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Números reales
- 1. Números reales y plano numérico Alumna: Elianny Mogollón. Sección: 0103 PNF: Contaduría Publica Barquisimeto, Edo-Lara
- 2. El conjunto. Suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles} AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul} Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es finito. Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. Operaciones con conjuntos. Son también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento. Unión o reunión de conjuntos. Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se
- 3. tendría los siguientes: También se puede graficar del siguiente modo: Intersección de conjuntos. Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
- 4. Diferencia de conjuntos. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: Diferencia de simétrica de conjuntos. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △. Ejemplo
- 5. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: Complemento de un conjunto. Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A’ en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento. Ejemplo Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: Los números reales El conjunto de los números reales incluye tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no
- 6. nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII. Ejemplo Números naturales: 1,2,3,4… Números enteros: …,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4… Números racionales: cualquier fracción de números enteros. Números irracionales: Los números reales se clasifican en: Racionales e irracionales Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como ¾, -21/3, 5, 0, ½, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica. Algebraicos y trascendentes Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. No todos los números algebraicos son racionales. Computables e irreductibles Un número real se dice computable si tiene una complejidad de Kolmogórov finita, es decir, si puede escribirse un programa informático de extensión finita que genere los dígitos de dicho número. Si un número real no es computable se dice irreductible. Operaciones con números reales Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con diversas excepciones importantes:
- 7. 1. No existen raíces de orden par de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas). 2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1). 3. No se puede hallar el logaritmo de un número real negativo, cualquiera sea la base de logaritmos, un número positivo distinto de 1. Ejemplo: En la operación de multiplicar: 7x7x7x7x7 El número 7 se repite cinco veces, por lo que se expresa: 75, donde el 7 se denomina base y el 5, exponente y la operación recibe el nombre de potenciación. Los particiones El conjunto de los reales es la unión disjunta de los racionales y de los irracionales El conjunto R es la unión de A y T, A el conjunto de los reales algebraicos y T el conjunto de los trascendentes es la ciencia Desigualdades Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y a ³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias. Ejemplos. Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9. Como 8 > 3 entonces 8 – 4 > 3 – 4, esto es, 4 > - 1 Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30 Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es – 21 > - 30 En los diferentes ejemplos se observa que: Al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene Al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene La multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad, La multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad. Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades. Sean a, b y c números reales cualesquiera: Si a < b entonces a + c < b + c Si a < b y c > 0 entonces a.c < b. Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c
- 8. Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En símbolos a < b < c. Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las desigualdades >, £ y ³ . El valor absoluto El valor absoluto o módulo de un número real x, es el valor no negativo de x sin importar el signo, sea este positivo o negativo. Así, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3. El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5. Desigualdades con valor absoluto La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es { x|-4 < x < 4 } Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b . Plano Numérico Se conoce como una línea horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. La finalidad del plano numérico es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. El plano numérico también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.
- 9. Distancia: Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2, se deduce la fórmula de distancia entre estos dos puntos. La demostración usa el teorema de Pitágoras. Un ejemplo muestra cómo usar la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos dadas sus coordenadas La distancia entre dos puntos P1 y P2 del plano la denotaremos por d(P1,P2 ). La fórmula de la distancia usa las coordenadas de los puntos. Punto medio Encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento si se conocen sus extremos. La circunferencia En el estudio de las cónicas a veces es conveniente mover los ejes cartesianos para que la curva que estamos estudiando quede en una posición más fácil y su ecuación sea más simple. Parábola. Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz. α = β La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito. Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son: Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría). Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice.
- 10. Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice. Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola. Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz(ambas distancias son iguales). Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola. Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco. Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular Elipses Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Hipérbola Es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Graficas de ecuaciones de las cónicas