calculo diferencial

PRESENTACION
Los presentes Apuntes de Cálculo Diferencial pretenden apoyar los
objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando
conceptos y definiciones, así como ejercicios resueltos y proponiendo
al alumno ejercicios por resolver de uso más frecuente en los temas a
tratar.
El alumno al hacer uso frecuente de estos apuntes encuentra un
apoyo académico, ya que los conceptos y ejemplos presentados le
permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los
ejercicios en el la aplicación a los diferentes tipos de problemas. Los
conceptos y definiciones que contiene y los ejercicios que resuelva le
proveerán de un conocimiento básico del Cálculo, comprendiendo la
materia de un modo más completo. Los apuntes contienen conceptos
y ejemplos de funciones, límites, derivadas y ecuaciones de las rectas
tangente y normal a una curva, así como aplicación de los
conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.
De esta manera, se pretende apoyar la asesoría a los estudiantes e ir
consolidando materiales de sustento académico para el Núcleo de
Formación de Matemáticas, por lo que estos apuntes se entregan a los
alumnos al inicio del semestre haciendo una revisión personalizada
como parte de la clase o en el cubículo como asesoría disciplinaría.

Apuntes de Cálculo Diferencial
Con la elaboración y uso de este material por parte del alumno se
busca desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en el
alumno y ampliar la comprensión y utilización del lenguaje básico de
las ciencias, lo cual es el propósito del programa de esta asignatura.

TEMA No. 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
El concepto de límite de una función es una de las ideas fundamentales que
distinguen al cálculo de otras áreas de las matemáticas como el álgebra o la
geometría. Debe advertirse al estudiante que la noción de límite no se llega a
dominar fácilmente. En efecto, es frecuentemente necesario para el principiante
estudiar la definición muchas veces, mirándola desde varios puntos de vista, antes
de que su significado se aclare. A pesar de la complejidad de la definición, es fácil
adquirir intuición para los límites.
En el cálculo y sus aplicaciones a menudo nos interesamos por los valores f(x) de
una función f cuando está muy cerca de un número a, pero no es
necesariamente igual a a. De hecho, en muchos casos el número a no está en el
dominio de f; esto es f(a) no está definido. Vagamente hablando, nos hacemos la
siguiente pregunta: ¿Si x se acerca más y más a a (pero x  a), f(x) se acerca
también cada vez más a algún número L? Si la respuesta es sí decimos que el
límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L. y escribimos
Lxf
ax


)(lim
Consideremos el caso de un físico que desea hacer mediciones de los efectos del
vacío en un experimento, cuando la presión del aire es cero. Como es imposible
lograr un vacío perfecto en un laboratorio, una manera natural de abordar el
problema es medir dicha cantidad a presiones cada vez más pequeñas. Si al
acercarse a cero la presión, las mediciones correspondientes se acercan a un
número L, entonces puede suponerse que la medición en el vació sería también L.
Nótese que en este experimento la presión x nunca es igual a cero; sin embargo
los equipos para hacer vació pueden lograr presiones muy cercanas a cero.
Consideremos que x tiende a 3,podemos considerar valores a la izquierda como
2.5,2.8,2.9,2.99,2.999,2.9999 y desde la derecha 3.5,3.2,3.1,3.01,3.001.
Nótese que a la variable x primero se le asignaron valores sucesivamente cada vez
más cercanos a 3 desde la izquierda y desde la derecha pero ninguno igual a 3

Concepto de límite de una función:
El límite de una función real de variable real con regla de correspondencia y =
f (x) cuando la variable independiente x tiende a un valor fijo a, es el valor L
hacia el cual tiende la función, se denota:
Lxf
ax


)(lim
Que se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L.
Significa que cuando x está muy cerca de a, la función y = f(x) está muy cerca
de L.
Para interpretar geométricamente el valor de un límite, se traza la gráfica de la
función, entonces, cuando x está muy cerca de a, f(x) está muy cerca de L, por
lo cual L es el valor del límite.
Ejemplo 1: Obtener el valor del límite lim
𝑥→1
( 𝑥2
+ 2)
En este caso, como x tiende a uno, se le asignan a x valores sucesivamente cada
vez más cercanos a uno, tanto menores como mayores y se valúa la función en
cada valor asignado a x. El valor hacia el cual tienda la función cuando x esté muy
cerca de 1 corresponderá al valor del límite.
En ambas tablas, cuando los valores de x se acercan cada vez más a 1, la función
se acerca cada vez más a 3, por lo tanto el límite de la función es igual a 3, esto es
lim
𝑥→1
(𝑥2
+ 2) = 3
Resumen: El limite de una función es que cuando x está muy cerca de un valor
a localizado en el eje x, la función 𝑦 = 𝑓( 𝑥) está muy cerca de un valor L
localizado en el eje y.
X 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 2
0.5
0.8
0.9
0.99
0.999
2.25
2.64
2.81
2.98
2.998
x 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 2
1.5
1.2
1.1
1.01
1.001
4.25
3.44
3.21
3.0201
3.002001

Ejercicios de reforzamiento:
Obtenga el valor de los siguientes límites, para lo cual construya una tabla en
donde asigne valores cercanos al valor hacia el cual tiende la variable x:
1.- lim
𝑥→1
(𝑥3
− 1)
2.-lim
𝑥→0
(4 − 2𝑥)
3.- lim
𝑥→1
(2𝑥2
− 3𝑥 + 4)

TEMA No.2. LÍMITES LATERALES
El asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual
tiende x, tanto con valores menores como con valores mayores, se denomina:
cálculo de un límite mediante sus límites laterales.
El límite en el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos al
valor hacia el cual tiende x, pero menores, se denomina límite lateral por la
izquierda.
El límite lateral por la izquierda de una función f(x) cuando x tiende a un valor
fijo a, se representa por:
)(lim xf
ax 

El límite en el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos al
valor hacia el cual tiende x, pero mayores, se denomina límite lateral por la
derecha.
El límite lateral por la derecha de una función f(x) cuando x tiende a un valor
fijo a, se representa por:
)(lim xf
ax 

TEOREMA
El límite de una función existe, sí y sólo sí, sus límites laterales existen y son
iguales, esto es:
)(lim xf
ax
existe )(lim)(lim xfxf
axax 


Del teorema anterior se deduce que para calcular el límite de una función, primero
se deben obtener sus límites laterales y a partir de ellos, se determina el valor del
límite.

Ejemplo 1: Calcular el límite por la izquierda de la siguiente función:
𝑓( 𝑥) = √5 − 𝑥 cuando x tiende a 5.
En este caso se obtiene el límite de la función elaborando la siguiente tabla:
Cuando los valores de x se acercan cada vez más
a 5 por la izquierda, la función se acerca cada vez más a
0, esto es, cuando 𝑥 → 5−
, entonces 𝑓( 𝑥) → 0 y por lo
tanto:
lim
𝑥→5− √5− 𝑥
Resumen: El asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia
el cual tiende x, tanto con valores menores como con valores mayores, se
denomina: cálculo de un límite mediante sus límites laterales.
1.-Calcular el límite por la izquierda de la siguiente función: 𝑓( 𝑥) = 3𝑥2
+ 5
cuando x tiende a 2.
2.- Calcular el límite de la siguiente función utilizando límites laterales:
lim
𝑥→2
𝑔(𝑥) si 𝑔( 𝑥) = √ 𝑥 para x > 2
𝑥2
para x ≤ 2
𝑥 → 5−
𝑓( 𝑥) = √5 − 𝑥
4.5
4.8
4.9
4.99
4.999
0.7071
0.4472
0.3162
0.1000
0.0316

TEMA No.3. TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES
Una forma directa para calcular el límite de una función, es mediante el uso de
teoremas, los más importantes son los siguientes:
1. kk
ax


lim donde k es un número real (una constante)
2. ax
ax


lim
3. kakx
ax


lim donde k es un número real (una constante).
4. nn
ax
ax 

lim
5.   )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 
 donde f (x) y g (x) son funciones
reales.
6.   )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

7.
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax



 donde g (x)  0.
8.    n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim


Ejemplo 1: Calcular el valor del límite: lim
𝑥→2
(2𝑥2
− 5𝑥 + 3)
Utilizando el teorema 5
lim
𝑥→2
(2𝑥2
− 5𝑥 + 3) = lim
𝑥→2
(2𝑥2
)− lim
𝑥→2
(5𝑥) + lim
𝑥→2
(3)
Utilizando los teoremas 3,4 y 1

= 2(2)2
− 5(2) + 3
Simplificando, se tiene el valor del límite.
=1
𝑥→1
(𝑥2
+ 2)(3𝑥 − 1)
Se pide obtener el límite de un producto de dos funciones, entonces
lim
𝑥→1
(𝑥2
+ 2)(3𝑥 − 1) = lim
𝑥→1
(𝑥2
+ 2) lim
𝑥→1
(3𝑥 − 1)
= (1+2) (3-1)
= 3
𝑥→0
2𝑥2
+3𝑥−1
4𝑥+5
Aplicando el teorema número 7, se tiene:
lim
𝑥→0
2𝑥2
+3𝑥−1
4𝑥+5
=
0+0−1
0+5
= −
1
5
Ejemplo 4: Determinar el valor del límite lim
𝑥→−2
𝑥2
+4𝑥+4
𝑥2+8𝑥+12
Factorizando tanto el numerador como el denominador de la función, porque al
calcular directamente el límite resulta la indeterminación
0
0
.
lim
𝑥→−2
𝑥2
+4𝑥+4
𝑥2+8𝑥+12
= lim
𝑥→−2
( 𝑥+2)(𝑥+2)
( 𝑥+6)(𝑥+2)
Simplificando
= lim
𝑥→−2
(𝑥 + 2)
(𝑥 + 6)
Aplicando los teoremas correspondientes:

=
−2+2
−2+6
=
0
4
= 0
Ejemplo 5: Calcular el valor del límite: lim
𝑥→1
𝑥−1
√ 𝑥−1
La simplificación de una expresión que contiene radicales, se hace racionalizando.
En este caso se debe racionalizar el denominador de la función multiplicando y
dividiendo por el conjugado del denominador que es: √ 𝑥+1.
lim
𝑥→1
𝑥 − 1
√ 𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
[
𝑥 − 1
√ 𝑥 − 1
][
√ 𝑥 + 1
√ 𝑥 + 1
]
Efectuando la multiplicación, en el denominador se tienen dos binomios
conjugados, cuyo producto resulta una diferencia de cuadrados.
=lim
𝑥→1
( 𝑥−1)(√ 𝑥+1)
(√ 𝑥)
2
−(1)2
Simplificando: = lim
𝑥→1
( 𝑥−1)(√ 𝑥+1)
𝑥−1
Aplicando los correspondientes teoremas de límites:
=2
Resumen: Para el cálculo directo de límites de funciones se aplican los teoremas
correspondientes aplicando los productos notables para factorización así como
procesos como racionalización.
Calcular los siguientes límites.
1.- lim
𝑥→2
(2𝑥2
− 3𝑥 + 1)
2.- lim
𝑥→4
√4𝑥 + 11
3
3.- lim
𝑥→2
𝑥2
+2𝑥−8
2𝑥2 −4

4.- lim
𝑥→2
3𝑥−6
√3𝑥−√6
TEMA No.4. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
En esta sección desarrollaremos fórmulas para los límites de las funciones
trigonométricas, supondremos que cada variable representa un número real o la
medida en radianes de un ángulo y en algunos casos se expresará como una
función con ciertas variables.
El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los siguientes
teoremas, en los cuales se considera que u = f (x).
1. 

senusen
u


lim
2. 

coscoslim 

u
u
3. 0lim
0


usen
u
4. 1coslim
0


u
u
5. 1lim
0

 u
usen
u
Con estos teoremas es posible obtener el límite de funciones trigonométricas.
Cuando la función dada es diferente de la función seno y coseno, primero se
aplican identidades trigonométricas y después el teorema correspondiente.
Entre las identidades más usuales para el cálculo de límites, se tienen las
siguientes:
u
usen
u
cos
tan 
usen
u
u
cos
cot 

u
u
cos
1
sec 
usen
u
1
csc 
Ejemplo 1: Calcular el límite trigonométrico lim
𝑥→0
cos3𝑥
El argumento de la función es 3x, entonces haciendo u=3x, cuando x→ 0, tambièn
3x→ 0, esto es, el lìmite se puede escribir
lim
3𝑥→0
cos3𝑥
Aplicando el teorema lim
𝑢→0
cos 𝑢 = 1 se tiene el valor del límite, esto es:
lim
𝑥→0
cos3𝑥 = 1
Ejemplo 2: Calcular el valor del siguiente límite lim
𝑥→0
[
2 𝑠𝑒𝑛 8𝑥
𝑥
]
En este tipo de límites se debe multiplicar por la fracción
8
8
para igualar el
argumento con el denominador y aplicar el teorema correspondiente.
lim
𝑥→0
[
𝑥
]=lim
𝑥→0
[
8
8
][
𝑥
]
Factorizando y efectuando productos.
=lim
𝑥→0
[(2)(8)][
𝑠𝑒𝑛 8𝑥
8𝑥
]
Aplicando el teorema lim
𝑢→0
𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝑢
= 1
= (2) (8) (1)= 16
Resumen: En los límites de funciones trigonométricas directas supondremos que
cada variable representa un número real o la medida en radianes de un ángulo y
en algunos casos se expresará como una función con ciertas variables.
Ejercicios de reforzamiento.
Calcular el valor de los siguientes límites.
1.- lim
𝑥→3
[
𝑠𝑒𝑛(𝑥−3)
3𝑥−9
]

2.- lim
𝑥→0
[
3sec 𝑥
csc 𝑥
]
TEMA No. 5 LÍMITES INFINITOS
DEFINICIÓN 1
Se dice que x tiende a más infinito )( x si a partir de un número real
cualquiera, éste y todos los que le siguen son mayores que cualquier número real
dado.
DEFINICIÓN 2
Se dice que x tiende a menos infinito )( x si a partir de un número real
cualquiera, éste y todos los que le siguen son menores que cualquier número real
dado.
DEFINICIÓN 3
Se dice que x tiende a infinito )( x sí )( x ó )( x .
DEFINICIÓN 4
Se dice que una función tiende a más infinito cuando ax  , si cada vez que a “x”
se le asignan valores cercanos a a, los valores de la función son cada vez más
grandes que cualquier número real dado, esto es:


)(lim xf
ax
DEFINICIÓN 5
Se dice que una función tiende a menos infinito cuando ax  , si cuando a “x”
se le asignan valores cada vez más cercanos a a , los valores de la función son
cada vez menores que cualquier número real dado, esto es:


)(lim xf
ax

DEFINICIÓN 6
Se dice que L es el límite de una función f(x) cuando la variable x tiende a más
infinito, si cuando a x se le asignan valores cada vez mayores, los valores de la
función son cada vez más cercanos a un número real L, esto es:
Lxf
x


)(lim
DEFINICIÓN 7
Se dice que L es el límite de una función f(x) cuando la variable x tiende a menos
infinito, si cuando a x se le asignan valores cada vez menores, los valores de la
función son cada vez más cercanos a un número real L, esto es:
Lxf
x


)(lim
Resumen: en los límites infinitos se considera que la variable x toma valores que
tienden a +∝ y hacia -∝

TEMA No.6. EL NÚMERO e
El número e llamado Número de Euler, esta definido por los siguientes límites,
donde u es una función de x
u
u
ue
1
0
)1(lim 

ó 

1(lim
u
e
u
1
) u
El conocimiento del número e es indispensable para el cálculo de límites,
derivadas e integrales de funciones logarítmicas y exponenciales.
El sistema de logaritmos que tiene como base al número e recibe el nombre de
sistema de logaritmos naturales o neperianos, se denota por ln. El número e
tiende al valor 2.71828....
Resumen: el numero e se presenta como un límite, y este número es la base de
los logaritmos naturales.

TEMA No.7. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.
Una función es continua cuando se representa su gráfica como una línea continua
sin presentar interrupciones ni saltos. El concepto de continuidad debe de cumplir
con algunos requisitos que se proponen en la siguiente definición.
DEFINICIÓN.
Se dice que una función real de variable real con regla de correspondencia
Y = f(x), es continua en un punto de abscisa x = a, cuando cumple la condición
siguiente, llamada condición de continuidad.
)(lim)( xfaf
ax

Cuando esta condición no se cumple, entonces la función es discontinua en x=a.
En este caso, el punto de abscisa “a” se denomina punto de discontinuidad de la
función.
Existen tres tipos de discontinuidad de una función:
1. Discontinuidad evitable o restringible.
2. Discontinuidad infinita o asintótica.
3. Discontinuidad de salto.
Estos tipos de discontinuidad se pueden identificar de acuerdo a las siguientes
características:
1. Se presenta una discontinuidad evitable, cuando la función no está definida
en el punto, pero el límite en ese punto si existe.
2. Se presenta una discontinuidad infinita, cuando la función no está definida
en el punto y tampoco existe el límite en ese punto.
3. Se presenta una discontinuidad de salto, cuando la función está definida en
el punto, pero el límite en ese punto no existe.

La condición de continuidad, en algunos textos se analiza por separado, esto es,
primero se valúa la función en la abscisa del punto indicado, después se calcula el
límite de la función y por último se comparan los dos valores obtenidos.
Ejemplo 1: Analice la continuidad de la siguiente función en el punto indicado, en
caso de que la función sea discontinua, indicar a que tipo de discontinuidad
pertenece.
𝑦 = 2𝑥 − 7 en x= 3
Analizando la condición de continuidad por separado se tiene:
a) 𝑓(3) = 2(3) − 7 = −1 El cual pertenece a los nùmeros reales.
b) lim
𝑥→3
(2𝑥 − 7) = −1 El cual pertenece a los nùmeros reales.
Como f (3) = lim
𝑥→3
(2𝑥 − 7)
Se cumple la condición de continuidad, entonces la función dada es continua en
x=3.
Gráfica. Se trata de una función lineal de primer grado, tabulamos en el intervalo
(-1,6).
Ejemplo 2: Analice la continuidad de la siguiente función en el punto indicado, en
caso de que la función sea discontinua, indique a que tipo de discontinuidad
pertenece.
3x-1 si 𝑥 ≤ 2
𝑦 = 4 si 𝑥 > 2 en x=2.
Analizando la condición de continuidad:
x 𝑦 = 2𝑥 − 7
-1
0
1
2
3
4
5
6
-9
-7
-5
-3
-1
1
3
5

a) Para evaluar f (2), se considera la parte de la función que está definida para
x=2, esto es la función lineal. Entonces:
𝑓(2) = 3(2) − 1 = 5
b) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) Aquì por tratarse de una funciòn definida en dos secciones, el
lìmite se calcula mediante los lìmites laterales.
El límite por la izquierda es:
lim
𝑥→2−
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→2−
3𝑥 − 1 = 5
El límite por la derecha es:
lim
𝑥→2+
4 = 4
Como los límites laterales son diferentes, entonces el límite de la función f(x) no
existe, esto es:
lim
𝑥→2
𝑓( 𝑥) = ∄
Entonces f (2)≠ lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) por no existir límite.
Por lo tanto la función f(x) es discontinua en x=2 porque no se cumple la condición
de continuidad. Se presenta una discontinuidad de salto. Se deja al alumno la
elaboración de la gráfica.
Resumen: una función se considera continua cuando se representa su gráfica
como una línea continua sin presentar interrupciones ni saltos.
Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado y trace la
gráfica, en caso de que la función sea discontinua, indique a que tipo de
discontinuidad pertenece.
1.- 𝑦 = 3𝑥2
− 2 en x=3
2.- 𝑦 =
𝑥2
+3𝑥
𝑥
en x=

TEMA No. 8. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES
ALGEBRAICAS RACIONALES.
En una función algebraica racional con regla de correspondencia de la forma
)(
)(
xg
xf
y  , donde f(x) y g(x) son funciones polinomiales, los puntos en los cuales
la función g(x) es igual a cero, son puntos de discontinuidad porque la división
entre cero no está definida.
Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función
algebraica racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero el
denominador.
Ejemplo 1: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función: 𝑓( 𝑥) =
3𝑥
𝑥2 −2𝑥
Igualando con cero el denominador
𝑥2
− 2𝑥 = 0
Resolviendo la ecuación por factorización:
𝑥( 𝑥 − 2) = 0
𝑥 = 0 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 2
Por lo tanto, la función es discontinua en x=0 y en x=2.
Calculando el límite de la función en estos dos puntos

a) Para x=0
lim
𝑥→0
3𝑥
𝑥2−2𝑥
=lim
𝑥→0
3𝑥
𝑥(𝑥−2)
= lim
𝑥→0
3
𝑥−2
=−
3
2
La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto (0,-
3
2
) porque la
funciòn no esta definida en x=0, pero su límite en ese punto si existe.
b) Para el segundo valor x=2, se tiene
lim
𝑥→2
3𝑥
𝑥2 −2𝑥
=
3
0
=No existe el lìmite.
Entonces la función f(x) presenta una discontinuidad infinita en el punto de abscisa
x=2. La gráfica de la función es:
Resumen: Los puntos de discontinuidad son aquellos donde la gráfica presenta
alguna asíntota o una región donde no existe la curva de una manera continua.
Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, trace la gráfica e
indique el tipo de discontinuidad que se presenta.
1.- 𝑓( 𝑥) =
3𝑥−6
𝑥−2
2.- 𝑓( 𝑥) =
3𝑥
𝑥2+5𝑥+6

TEMA No. 9. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO.
Si una función es continua en cada punto de un intervalo dado, es continua sobre
el intervalo. Si una función no es continua en a, se dice que es discontinua o que
tiene una discontinuidad en a.
DEFINICIÓN 1.
Una función real de variable real con regla de correspondencia y = f (x) , es
continua en el intervalo ( a, b ), sí y sólo sí es continua en todos los puntos con
abscisa dada por los números comprendidos dentro del intervalo abierto ( a, b )
Lo cual implica que no tiene puntos de discontinuidad en todas las abscisas de los
puntos que pertenecen a dicho intervalo.
DEFINICIÓN 2.
Una función real de variable real con regla de correspondencia y = f(x) , es
continua en el intervalo  ba, , sí y sólo sí cumple con las siguientes condiciones.
1.-Que f(x) no tenga puntos de discontinuidad en (a, b).
2.-Que )()(lim afxf
ax


3.-Que )()(lim bfxf
bx


Ejemplo 1: Analice la continuidad de la función 𝑓( 𝑥) = √25 − 𝑥2 en el
intervalo [−5,5] y trace la gràfica.
Analizando las tres condiciones de continuidad para un intervalo cerrado se tiene:

1.- En el intervalo abierto (−5,5) la funciòn es continua, puesto que existe para
todos los valores del intervalo, esto es, la función no presenta puntos de
discontinuidad en el intervalo abierto (−5,5).
2.- lim
𝑥→−5+
√25 − 𝑥2 = 0
𝑓(−5) = √25 − (−5)2
Como lim
𝑥→−5+
√25 − 𝑥2 = 𝑓(−5) Cumple con la segunda condiciòn de continuidad.
3.- lim
𝑥→5−
√25− 𝑥2=0
𝑓(5) = √25 − (5)2 = 0
Como lim
𝑥→5−
√25− 𝑥2 = 𝑓(5) Cumple con la tercera condiciòn de continuidad.
Por lo tanto la función es continua en el intervalo cerrado [−5,5].
Resumen: si una función es continua en cada punto de un intervalo dado, se dice
que es continua sobre el intervalo.
Analice la continuidad de las siguientes funciones en el intervalo indicado y trace la
gráfica.
1.- 𝑓( 𝑥) = 2𝑥2
− 4 en [0,4]
2.- 𝑓( 𝑥) = √2 − 𝑥 en [−2,2]

TEMA No. 10. INCREMENTOS.
INCREMENTO DE UNA VARIABLE.
Si a la variable independiente x se le asigna un valor inicial x 1 , y después un
valor final x 2 , entonces, se llama incremento de la variable x a la diferencia del
valor final con el valor inicial y se denota por x (se lee: delta x ). Esto es:
12 xxx 
INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN.
Dada una función real de variable real con regla de correspondencia y=f(x) , si x
varia de x1 a x2 entonces al valor de la función en x1 se llama valor inicial de la
función f(x1) y al valor de la función en x2 se llama valor final de la función
f(x2).
Se llama incremento de la función f(x) a la diferencia del valor final con el valor
inicial y se denota por )(xf . Esto es:
)()()( 12 xfxfxf 
En general para cualquier x que pertenece al dominio de la función, se considera:
)()()( xfxxfxf 
Ejemplo 1: Determinar el cociente
∆𝑓(𝑥)
∆𝑥

Para la siguiente función: 𝑓( 𝑥) = 3𝑥2
+ 2𝑥 − 1
El incremento de la función se obtiene con: ∆𝑓( 𝑥) = 𝑓( 𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥), entonces
∆𝑓( 𝑥) = 3(𝑥 + ∆𝑥)2
+ 2( 𝑥 + ∆𝑥) − 1 − (3𝑥2
+ 2𝑥 − 1)
= 3( 𝑥2
+ 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2) + 2𝑥 + 2∆𝑥 − 1 − 3𝑥2
− 2𝑥 + 1
= 3𝑥2
+ 6𝑥∆𝑥 + 3∆𝑥2
+ 2𝑥 + 2∆𝑥 − 1 − 3𝑥2
− 2𝑥 + 1
= 6𝑥∆𝑥 + 3∆𝑥2
+ 2∆𝑥
= (6𝑥 + 3∆𝑥 + 2)∆𝑥
Dividiendo entre ∆𝑥 y simplificando, se tiene el cociente de incrementos
∆𝑓(𝑥)
∆𝑥
=
(6𝑥 + 3∆𝑥 + 2)∆𝑥
∆𝑥
= 6𝑥 + 3∆𝑥 + 2
Resumen: si a la variable x se le hace un incremento ∆𝑥 entonces la función f(x)
presenta un incremento proporcional al realizado en el eje x.
Determine el cociente
∆𝑓(𝑥)
∆𝑥
para las siguientes funciones:
1.- 𝑓( 𝑥) = 3𝑥3
− 4𝑥2
+ 𝑥 − 5
2.- 𝑓( 𝑥) = √2𝑥 + 1

TEMA No 11. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función es una de las herramientas más poderosas en las
matemáticas. En efecto, es indispensable para las investigaciones no elementales
tanto en las ciencias naturales como en las ciencias sociales y las humanidades.
DEFINICIÓN.
La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene como el límite
del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable
independiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero,
esto es:
Derivada de
x
xf
xf
x 



)(
lim)(
0
También la derivada de una función se expresa como:
Derivada de
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)(
0
A efecto de simplificar la notación, es común representar a x mediante la letra
h, con lo cual se tiene:
Derivada de
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)(
0



NOTACIÓN.

La derivada de una función real de variable real con regla de correspondencia
)(xfy  se denota de las siguientes seis formas:
)(xfDx ,
yDx , )(' xf , Y’,
dx
xdf )(
, dx
dy
La derivada de una función en cualquiera de sus puntos, geométricamente
representa la pendiente de las rectas tangentes a la curva en esos puntos. Esto es
)(xfDm xT 
Ejemplo 1: Obtener la derivada de la siguiente función: 𝑓( 𝑥) = 4𝑥2
+ 2𝑥 − 3
Aplicando la definición de derivada:
𝐷 𝑥 𝑓( 𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓( 𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
Resulta
= lim
ℎ→0
4(𝑥 + ℎ)2
+ 2( 𝑥 + ℎ) − 3 − (4𝑥2
+ 2𝑥 − 3)
ℎ
= lim
ℎ→0
4( 𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2) + 2𝑥 + 2ℎ − 3 − 4𝑥2
− 2𝑥 + 3
ℎ
= lim
ℎ→0
4𝑥2
+ 8𝑥ℎ + 4ℎ2
+ 2𝑥 + 2ℎ − 3 − 4𝑥2
− 2𝑥 + 3
ℎ
Simplificando:
= lim
ℎ→0
8𝑥ℎ + 4ℎ2
+ 2ℎ
ℎ
Realizando la división
= lim
ℎ→0
(8𝑥 + 4ℎ + 2)
Finalmente, calculando el límite cuando ℎ → 0 se tiene la derivada de la función
𝐷 𝑥 𝑓( 𝑥) = 8𝑥 + 2
Resumen: La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene
como el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la
variable independiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende a
cero.
Utilizando la definición, calcular la derivada de las siguientes funciones.
1.- 𝑓( 𝑥) = 5 − 2𝑥 + 5𝑥2

2.- 𝑓( 𝑥) =
2𝑥
3𝑥+1
TEMA No. 12. TEOREMAS PARA EL CÀLCULO DE DERIVADAS.
𝑓
Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la derivada
de una función real de variable real, es mediante el uso de teoremas, los cuales se
obtienen a partir de la definición.
1.- 0kDx donde k es un número real (Constante).
2.- 1xDx
3.- kkxDx  donde k es un número real (Constante).
4.-
1
 nn
x nxxD donde n  R .
Sí f (x) y g(x) son dos funciones reales de variable real continuas:
Sí f(x) y g(x) son dos funciones continuas, se tienen los siguientes teoremas
para el cálculo de derivadas.
6. Derivada de un producto.
  )()()()()()( xfDxgxgDxfxgxfD xxx 
7. Derivada de un cociente.
  2
)(
)()()()(
)(
)(
xg
xgDxfxfDxg
xg
xf
D
xx
x







donde g(x)  0
8. Derivada de una función elevada a una potencia.
    )()()( 1
xfDxfnxfD x
nn
x



Este teorema generalmente se expresa como :
uDunuD x
nn
x
1
 donde u es una función de x.
Ejemplo 1: Obtenga la derivada de la función 𝑓( 𝑥) = 6𝑥4
+ 5𝑥3
− 7𝑥2
+ 8𝑥 − 7
Aplicando los teoremas correspondientes
𝐷 𝑥 𝑓( 𝑥) = 𝐷 𝑥(6𝑥4)+ 𝐷 𝑥(5𝑥3)− 𝐷 𝑥(7𝑥2) + 𝐷 𝑥(8𝑥) − 𝐷 𝑥(7)
𝐷 𝑥 𝑓( 𝑥) = 24𝑥3
+ 15𝑥2
− 14𝑥 + 8
Ejemplo 2: Obtenga la derivada de 𝑓( 𝑥) =
3
𝑥5 −
3
2𝑥4 +
7
𝑥3
Transformando la función a la forma de potencia
𝑓( 𝑥) = 3𝑥−5
−
3𝑥−4
2
+ 7𝑥−3
Aplicando teoremas y simplificando
𝐷 𝑥 𝑓( 𝑥) = −15𝑥−6
+
12𝑥−5
2
− 21𝑥−4
𝐷 𝑥 𝑓( 𝑥) = −
15
𝑥6
+
6
𝑥5
−
21
𝑥4
Resumen: para obtener la derivada de una función algebraica de manera directa se
aplican los teoremas respectivos, sin necesidad de desarrollar la definición de derivada.
Calcular la derivada de las siguientes funciones:
1.- 𝑓( 𝑥) = 2𝑥3
− 3√2𝑥 +
7
𝑥2 − 2
2.- 𝑓( 𝑥) =
6𝑥4
3𝑥2 +2𝑥−3

3.- 𝑓( 𝑥) = (3𝑥 + 7)√ 𝑥 + 2
TEMA No. 13. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
DIRECTAS.
Hemos descrito una función algebraica y expresábamos que una función que no es
algebraica es llamada función trascendente. En esta parte estudiaremos el cálculo
de aquellas funciones trascendentes comúnmente llamadas funciones
trascendentes elementales. Estas incluyen las funciones trigonométricas, las
trigonométricas inversas, las logarítmicas y las exponenciales
La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtienen aplicando los
siguientes teoremas:
Considerando que u es una función continua de x, esto es: u = f (x)
1. uDuusenD xx cos
2. uDusenuD xx cos
3. uDuuD xx
2
sectan 
4. uDuuD xx
2
csccot 
5. uDuuuD xx tansecsec 
6. uDuuuD xx cotcsccsc 
Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función 𝑓( 𝑥) = tan(2𝑥2
+ 3𝑥 − 1)

Considerando u=2𝑥2
+ 3𝑥 − 1 y que la derivada es de la forma
𝐷 𝑥 tan 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑢𝐷 𝑥 𝑢, entonces
𝐷 𝑥 𝑓( 𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2 (2𝑥2
+ 3𝑥 − 1) 𝐷𝑥(2𝑥2
+ 3𝑥 − 1)
Calculando la derivada indicada y reordenando los términos, se tiene la derivada
de la función.
= (4𝑥 + 3) 𝑠𝑒𝑐2
(2𝑥2
+ 3𝑥 − 1)
Resumen: Para obtener la derivada directamente de las funciones trigonométricas
se aplican los teoremas respectivos haciendo la consideración del valor que toma
la función u.
Obtenga la derivada de las siguientes funciones:
1.- 𝑓( 𝑥) = sec√1 − 3𝑥2
2.- 𝑓( 𝑥) = 4tan 7𝑥 − 2 sec5𝑥2
3.- 𝑓( 𝑥) =
3𝑥+1
𝑐𝑜𝑠2𝑥3

TEMA No. 14. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS.
Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas, se aplican los
siguientes teoremas.
Considerando que u es una función continua de x, esto es: u = f (x).
1. uD
u
usenarcD xx 2
1
1


2. uD
u
uarcD xx 2
1
1
cos


3. uD
u
uarcD xx 2
1
1
tan


4. uD
u
uarcD xx 2
1
1
cot


5. uD
uu
uarcD xx
1
1
sec 2


6. uD
uu
uarcD xx
1
1
csc 2


Escriba aquí la ecuación.

Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥3
+ 5)
Si u= 2𝑥3
+ 5 y utilizando el teorema 𝐷 𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 =
1
√1−𝑢2 𝐷 𝑥 𝑢 se tiene
𝐷 𝑥 𝑓( 𝑥) =
1
√1 − (2𝑥3 + 5)2
𝐷 𝑥(2𝑥3
+ 5)
Derivando la función indicada, se tiene la derivada de la función.
𝐷 𝑥 𝑓( 𝑥) =
6𝑥
√1 − (2𝑥3 + 5)2
Resumen: para obtener la derivada de las funciones trigonométricas inversas se
aplican los teoremas correspondientes haciendo las consideraciones de los valores
que toma la función u.
Derive las siguientes funciones:
1.- 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥2
+ 5)
2.- 𝑓( 𝑥) = ( 𝑠𝑒𝑛 3𝑥2)(𝑎𝑟𝑐 csc√ 𝑥 − 1)
3.- 𝑓( 𝑥) =
𝑎𝑟𝑐 tan 7𝑥
cot 5𝑥

TEMA No. 15. DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS.
Para calcular la derivada de una función logarítmica, se aplican los teoremas
siguientes:
Considerando que u es una función continua de x, esto es u = f (x).
1. uDe
u
uD xaax log
1
log 
2. uD
u
uD xx
1
ln 
Ejemplo1: Calcule la derivada de la función 𝑓( 𝑥) = log3(5𝑥2
+ 3𝑥 − 4)
Considerando u= 5𝑥2
+ 3𝑥 − 4
Aplicando el teorema 𝐷 𝑥 log 𝑎 𝑢 =
1
𝑢
log 𝑎 𝑒 𝐷𝑥 𝑢 se tiene:
𝐷 𝑥 𝑓( 𝑥) =
1
5𝑥2 + 3𝑥 − 4
log3 𝑒 𝐷 𝑥 (5𝑥2
+ 3𝑥 − 4)
Calculando la derivada indicada, se tiene la derivada de la función.
=
10𝑥 + 3
5𝑥2 + 3𝑥 − 4
log3 𝑒
Ejemplo 2: Hallar la derivada de la función 𝑓( 𝑥) = ln(cos3𝑥2
)
Considerando u= cos 3𝑥2

Aplicando el teorema 𝐷 𝑥 ln 𝑢 =
1
𝑢
𝐷 𝑥 𝑢 y simplificando, se tiene:
𝐷 𝑥 𝑓( 𝑥) =
1
cos 3𝑥2 𝐷 𝑥(cos3𝑥2
), calculando la derivada indicada.
=
1
cos3𝑥2 (−𝑠𝑒𝑛 3𝑥2
𝐷𝑥(3𝑥2)) = −
6𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥2
cos 3𝑥2 =− 6𝑥 𝑡𝑎𝑛3𝑥2
Resumen: las funciones logarítmicas que consideran al logaritmo vulgar y al
logaritmo natural se pueden derivar aplicando los teoremas correspondientes y
considerando los valores que toma la función u.
Calcule la derivada de las siguientes funciones:
1.- 𝑓( 𝑥) = log3(2𝑥5
+ 7)
2.- 𝑓( 𝑥) = tan(log5𝑥4
)
3.- 𝑓( 𝑥) =
ln(𝑠𝑒𝑛 5𝑥)
cot(2𝑥+3)

TEMA No. 16. DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES.
Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los siguientes
teoremas.
Considerando que u es una función continua de x, esto es, u = f (x).
1. uDaaaD x
uu
x ln donde a es una constante.
2.
uDeeD x
uu
x 
Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función 𝑓( 𝑥) = 5 𝑥2
+2𝑥−5
Considerando u=𝑥2
+ 2𝑥 − 5
Aplicando el teorema 𝐷 𝑥 𝑎 𝑢
= 𝑎 𝑢
ln 𝑎 𝐷 𝑥 𝑢 , se tiene:
𝐷 𝑥 𝑓( 𝑥) = 5 𝑥2
+2𝑥−5
ln 5 𝐷𝑥 (𝑥2
+ 2𝑥 − 5)
Calculando la derivada indicada
= 5 𝑥2
+2𝑥−5
ln 5(2𝑥 + 2)
Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función:
= (2𝑥 + 2)5 𝑥2
+2𝑥−5
ln 5
Ejemplo 2: Calcule la derivada de la función 𝑔( 𝑥) = 𝑒 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
Considerando u= sen 3x
Aplicando el teorema 𝐷 𝑥 𝑒 𝑢
= 𝑒 𝑢
𝐷 𝑥 𝑢 , se tiene:
𝐷 𝑥 𝑔( 𝑥) = 𝑒 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
𝐷 𝑥(𝑠𝑒𝑛 3𝑥)
Calculando la derivada indicada

𝐷 𝑥 𝑔( 𝑥) = 𝑒 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
(cos3𝑥)3
Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función
= 3𝑒 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
cos3𝑥
Resumen: las funciones exponenciales en las cuales una constante o el número e
son elevadas a una potencia que es una función de la variable independiente x
tienen su derivada, la cual se obtiene mediante la aplicación de sus respectivas
formulas.
Calcule la derivada de las siguientes funciones:
1.- ℎ( 𝑥) = 42𝑥3
+𝑥−1
2.- ℎ( 𝑥) = 𝑒 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛√3𝑥

TEMA No. 17. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA.
Encontrar la derivada de una expresión que es un producto, un cociente o una
potencia resulta más fácil si se usan logaritmos y sus propiedades para derivar.
Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una
función elevada a otra función y para efectuar la demostración de teoremas para el
cálculo de derivadas.
El método de derivación logarítmica consiste en lo siguiente:
1. Se iguala la función con y.
2. Se aplica el logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad.
3. Se aplican las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión.
4. Se derivan con respecto a la variable independiente ambos lados de la
igualdad.
5. Se despeja Dxy, que es la derivada que se está calculando.
6. Se substituye la función y = f(x) en el segundo miembro de la igualdad.
7. Se efectúan operaciones en el segundo miembro de la igualdad y se realizan
las simplificaciones correspondientes, obteniéndose la derivada de la función
dada.
Las propiedades de los logaritmos que se utilizan en este proceso son:
1.- ln AB= ln A+ln B

2.- ln
𝐴
𝐵
= ln 𝐴 − ln 𝐵
3.- ln 𝐴 𝑛
= 𝑛 ln 𝐴
Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función 𝑓( 𝑥) = (4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
Igualando la función con 𝑦
𝑦 = (4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
Aplicando el logaritmo natural
ln 𝑦 = ln(4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
Aplicando la propiedad de los logaritmos: ln 𝐴 𝑛
= 𝑛 ln 𝐴
ln 𝑦 = ( 𝑠𝑒𝑛 5𝑥) ln(4𝑥2
+ 3)
Derivando con respecto a 𝑥 los dos miembros de la igualdad
1
𝑦
𝐷 𝑥 𝑦 = ( 𝑠𝑒𝑛 5𝑥) 𝐷 𝑥 ln(4𝑥2
+ 3) + ln(4𝑥2
+ 3)𝐷𝑥(𝑠𝑒𝑛 5𝑥)
= ( 𝑠𝑒𝑛 5𝑥)
𝐷 𝑥(4𝑥2
+ 3)
4𝑥2 + 3
+ ln(4𝑥2
+ 3) cos5𝑥 (5)
= ( 𝑠𝑒𝑛 5𝑥)
8𝑥
4𝑥2 + 3
+ 5 ln(4𝑥2
+ 3)cos 5𝑥
=
8𝑥 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
4𝑥2 + 3
+ 5ln(4𝑥2
+ 3)cos5𝑥
Despejando 𝐷 𝑥 𝑦
𝐷 𝑥 𝑦 = 𝑦 [
4𝑥2 + 3
+ 5 ln(4𝑥2
+ 3)cos5𝑥]
Sustituyendo 𝑦 = (4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
𝐷 𝑥(4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
= (4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
[
4𝑥2 + 3
+ 5 ln(4𝑥2
+ 3)cos5𝑥]
Efectuando la multiplicación, se tiene la derivada de la función
= (4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
4𝑥2 + 3
+ (4𝑥2
+ 3) 𝑠𝑒𝑛 5𝑥
5 ln(4𝑥2
+ 3)cos5𝑥
Resumen: la derivación logarítmica es un proceso que principalmente se utiliza
para calcular la derivada de una función elevada a otra función aplicando las
propiedades de los logaritmos.

Utilizando el proceso de derivación logarítmica, obtenga la derivada de las
siguientes funciones.
1.- 𝑓( 𝑥) = (7𝑥2
+ 3𝑥)sec 8𝑥
2.- 𝑓( 𝑥) = (𝑎𝑟𝑐sec 3𝑥) 𝑥2
+5𝑥
TEMA No.18. DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN.
Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como resultado
una nueva función, la cual se puede derivar nuevamente.
A la derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y se
denota por:
)(
2
xfDx yDx
2
2
2
)(
dx
xfd
2
2
dx
yd
f ‘’(x)
Análogamente, la derivada de la segunda derivada, se llama tercera derivada de la
función y se denota por Dx
3f(x), etcétera.
Las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas de orden
superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la ordinaria.
Ejemplo 1: Obtener la cuarta derivada de la función:
𝑓( 𝑥) = 7𝑥5
+ 6𝑥4
− 4𝑥3
+ 3𝑥2
− 8𝑥 + 1
La primera derivada de la función es:
𝐷 𝑥 𝑓( 𝑥) = 35𝑥4
+ 24𝑥3
− 12𝑥2
+ 6𝑥 − 8
La segunda derivada
𝐷 𝑥
2
𝑓( 𝑥) = 140𝑥3
+ 72𝑥2
− 24𝑥 + 6
La tercera derivada
𝐷 𝑥
3
𝑓( 𝑥) = 420𝑥2
+ 144𝑥 − 24
Finalmente la cuarta derivada
𝐷 𝑥
4
𝑓( 𝑥) = 840𝑥 + 144

Resumen: las derivadas sucesivas de una función se obtienen derivando a la
primera derivada, a la segunda, a la tercera y así sucesivamente hasta obtener la
derivada deseada.
1.- Halle la segunda derivada de la siguiente función 𝑓( 𝑥) = √3𝑥2 − 2𝑥
2.- Obtenga la quinta derivada de la función 𝑓( 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 7)
TEMA No. 19. DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.
La mayoría de las funciones que hemos considerado han estado especificadas
mediante una fórmula para f(x). Para tales funciones la derivada se obtiene por
aplicación directa de los teoremas apropiados sobre derivadas.
Una función real de variable real es implícita cuando su regla de correspondencia
es de la forma f (x, y) = 0, esto es, cuando ninguna variable está despejada en
términos de la otra.
La derivada de una función implícita de la forma f (x, y) =0 se puede determinar
con respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable
dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita.
En el presente texto sólo se describe el procedimiento para obtener mediante
derivación implícita, la derivada con respecto a la variable independiente x , en la
cual, se deriva la regla de correspondencia con respecto a x , teniendo en cuenta
que y es la variable dependiente y que Dxy = y’ es la derivada buscada.
En general, para obtener la derivada implícita con respecto a x de una función
  0, yxf , se aplica el siguiente procedimiento:
1. Se derivan todos los términos de la función con respecto a x.
2. Se efectúan las operaciones indicadas.

3. Utilizando las propiedades de la igualdad, se transforma la ecuación en otra
equivalente de tal manera que en el primer miembro se tengan los términos
que contengan a y’.
4. Se factoriza y ‘.
5. Se despeja y ‘, que es la derivada que se desea obtener.
Ejemplo 1: Derivar implícitamente con respecto a x la función
𝑥2
𝑦2
− 𝑥2
𝑦 − 𝑥 = 3𝑦2
+ 𝑥𝑦
Derivando con respecto
𝐷 𝑥( 𝑥2
𝑦2)− 𝐷 𝑥( 𝑥2
𝑦) − 𝐷 𝑥( 𝑥) = 𝐷 𝑥(3𝑦2)+ 𝐷 𝑥(𝑥𝑦)
Calculando las derivadas que aparecen indicadas
𝑥2
2𝑦𝑦′
+ 2𝑥𝑦2
− ( 𝑥2
𝑦′
+ 2𝑥𝑦) − 1 = 6𝑦𝑦′
+ 𝑥𝑦′
+ 𝑦
Para despejar y’ primero se aplica la propiedad distributiva y después se agrupan
en el primer miembro lo términos que contienen a la derivada de y
2𝑥2
𝑦𝑦′
− 𝑥2
𝑦′
− 6𝑦𝑦′
− 𝑥𝑦′
= 𝑦 + 1 − 2𝑥𝑦2
+ 2𝑥𝑦
Factorizando la derivada de y
𝑦′(2𝑥2
𝑦 − 𝑥2
− 6𝑦 − 𝑥) = 𝑦 + 1 − 2𝑥𝑦2
+ 2𝑥𝑦
Finalmente, despejando y’ se tiene la derivada de la función con respecto a x,
esto es:
𝑦′
=
𝑦 + 1 − 2𝑥𝑦2
+ 2𝑥𝑦
2𝑥2 𝑦 − 𝑥2 − 6𝑦 − 𝑥
Resumen: la derivación implícita se aplica para aquellas funciones que se
presentan de manera implícita es decir que están dadas de la forma f(x, y)=0
Derive con respecto a x las siguientes funciones
1.- 3𝑥4
+ 2𝑦3
= 𝑦2
+ cos 𝑥𝑦
2.- ln 𝑥𝑦2
= 𝑒 𝑥𝑦
+ 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥

TEMA No. 20. ECUACIÓN DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA
CURVA.
Una de las aplicaciones de la derivada, que tienen una utilidad inmediata, y que se
apoya en la definición e interpretación geométrica de la derivada de una función
real de variable real continua, consiste en la obtención de la ecuación de la recta
tangente y normal en un punto determinado de la curva.
Si una función real de variable real con regla de correspondencia y = f(x) es
continua y tiene derivada en x = x0 , esto es, f ‘(x0)  R, entonces, la función
f(x) tienen una recta tangente en el punto ( x0 ,f(x0) ) , cuya pendiente es
m=f’(x0) y su ecuación en la forma punto pendiente es:
))((')( 000 xxxfxfy 
Una recta normal a la curva en un punto dado, es la recta perpendicular a la recta
tangente en ese mismo punto denominado punto de tangencia.
Es necesario recordar que si m 1 es la pendiente de una recta y m 2 la pendiente
de otra recta perpendicular a la primera, entonces se cumple que 121 mm ,
conocida como condición de perpendicularidad.
Por lo tanto, la recta normal a la curva en el punto de tangencia (x0, f(x0)) con
pendiente
)('
1
0xf
mn  , tiene por ecuación:

)(
)('
1
)( 0
0
0 xx
xf
xfy 
Ejemplo 1: Obtener la ecuación de la recta tangente y normal a la curva
𝑓( 𝑥) = 2𝑥2
+ 3𝑥 − 2 en el punto de abscisa x=1.
La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=1 en la ecuación
de la curva.
𝑓(1) = 2(1)2
+ 3(1)− 2
= 3
Entonces el punto de tangencia es P (1,3)
La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando la función en
la abscisa del punto de tangencia.
La derivada de la función es:
𝑓(𝑥)′
= 4𝑥 + 3
El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es:
𝑚 = 𝑓′
(1)
= 4(1) + 3 = 7
La ecuación de la recta tangente es:
𝑦 − 𝑓( 𝑥0) = 𝑓′( 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥0)
Sustituyendo los valores y simplificando se tiene la ecuación de la recta tangente a
la curva en el punto P (1,3).
𝑦 − 3 = 7(𝑥 − 1)
7𝑥 − 𝑦 − 4 = 0
La ecuación de la recta normal es:
𝑦 − 𝑓( 𝑥0) =
−1
𝑓′( 𝑥0)
(𝑥 − 𝑥0)
Sustituyendo los valores y simplificando se tiene la ecuación de la recta normal a la
curva en el punto P (1,3).
𝑦 − 3 =
−1
7
( 𝑥 − 1)
𝑥 + 7𝑦 − 22 = 0
Resumen: Una de las aplicaciones de la derivada, consiste en la obtención de la
ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva, así
como de la pendiente de ambas rectas con lo cual se puede trazar la gráfica.
1.- Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 2𝑥2
− 4𝑥 + 8 con
ángulo de inclinación de 135º.

2.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑥3
− 5𝑥 + 2 que
tiene pendiente m=5.
TEMA No. 21. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN.
Función creciente: una función real de variable real continua en el intervalo abierto
(a, b), se dice que es creciente en ese intervalo, sí y sólo sí:
)()( 21 xfxf  para 21 xx  definidos en el intervalo.
Función decreciente: una función real de variable real continua en el intervalo
abierto (a, b), se dice que es decreciente en ese intervalo, sí y sólo sí:
)()( 21 xfxf  para 21 xx  definidos en el intervalo.
Punto máximo de una función: el punto máximo de una función, es el punto en el
cual la función cambia de creciente a decreciente.
Punto mínimo de una función: el punto mínimo de una función, es el punto en el
cual la función cambia de decreciente a creciente.
Para determinar los puntos máximos y mínimos, de una función, así como los
intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el siguiente procedimiento:
1. Se obtiene la derivada de la función.
2. Se iguala con cero la derivada de la función.
3. Se resuelve la ecuación 0)(' xf .

La solución de esta ecuación corresponde a las abscisas de los puntos llamados
puntos críticos, que pueden ser los puntos máximos o mínimos, aunque no
necesariamente.
4. Se obtiene la segunda derivada de la función.
5. Se valúa la segunda derivada de la función en cada uno de los punto críticos
,0x Y f (x) tiene un máximo en x0, sí f’’(x0) < 0.
)(xf tiene un mínimo en x0 , sí f’’(x0) > 0.
6. Se obtiene la ordenada de los puntos máximos y mínimos sustituyendo el
valor de x0 en la función original.
7. Se traza la gráfica de la función.
8. Se establecen los intervalos donde la función es creciente y decreciente.
Ejemplo 1: Obtener los puntos máximos y mínimos de la función 𝑓( 𝑥) = 𝑥3
−
12𝑥 + 2
Así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente, trazar también la
gráfica.
Derivando la función
𝑓′( 𝑥) = 3𝑥2
− 12
Igualando con cero la primera derivada
3𝑥2
− 12 = 0
Simplificando y resolviendo la ecuación, se tiene la abscisa del punto crítico
3𝑥2
= 12
𝑥2
= 4
𝑥 = ±√4
𝑥1 = −2 𝑥2 = 2
Calculando la segunda derivada de la función
𝑓′′( 𝑥) = 6𝑥
Valuando la segunda derivada de la función en los puntos críticos
X 𝑓′′( 𝑥) = 6𝑥
-2 6(-2)=-12 𝑓′′( 𝑥) < 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚à𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = −2
2 6(2)=12 𝑓′′( 𝑥) > 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚ì𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 2

Valuando los puntos críticos en la función original, se tiene el valor de su ordenada
𝑥 𝑓( 𝑥) = 𝑥3
− 12𝑥 + 2
-2 (−2)3
− 12(−2) + 2 = 18 Se tiene un máximo en (-2,18)
2 (2)3
− 12(2) + 2 = −14 Se tiene un mínimo en (2,-14)
A partir de la gráfica, se determinan los intervalos donde la función es creciente y
decreciente.
La función es creciente en: 𝑥 ∈ (−∝ ,2) 𝑦 𝑒𝑛 𝑥 ∈ (2, ∝)
La función es decreciente en: 𝑥 ∈ (−2,2)
Se propone al alumno la elaboración de la gráfica.
Resumen: mediante la aplicación de derivadas es posible obtener la abscisa de
los puntos máximos y mínimos de la gráfica de una función, así como las
coordenadas de estos puntos. También se obtienen los intervalos donde es
creciente y decreciente.
Trazar la gráfica de las siguientes funciones determinando sus puntos máximos y
mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.
1.- 𝑓( 𝑥) = 𝑥3
− 6𝑥2
+ 3𝑥 + 10
2.- 𝑓( 𝑥) = 3 − 8𝑥 − 𝑥2

TEMA No. 22. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
La teoría que desarrollamos para encontrar los valores extremos de funciones
puede aplicarse en algunos problemas prácticos. Estos problemas pueden
describirse oralmente o enunciarse por medio de palabras escritas como se hace
en los libros de texto. Para resolverlos, es necesario traducir los enunciados
verbales al lenguaje de las matemáticas introduciendo para ello fórmulas,
funciones y ecuaciones. Como los tipos de aplicaciones son muchos y muy
variados, es difícil dar reglas específicas para hallar las soluciones.
Algunos problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un
mínimo, pueden resolverse con la teoría que se ha desarrollado hasta el momento.
La aplicación principal se presenta en problemas de optimización, en los cuales se
pide obtener uno o varios valores máximos o mínimos.
No existe un método general que se pueda aplicar para resolver todos los
problemas de este tipo, pero se recomienda realizar lo siguiente:
1. Leer varias veces el problema hasta entenderlo totalmente. Aquí se deben
identificar tres elementos:
- Los datos del problema.
- Las condiciones o restricciones del problema.
- Lo que se pide obtener en el problema.
2. Asignar las variables con las cuales se planteará y resolverá el problema, de
ser posible realizar un dibujo lo más apegado posible al problema.

3. Establecer la función objetivo en términos de las variables propuestas. Esta
es la función que se debe maximizar o minimizar según corresponda. Aquí la
función objetivo puede ser una función con varias variables.
4. Establecer una ecuación para cada una de las condiciones o restricciones
del problema, esto es, transformar el lenguaje común a lenguaje algebraico.
5. Despejar una variable en cada una de las ecuaciones y sustituirla en la
función objetivo de tal manera que se tenga una función con una sola
variable.
6. Determinar los valores máximos o mínimos de la función según
corresponda.
7. Con los valores obtenidos, establecer las conclusiones del problema.
8. Si es posible, con los resultados obtenidos, realizar una comprobación con el
enunciado del problema.
Ejemplo 1: Se desea construir una caja sin tapa, con base rectangular, a partir de
una pieza rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo, recortando
un cuadrado de cada esquina y doblando sus lados. Encuentre el lado del
cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo.
Comenzamos por considerar el cartón de 21 cm de largo por 16 cm de ancho en
donde usamos la letra x para denotar la longitud del lado del cuadrado que debe
recortarse en cada esquina. Nuestro objetivo es lograr que la caja así construida
tenga el máximo volumen posible.
El volumen V de la caja esta dado por
𝑉 = 𝑥(16 − 2𝑥)(21− 2𝑥) = 2(168𝑥 − 37𝑥2
+ 2𝑥3
)
Esta ecuación expresa a V como una función de x. Derivando con respecto a x
obtenemos
𝐷 𝑥 𝑉 = 2(168− 74𝑥 + 6𝑥2)
= 4(3𝑥2
− 37𝑥 + 84)
= 4(3𝑥 − 28)( 𝑥 − 3)
Por lo tanto los números críticos posibles son
28
3
y 3, pero como
28
3
se encuentra
fuera del dominio de x, el único número crítico es 3.

La segunda derivada de V está dado por
𝐷 𝑥
2
𝑉 = 2(−74 + 12𝑥) = 4(6𝑥 − 37)
Sustituyendo 3 en lugar de x,
𝐷 𝑥
2
𝑉 = 4(18 − 37) = −76 < 0
Y aplicando el criterio de la segunda derivada, vemos que V tiene un máximo local
en x=3. Por lo tanto para encontrar una caja con volumen máximo, deben
recortarse cuadrados de tres centímetros de lado de cada esquina del cartón.
Resumen: problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un
mínimo, pueden resolverse con la aplicación de la teoría de máximos y mínimos,
principalmente en problemas de optimización, en los cuales se pide obtener uno o
varios valores máximos o mínimos.
1.- Una empresa desea fabricar recipientes cilíndricos sin tapa con una capacidad
de 6 litros. ¿Que dimensiones deben tener para que se utilice la menor cantidad de
material en su fabricación?
2.- Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la
ecuación ℎ = −
1
2
𝑡2
+ 30𝑡 , donde h es la altura en metros y t el tiempo en
segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de esta.

TEMA No 23. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN.
Considérese una función real de variable real continua, con regla de
correspondencia ).(xfy 
La diferencial de la variable independiente x se denota por dx y es igual a :
xdx 
Donde x es el incremento de la variable independiente.
La diferencial de la variable dependiente o función y, se denota por dy o df(x) y
se define como:
dxxfdy )('
Esto es, la diferencial de una función, es igual a la derivada de la función
multiplicada por dx.
1. d ( k ) = 0
2. d ( x ) = d x
3. d ( k x ) = k d x
4. d   xdxnx nn 1

6.- dxuDvvDuvud xx )()( 
7.- 




 






2
v
vuDuDv
v
u
d xx
dx donde v  0
8.- dxuDunud x
nn 1
)( 


Sí u y v son dos funciones reales de variable real
continuas :
5.- dxvDuDvud xx )()( 
TEMA No. 24. LA INTEGRAL INDEFINIDA.
TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS
1.   cxdx
2.   ckxdxk donde k es un número real (constante).
3.   dxxfkdxxfk )()( donde k es un número real (constante).
4.      dxxgdxxfdxxgxf )()()()( cx
x
dx
dxx  

ln1
TEMA No. 25. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN.
Para calcular integrales utilizando este método, se utilizan los dos teoremas
siguientes:
1. cu
n
duu nn


 

1
1
1
donde n  R y n  1
2. cu
u
du
 ln

FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN.
Las principales fórmulas para calcular integrales indefinidas son:
1.   cuduusen cos
2.   cusenduucos
3. cuduu  seclntan
4. cusenduu  lncot
5. cuuduu  tanseclnsec
6. cuuduu  cotcsclncsc
7.   cuduu tansec 2
8. cuduu  cotcsc 2
9.   cuduuu sectansec
10.   cuduuu csccotcsc
11. c
a
a
dua
u
u
 ln
12.   cedue uu
13. c
a
u
senarc
ua
du


 22
14. c
a
u
arc
aua
du

 tan
1
22
15. c
a
u
arc
aauu
du


 sec
1
22

GLOSARIO.
Abscisa. Una de las dos coordenadas rectilíneas que fijan la posición de un punto
en el plano.
Álgebra. Ciencia que tiene por principal objeto simplificar y generalizar las
cuestiones relativas a los números. Esto se consigue utilizando letras para designar
los números que se buscan; las reglas operacionales se eligieron para que
siguieran el mismo patrón que en aritmética ordinaria con el empleo generalizado
del número negativo.
Amplitud. De un intervalo (a, b)
Aproximación. Evaluación o cálculo empírico con resultado inexacto, pero lo
suficientemente cercano al real para considerarse suficiente.
Asíntota. Línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de continuo a
una curva, sin llegar a encontrarla nunca.
Cálculo Diferencial. Rama de las matemáticas que trata de las unidades de
cambio en las cantidades variables. En el cálculo diferencial se consideran
solamente los incrementos en las cantidades variables; se antepone a ellas el
símbolo “d”, lo que significa un incremento.
Coordenadas. Se le llama coordenada a la pareja (x, y) que determina la
distancia que un punto guarda en relación con los ejes de coordenadas rectilíneas
o cartesianas. La x se define como la abscisa y es la distancia ortogonal que dicho
punto guarda con el eje de las Y, y la coordenada “y” representa la distancia
ortogonal que el punto guarda con respecto al eje X.
Curva. Línea o trayectoria que se desvía constantemente de su dirección y no
contiene ninguna posición de línea recta. Es el lugar geométrico de las posiciones
sucesivas que ocupa un punto que se traslada con arreglo a una determinada ley;
por lo tanto, es una figura geométrica determinada por un sistema de coordenadas
y la expresión gráfica de la variación que experimenta una magnitud en función de

otra u otras, de cuya definición se desprende que una recta es un caso particular
de curva.
Derivación. Es la operación con la que se encuentra la derivada de una función.
Discontinuo. Magnitud que varía por saltos y no gradualmente.
Función, derivada de una. Es la tendencia de una función al acercamiento a un
valor dado de la variable independiente. Existen varias fórmulas para derivar.
Funciones implícitas. Son implícitas cuando su dependencia con la variable
independiente no se encuentra en forma de ecuación resuelta, como es:
5𝑥𝑦 − 2𝑦 = 8, en este caso “y” es una función implícita de x.
Funciones, valores críticos de las. Se llaman valores críticos a los valores en
los que una función encuentra un máximo, un mínimo o un punto de inflexión,
éstos se localizan derivando la función e igualando a cero. Los valores de x que
satisfacen a f’(x) se llaman valores críticos.
Límite de una función. Es el valor al que tiende el resultado de la operación
cuando la variable tiende a un valor predeterminado. Como es decir que el límite
de f(x) cuando x tiende a “a” sea k.
Máximo. Límite superior de una cosa. Valor mayor de una cantidad variable entre
ciertos límites.
Trascendentes. Ecuaciones y funciones que no se pueden representar por
expresiones algebraicas, porque intervienen en ellas logaritmos, funciones
trigonométricas o ecuaciones en las que el exponente es la variable.
Variable dependiente. Magnitud que en una relación o función depende del
valor que se le asigne a otras variables.
Variable independiente. Magnitud que no depende de otra para obtener su
valor.

BIBLIOGRAFIA.
AYRES, F., 2004, Cálculo diferencial e integral, México, Mc. Graw Hill
ALEKSANDROV, A.D., Kolmogorov, A.N., Laurentiev, M.A., 1980, La
matemática: su contenido, métodos y significado (tres tomos), México,
Alianza Editorial.
ANFOSSI, Agustín; Flores, M. A., 1991, Cálculo Diferencial e Integral,
México, Editorial Progreso.
ARYA, J.C, Lardner, R.W., 1992, Matemáticas aplicadas a la
Administración y a la Economía, México, Editorial Prentice Hall
Hispanoamericana.
CONTRERAS G. L., et al., Cálculo diferencial e integral, 2004, México,
Universidad Autónoma del estado de México.
COURANT, R., Robbins, H., 2002 (edición en español), ¿Qué son las
matemáticas?, México, Editorial Fondo de Cultura Económica.
GUZMÁN, José, et al., 2005, Cálculo Diferencia e Integral, México,
Universidad Autónoma del Estado de México.
LEITHOLD, Louis, 1987, El Cálculo con Geometría Analítica, México,
Harla.
PURCEL, Edwin J; Varberg, Dale, 1992, Calculo Diferencial e Integral,
México, Prentice Hall, Hispanoamericana.
SESTIER, A., 1981, Diccionario Enciclopédico de las Matemáticas (tres
tomos), México, Editorial del Valle de México, S.A.
SILVA, J. M; Lazo, A., 1994, Fundamentos de Matemáticas, México,
Noriega Editores Limusa.
TALIZINA, N.F., 1992, La formación de la actividad cognoscitiva de los
escolares, México, Ángeles Editores.
ZILL, Dennis G., 1987, Cálculo con Geometría Analítica, México, Grupo
Editorial Iberoamérica

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