Materia de álgebra, Espacio vectorial con ejemplos y ejercicios.

1. Carmen Moreno
Tema III. Espacios vectoriales
1. Espacios vectoriales
2. Dependencia e independencia lineal
3. Sistemas generadores. Bases
4. Cambio de base
5. Subespacios vectoriales. Ecuaciones.
6. Interpretación geométrica
1. Espacios vectoriales
Definición. Sea K un cuerpo conmutativo. Un
conjunto V≠∆ posee estructura algebraíca de
espacio vectorial sobre K cuando:
1) l.c.i. en V:
+ : V ×V → V
( x, y ) x+y
(V,+): Grupo Abeliano
2) l.c.externa con dominio de operadores K:
i : K ×V → V
( k , x) k ix

2. e.v. 2
Verificándose:
1. λ·(x+y)= λ·x+ λ·y
2. (λ+ µ)·x= λ·x+ µ·x Enunciadas ∀x, y∈V,
3. λ·(µ·x)= (λ µ)·x ∀ λ, µ ∈K
4. 1·x=x
x, y: Vectores
λ, µ: Escalares
Ejemplos de espacios vectoriales
R2 es un e.v sobre R
Rn es un e.v sobre R
Kn es un e.v sobre K
(Mmxn(K), +,·) e.v.sobre K
Polinomios de grado menor o igual n con
coeficientes en K (Kn[x], +,·)
Funciones reales (F, +,·)
Ejercicio
En R3 se definen las operaciones:
(x,y,z)+(x´,y´,z´)=(x+x´,y+y´,z+z´) y
λ·(x,y,z)=(0, λy, λz), λ ∈ R. ¿Es R3 un e.v.
sobre R con dichas operaciones?

3. e.v. 3
Primeras propiedades
A) Derivadas de ser (V,+) Grupo Abeliano
B) Específicas de espacio vectorial
1. 0K·x=0 para cualquier x∈V
2. λ·0=0 para cualquier λ∈K
3.(-λ)·x= λ·(-x)=-(λ·x)
4. Si λ·x=0, entonces λ=0K ó x=0
5. Si λ·x= µ·x, x≠0, entonces λ =µ
2. Dependencia e independencia lineal
Sea (V,+,·) e.v. sobre K y el sistema de
vectores {x1, .., xm}⊆V
Definición. El vector x ∈V es una combinación
lineal de x1, .., xm cuando existen escalares
λ1, .., λm ∈K tales que x= λ1 x1+..+ λm xm
• (1,3) ∈R2 es c.l. de los vectores (1,1) y (0,1)
ya que (1,3)=1·(1,1)+2·(0,1)

4. e.v. 4
Definición.
El sistema {x1, .., xm}⊆Ves ligado ó los
vectores x1, .., xm ∈ V son linealmente
dependientes (l.d.), cuando existen escalares
λ1, .., λm ∈K , no todos ellos nulos y una
combinación lineal nula de esos vectores:
λ1 x1+..+ λm xm=0
• Los vectores (1,3), (1,1) y (0,1) de R2 son l.d
(-1)·(1,3)+1·(1,1)+2·(0,1)=(0,0)
Definición
El sistema {x1, .., xm}⊆Ves libre ó los
vectores x1, .., xm ∈ V son linealmente
independientes (l.i.), cuando de toda
combinación lineal nula de los mismos,
λ1 x1+..+ λm xm=0, se deduzca que son nulos
todos los escalares: λ1= ...= λm =0
• Los vectores (1,2) y (0,1) de R2 son l.i.: De
λ1· (1,2) + λ2 · (0,1)=(0,0) se deduce λ1= λ2=0
• Método de Gauss

5. e.v. 5
Propiedades
Proposición. Un sistema de vectores
{x1, .., xn}⊆V es ligado si y sólo si uno (al
menos) de los vectores es c.lineal del resto.
{0}: Sistema ligado de V
{z}: Sistema libre de V (z ≠0)
Cualquier subsistema de un sistema libre
es libre
Cualquier sistema que contenga un sistema
ligado es ligado
• 0∈S ⇒ S: ligado
Ejercicios
1 Estudiar la dependencia o independencia
lineal de los vectores de R3:
(-1,3,2), (2,-1,3) y (4,-7,-1)

6. v1  −1 3 2   −1 3 2 v1′ = v1 e.v. 6
    ′
v2  2 −1 3  ≡  0 5 7  v2 = 2v1 + v2 ≡

v3  4  
−7 −1  0 5 
7  v ′ = 4v + v
3 1 3
v1′′ = v1′
 −1 3 2 
 0 5 7  v ′′ = v ′
  2 2
 0 0 0  ′′
  v3 = −v2′ + v3′
0 = v3′′ = −v2′ + v3′ =
= −(2v1 + v2 ) + (4v1 + v3 ) ⇒
0 = 2v1 − v2 + v3 ⇒ v2 = 2v1 + v3
2 Hallar el valor de x para que el sistema de
vectores de R3 {(11,-16,x), (2,-1,3), (1,2,1)}
sea ligado.

7. 3. Sistemas generadores. Bases e.v. 7
Envoltura lineal
F={x1, ..., xn}⊆V
 i =n 
L(F)= ∑ λ ⋅ xi : λ ∈ K  ⊆ V =
 i =1 
= Conjunto de todos los vectores c.l. de los
vectores x1, ..., xn de F
Ejemplo
V= R2 , F={(1,1), (0,1)} ⊆ R2
(2,3) ∈ R2
(2,3) ∈ L(F) ya que (2,3)=2·(1,1)+1·(0,1)
s.g. de V
F={x1, ..., xn}⊆V es un s.g. de V si L(F)=V
V⊆L(F): Todo v∈V es c.l de los vectores de F
•V es un e.v. de tipo finito si posee un s.g. finito
• R2 es de tipo finito: F={(1,0), (0,1)} ⊆ R2 es
un s.g. de R2 :
R2 ⊆L(F): Todo vector (x,y) ∈ R2 es c.l. de
los vectores de F: (x,y)=x·(1,0)+y·(0,1)

8. Base e.v. 8
B ⊆ V es una base de V si :
•B es un sistema libre
•B es un s.g. de V
Ejemplo
•B={(1,0), (0,1)} ⊆ R2 es una base (canónica)
de R2
• Kn, Bc={e1, .., en}, ei=(0,..,1,..,0)
Teorema de la base
Teorema. Sea V un espacio vectorial de tipo
finito, {0} V. Entonces
(1) V posee una base (T. Existencia)
(2) El nº vectores de cualquier sistema
libre es ≤ nº vectores de cualquier s.g. de V
(3) Todas las bases de V tienen el
mismo número de vectores (dimensión)
Lema. Si de un s.g. de V se elimina un vector
c.l. del resto, el sistema resultante sigue siendo
s.g

9. e.v. 9
Dimensión de un e.v.
Es el cardinal de una cualquiera de sus bases
• dim(R2)=2
• dim(Rn)=n
• dim(Kn)=n
• dim(Kn[x])=n+1: Bc={1, x, x2, .., xn}
• dim(Mmxn(K))=mn
Coordenadas de un vector respecto de una
base.
• V, dim(V)=n,
B={v1, ..., vn}: Base de V
⇓
B es un s.g. de V
⇓
V⊆L(B)
⇓
x∈V fix∈L(B) fi$ a1,..., an ∈ K :
x= a1 v1+...+ anvn
x=(a1,..., an )B
Coordenadas de x resp. de la base B
• Son únicas

10. •Coordenadas de P=1-2x+3x2-x3∈R3[x] e.v. 10
P=(1,-2,3,-1)Bc
1 −2 
• Coordenadas de la matriz A =   ∈ M 2 (R)
A=(1,-2,1,3)Bc 1 3 
Estudio de la dependencia lineal de las
matrices de M2(R):
 1 −3   0 −1   −2 1 
A=  , B =  1 1  , C =  2 −3 
2 0     
Estudio de la dependencia lineal de los
polinomios de ∈R2[x] : P1=1-x+x2, P2=-1+2x2,
P3=-x+2x2
Estudio de la dependencia lineal de las
funciones ex, senx y cosx de (F,+,·)
Corolario.
Si dim(V)=n entonces,
(1) n+1 vectores constituyen un sistema ligado
(2) n-1 vectores no pueden ser un s.g. de V
Recuerda: “De todo s.g. de V se puede
extraer una base de V”

11. e.v. 11
Teorema de ampliación
Todo sistema libre de V puede ser ampliado a
una base de V.
• Dar una base de R3 que contenga al vector
(1,2,1)
Consecuencia
Si dim (V)=n, para que un sistema S de n
vectores de V sea una base de V basta con que
se cumpla una de las dos condiciones
siguientes:
(1) S sea un sistema libre de V
(2) S sea un s.g. de V
4. Cambios de base
V, dim(V)=n. Bases B={u1, ..., un}
B´={v1, ...,vn}
 x ∈ L(B ) ⇒ x = ( x1,..., xn )B
x ∈V ⇒ 
 x ∈ L(B´) ⇒ x = ( y1,..., y n )B´

12. x = x1u1 + + xnun = y1v1 + + y nv n (1)e.v 12
ui ∈ L(B´) ⇒ u1 = a11v1 + ... + a1nv n
un = an1v1 + ... + annv n
• Sustituyendo los ui en (1):
x = x1u1 + xnun =
= x1(a11v1 + ... + a1nv n ) + + xn (an1v1 + ... + annv n ) =
= ( x1a11 + + xn an1 )v1 + + ( x1a1n + + xn ann )v n
= y1v1 + + y nv n
 x1a11 + + xn an1 = y1
 Ecuaciones de un
⇒ cambio de base
x a + + xn ann = y n
 1 1n
Matricialmente:
 a11 a1n 
( x1 xn )  .
 . .  = ( y1
 yn )
a ann 
 n1 
(Filas) XB·CBB´ = XB´

13. e.v. 13
Ejemplo
R3, B={u1,u2,u3} y B´={v1,v2,v3},
donde
u1=-v2+v3
u2=v1+v2+v3
u3=v2
a) Hallar las ecuaciones del cambio de base de
B a B´.
b) Halar las coordenadas del vector x=(7,4,9)B
en la base B´.
c) Hallar las coordenadas del vector
x=-v1+7v2-5v3 respecto de la base B.
Ejercicio
Hallar las coordenadas del vector (3,-2,1)
respecto de la base {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} de
R3
• Tres bases
B1={(2,1,1), (1,1,1), (1,-1,1)}
B2={(1,0,1), (-1,1,1), (1,-1,0)}. Hallar CB1B2

14. e.v. 14
5. Subespacios vectoriales. Ecuaciones
• (V,+,·) : e.v. Sobre K.
S ⊆V es un subespacio vectorial de V
cuando (S,+,·) :e.v. sobre K
• Es CN: 0 ŒS
• Al menos dos s.e.v. impropios: V y {0}
• dim (S) ≤dim (V), siendo
dim(S)=dim(V)⇔S=V
Teorema de caracterización
Un subconjunto S ≠∅ de un e.v. V es un
subespacio vectorial de V si y sólo si "x,yŒS
"α,β∈K se verifica α·x+β·y ŒS
Ejemplo 1
Sea V= R2 . El conjunto S={λ·x: λŒR}⊆ R2
es en s.e.v. de R2 .
Los s.e.v. propios de R2 son rectas que
pasan por el origen (0,0)

15. e.v. 15
Ejemplo 2
Sea V= R3 .
El conjunto S={(x1,x2,x3): x1-2x2+3x3=0}⊆ R3
es un s.e.v. de R3 .
Ejemplo 3
Sea V= R3.
El conjunto S={(x1,x2,0): x1,x2∈ R} ⊆ R3 es un
s.e.v. de R3
Los s.e.v. propios de R3 son rectas o
planos que contienen al vector (0,0,0)
Ejemplo 4
F={x1,..,xn} ⊆ V. La envoltura lineal de F,
 i =n 
L(F)= ∑ λ ⋅ xi : λ ∈ K =<F> ⊆ V
 i =1 
es un s.e.v. de V: Subespacio generado por F
•F es un s.g. del subespacio L(F)
⇒ De F se puede extraer una base de L(F)

16. e.v. 16
Ecuaciones de un subespacio vectorial
(Recta/plano de R3 )
• Paramétricas
Parámetros. (Plano : a y b; l y m; l1 y l2
S={lu+ mv: l, m ΠR})
•Implícitas
(Plano: Ax+By+Cz=0)
Ecuaciones paramétricas de un subespacio
V, e.v. , dim(V)=n. B={u1, ..., un}
S, s.e.v. de V, dim(S)=s<n. Bs ={v1, ...,vs}
 x ∈ L(Bs ) ⇒ x = (λ1,..., λs )Bs

x ∈S ⇒ 
 x ∈ L(B ) ⇒ x = ( x1,..., xn )B

x = λ1v1 + + λs v s = x1u1 + + xnun (1)
v i ∈ L(B ) ⇒ v1 = a11u1 + ... + a1nun
v s = as1u1 + ... + asnun

17. e.v. 17
• Sustituyendo los vi en (1):
x = λ1v1 + λs v s =
= λ1(a11u1 + ... + a1nun ) + + λs (as1u1 + ... + asnun ) =
= (λ1a11 + + λs as1 )u1 + + (λ1a1n + + λs asn )un =
= x1u1 + + x n un
 λ1a11 + + λs as1 = x1
 Ecuaciones
⇒ (1)  Paramétricas del
λ a + + λs asn = xn s.e.v. S
 1 1n
Matricialmente:
 a11 a1n 
( λ1 λs )  .
 . .  = ( x1
 xn )
a asn 
 s1 
(Filas) XBs· Bs = XB
Ejemplo 1
V= R3 . Sea S el s.e.v. de R3 generado por los
vectores (1,0,-1), (2,1,1) y (3,1,0). Dar unas
ecuaciones paramétricas del s.e.v. S

18. B=Bc de R3 e.v. 18
Bs={(1,0,-1), (0,1,3)} ⇒ Dim (S)=2: Plano
x ∈S XBs· Bs = XB
 1 0 −1
( λ1 λ2 )   = ( x1 x2 x3 )
0 1 3 
 λ1 = x1
 Ec. Paramétricas
⇒ (1)  λ2 = x2
 − λ + 3λ = x de S
 1 2 3
S={(l1, l2, - l1+3 l2): l1, l2 ∈ R}=
={l1(1,0,-1) + l2(0,1,3): l1, l2 ∈ R}
Ecuaciones implícitas (o cartesianas) de S
• nº ec.Implícitas l.i.de S= dim(V)-dim(S)=n-s
• A partir de las paramétricas, eliminando
parámetros.
• Se obtienen anulando n-s menores de orden
> s de la matriz ampliada, A*, del sistema (1)

19. e.v. 19
Ejemplo
Ecuaciones implícitas del plano S del ejemplo 1
 λ1 = x1 Sistema (1):

S, (1)  λ2 = x2 Ecuaciones
−λ + 3λ = x paramétricas de S.
 1 2 3
 1 0
A =  0 1  = Bst ⇒ r ( A) = r ( Bs ) = 2
 
 −1 3 
 
 1 0 x1 
A* =  0 1 x2 
 
 −1 3 x 
 3
(1): Compatible fi r(A*) debe ser 2
1 0 x1
fi A * = 0 ⇒ 0 1 x2 = 0
−1 3 x3
n-s=3-2=1 ecuación
x1-3x2+x3=0
implícta del plano S.

20. e.v. 20
Paso de ecuaciones implícitas a paramétricas
• Dar unas ecuaciones paramétricas del s.e.v. S
de R3 de ecuación impícita x1-3x2+x3=0 (2).
nº ecs. Implícitas =dim (V) – dim(S) fi
dim(S) =2: S: PLANO
Obtener la base Bs: dos vectores l.i. que
satisfagan el sistema (2)
x2=l
x3= m
x1=3 l- m, l, m∈R
S={(3 l- m, l, m): l, m∈R}
Bs={(3,1,0), (-1,0,1)}
l =1 m =1
m=0 l =0
XBs· Bs = XB

21. 6. Interpretación geométrica e.v. 21
Los s.e.v. propios de R2 son rectas que
pasan por el origen (0,0)
Los s.e.v. propios de R3 son rectas o
planos que contienen al vector (0,0,0)