limites

1. MATEMÁTICAS I LÍMITES-CONTINUIDAD
1/13 IBR-IES LA NÍA
TEMA 9 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
1. LÍMITES EN EL INFINITO
En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores
de x se hacen “enormemente grandes” (+∞) o “enormemente pequeños” (-∞).
Considera la función
4 7
( )
2 3
x
f x
x
−
=
+
. Si analizamos las imágenes por f(x) de valores “muy grandes”
en una tabla de valores:
Diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a +∞ es 2:
4 7
lim 2
2 3x
x
x→+∞
−
=
+
.
Gráficamente la situación es:
Si consideramos ahora la función
6 5
( )
2 1
x
f x
x
−
=
−
y analizamos las imágenes
de valores “enormemente pequeños” .
Diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a −∞ es 3:
6 5
lim 3
2 1x
x
x→−∞
−
=
−
.
Gráficamente la situación es:
En ambos casos la gráfica de la función f(x) se aproxima a una recta horizontal tanto como
queramos. Dicha recta se llama asíntota horizontal.
Una función tiene límite l cuando x→+ ∞ si los valores de f(x) se aproximan a l tanto
como se quiera cuando x toma valores suficientemente grandes: lxf
x
=
+∞→
)(lim
Una función tiene límite l cuando x→− ∞ si los valores de f(x) se aproximan a l tanto
como se quiera cuando x toma valores suficientemente pequeños: lxf
x
=
−∞→
)(lim
También puede suceder que cuando x → ±∞ la función no se estabilice acercándose a un nº real
(AH), sino que ( )f x → ±∞ . Estos comportamientos se pueden expresar también con límites de la
siguiente forma:
x f(x)
100 1,935961
1000 1,99351
10000 1,99935
…… …………
x f(x)
-100 3,00995
-1000 3,0009995
-10000 3,0000999
…… …………

2. MATEMÁTICAS I LÍMITES-CONTINUIDAD
2/13 IBR-IES LA NÍA
Ejercicios:
1º) Analiza los límites en el infinito de las funciones cuyas gráficas son las siguientes y da las
ecuaciones de sus asíntotas horizontales:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Cálculo efectivo de límites cuando x→+ ∞ ó x→− ∞
A) El límite de las funciones polinómicas 01
1
1 .....)( axaxaxaxf n
n
n
n ++++= −
− es el de su
monomio de mayor grado. Este límite siempre será ∞, sólo debemos averiguar si es +∞ ó −∞,
dependiendo de si n es par o impar y del signo de an:
Ejemplos:
−∞=−=+−
+∞→+∞→
)2(lim)142(lim 33
xxx
xx

3. MATEMÁTICAS I LÍMITES-CONTINUIDAD
3/13 IBR-IES LA NÍA
+∞=−=+−
−∞→−∞→
)2(lim)142(lim 33
xxx
xx
−∞=−=−−
+∞→+∞→
)4(lim)144(lim 22
xxx
xx
−∞=−=−−
−∞→−∞→
)4(lim)144(lim 22
xxx
xx
B) El límite de funciones racionales (cociente de polinomios)
01
1
1
01
1
1
....
.....
)(
bxbxbxb
axaxaxa
xf m
m
m
m
n
n
n
n
++++
++++
= −
−
−
−
, dependerá del grado del numerador y del denominador
ya que esto determinará quién aumenta más rápidamente:
01
1
1
01
1
1
....
.....
lim
bxbxbxb
axaxaxa
m
m
m
m
n
n
n
n
x ++++
++++
−
−
−
−
∞→
=







=
<
>∞
mnsi
b
a
m
mnsi
m
n
sin0
En el primer caso, el signo +∞ ó −∞ dependerá de si x→+ ∞ ó x→− ∞, y del signo de los
coeficientes de mayor grado.
Ejemplos:
4 3 4
4 4
8 4 10 8 8
lim lim
33 7 2 3x x
x x x x
x x x→+∞ →+∞
− + −
= =
− +
4 3 4
3 3
8 4 10 8
lim lim
3 7 2 3x x
x x x x
x x x→−∞ →−∞
− + −
= = +∞
− − + −
Ejercicios:
2º) Calcula el valor de los siguientes límites en el infinito:
a. =+−
+∞→
)873(lim 2
xx
x
b. =++−
+∞→
)102(lim 3
xx
x
c. =−
−∞→
)3(lim x
x
d. =++−
−∞→
)29(lim 2
xx
x
e. =+−
+∞→
)8(lim 2
x
x
f. =+−
−∞→
)432(lim 3
xx
x
g. =+−
−∞→
)72(lim 34
xxx
x
h. =
−−
+
+∞→ 2403
82
lim 2
xx
x
x
i. =
+
+−
−∞→ 23
3
2
147
lim
xx
xx
x
j. =
−
−−
+∞→ 94
3102
lim
2
x
xx
x
k. =
−
−
+∞→ x
x
x 5
84
lim
2
l. =
−
−
−∞→ x
x
x 5
84
lim
2
m. =
−+
+
−∞→ 1372
85
lim 2
xx
x
x
n. =
−+
+
+∞→ 1372
86
lim 4
4
xx
x
x
o. =
−+
+
−∞→ 173
27
lim 2
3
xx
x
x
p. =
−+∞→ 23
lim
x
x
x
q.
=+−∞→ 8
3
lim
xx
r. =
−
−
+∞→ 8
23
lim
x
x
x
s. =
−
−
−∞→ 8
23
lim
x
x
x
t. 2
1 2
lim 3
3x x x→+∞
 
− + + 
− 
3º) Calcula las asíntotas horizontales de:
7
4
)(
−
+
=
x
x
xf , 3
8
( )
7
x
g x
x
+
=
+
,
4 2
2 3 1
( )
4 12
x x
h x
x
+ −
=
+

4. LÍMITES
4/13
2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
Ejercicio: 4º) Observa la gráfica siguiente:
a) Estudia el dominio, el recorrido, los intervalos de
crecimiento y la continuidad de f(x).
b) Indica si existen los límites siguientes:
♦ )(lim
1
xf
x −
−→
♦ )(lim
1
xf
x +
−→
♦ )(lim
1
xf
x −→
♦ )(lim
1
xf
x −
→
♦ )(lim
1
xf
x +
→
♦ )(lim
1
xf
x→
♦ )(lim
2
xf
x +
−→
♦ )(lim
4
xf
x −
→
Utilizaremos la notación x→a (que se lee “x tiende a a”) para expresar que x toma una sucesión de
valores, distintos de a, pero muy cercanos a a.
Si al hacer que x→a resulta que los valores de f(x) se acercan cada vez más a un valor l ,
diremos que l es el límite de la función cuando x→a. Se escribe: lxf
ax
=
→
)(lim
Cuando la variable x se acerca al valor a pero tomando valores menores que a se dice que x tiende
hacia a por la izquierda y se escribe x→a−
. Análogamente la expresión x→a+
indica que x tiende
hacia a pero tomando valores mayores que a y se dice que x tiende a a por la derecha.
Estos conceptos se conocen como límites laterales:
1)(lim lxf
ax
=−
→
y 2)(lim lxf
ax
=+
→
Para que una función tenga límite en un punto es necesario que los dos límites laterales coincidan:
Si lxfxf
axax
== +−
→→
)(lim)(lim entonces lxf
ax
=
→
)(lim
Ejercicios:
5º) Observa las siguientes gráficas y determina cuál es el límite en los puntos que se indican:
6º) Representa gráficamente las siguientes funciones y determina, si es posible, el límite de cada
una de ellas en los puntos de abscisa x = −2, x = 0, x = 2
a. xxxf 5)( 2
−=

5. LÍMITES
5/13
b.



≥
<−
=
0
04
)( 2
2
xx
xx
xg c.
2
1 2
( ) 3 2 2
5 2
x x
h x x
x x
− ≤ −

= − < <
 − >
3. CONTINUIDAD EN UN PUNTO
En cada una de las figuras siguiente puedes observar el comportamiento de distintas funciones
cuando x toma valores cercanos a 2.
Durante mucho tiempo fue asumida como idea intuitiva la siguiente definición: una función
continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
Observa las gráficas de las siguientes funciones y di cuáles son continuas en a y cuáles no. En los
casos que no lo sea di la causa.
Calcula, a partir de la gráfica, y en los tres
casos:
a) )(lim
2
xf
x −
→
, )(lim
2
xf
x +
→
y f(2)
b) ¿Es continua f(x) en x=2?

6. LÍMITES
6/13
Luego, una función f(x) es continua en a si cumple:
1º) Existe f(a) (tiene imagen)
2º) Existe )(lim xf
ax→
3º) Ambos valores coinciden: )()(lim afxf
ax
=
→
Ejercicio:
7º) Dada la función






>
<<−
≤+
=
31
302
01
)(
2
x
xx
xx
xf , se pide:
a) Dominio
b) Gráfica
c) Puntos de discontinuidad
La definición anterior puede ser ampliada a un intervalo. Para que f(x) sea continua en un intervalo
debe ser continua en todos los puntos de su interior. Si el intervalo tiene algún extremo cerrado, por
ejemplo [a,b], puesto que sólo se puede calcular un límite lateral, debe cumplir:
)()(lim afxf
ax
=+
→
y )()(lim bfxf
bx
=−
→
Ejercicios:
8º) Dada la función
[ ]
] [
] [






∈
+
−∈−
−−∈+
=
4,2
4
2
2,13
1,34
)(
x
x
xx
xx
xf se pide:
a) Dominio
b) Gráfica
c) Puntos de discontinuidad
9º) Representa las siguientes funciones y analiza los puntos de discontinuidad




=
≠
=
24
2
)(
x
xx
xf ,




>−
≤−
=
01
01
)(
2
xx
xx
xg
10º)
]
] [
] [






∈
+
−∈−
−−∈+
=
4,2
4
2
2,13
1,3[4
)(
x
x
xx
xx
xf , calcula, sin hacer la representación gráfica, el límite cuando x→-
1-
, x→-1+
,x→0, x→2-
, x→2+
, x→4-
, x→4+
. [3;4;3;1;1;3/2;no existe]

7. LÍMITES
7/13
4. LÍMITES INFINITOS
Observa el comportamiento de las siguientes funciones:
En las figuras anteriores observa que las ramas de la curva se “acercan” cada vez más a una recta de
ecuación x=a ( x=0, x=1 y x=-2, respectivamente). Dicha recta recibe el nombre de asíntota
vertical. Observa que esos valores anulan los denominadores de las tres funciones.
En dichos valores, si intentamos calcular el límite de la función cuando x→a, observamos que los
valores de f(x) son mayores que cualquier nº real cuando x toma valores próximos a “a”.
Se dice entonces que la función y=f(x) tiene límite +∞ cuando x→a. (En este caso las ramas
de la función van hacia arriba y los dos límites laterales son +∞).
Si los valores de la función son menores que cualquier nº real cuando x toma valores próximos
a “a” , diremos que la función y=f(x) tiene límite -∞ cuando x→a. (En este caso las ramas de
la función van hacia abajo y los dos límites laterales son −∞).
Cuando los límites laterales en un punto son +∞ y −∞, se escribe por convenio ∞.
En particular si la función viene expresada como un cociente, las asíntotas verticales (límites
infinitos) se buscarán entre los valores que anulen el denominador.
Ejercicios:
11º) A la vista de la gráfica de la figura calcula:
a) =
−∞→
)(lim xf
x
b) =
−→
)(lim
2
xf
x
c) =
−→
)(lim
1
xf
x
d) =
→
)(lim
0
xf
x
e) =−
→
)(lim
2
xf
x
f) =+
→
)(lim
2
xf
x
g) =
+∞→
)(lim xf
x
h) f(0)=
f(x), 0x −
→
x y
-0,1 100
-0,01 10000
-0,001 1000000
……. …….
f(x), 0x +
→
x y
0,1 100
0,01 10000
0,001 1000000
……. …….
h(x), 2x −
→ −
x y
-2,1 -20
-2,01 -200
-2,001 -2000
……. …….
h(x), 2x +
→ −
x y
-1,9 20
-1,99 200
-1,999 2000
……. …….

8. LÍMITES
8/13
12º) Estudia si las gráficas de las funciones dadas poseen asíntotas verticales y representa
gráficamente la situación en las proximidades de dicha asíntota:
a)
x
x
xf
2
)(
+
=
b)
)(2
1
)( 2
xx
xf
−
=
c) 2
)1(
2
)(
x
xf
+
−
=
d) 2
3
)(
x
x
xf
−
=
e)
2
4
)(
2
+
−
=
x
x
xf (Analiza el
comportamiento con dos tablas de
valores)
13º) Calcula el valor de los siguientes límites:
a) =
+
+
→ 32
13
lim
0 x
x
x
b) =
+
→ 20
2
lim
x
x
x
c) =+++
→
)123(lim
2
xx
x
d) =
+
+
−→ 23 )3(
1
lim
x
x
x
e) =−
→
6
4
)(lim x
x
x
f) =
+−→ 25 )5(
1
lim
xx
g) =+−−
→
)13(lim 2
2
xx
x
h) =
+
+−
→ 3
12
lim 2
2
1 x
xx
x
i) =
+
+−
+∞→ 3
12
lim 2
2
x
xx
x
j) =
−
+
−→ 32
25
lim 5
2
1 x
x
x
k) =
−
+
+∞→ 32
25
lim 5
2
x
x
x
l) =
−
−+
+
→ 104
33
lim
2
2 x
xx
x
m) =
−
−+
+∞→ 104
33
lim
2
x
xx
x
n) =
−
−+
−∞→ 104
33
lim
2
x
xx
x
o) =





−
+
−
−∞→
42
7
13
lim
x
x x
x
p) ( )=+
+∞→
4lim xx
x
q) =
+−
+
−∞→ 124
33
lim 3
3
xx
xx
x
r) =
−
+
+∞→ 2
3
lim 3
2
x
xx
x
s) =
−
+
→ 2
3
lim 3
2
0 x
xx
x
t) =







−
+
−
→
1
3
2
0 2
3
lim
x
xx
x
u) =
+
−
−∞→ 42
3
lim
3
x
xx
x
v) =
+
+
+∞→ 4
1
lim
2
x
x
x
w) =
+
+
+∞→ 4
1
lim
3 2
x
x
x
x) =
−
→ 23
31
lim
x
x
x
y) =+
→
x
x
x)27(lim
0
z) =
−−
+
−→ 43
lim 2
2
1 xx
xx
x
aa) =
−
−+
→ 2
22
lim
2 x
x
x
bb) =−
+∞→
)3(lim 2
xx
x
cc) =
−
+
−∞→ 4
83
lim 2
x
x
x
dd) =
+
−+
+∞→ 92
473
lim 2
2
x
xx
x
ee) =
+
−+
+∞→ xx
xx
x 2
3
3
238
lim

9. LÍMITES
9/13
5. CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES
Cuando falla alguna de las condiciones de la definición de función continua en un punto, se dice
que la función es discontinua en ese punto. Según cuál sea la condición que no se cumple da lugar a
un tipo distinto de discontinuidad:
A) Discontinuidad evitable: cuando existe )(lim xf
ax→
, pero o no coincide con f(a) o f(a) no existe.
B) Discontinuidad no evitable: cuando no existe el )(lim xf
ax→
B1) De salto finito: los límites laterales existen y son finitos pero distintos.
B2) De salto infinito: cuando uno o los dos límites laterales son infinitos.
Ejercicios:
14º) Estudia los puntos de discontinuidad e indica los intervalos
donde la función es continua.
15º) Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a) xxxf +−= 2
2)(
b) 3)( −= xxf
c)






>−
<<−−
−≤−−
=
12
11
12
)(
2
2
xxx
xx
xxx
xf
[Discontinuidad evitable en x=1]
d)




−>
−
+
−≤+
=
2
5
3
24
)(
x
x
x
xx
xf . [Disc. no
evitable de salto finito en x=-2; Disc.
no evitable de salto infinito en x=5,
AV]
e)
1
4
)(
−
=
x
xf

10. LÍMITES
10/13
f)
42
23
)(
−
+
=
x
x
xf
g)
13
23
)(
−
+
=
x
x
xf
h)
4
13
)( 2
−
+
=
x
x
xf
i)
4
13
)( 2
+
+
=
x
x
xf
j)
32
93
)( 2
−+
+
=
xx
x
xf
6. INDETERMINACIÓN
0
0
(caso racional)
En algunos casos nos ha aparecido la expresión
0
0
, y nos hemos acercado al verdadero valor a
través de tablas de valores. Esta expresión es una indeterminación, que se “puede resolver”
factorizando los polinomios y simplificando la fracción:
Ejemplo:
2
3
9
lim
3x
x
x→
−
=
− 3
( 3)( 3)
lim
3x
x x
x→
+ −
−
=
3
lim( 3) 6
x
x
→
+ =
Ejercicios:
16º) Terminar el ejercicio anterior
32
93
)( 2
−+
+
=
xx
x
xf y clasificar la discontinuidad de 3−=x
17º) Terminar 13z pag 8
18º)
xxx
x
x 23
4
lim 23
2
2 +−
−
→
[-4];
1
1
2
3
1 −
−
→ x
x
lim
x
[3/2];
3 2
3 2
3 9 5
, , 1, 5
9 15 25
x x x
x x x
x x x
− − −
→ ±∞ → − →
− + +
19º) Estudia la continuidad de las funciones:
a)
128
4
)( 23
2
−−+
−
=
xxx
x
xf b)
1
)( 23
2
−+−
−
=
xxx
xx
xf
20º) La función
1
22
)( 2
−
+
=
x
x
xf , ¿es discontinua en x = −1? ¿La discontinuidad es evitable? ¿Cuál es
el verdadero valor (imagen de –1 para que sea continua en ese punto)? [-1]
21º) Estudia la continuidad de la función
] ]
] [
] ]




∈−
−∈−
−−∈−−
=
5,24
2,2
2,426
)( 2
x
xx
xx
xf . [Discontinuidad no
evitable de salto finito en x=-2]
22º) Estudia la continuidad de la función




>
−
≤+
=
2
4
9
272
)(
xsi
x
xsix
xf
23º) Estudia la continuidad de la función








>
−
−
<≤−
−
−<+
=
2
4
63
22
4
12
212
)(
2
x
x
x
x
x
xx
xf

11. LÍMITES
11/13
24º) Calcula el valor de “a” para que f(x) sea continua:




≥−
<
−=
32
3
4)(
xax
x
x
x
xf
25º) Halla el valor que deben tener “m” y “n” para que la siguiente función sea continua en R :






>
+
+
=
<−
=
2
1
3
26
224
)(
x
x
nx
x
xmx
xf [m=1, n=12]
26º) Halla el valor que deben tener “a” y “b” para que la siguiente función sea continua en R :





>−
≤<−+
−≤
=
223
21
15
)( 2
xx
xbax
xx
xf [a=3, b=-8]
27º) Halla el valor que deben tener “a” y “b” para que la siguiente función sea continua en R :





≥−
<<−
≤+
=
33
31
112
)(
2
xx
xbax
xx
xf [a=3/2, b=-3/2]
7. INDETERMINACIÓN
0
0
(caso irracional)
Recordar 22
))(( bababa −=−+ .
Para resolver la indeterminación multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado de
la expresión que presenta radicales.
Ejemplos:
1º)
1
23
1 −
−+
→ x
x
lim
x
[1/4] 2º)
22
2
2 −+
−
→ x
x
lim
x
3º)
42
37
2 −
−+
→ x
x
lim
x
4º)
xx
xx
x 23
2
lim
2
1 −+
−+
→
5º) 21
1 3
lim ,
41x
x x
x→
−  
 −  
8. INDETERMINACIÓN ∞−∞
♦ Si es posible se realiza la operación indicada
Ejemplos:
1) =




 +
−
−
+
+∞→ 2
54
3
42 2
x
x
x
lim
x
=





−
−+−+
+∞→ )3(2
)3)(54()42(2 2
x
xxx
lim
x
62
15125484 22
−
++−−+
+∞→ x
xxxx
lim
x
=
2
7
62
237
=
−
+
+∞→ x
x
lim
x
2) 






 +
−
−
+
+∞→ 2
3
2
3
1
3
4
lim
x
x
x
x
x

12. LÍMITES
12/13
♦ Si tenemos una expresión irracional se resuelve igual que la indeterminación
0
0
, es decir,
multiplicando y dividiendo por el conjugado.
Ejercicios:
28º) Calcula los siguientes límites:
a. ( )xxxxlim
x
22 22
−−+
+∞→
b. ( ))13lim 2
++−
+∞→
xxx
x
c. 





−
+
−
+
+
+∞→ 14
96
52
53 22
x
xx
x
xx
lim
x
d. 





+
+
−
−
+
−∞→ 3
5
1
1
2
2
x
x
x
x
lim
x
e. ( )712lim
4
−++
→
xx
x
f. 






 −
⋅
+−∞→ x
x
x
x
x
1
1
4
lim
2
2
g.
1
3
2
47
1
lim
−
−∞→ 







+
−
xx
x
x
h. 32
)4(lim −
+∞→
+ xx
x
i. 





+
+−+
−∞→ 12
32
:
4
lim 32
x
x
x
x
x
j. 






 +
−
−
+
+∞→ x
x
x
x
x
1
1
2
lim
2
2
3
k. 





−
−
−
−→ 9
37
3
lim 23 x
x
x
x
x
l.
62
25
lim
2
3 −
−−
→ x
x
x
m. ( )1lim 2
+−
+∞→
xx
x
n.
34
42
35
−
−∞→






+
−
x
x x
x
lim [0]
o.
xx
xx
lim
x ++
+
−→ 52
2
1
LÍMITES PARA REPASAR
1º)
2
2
3 +
−
→ x
x
lim
x
2º)
233
672
23
2
2 +++
++
→ xxx
xx
lim
x
3º)
4
321
32
3
−+
−+
+∞→ xx
xx
lim
x
4º)
1
242
23
23
1 +−−
+−
→ xxx
xxx
lim
x
5º) 2
4
25 xlim
x
−
→
6º)
1
12
23
234
1 −+−
+−+−
→ xxx
xxxx
lim
x
7º) x
x
xlim )32(
2
+
→
8º)
9
27
2
3
3 −
−
→ x
x
lim
x
9º)
79
23
+
−
−∞→ x
x
lim
x
10º)
14
2
3
2
−
−+−
+∞→ x
xx
lim
x
11º)
32
1 1
1






−
−
→ x
x
lim
x
12º)
2
22
2 4
lim
24x
x x
xx→
 − −
−  −− 
13º)
3
962
3 −
+−
→ x
xx
lim
x
14º) 2
2
2 )2(
65
−
+−
→ x
xx
lim
x
15º)
xx
xxx
lim
x 52
362
2
23
0 +
−+
→
16º)
32
2
+
+
+∞→ x
xx
lim
x
17º)
1
233 3
−
+
+∞→ x
xx
lim
x
18º)
3 4
2
43
x
xx
lim
x
+−
+∞→
19º)
x
x xx
xx
lim
2
2
2
432
3






−+
++
+∞→
20º) )492( 3
1
++−
−→
xxlim
x
21º)
23
1
21
−+
−
→
x
x
lim
x
22º)
65
3
2
++
+
−∞→ xx
x
lim
x
23º)
1
1
2
4
+−
−
−∞→ x
x
lim
x
24º)
x
x
lim
x −−→ 110
25º)
x
x x
x
lim
1
3 3
24






−
−
→
26º)
1
3
2
2
352
123
−+
+∞→ 





++
−+
xx
x xx
xx
lim
27º)
x
x
x xx
xx
lim
−
+∞→ 





−+
+− 1
2
2
43
34
28º)
x
x
lim
x
−−
→
42
0
29º) ( )xxxlim
x
−++
+∞→
12
30º) ( )22 −−+
+∞→
xxlim
x
31º) ( )xxxlim
x
+−
+∞→
2

13. LÍMITES
13/13
32º)
276
27
2
3
3 −+
−
→ xx
x
lim
x
33º) 





+−
⋅
+
−
→ 23
5
3
1
2
2
1 xx
x
x
x
lim
x
34º)
x
xx
x
+
+∞→
2
4
lim
35º)
3
1
lim
++
+
+∞→ xx
x
x
36º)
3
1
lim
2
++
+
+∞→ xx
x
x
37º)
x
xx
x
+
+∞→
3
4
lim
38º)
81442
472
lim 23
23
1 +−+
+−+
→ xxx
xxx
x
39º)
12
)12()12(
lim 2
22
+
−−+
+∞→ x
xx
x
40º) )33(lim 5
xx
x
+−
−∞→
41º) )107(lim 2
1
+−
→
xx
x
42º)
5
25
lim
2
5 −
−
→ x
x
x
43º)
32
132
lim 2
3
−+
++
−∞→ xx
xx
x
44º)
1
3
2
2 2
2
32
135
lim
+
+
−∞→ 





++
−+ x
xx
x xx
xx
45º)
1
3
2
352
3
lim
−
+∞→ 





−+
x
x xx
x
46º) 





−
+
⋅
−
+
+∞→ 34
5
3
72
lim
x
x
x
x
x
47º)
2
3
2 4
lim
3x
x
x−
→
− 
 
− 
48º)
x
x
x
−
→





 −
1
2 5
43
lim
49º)
12
310
25
lim
−
+∞→ 







−
+−
x
x
x
50º) 





−
+
−
+
+
+∞→ 14
96
52
53
lim
22
x
xx
x
xx
x
51º)
12
1
lim
2
++
+
+∞→
xx
x
x
52º)
12
1
lim
2
2
++
+
+∞→
xx
x
x
Soluciones:
1º) 1/5; 2º) 1; 3º) -3; 4º) 1; 5º) 3; 6º) ½; 7º) 49; 8º) 9/2; 9º) 1/3; 10º) 0; 11º) 8; 12º) -15/4
13º) 0; 14º) ∞; 15º) -3/5; 16º) +∞; 17º) 3
3 ; 18º) -∞; 19º) 1; 20º) -3; 21º) 2; 22º) 0; 23º) -∞
24º) 2; 25º) ∞; 26º) 0; 27º) ¾; 28º) ¼; 29º) ½; 30º) 0; 31º) -1/2; 32º) 9/4; 33º) -5/2; 34º) 2
35º) 0; 36º) 1; 37º) +∞; 38º) ½; 39º) 0; 40º) +∞;41º) 4; 42º) 10; 43º) -∞; 44º) 125; 45º) 0; 46º) ½;
47º) +∞; 48º) 5/2; 49º) 0; 50º) -31/8; 51º) 0; 52º)
21
1
+