8. ÍNDICES DE MILLER PARA LOS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS EN
CELDAS UNITARIAS CÚBICAS
El procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano
cúbico es como sigue:
1. Se elige un plano que no pase por el origen de coordenadas (0, 0, 0).
2. Se determinan las intersecciones del plano en la función de los ejes cristalográficos x, y y z
para un cubo unidad. Estas intersecciones pueden ser fraccionarias.
3. Se obtiene el recíproco de las intersecciones.
4. Se simplifican las fracciones y se determina el conjunto más pequeño de números enteros que estén en la
misma proporción que las intersecciones. Este conjunto de números enteros son los índices de un plano
cristalográfico y se encierran en paréntesis sin utilizar comas. La notación (hkl) se utiliza para indicar los
índices de Miller en un sentido general, donde h, k y l son los índices de Miller de un plano cristalino cúbico
para los ejes x, y y z, respectivamente.
12. Planos cristalográficos
12
z
x
y
a b
c
4. Índices de Miller (110)
Ejemplo: a b c
z
x
y
a b
c
4. Índices de Miller (100)
1. Interceptos 1 1
2. Recíprocos 1/1 1/1 1/
1 1 0
3. Reducción 1 1 0
1. Intercepts 1/2
2. Recíprocos 1/½ 1/ 1/
2 0 0
3. Reducción 2 0 0
Ejemplo: a b c
13. a) El plano sombreado tiene las intersecciones(1, ∞ , ∞), los valores recíprocos son por
lo tanto (1, 0, 0). Los índices de Miller para este plano son: (1 0 0)
b) El plano sombreado tiene las intersecciones(1, 1 , ∞), los valores recíprocos son por
lo tanto (1, 0, 0). Los índices de Miller para este plano son: (1 1 0)
c) El plano sombreado tiene las intersecciones(1, 1 , 1), los valores recíprocos son por
lo tanto (1, 0, 0). Los índices de Miller para este plano son: (1 1 1)
14. Si el plano cristalino considerado pasa por el origen de tal forma que una
o más de las intersecciones son cero, el plano debe ser movido a una
posición equivalente en la misma celda unitaria y el plano debe ser
paralelo al plano original. Esto es posible porque todos los planos
paralelos equidistantes se encuentran indicados por los mismos índices de
Miller.
Si varios grupos de planos reticulares equivalentes están relacionados por
la simetría del sistema cristalino, se llaman planos de una familia o forma
y los índices de un plano de la familia se encierran entre llaves como {hkl}
representando los índices de una familia de planos simétricos.
Por ejemplo, los índices de Miller de los planos de las caras del cubo (100),
(010) y (001) se designan conjuntamente como una familia o forma
mediante la notación {100}.
18. Diapositiva tomada de Luis Alberto Laguado Villamizar, Mg. En Ingeniería de Materiales
https://es.slideshare.net/laguado86/3-estructura-cristalina?from_action=save
19. Diapositiva tomada de Luis Alberto Laguado Villamizar, Mg. En Ingeniería de Materiales
https://es.slideshare.net/laguado86/3-estructura-cristalina?from_action=save
20. Determine los índices de dirección de la figura mostrada:
x = − 1, y = + 1 y z = − 1/6
( − 1, + 1, − 1/6)
6x, ( − 1, + 1, − 1 ), o
21. Determine los índices de dirección cúbica entre las coordenadas de posición
(3/4, 0, ¼) y (1/4, ½ , 1/2)
23. PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Y DIRECCIONES EN LA ESTRUCTURA CRISTALINA
HEXAGONAL (HCP)
Los índices de Miller-Bravais, se indican por las
letras h, k, i y l y van encerrados en paréntesis
como (hkil).
Hay tres ejes basales a1, a2, a3, donde a1 y a2
forman ángulos de 120° entre sí.
El cuarto eje o eje c es el eje vertical localizado
en el centro de la celda unitaria.
La unidad a de medida a lo largo de los ejes a1,
a2 y a3 es la distancia entre dos átomos
localizados a lo largo de estos ejes.
Los recíprocos de las intersecciones que un plano
cristalino determina con los ejes a1, a2 y a3, dan
los índices h, k e i, mientras que el recíproco de
la intersección con el eje c da el índice l.
