Unefm Tecnología Ingeniería Civil - Introducción a la Dinámica de Estructuras

1. UNEFM Introducción a la Dinámica de Estructuras Ing. Glorimer Miquilena
UNIDAD I. GENERALIDADES DE LA DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
1.1. Dinámica de Estructuras.
• Es un área de la mecánica aplicada que desarrolla métodos para el estudio del
comportamiento de las estructuras debido a acciones externas que producen
movimientos tipo vibratorio.
• El análisis dinámico de estructuras consiste en determinar la respuesta
(desplazamientos, velocidades y aceleraciones) de estructuras sometidas a excitaciones
(acciones dinámicas).
• La dinámica estructural estudia las vibraciones de cuerpos flexibles, aunque en muchos
casos las deformaciones relativas entre algunas partes de la estructura son de un orden
de magnitud tan pequeño, que pueden aplicarse los principios de la dinámica de cuerpos
rígidos en algunas porciones de la estructura.
1.2. Propiedades Dinámicas.
• Masa (m): Es una unidad de medida de la cantidad de materia. Unidades:
kilogramos, gramos, libras, slug.
• Peso (P): Es una medida de la fuerza necesaria para impartir una aceleración dada
a una masa. (P = m*g). Unidades: Kilogramofuerza o Kilopondio, Librafuerza,
Newton, Dina, etc.
• Rigidez (K): Todo cuerpo elástico que sea sometido a fuerzas externas, ya sean
estáticas o dinámicas, sufre una deformación. La rigidez se define como la relación
entre estas fuerzas externas y las deformaciones que ellas inducen en el cuerpo. El
caso más simple corresponde a un resorte helicoidal, como se muestra en la figura
1.
La rigidez es, por lo tanto, la relación entre las fuerzas y los desplazamientos, y se expresa:
= ( . 1)
El mismo concepto se puede extender a
cuerpos elásticos que tienen otras formas, por
ejemplo, una viga en voladizo, con una carga
puntual en su extremo libre la cual causa un
desplazamiento en la dirección de la fuerza.
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En donde la deflexión u es,
=
.
3. .
( . 2)
Donde L es longitud, E módulo de elasticidad de la material de la viga, I momento de inercia
de la sección de la viga, P carga.
Sustituyendo la ec. 2 en la ec. 1,
= =
.
3. .
=
3. .
( . 3)
A continuación se presentan varios casos comunes de rigidez para diferentes sistemas:
Tabla 1. Rigideces de algunos Sistemas Elásticos

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Sistemas rígidos tienen deformaciones pequeñas (gran rigidez), y sistemas flexibles tienen
deformaciones grandes (poca rigidez).
• Periodo (T): Es el tiempo necesario para realizar una vibración completa. Unidades:
segundos (s), minutos (min), horas (h).
• Frecuencia (f): Es el número de vibraciones completas por unidad de tiempo.
Evidentemente es la inversa del periodo, es decir: = ( . 4) Unidades: s-1, Hertz,
ciclos por segundo (cps), hercios, etc.
• Frecuencia Natural (ω): Es aquella frecuencia que tiene una tendencia o facilidad
para vibrar. Todo sistema posee una o varias frecuencias naturales de forma que al
ser excitadas se producirá un aumento importante de vibración. Y se determina por:
= ( . 5). o por = ( . 6). Unidades: rad/s, s-1, hercios, cps, etc.
1.3. Cargas Dinámicas.
Una carga dinámica se define como aquella acción que varíe a lo largo del tiempo. Debido
a que una carga siempre se puede asimilar a un vector, la variación podrá darse en
cualquiera de los tres parámetros que definen al mismo (módulo, dirección y sentido).
Dentro de los tipos de carga dinámicas que pueden afectar a una estructura o elemento
estructural, se cuenta:
Tabla 2. Tipos de Cargas Dinámicas
Tipos Diagrama Ejemplo
Causada por equipos mecánicos:
Dentro de este grupo están los
efectos causados por maquinarias y
equipos que tengan componentes
que roten o se desplacen
periódicamente.
Causada por impacto: El hecho de
que una masa sufra una colisión con
otra, induce una fuerza impulsiva
aplicada sobre las dos masas, la cual
induce vibraciones.
Causada por explosiones: Una
explosión produce ondas de presión
en el aire, o movimientos del terreno.
Ambos efectos afectan estructuras
localizadas cerca del lugar de la
explosión.
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Causada por el viento: La intensidad
de las presiones que ejercen el viento
sobre las estructuras varía en el
tiempo. Esto induce efectos
vibratorios sobre ellas.
Causada por olas: En las estructuras
hidráulicas las olas inducen efectos
dinámicos correspondientes a las
variaciones del empuje hidráulico
sobre ellas.
Causada por sismos: El efecto
sobre las estructuras de los
movimientos del terreno producidos
por la ocurrencia de un sismo
conduce a vibraciones importantes de
la estructura.
Otras:
• Paso de vehículos, personas, trenes a alta velocidad sobre puentes. Esta acción,
generalmente débil, puede provocar a largo plazo problemas de fatiga en los materiales
estructurales, por lo cual puede considerarse potencialmente nociva.
La definición de estas cargas externas puede distinguirse entre:
• Determinista: cuando su variación temporal es perfectamente conocida.
• No Determinista (estocástica o aleatoria): cuando alguno o todos sus parámetros
son definidos estadísticamente, es decir, que toma en cuenta la aleatoriedad de las
cargas y del comportamiento mecánico de los materiales (sismo, explosiones)
1.4. Sistemas Dinámicos.
Un sistema dinámico es aquel cuyas variables experimentan variaciones en el tiempo y, si
se conocen las influencias externas que actúan sobre el sistema podrá predecirse el
comportamiento de este.
Los sistemas dinámicos pueden dividirse en:
• Sistemas Continuos: Este sistema se refiere a elaborar un modelo dinámico a partir de
las características geométricas del continuo (estructura de edificación, presa, puente,
etc), como conjunto de elementos interconectados entre sí, con un determinado
comportamiento (elástico, elastoplástico, etc), propiedades de masa y amortiguamiento,
al cual aplicamos un estímulo (acción dinámica). El cálculo de la respuesta, en todos los
puntos del continuo y en el tiempo, complica en gran medida la solución del problema.
• Sistemas Discretos: En este sistema se maneja el concepto de grados de libertad, que
podemos interpretar como el conjunto de parámetros que adoptamos en cada instante
para definir la posición del modelo dinámico. Al plantear el equilibrio en cada instante,
según los grados de libertad seleccionados en los sistemas o modelos discretos, se
obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

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1.4.1. Grados de Libertad Estático y Dinámico.
Grados de Libertad Estático:
Numero de coordenadas generalizadas, libres o Independientes, necesarias para definir la
configuración de un sistema.
Grados de Libertad Dinámico:
El número de grados de libertad de un sistema, desde el punto de vista de la dinámica,
corresponde al número mínimo de coordenadas necesarias para definir la posición en el
espacio y en el tiempo de todas las partículas de masa del sistema.
• Sistema de Masa Concentrada o Discreta:
Se refiere a cuando se trata de sistemas
rígidos, en los cuales no puede haber
desplazamiento relativo entre las partículas, y
esta se puede describir referida a su centro de
masa. Estos sistemas son de finitos grados de
libertad.
• Sistema de Masa Distribuida: Cuando la
masa hace parte de un elemento flexible y por
consiguiente se puede hablar de un número
infinito de grados de libertad.
1.5. Leyes de Newton.
Las leyes de Newton son el fundamento de la estática y de la dinámica, tanto de cuerpos
rígidos como de cuerpos flexibles:
1ª Ley de Newton:
"Todo cuerpo permanece en su estado de reposo, o movimiento uniforme rectilíneo, a
menos que sea obligado a cambiar ese estado debido a la aplicación de cualquier tipo de
fuerzas."
Se conoce también como Ley de Inercia. Es válida para cuerpos sin fuerzas aplicadas, o
con fuerzas cuya resultante es nula.
2ª Ley de Newton:
"La fuerza que actúa sobre un cuerpo y causa su movimiento, es igual a la tasa de cambio
del momentum del cuerpo."
= ( . 7)
Pero el momentum Q, o cantidad de movimiento, es igual a la masa del cuerpo por su
velocidad:
= . = = . ( . 8)
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donde: Q momentum del cuerpo, m masa del cuerpo, v velocidad del cuerpo y x
desplazamiento del cuerpo o coordenada de localización del mismo
Así:
F =
dQ
dt
=
d
dt
(m. v) =
d
dt
m.
dx
dt
=
d
dt
(m. x)
Si la masa permanece constante: F = m (x) = m. x ( . 9)
Es decir: = . ( . 10) donde: F fuerza, a aceleración.
3ª Ley de Newton:
"A toda acción se opone siempre una reacción de igual magnitud; o las acciones mutuas
entre dos cuerpos son siempre iguales y opuestas."
La 3ª ley de Newton permite extender las dos leyes anteriores a cuerpos compuestos por
varios componentes o, cuando se fracciona un cuerpo en varias partes, a definir las fuerzas
que obran sobre éstas, este procedimiento se conoce como cuerpo libre.
Las tres leyes de Newton son las bases sobre las cuales se desarrolla la dinámica de
cuerpos rígidos y la dinámica estructural y se aplican repetidamente durante el desarrollo
de la teoría de la dinámica estructural.
1.6. Principio de D´Alembert:
El principio de D´Alembert establece que “Un sistema puede ser puesto en estado de
equilibrio dinámico agregando a las fuerzas externas una fuerza ficticia, comúnmente
conocida como fuerza de inercia”
La ecuación manifestada por D´Alembert es muy similar a la de equilibrio en estática (F =
0), en la forma que se conoce como principio de D'Alembert:
− . = ( . 11)
El principio de D'Alembert hace evidente que la denominada fuerza inercial (m.a) actúa en
la dirección opuesta a la dirección de la aceleración del cuerpo.

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1.7. Trabajo y Energía.
El trabajo realizado por una fuerza al recorrer una distancia, está dado por la siguiente
expresión:
= . = . ( . 12)
La energía es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo. La cual se
manifiesta de diferentes maneras, tales como:
1.7.1. Energía Cinética:
Cuando una masa m se encuentra en movimiento, la energía cinética que lleva la masa es:
=
1
2
( . 13)
1.7.2. Energía Potencial:
En el caso de una fuerza que se aplica en el extremo de un resorte, el valor de la fuerza es
cero cuando se inicia el desplazamiento, y al final su valor es igual al producto K.u
En este caso, que se muestra en la figura 7, el área bajo la curva corresponde al trabajo
realizado por la fuerza, el cual es equivalente a la energía de deformación acumulada en el
resorte.
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= . = . . =
1
2
.
La energía de deformación, o energía potencial, acumulada en un resorte que es mantenido
en un estado de deformación por una fuerza, es igual a:
=
1
2
. ( . 14)
donde x es la deformación relativa entre los extremos del resorte.
Para todo sistema conservativo la energía total es constante:
+ =
es decir, el cambio de la energía total es nulo:
+ = 0
1.7.3. Principio de Hamilton.
“De todas las trayectorias posibles, que puede seguir un sistema dinámico para desplazarse
de un punto a otro en un intervalo de tiempo determinado, la trayectoria verdaderamente
seguida es aquella que hace la mínima acción, o la integral temporal de la diferencia entre
las energías cinética y potencial”.
En términos de análisis variacional, el principio de Hamilton se expresa
− = 0, ( . 15)
= − , = ó
Algunos sistemas no son conservativos, es decir, tienen pérdida de energía, ya sea por
amortiguación u otras fuerzas externas no conservativas. El trabajo de estas fuerzas
constituye la energía disipada, Ed.
Un sistema está en equilibrio dinámico si
Π = 0
donde:
Π = + + ( ) ( . 16)
δ= cambio de Π en el intervalo de tiempo entre t1 y t2.

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BIBLIOGRAFÍA
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Facultad de Ingeniería. Impresos por la Universidad de los Andes de Colombia. .
Colombia
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