Este documento resume conceptos básicos de conjuntos y operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. También explica números reales, desigualdades, valor absoluto y cómo resolver desigualdades con valor absoluto.
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
PNFCP
Estado Lara
Participante:
Rubí Prieto
CI:
30395948
Sección:
CO1101
Barquisimeto, Septiembre de 2021
2. CONJUNTOS
Es una colección desordenada de objetos, los objetos de un
conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una
relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les llama
elementos o miembros de dicho conjunto, por lo tanto un
conjunto contiene a sus elementos.
3. OPERACIONES CON CONJUNTOS
Las operaciones con conjuntos también conocidas como
álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre
los conjuntos para obtener otro conjunto.
4. • UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para
formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que
queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un
conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será
otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos
los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que
se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪.
Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de
conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma
uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
5. EJEMPLO:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la
unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
También se puede
graficar del
siguiente modo:
6. • INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Es la operación que nos permite formar un conjunto,
sólo con los elementos comunes involucrados en la
operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de
intersección de los conjuntos A y B, estará formado
por los elementos de A y los elementos de B que sean
comunes, los elementos no comunes A y B, será
excluidos. El símbolo que se usa para indicar la
operación de intersección es el siguiente: ∩.
7. EJEMPLO:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
8. • DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en
donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que
tendrá todos los elementos que pertenecen al primero
pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B,
la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado
por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El
símbolo que se usa para esta operación es el mismo que
se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente:
9. EJEMPLO
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
10. • DIFERENCIA DE SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de
dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los
elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados
dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos
los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se
usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente:
△.
11. EJEMPLO:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia
simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
12. • COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los
elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el
conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el
conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el
conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal
pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A.
En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un
apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en
donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación
de complemento.
13. EJEMPLO
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto
A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes
elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
14. NÚMEROS REALES
Los números reales son el conjunto de números sobre los que
estudian las matemáticas, ya que son todos los números que
pueden ser representados en una recta numérica, incluye los
números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se
representa con la letra ℜ.
15. EJEMPLO:
•Números naturales
De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
...hasta el infinito. El conjunto de los números naturales se designa con la letra
mayúscula N.
•Números enteros
Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números negativos se
denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z y se representa como:
•Números racionales
El conjunto de números racionales se designa con la letra Q:
•Números irracionales
Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la
división de enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la
letra mayúscula I. Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número
entero ni fraccionario, son números irracionales:
16. DESIGUALDADES
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre
dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠,
mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥,
resultando ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole,
se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que
emplean:
mayor que >
Menor que <
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
17. EJEMPLO:
Resuelva:
Primero, necesitamos aislar el término de la variable en un lado de la desigualdad. Aquí, en la izquierda, 1 se suma al
término de la variable, 2 x . La operación inversa de la suma es la resta. Así, reste 1 en ambos lados.
Primero, necesitamos aislar el término de la variable en un lado de la desigualdad. Aquí, en la izquierda, 1 se
suma al término de la variable, 2 x . La operación inversa de la suma es la resta. Así, reste 1 en ambos lados.
Esto es, la desigualdad es verdadera para todos los valores de x que sean menores que 3.
Por lo tanto, las soluciones de la desigualdad son todos los números menores que 3.
18. VALOR ABSOLUTO
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de
las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de su
signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce
como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo
es positivo o negativo.
19. EJEMPLO:
Aplicamos la definición de valor absoluto para una función, dejando en el primer tramo la función tal y como
está si la función es mayor o igual que cero y en el segundo tramo, la función multiplicada por -1, si la función es
menor que cero:
Operamos en las desigualdades:
El dominio de la función es todo el conjunto de los números reales:
20. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO:
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro. Ejemplo:
Resuelva | x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
