-0,87) = - 0,76212
0,76212

ou

(-0,87) . (+0,876) = -

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
COMUTATIVA
Na multiplicação de números racionais, a ordem dos
fatores não altera o produto
Exemplo:
(0,876) . (-0,87) = - 0,76212

ou

(-0,87) . (+0,876) = - 0,76212

ASSOCIATIVA
Na multiplicação de números racionais com mais de
dois fatores, não importa a ordem em que efetuamos as
multiplicações.
Exemplo:
ou

DISTRIBUTIVA
O produto de um número racional por uma soma

21

de racionais é igual à soma dos produtos resultantes da
multiplicação entre o primeiro racional e cada uma das
parcelas.
Exemplo:

ELEMENTO NEUTRO DA MULTIPLICAÇÃO
Como vimos na adição, o elemento neutro é o zero. Já
na multiplicação, o elemento neutro é o 1 (um), pois qualquer
número multiplicado por 1 resulta nele mesmo.
Exemplo:
ou

35 . 1 = 35

INVERSO
Todo número multiplicado pelo seu inverso resulta em 1.
Exemplo:

22

, para cada fração pertencente aos números
inteiros, representamos seu inverso

por

=1

DIVISÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Na divisão de fração, trabalhamos com a multiplicação
inversa. Você deve estar se perguntando: se é uma divisão,
como vou resolver uma multiplicação?
Através da multiplicação de fração, multiplicamos o
numerador pelo numerador. Assim, obtemos o produto
do numerador e, multiplicando denominador pelo
denominador, obtemos o produto do denominador,
ou seja, a segunda fração deve ser invertida, veja os
exemplos a seguir:

Exemplo:
Divisão com sinais iguais, o quociente será positivo.
ou
Divisão com sinais diferentes, o quociente será negativo.

23

ou
POTENCIAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Para elevarmos uma fração a um expoente, basta
elevarmos o numerador e denominador a esse expoente.
Exemplo:

RADICIAÇÃO
A palavra Radical vem do latim radix, que signiﬁca
raiz. O símbolo √ de radical foi introduzido em 1525,
por Christoff Rudolff.

Raiz enésima de um número
Se considerarmos um número real x, para a raiz enésima
desse número será representada da seguinte maneira:
Índice

radicando


24

QUANDO O ÍNDICE FOR PAR
Exemplo:
, pois 9.9 = 9² = 81 e (-9) . (-9) = 81
, pois 3.3.3.3 = 34 = 81 e ( -34) = 81
, pois 2.2.2.2.2.2.2.2 = 28 = 256 e ( -28) = 256
A raiz quadrada dos números negativos não existe.
Isto também se estende a todas as raízes pares. Qualquer
número elevado ao quadrado resulta em um número positivo.
Exemplo:

(
é o oposto de
PARA ÍNDICES PARES!

)e

não existe


25

QUANDO O ÍNDICE FOR ÍMPAR
Exemplo:
= 3, pois 3.3.3 = 3³ = 27
= 2, pois 2.2.2.2.2.2.2 = 27 = 128
= -3, pois, (-3).(-3).(-3) = (-3)³ = - 27
, pois (-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = (-27)= - 128
Qualquer raiz de índice ímpar com radicando positivo ou
negativo existe.
RAIZ COM ÍNDICE NATURAL E ZERO NO RADICANDO
Para raízes com o radicando zero e qualquer índice, o
resultado sempre será zero.
Exemplo:
, pois 0 . 0 = 0
POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita
na forma de radical e todo radical pode ser escrito na forma
de uma potência com expoente fracionário.

26

Exemplo:

ou

ou

Todos os números racionais podem ser representados
na forma de fração , em que a é o numerador e b o
denominador; b ≠ 0
Assim, podemos reescrever 3,75 como

.

Os números inteiros também são racionais, por
isso as propriedades estudadas para expoentes inteiros
devem ser preservadas quando se amplia o campo do
expoente para os racionais.
Exemplo:
, ou seja,


27

Propriedades das potências com expoente fracionário
Multiplicação de potências de mesma base; conserva a
base e soma os expoentes.
Exemplo:

Divisão de potências de mesma base; conserva a base
e subtrai os expoentes.
Exemplo:

Potência de potência
Exemplo:

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
No conjunto dos números reais existem expressões
que apresentam um radical no denominador, nesse caso

28

precisamos racionalizar os denominadores. Para racionalizar,
precisamos transformar o denominador em um denominador
racional, mantendo o valor da expressão. Lembre que
uma expressão em forma de fração não se altera quando
multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador
pelo mesmo número, diferente de zero.
Exemplo:
(a)
=
(b)
=
Potência de um produto
Exemplo:


29

REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE
Reduzir ao mesmo índice signiﬁca descobrir dois
radicais, de mesmo índice, de tal forma que o primeiro seja
equivalente ao segundo.
Exemplo:

Ou seja,

PROPRIEDADES DOS RADICAIS
1ª Propriedade
Se um radical tem o índice igual ao expoente do
radicando, seu valor é igual à base do radicando.
Exemplos:
= 9, pois 9.9.9 = 9³ = 729 e a

=9


30

= 3, pois .3.3.3 = 3³ = 27 e a

=3

Não se esqueça, porém, das condições impostas à
existência dos radicais envolvidos.
Exemplo:
não é igual a -1, (-1)4 = 1, ou seja,

= 1 pois

2ª Propriedade
O valor do radical não se altera quando multiplicamos
ou dividimos o índice e o expoente do radicando pelo mesmo
número.
Exemplos:
(a)

(b)
1

3

(c)


31

3ª Propriedade
Um radical que tem um produto no radicando pode ser
decomposto em um produto de radicais de mesmo índice,
com cada fator do primeiro produto em um radical.
Exemplo:

4ª Propriedade
Se um radical tem um quociente em seu radicando, ele
pode ser decomposto em um quociente de dois radicais com
o mesmo índice.
Exemplo:


32

OPERAÇÕES COM RADICAIS
SIMPLIFICANDO RADICAIS
Se o valor do radicando tiver o expoente igual ao valor
do índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do
radicando e escritos como fatores externos.
Exemplo:

9.7 = 3² 7 = 3 7
.
5³ = 5² 5 = 5 5
.
Lembrando também que um fator externo pode ser
introduzido como fator no radicando, bastando para isso
escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.
Exemplo:

3 7 = 3² 7 = 9.7
.
Na adição e subtração de radicais, só podemos escrever
o resultado num só radical se os termos forem semelhantes,
pois, então, podemos usar a propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição e subtração.


33

Exemplo:

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Exemplo:
Se os índices forem iguais, basta usar a 3ª e a 4ª
propriedades.

Se os índices forem diferentes, devemos inicialmente
reduzir os radicais ao mesmo índice para depois resolver.

RESUMO DO TÓPICO
NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Número Racional é todo número que pode ser

34

representado por uma fração com numerador e denominador
inteiros e denominador diferente de zero (não existe divisão
por zero).
a


Q = Q = | a ∈Z e b ∈ Z *
b



FRAÇÕES EQUIVALENTES
Frações equivalentes são as que têm o mesmo valor
em relação a uma fração, só que representada de forma
equivalente (igual, mesmo valor).
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO
Simpliﬁcar uma fração é poder dividir o numerador e o
denominador por um mesmo número natural, diferente de
zero e de um, tornando-a na sua forma irredutível.
COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS RACIONAIS
Comparar dois números racionais signiﬁca dizer se o
primeiro é maior do que (>), menor do que (<) ou igual (=) ao
segundo.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
A adição de números inteiros pode ser realizada pela
redução das frações ao mesmo denominador positivo e pela
soma dos numeradores, conservando o denominador.

35

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
Comutativa: a ordem das parcelas não altera seu
resultado.
Associativa: não importa a ordem em que forem feitas
as adições, pois podemos agrupar valores e chegarmos aos
mesmos resultados.
Elemento Neutro: qualquer número racional somado ao
0 (zero), resulta nele mesmo.
Oposto ou Simétrico: qualquer número racional somado
a seu oposto resulta em zero.
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Na multiplicação de números racionais, multiplicamos
os numeradores e os denominadores da seguinte forma:
numerador multiplica numerador e denominador multiplica
denominador.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto.
Associativa: não importa a ordem em que efetuamos as
multiplicações.
Distributiva: o produto pela soma dos racionais é igual
à soma dos produtos resultantes da multiplicação entre o
primeiro racional e cada uma das parcelas.
Elemento Neutro: na multiplicação o elemento neutro é
o 1 (um), pois qualquer número multiplicado por 1 resulta nele

36

mesmo.
Inverso: todo número multiplicado pelo seu inverso resulta
em 1.
RADICIAÇÃO
Se considerarmos um número real x, para a raiz enésima
desse número será representada da seguinte maneira:

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Para racionalizar, precisamos transformar o denominador
em um denominador racional, mantendo o valor da expressão.
OPERAÇÕES COM RADICAIS
SIMPLIFICANDO RADICAIS: quando o valor do
radicando tiver o expoente igual ao valor do índice do radical,
esses fatores podem ser extraídos do radicando e escritos
como fatores externos.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: só podemos escrever o
resultado num só radical se os termos forem semelhantes.


37

A UTOATIVIDADE
1. Quando x = -5 e y = 4, a expressão
numérico:

, qual seu valor

a) Seu valor será
b) Seu valor será
c) Seu valor será -3
d) Seu valor será 3
2. São dadas as igualdades:
I.
II.
III.
IV.
De acordo com as igualdades, é correto aﬁrmar que:
( ) Todas as igualdades são verdadeiras.
( ) Somente as igualdades I, II e IV são verdadeiras.
( ) Somente as igualdades II são verdadeiras.
( ) Somente as igualdades I e II são verdadeiras.
3. O resultado de ( 6 − 4 ).( 4 + 6 ) é:
a) 0
b)

38

c) 2
d) 2
4. Simpliﬁcando o Radical

, obtém-se:

a)
b)
c)
d)
5. Racionalizando o denominador de

, o resultado será:

a)
b)
c)
d)


39

6. Se você dividir

por

, obterá:

a)
b)
c)
d)
7. O número racional -2,7 pode ser escrito na forma de fração,
assinale a opção correta:
a)
b)
c)
d)
8. O número racional
consecutivos?

ﬁca entre quais os inteiros


40

a) Entre os consecutivos -4 e -3.
b) Entre os consecutivos -4 e -5.
c) Entre os consecutivos 4 e 3.
d) Entre os consecutivos 4 e 5.
9. A expressão numérica
simpliﬁcada por qual expressão?

, pode ser

a)
b)
c)
d)
10. Determine o radical corresponde à potência 20,3,
assinalando a opção correta:
a)
b)
c)
d)


41

G ABARITO
1. Quando x = -5 e y = 4, a expressão

, qual seu valor numérico:

a) Seu valor será
b) Seu valor será
c) Seu valor será
d) Seu valor será 3
2. São dadas as igualdades:
I.
II.
III.
IV.
De acordo com as igualdades, é correto aﬁrmar que:
( ) Todas as igualdades são verdadeiras.
( ) Somente as igualdades I, II e IV são verdadeiras.
( ) Somente a igualdade II é verdadeira.
( x ) Somente as igualdades I e II são verdadeiras.


42
3. O resultado de (

6 − 4 ).( 4 + 6 ) é:

a) 0
b)
c) 2
d) 2
4. Simpliﬁcando o Radical

, obtém-se:

a)
b)
c)

43

d)
5. Racionalizando o denominador de

, o resultado será:

a)
b)
c)
d)


44
6. Se você dividir

por

, obterá:

a)
b)
c)
d)


45
7. O número racional -2,7 pode ser escrito na forma de fração, assinale a opção
correta:
a)

b)
c)
d)

8. O número racional

ﬁca entre quais os inteiros consecutivos?

a) Entre os consecutivos -4 e -3.
b) Entre os consecutivos -4 e -5.
c) Entre os consecutivos 4 e 3.
d) Entre os consecutivos 4 e 5.
9. A expressão numérica
a sentença verdadeira:

, pode ser simpliﬁcada, assinale


46
a)
b)
c)
d)
10. Determine o radical corresponde à potência 20,3, assinalando a opção correta:

a)
b)
c)
d)


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