Análisis de los Factores Externos de la Organización.
Sucesiones, sumatorias y progresiones
1. Universidad de Oriente
Núcleo Monagas
Departamento de ciencias sociales
Matemática I
Profesora:
Milagros Coraspe
Alumno(a):
Rosa Rondón
26.975.649
Sección “41’’
2. Introducción
En esta presentación se darán a conocer las diferentes definiciones y tipos de
sucesiones, sumatorias y progresiones. Su método o fórmula que se necesita para
tener presente los resultados que obtendremos en posiciones definidas.
3. Sucesiones
Una sucesión (o progresión) es una lista de números en un orden
específico. Por ejemplo: 2, 4, 6, 8, 10 forman una sucesión.
Esta sucesión se denomina finita por que tiene un ultimo numero. Si
un conjunto de números que forman una sucesión no tiene ultimo
numero, se dice que la sucesión es infinita.
Por ejemplo: en una sucesión infinita; los tres últimos puntos indican
que no hay último número en la sucesión. Como el cálculo trata con
sucesiones infinitas, la palabra sucesión en este texto significará
sucesión infinita. Se iniciara el estudio de esta sección con la
definición de función sucesión. Una función sucesión es una función
cuyo dominio es el conjunto { 1, 2, 3, 4, ….., n, ….} de todos los
números enteros positivos. Los números del contra dominio de una
función sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de
los elementos de una función sucesión listados en orden.
4. Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita
En orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", (nosotros somos los que decidimos qué orden) Podría ser adelante, atrás
o alternando. Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede
aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
xn es el término
n es la posición de ese término
Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5
5. Tipos de sucesiones
Sucesiones aritméticas
Una sucesión aritmética es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para
el término general de una sucesión aritmética es an + b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado.
Sucesiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r,
llamada razón.
Sucesiones especiales
Números triangulares:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …
Esta sucesión se genera con un patrón de puntos que forma un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total se encuentra el siguiente número de la sucesión.
Números cuadrados:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, …
El siguiente número se hace elevando su posición al cuadrado. El segundo número es 2 al cuadrado (22 o 2×2). El séptimo
número es 7 al cuadrado (72 o 7×7) etc.
Números cúbicos
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, …
El siguiente número se calcula elevando su posición al cubo. El segundo número es 2 al cubo (23 o 2×2×2). El séptimo número
es 7 al cubo (73 o 7×7×7) etc.
6. Sumatorias
El sumatorio o sumatoria (también conocido como operación de suma, notación
sigma o símbolo suma), es una notación matemática que permite representar sumas de
muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, evitando el empleo de los puntos
suspensivos o de una explícita notación de paso al límite.
La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se
representa así:
Expresión que se lee:
" sumatoria de Xi, donde i toma los valores desde 1 hasta n ".
i es el valor inicial, llamado límite inferior.
n es el valor final, llamado límite superior.
Pero necesariamente debe cumplirse que: i ≤ n
Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su
expresión se puede simplificar:
7. Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito de números, que se denota
como sigue:
Donde:
S: magnitud resultante de la suma.
T: cantidad de valores a sumar.
k: índice de la suma, que varía entre h y h+t
h: punto inicial de la sumatoria
h+t: punto final de la sumatoria
nk: valor de la magnitud objeto de suma en el punto k
Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el caso cuando t→ ∞, que se
conoce como serie y se representa de la manera siguiente:
8. Propiedades de las sumatorias
La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la sumatoria
de la variable.
La sumatoria hasta N de una constante, es igual a N veces la constante.
La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término.
La sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias de cada término.
La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es igual a la sumatoria
de la variable elevado al cuadrado.
9. Los sumatorios tienen unas reglas, que han de cumplirse, a la hora de realizar las
operaciones.
Regla 1: El sumatorio de una suma, es igual a la suma de las sumatorias de cada término.
Es decir, que es lo mismo sumar primero los términos (que pueden ser datos que nos dan) y
hacer luego el sumatorio, que realizarlo por separado, para cada uno de los términos.
Regla 2: La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la
sumatoria de la variable.
Dicho de otra forma, que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio, podemos
sacarla para fuera (como factor común, que en realidad, lo es).
Regla 3: El sumatorio de n veces una constante, es igual a N veces esa constante.
Si K es 3, sumar 3 20 veces, es lo mismo que multiplicar 3×20.
10. Regla 4: El sumatorio de un producto, no es igual al producto de los sumatorios de
cada término.
Regla 5: El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable, no es igual al
sumatorio de la variable elevada al cuadrado.
Por ejemplo, no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2 = 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y
elevarlo al cuadrado, que nos daría: 25.
11. Progresiones Aritméticas y
Geométricas
Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro
del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de
regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las
progresiones aritméticas y geométricas.
Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden
verse como correspondencias unívocas entre el conjunto de los números naturales N
y el de los reales R.
12. Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada
término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada
denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la
progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a
partir del valor del primero de los términos, a1
an = a1 + (n - 1) d. an: término general n: numero de términos
a1: valor del primer término d: diferencia
Por ejemplo
La sucesión matemática 3, 5, 7, 9,… es una progresión aritmética de diferencia
constante 2, así como 5, 2, −1, −4,… es una progresión aritmética de diferencia
constante −3.
En conclusión, una progresión aritmética, de esta forma, se compone de una serie
de números que tienen una diferencia constante cuando son sucesivos dentro de la
secuencia en cuestión.
13. Suma de los términos de una progresión aritmética.
Para determinar la suma de un número finito de términos de una progresión aritmética,
denotada por a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an, basta con considerar el principio de que los pares de
términos a1 y an, a2 y an-1, a3 y an-2, etcétera, son equidistantes, de manera que todos estos
pares suman una misma cantidad.
Generalizando esta consideración, se tiene que la suma de todos los términos de una
progresión aritmética es igual a:
Ejemplo
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión:
8, 3, -2, -7, -12, ...
Solución:
14. Interpolación de términos en una progresión aritmética
Entre cada dos términos a y b de una progresión aritmética es posible interpolar
otros m términos, llamados medios diferenciales, de manera que todos ellos
integren una nueva progresión aritmética (con m + 2 términos) donde a y b sean los
extremos.
La diferencia de esta progresión se determinará con arreglo a la siguiente
fórmula:
Ejemplo
Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
8, 3, -2, -7 , -12.
15. Progresiones geométricas
Otra forma común de sucesión es la constituida por las llamadas progresiones
geométricas. Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada
término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se
conoce como razón. Dicho de otro modo, en una progresión geométrica el
cociente entre cada término y el término anterior es una constante r, que se
llama razón de la progresión.
Ejemplo
La sucesión 3,6,12,24,48,...... es una progresión geométrica de razón 2.
La sucesión 0,0.1,0.01,0.001,...... es una progresión geométrica de razón 0.1.
La sucesión 1,1/4,1/16,1/64,....... es una progresión geométrica de razón 1/4.
o El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como:
an = a1 × rn-1 an: término general r: razón
a1: valor del primer término n: número de términos
16. o Dentro del ámbito de la citada progresión geométrica, tenemos que exponer
que existe lo que se da en llamar interpolación de términos.
Este se usa para definir lo que es la construcción de una progresión geométrica
que se identifique por el hecho de que sus extremos tenga números dados. Así, por
ejemplo, se establece que hay que interpolar tres números entre el 3 y el 48 el
resultado estará conformado por el 6, el 12 y el 24.
¿Cómo se puede calcular esa interpolación? Básicamente llevando a cabo la
siguiente fórmula:
r = m+1 √b/a
En esa fórmula, m corresponde al número de medios que hay que interpolar y
tanto b como a son los números que se sitúan en los extremos. Así, en el ejemplo
dado anteriormente, m sería el número 3, b sería 48 y a sería el 3.
o De la misma manera, se pueden llevar a cabo otra serie de operaciones
matemáticas con lo que es cualquier progresión geométrica. En concreto, se
puede proceder a la suma de un número determinado de los términos
consecutivos en una citada progresión cualquiera, y también incluso si esta es
decreciente.
La suma de los términos de la progresión es igual al último término por la razón
menos el primer término dividido por la razón menos 1.
17. Conclusión
Se han obtenido conjuntos de números cuyos términos cumplen una
determinada regla, lo que nos permite encontrar otros términos de manera
única. Es decir, se puede determinar cuál es el primer término, cuál es el
segundo y así sucesivamente.
Una sucesión aritmética (o progresiones aritméticas) es una sucesión de
números tal que cada término se obtiene sumándole al anterior un número
fijo.
La sumatoria se emplea para representar la suma de muchos o infinitos
sumandos.
Una sucesión geométrica (o progresiones) es una sucesión de números tal
que cada término se obtiene multiplicando al anterior por un número fijo.
