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1. “SESION 11”
2023-I
FISICA ENERGÍA
INGENIERIA MECANICA ELECTRICA

2. MOVIMIENTO OSCILATORIO
1. MOVIMIENTO OSCILATORIO es el movimiento de vaivén que realiza un móvil bajo
la acción de una fuerza que siempre está dirigida hacia su posición de equilibrio.
Ejemplo 1. En la Fig.1(a) el resorte de constante elástica k se mantiene
en equilibrio estático bajo la acción de la fuerza deformadora F = mg
aplicada en su extremo inferior y la fuerza recuperadora F´ del resorte.
Este sistema se denomina OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE.
 En (b), jalamos la masa m hacia abajo deforma-
mando el resorte hasta B´ en una longitud (-s),
generando la fuerza recuperadora del resorte F´ = -
ks que acelera la masa hacia la posición de
equilibrio “O”. La energía cinética adquirida por la
masa en este trayecto se transforma en trabajo
para comprimir el resorte la longitud s hasta B.
F´
k
(a)
mg
k
(b)
B´
O
-s
F´
B
k
(c)
+s
-F´´
 En (c), el resorte ejerce la fuerza recuperadora F´´ = - k s
que nuevamente acelera la masa hacia la posición de
equilibrio “O”.

3. MOVIMIENTO OSCILATORIO
La fuerza recuperadora F´, dirigida hacia la posición de equilibrio es la res-ponsable de las
oscilaciones de la masa entre las posiciones extremas B, B´ y la posición de equilibrio O.
Ejemplo 2. El movimiento de una
pequeña masa atada al extremo
de un hilo inextensible constituye
el péndulo simple de la Fig. 2.

-
Ejemplo 3. El movimiento de una
barra suspendida de un punto lejos
de su Centro de Gravedad constitu-
ye el péndulo físico de la Fig.3.
A

A´
Figura 3
A´ A
O
Figura 2
Posición
extrema
Posición
extrema
Posición
extrema
Posición
extrema

4. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Ejemplo 4. El movimiento de
rotación parcial de un disco
suspendido de un hilo o varilla
delgada de metal (péndulo de
torsión) Fig.4.
Ejemplo 5. El movimiento de los
puntos de una cuerda templada
respecto a la posición de equi-
librio, Fig.5.



Figura 5.
 





Figura 4


5. MOVIMIENTO OSCILATORIO
CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO OSCILATORIO
Oscilación o vibración. Es el recorrido de ida y vuelta que realiza
el móvil oscilante pasando por las dos posiciones extremas.
Período ( T ). Es el tiempo que demora el móvil oscilante en
realizar una oscilación completa. Se mide en segundos.
Frecuencia ( f ). Es el el número de oscilaciones que realiza el
móvil oscilante en la unidad de tiempo. Se mide en Oscil/s,
Vibrac/s, Ciclos/s o Hertz: Hz .
La frecuencia y el período se relacionan en forma inversa.
f = 1 / T (1)

6. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Elongación (lineal o angular). Es el desplazamiento del móvil oscilante respecto
a la posición de equilibrio en cualquier instante.
Amplitud (lineal o angular). Es la máxima elongación lineal (xm =
± A) o máxima elongación angular (± m ) que se desplaza el
móvil oscilante a uno y otro lado de la posición de equilibrio.
Elongación
angular
(t)
O
m
B´ B
Figura 7.
O A
- A
X
Elongación
lineal
Figura 6.
x (t)

El desplazamiento lineal se representa por x(t), (Fig.6), se mide en
[m] y el desplazamiento angular por θ(t), (Fig.7), se mide en [rad].

7. MOVIMIENTO OSCILATORIO
2. OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
El estudio dinámico del MAS se hace
utilizando un OSCILADOR ARMÓNICO
SIMPLE, consistente de una masa m
atada al extremo libre de un resorte de
constante elástica k como en la Fig.8
El MAS es el modelo más adecuado para el estudio y descripción
matemática de las diversas oscilaciones periódicas que existen
en la naturaleza.
Las oscilaciones se inician cuando el resorte es estirado o
comprimido una distancia x = ± A, mediante una fuerza externa F
aplicada sobre m.
Al cesar la fuerza externa F queda la fuerza recuperadora F´ del
resorte que mueve la masa hacia la posición de equilibrio x = 0.
Figura 8.
- A + A
o
m
k
-F´ F

8. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Por la ley de Hooke, la fuerza deformadora F es directamente proporcional a la
deformación x
F = k x (2)
Y como la fuerza recuperadora
F´ es de igual módulo pero de
sentido opuesto a la fuerza
deformadora (Fig.9) entonces:
F´ = – k x (3)
La fuerza recuperadora acelera la masa hacia la posición de
equilibrio, incrementando su velocidad desde cero en x = ± A,
hasta alcanzar un valor máximo en la posición de equilibrio x = 0.
x
F
Según esta ecuación, la fuerza recuperadora es máxima en los
extremos (x = ± A) y es cero en la posición de equilibrio (x = 0)
Figura 9.
k m
o
F´

9. MOVIMIENTO OSCILATORIO
3. DINAMICA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
La ecuación dinámica básica del MAS se obtiene aplicando las
leyes de Newton al Oscilador Armónico Simple (OAS).
F´ = m a = – k x
m = – k x
d2x
d t2
que puede escribirse en la forma:
Como ya indicamos, en el OAS, la fuerza recuperadora F´ = - k x
es la responsable del movimiento de la masa hacia la posición de
equilibrio. Entonces aplicando la segunda ley de Newton, a la
Fig.10, se tiene:
k m
x
F´
Figura 10
o
= – x
d2x
d t2 (4)
k
m

10. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Por lo tanto, la función matemática x(t) que satisface la ecuación diferencial del
MAS deben ser del tipo SENO ó COSENO, que en su forma más simple seria:
x = sen t, ó, x = cos t.
x = A sen (o t +  ) x = A cos (o t +  )
o
En el desarrollo de la presente unidad analizaremos el
Movimiento Armónico Simple (MAS) de una partícula a lo largo
de una recta como por ejemplo el eje X,X´, entre las posiciones
extremas A y (-A), como en la Fig.11.
Como demostraremos más adelante, estas funciones no cambian su
naturaleza oscilante si las escribimos en la forma:
(5)
x = A sen (o t +  )
La posición x de la partícula en
función del tiempo t está definida
por la ecuación
Figura 11. MAS de una partícula sobre el eje X-X´
-A A
X
X´ 

11. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Donde: A , es la amplitud del MAS
(o t + ), es la fase del MAS y se expresa en [rad]
o , es la frecuencia angular del MAS y se mide en [rad/s]
, es la fase inicial del MAS y se mide en [rad]
La fase inicial  es la cantidad que nos permite medir las osla-
ciones desde cualquier posición e instante iniciales en la trayec-
toria de la partícula.
La frecuencia angular se define como
o = 2  f =
2 
T
(6)
xo = A sen (o (0) +  )
Si en to = 0 la posición inicial de la partícula oscilante es xo, podemos usar
estos valores iniciales en la Ec.(5) y obtener:
xo = A sen 
De donde la fase inicial es:
 = sen-1(xo/A) (7)

12. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Por lo tanto, la fase inicial nos permite contar las oscilaciones desde una posición
diferente a las posiciones triviales: xo = 0 y xo = ± A.
También se demuestra que la solución es la combinación lineal:
x = A sen (o t +  ) ± A cos (o t +  )
VERIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN.
Verifiquemos que la función (5) efectivamente satisface la ecuación
diferencial del MAS, (4).
Derivando la función x(t) respecto al tiempo dos veces se tiene:
= o A cos (o t + )
d x
d t
= – (o)2 A sen (o t + )
d2 x
d t2
y
= – x
d2x
d t2
k
m

13. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Remplazando en la ecuación diferencial obtenemos:
– (o)2 A sen (o t + ) = – A sen (o t + )
k
m
Esta igualdad se cumple siempre que
(o)2 =
k
m
(8)
De donde la frecuencia angular del MAS de un Oscilador
Armónico simple es
(9)
o =
k
m
La frecuencia lineal es
(10)
f = =
o
2
1
2 
k
m
El período es
(11)
T = = 2 
2
o
m
k

14. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Es importante resaltar que, según estas ecuaciones en el MAS la frecuencia angular,
la frecuencia lineal y el período no dependen de la amplitud de las oscilaciones.
Usando la Ec.(8) podemos escribir la ecuación diferencial del
MAS en la forma
= - x
d2x
d t2
(o)2
(12)
Velocidad del MAS. La velocidad instantánea del MAS se define
como la derivada de la posición respecto al tiempo.
V = d x
d t
V = o A cos (o t + ) (13)
Esta forma de la ecuación dinámica del MAS nos será muy útil más
adelante cuando tengamos que definir la frecuencia angular de otros
sistemas oscilantes.

15. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Donde el coeficiente de la función trigonométrica es la máxima
velocidad del MAS
Vm = o A (14)
De la identidad trigonométrica : sen2 + cos2  = 1, obtenemos:
cos  = 1 – sen2 
Aplicando esta relación en la Ec.(12) de la velocidad se tiene:
v = o A2 – x2
V = o A 1 – sen2 (o t + ) = o A2 – A2 sen2 (o t + )
(15)
Según esta ecuación la velocidad depende de la posición del
móvil oscilante. Por lo tanto:
v = ± o A = ± vm
En x = 0 ( posición de equilibrio) se tiene que:

16. MOVIMIENTO OSCILATORIO
En x = ± A ( posición extrema) v = o A2 – A2 v = 0
v = 0
v = 0
-A +A
o
x
Figura 12.
En la Fig. 12 se muestran las posiciones donde la velocidad es
máxima y donde es cero.
- vm
+ vm
Aceleración del MAS. La aceleración instantánea del MAS se
define como la derivada de la velocidad respecto al tiempo.
d v
d t
a =
a = – (o)2 A sen (o t + ) (16)
am = (o)2 A (17)
Donde el coeficiente de la función trigonométrica es la máxima
aceleración del MAS


17. MOVIMIENTO OSCILATORIO
x = A sen (o t +  )
Estos resultados nos indican que la aceleración del MAS es cero en la
posición de equilibrio y es máxima en las posiciones extremas.
En la Ec.(15) podemos usar la función
En esta ecuación, el signo menos ( - ) indica que la aceleración
siempre es opuesta al desplazamiento y depende de éste.
En x = 0 ( posición de equilibrio) se tiene que:
a = – ( o )2 (0) = 0
En x = ± A ( posición extrema)
a = – ( o )2 A
a = – ( o )2 x (18)
y entonces:

18. MOVIMIENTO OSCILATORIO
a = 0
–A +A
o
x
Figura 13.
En la Fig. 13 se muestra las posiciones donde la aceleración es
cero y es máxima.
+am – am
Es importante resaltar que, los vectores desplazamiento x(t) velocidad v(t)
y aceleración a(t) pueden graficarse en el mismo instante a fin de saber
que dirección tienen y como se mueve la partícula oscilante(Fig. 14).
-A
+A
o
x

v
– a
Figura 14. Para esta partícula que se mueve hacia
el extremo +A, los vectores posición x(t) y velocidad
v(t) tienen la misma dirección pero son opuestos al
vector aceleración a(t)


19. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Ejemplo 8. El oscilador armónico de la Fig. 15 consiste de una masa de 1.6
[kg] y un resorte de constante elástica 3.2x103 [N/m]. La masa es
separada de su posición de equilibrio una distancia xo = 9 [cm] y luego es
dejada libre para que oscile sobre una su- perficie sin fricción. Hallar: a) la
ecuación que permita calcular la posición de la masa en cualquier instante,
b) el período, c) la fre-cuencia en [osc/s]. Luego en t = 0.1 [s] calcular, d) la
posición, e) la velocidad.
Datos:
m = 1.6 [kg], k = 3.2x103
[N/m], xo = 0.09 [m] que
es la posición inicial y a
su vez la amplitud del
MAS, A = 0.09 [m].
m
k
xo = A
F
Figura 15.

20. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Solución:
a) La ecuación de la posición es: x = A sen (o t +  )
o =
k
m
Donde la frecuencia angular se obtiene de
=
o = 44.7 [rad/s]
y usando las condiciones iniciales t = 0, x0 = 0.09 [m] en la
ecuación de la posición se tiene:
0.09 = 0.09 sen [44.7(0) + ]]
Sen  = 1  = /2 [rad]
Finalmente:
x = 0.09 sen (44.7 t + /2 ) [m] ó x = 0.09 cos (44.7 t ) [m]

21. MOVIMIENTO OSCILATORIO
b) El período se obtiene con
T = =
2
o
2
44.7 T = 0.14 [s]
c) La frecuencia es
f = =
1
T
1
0.14
f = 7.14 [osci/s]
Ahora en t = 0.1 [s]
d) La posición lo calculamos con la ecuación obtenida en (a)
x = 0.09 cos [44.7 (0.1)]
x = - 0.022 [m]
e) La velocidad se obtiene con
v = dx/dt = - 4.023 sen (44.7 t) [m/s]

22. MOVIMIENTO OSCILATORIO
4. ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Considerando que el oscilador armónico es un sistema
conservativo la energía mecánica total es constante y esta dada
por la suma de la energía la energía cinética y la energía
potencial.
E = Ek + Ep = constante (19)
Donde la Energía Cinética del MAS es
ó Ek = ½ m (o)2 (A2 – x2) = ½ k (A2 – x2) (21)
Ek = ½ m v2 = ½ m (o)2 A2 cos2 (ot +  ) (20)
y la Energía Potencial del MAS es
Ep = ½ k x2 = ½ m (o)2 A2 sen2 (ot +  ) (22)
(23)
Ep = ½ m (o)2 x2
ó

23. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Por lo tanto la energía mecánica total se puede expresar en la
forma
E = ½ k (A2 – x2 ) + ½ k x2
Esto significa que durante una oscilación la partícula intercambia
continuamente energía cinética y energía potencial, de forma tal que la
suma de ambas siempre es la misma en cualquier instante, tal como se
ilustra en las Fig.16 y Fig.17.
E = ½ k A2 = ½ m (o)2 A2 = constante (24)
E = Ek + Ep = constante
E k
E p
x
Ep(t)
Ek(t)
E
X
+A
- A
Figura 16.
E
½ k A2
t
Figura 17.
T/2 T

24. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Ejemplo 10. Una partícula de masa 90 [g] oscila con MAS de
frecuencia 4 [vib/s] y amplitud 10.0 [cm]. En t = 0, la partícula está
en x = 4.0 [cm]. Calcular en t = 15.2 [s]: a) la posición, b) la
velocidad, c) la aceleración, d) la energía potencial, e) la energía
cinética y f) la energía total de la masa oscilante.
Datos: m = 0.090 [kg], f = 4 [vib/s], A = 0.10 [m] y las condiciones iniciales
son en t = 0, x = 0.04 [m].
Solución:
a) La posición está definida por: x = A sen (o t + α)
) Donde: o = 2f = 2(4) o = 8 [rad/s]
Reemplazando en la ecuación de la posición los datos
calculados y las condiciones iníciales se tiene
0.04 = 0.10 sen [8(0) +  ]
sen  = 0.40  = 0.412 [rad]

25. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Por lo tanto, la ecuación de la posición completamente
definida es
x = 0.10 sen (8  t + 0.412) [m]
Ahora en t = 15.2 [s]
x = 0.10 sen[8  (15.2) + 0.412] x = - 0.075 [m] = - 7.5 [cm]
b) La velocidad esta definida por: v = dx/dt
v = 0.80  cos (8  t + 0.412) ] [m/s]]
En t = 15.2 [s]
v = 0.80  cos[8  (15.2) + 0.412] v = 1.67 [m/s]
c) La aceleración está definida por: a = d2x/dt2
a = - 6.40 2 sen (8  t + 0.412) [m/s2]
En t = 15.2 [s]
a = 47.23 [m/s2]
a = - 6.40 2 sen [8 (15.2) + 0.412]

26. MOVIMIENTO OSCILATORIO
d) La energía potencial está definida por: Ep = ½ m (o)2 x2
Según (a), en t = 15.2 [s], x = - 0.075 [m], entonces
Ep = ½ (0.090)(8)2(- 0.075)2 Ep = 0.16 [J]
e) La energía cinética está definida por: Ek = ½ mv2
Según (b), en t = 15.2 [s], v = 1.67 [m/s], entonces
Ek = ½ (0.090)(1.67)2
Ek = 0.13 [J]
f) La energía total está definida por: E = Ep + Ek
E = 0.16 + 0.13 = 0.29 [J]
Entonces