Resistencia de los materiales

TEMA Nº 1 INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
1.1 RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
La resistencia de materiales amplía el estudio de las fuerzas que se inició
en mecánica, pero existe una diferencia obvia entre ambas materias. El campo
de la mecánica abarca fundamentalmente las relaciones entre las fuerzas que
actúan sobre un sólido indeformable. La estática estudia los sólidos en equilibrio,
mientras que la dinámica estudia los sólidos acelerados, aunque se puede
establecer el equilibrio dinámico mediante la introducción de las fuerzas de
inercia.
En contraste con la mecánica, la resistencia de materiales estudia y
establece las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas y sus efectos en el
interior de solidó. Además no supone que los solidos son idealmente
indeformables, como en la primera, sino que las deformaciones, por pequeñas
que sean, tienen gran interés. Las propiedades del material de que se construye
una estructura o una maquina afectan tanto a su elección como a su diseño, ya
que se deben satisfacer las condiciones de resistencia y de rigidez.
Las diferencias entre la mecánica de un cuerpo rígido y la resistencia de
materiales se pueden poner más de manifiesto con los siguientes ejemplos: la
deformación de la fuerza (fig. 1-1) que se requiere en el extremo de una palanca
para levantar un peso dado es un simple problema de estática. La suma de
momentos respecto del punto de apoyo determina el valor de P. esta solución de
la estática supone que una palanca es lo bastante rígida y lo suficientemente
fuerte para permitir su funcionamiento. Sin embargo, en resistencia de
materiales se amplia la solución. Es necesario estudiar la barra en sí misma,
para estar seguros de que ni se romperá ni será tan flexible que se doble sin
levantar la carga.
RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

1.2 ANALISIS DE FUERZAS INTERNAS
Consideremos un sólido de forma cualquiera en el que actúa una serie de
fuerzas, como se representa en la figura 1-2. En mecánica, se determinaría la
resultante de las fuerzas aplicadas para averiguar si el sólido se encuentra o no
en equilibrio. Si la resultante es nula existe equilibrio estático, condición que, en
general, ha de existir en las estructuras. Si la resultante no es nula,
introduciendo en el sistema exterior las fuerzas de inercia correspondientes, se
obtiene el equilibrio dinámico.
Figura 1-1. La palanca no debe romperse ni curvarse excesivamente
a
F2
F3
F4
W P
a
F1
Figura 1-2. Sección de exploración a-a a través de un sólido sometido a la acción de
varias fuerzas.

La resistencia estudia la distribución interna de esfuerzos que producen un
sistema de fuerzas exteriores aplicadas. Para ello, se suele hacer un corte ideal
en el sólido por una sección exploración, buscando qué fuerzas deben actuar en
esta sección para mantener el equilibrio de cuerpo libre en cada una de las dos
partes en que ha quedado divido del cuerpo. En general, el sistema de fuerzas
internas equivale a una fuerza y un par resultantes que, por conveniencia, se
descomponen según la normal y la tangente a la sección como se muestra en la
figura 1-3.
El origen del sistema de ejes coordenados se considera siempre en el
centroide, que es el punto de referencia de la sección. Si el eje X es normal a la
sección, ésta se denomina superficie o cara X. la orientación de los ejes Z y Y en
el plano de la sección se suele elegir de manera que coincidan con los ejes
principales de inercia de la misma.
La notación empleada en la figura 3 identifica tanto la acción de
exploración como la dirección de las componentes de la fuerza y momento. El
primer subíndice indica la cara sobre la que actúan las componentes, y el
segundo la dirección de cada una de ellas. Por tanto Pxy es la fuerza que actúa
sobre la cara X en la dirección Y.
Pxy
F2
F1
y
x
z
Mxx
Mxz
Mxy
Pxx
Pxz
Figura 1- 3. Componentes de los efectos internos en la sección de exploración a-a.

Cada componente representa un efecto distinto de las fuerzas aplicadas
sobre el solidó en esta sección, y recibe un nombre especial, que se indica a
continuación:
Pxx Fuerza Axial. Esta componente corresponde a la acción de tirar (o de
empujar) sobre la sección. Tirar (o jalar) representa una fuerza de extensión o
tracción que tiende a alargar el solidó, mientras que empujar representa una
fuerza de compresión que tiende a acortarlo. Se representa generalmente por P.
Pxy, Pxx Fuerzas Cortantes. Son componentes de la resistencia total al
desplazamiento de la porción del solidó a un lado de la sección de exploración
respecto de la otra porción. La fuerza cortante total se suele representar por V y
sus componentes, Vy y Vz, determinan su dirección.
Mxx, Momento Torsionante. Esta componente mide la resistencia a la torsión
del sólido considerado, y se suele representar por T.
Mxy, Mxz Momentos Flexionantes. Estas componentes miden la resistencia del
cuerpo a curvarse o flexionarse respecto de los ejes Y o Z, suelen expresar,
simplemente, por My y Mz, respectivamente.
1.3 ESFUERZO SIMPLE:
La fuerza por unidad de área que soporta un material suele denominarse
Esfuerzo en el material, y se expresa matemáticamente en la forma.
A
P
=
σ (1.1)
Donde σ es el esfuerzo o fuerza por unidad de área, P es la carga
aplicada y A es el área de la sección transversal. Obsérvese que el esfuerzo
máximo de tensión o compresión tiene lugar en una sección perpendicular a la
carga como se ilustra en la figura 1-4. Sin embargo, hasta una expresión tan
sencilla con la (1.1) requiere un cuidadoso examen. Dividiendo la carga entre el
área de la sección no se obtiene el valor del esfuerzo en todos los puntos de

aquella, sino solamente el valor medio del esfuerzo. Una determinación más
exacta del esfuerzo exige dividir la fuerza diferencial dP entre el elemento de
área diferencial sobre el que actúa:
dA
dP
=
σ (1-1 a)
La situación en la que el esfuerzo es constante o uniforme se llama
estado de esfuerzo simple. Una distribución uniforme de esfuerzo solo puede
existir si la resultante de la fuerzas aplicadas pasa por el centroide de la sección
considerada.
Figura 1.4. (a) componente normal y cortante sobre una sección arbitraria a-a. (b) cuando la sección
de exploración b-b es perpendicular a la resultante R de las fuerzas aplicadas, solo se producen
fuerzas normales.
Problema Nº 01.
Un tubo de aluminio esta rígidamente sujeto entre una barra de bronce y una de
acero. Según se muestra en la figura, las cargas axiales se aplican en las
posiciones indicadas. Determine el esfuerzo en cada material.
F1
F2
F1
F2 R
a
a b
b
Componente cortante V
Componente normal
R
N

Solución. Para calcular el esfuerzo de cada sección debemos determinar primero
la carga axial en cada un a de estas. Los diagramas adecuados de cuerpo libre
se muestran en las figuras siguientes, por la que se determina la carga axial en
cada sección como Pb= 20 kN (compresión), PAl= 5 kN (compresión), Pa= 10 kN
(tensión).
Los esfuerzos en cada sección son:
20 kN 10 kN
Bronce
A= 700 mm2
aluminio
A= 1000 mm2
Acero
A= 800 mm2
700 mm
600 mm
500 mm
20 kN
20 kN
20 kN Pb
PAl
Pa
15 kN
15 kN
15 kN
15 kN
15 kN

MPa
m
N
m
N
mm
kN
A
P
6
,
28
10
6
.
28
10
700
10
20
700
20
2
6
2
6
3
2
=
×
=
×
×
=
=
=
−
σ
σ
σ
MPa
m
N
m
N
mm
kN
A
P
5
10
5
10
1000
10
5
1000
5
2
6
2
6
3
2
=
×
=
×
×
=
=
=
−
σ
σ
σ
MPa
m
N
m
N
mm
kN
A
P
5
.
12
10
5
.
12
10
800
10
10
800
10
2
6
2
6
3
2
=
×
=
×
×
=
=
=
−
σ
σ
σ
Los esfuerzos en el bronce y el aluminio son de compresión, mientras que en el
acero se tiene tensión.
Problema Nº 02.
Para la armadura mostrada en la figura, determinar el esfuerzo de los miembros
AC y BD. El área de la sección transversal de cada uno es 900 mm2
.
30 kN 70 kN
C
A
B D F
H
Hx
E G
Hy
Hy
1
2
(a)

1
Solución:
Las tres hipótesis utilizadas en el análisis elemental de armadura son las
siguientes:
1. se desprecian los pesos de los miembros
2. Todas las uniones son de articulación ideal.
3. Todas las cargas externas se aplican directamente en las articulaciones.
Usando las tres hipótesis anteriores, los elementos de la armadura
pueden analizarse como miembros de dos fuerzas; el sistema de fuerzas
internas soportado por cada miembro se reduce a una sola fuerza (de tensión o
de compresión) que actúa a lo largo de la línea central del elemento.
El diagrama de cuerpo libre de la armadura completa se muestra en la
figura (a). Un sistema del equilibrio de este diagrama resulta en los siguientes
valores para las reacciones externas; Ay= 40 kN, Hy= 60 kN y Hx= 0.
Para determinar la fuerza AC, se hace pasar un plano de corte que aísle
la junta o nudo A (sección , figura (a)). El diagrama de cuerpo libre del nudo
A se muestra en la figura (b). Aquí AB y AC representan las fuerzas en los
miembros AB y AC, respectivamente. Notándose que ambas barras se han
supuesto a tensión. Analizando el diagrama de cuerpo libre de la figura (b)
( ) kN
A
AB
AB
A
y
y
7
.
66
40
3
5
3
5
0
5
3
−
=
−
=
−
=
=
+
( ) kN
AB
AC
AB
AC
4
.
53
7
.
66
5
4
5
4
0
5
4
−
=
−
=
−
=
=
+
[ΣY=0]
[ΣX=0]
+
+

4
C
Ay
CE
Los signos indican que la fuerza de 66.7 kN en AB es de compresión. La
fuerza en AC es de 53.4 kN, de tensión.
Para determinar la fuerza en el miembro BD, se pasa un plano de corte
que exponga la fuerza en BD (sección , figura (a)). El diagrama de cuerpo de
la posición de la armadura situada a la izquierda de la sección se muestra en
la figura (c). (La porción a la derecha de la sección se podría usar también).
Las fuerzas de los miembros BD, BE Y CE se suponen de tensión. Para calcular
la fuerza BD, eliminamos la fuerza BE y CE tomando una suma de momentos
con respecto a su punto de intersección, E, y se escribe:
( )( ) ( )
( )
kN
BD
A
BD
BD
A
y
y
7
.
66
200
120
40
8
120
8
4
0
4
4
30
)
8
(
−
=
−
=
+
−
=
+
−
=
=
−
+
−
Así la fuerza en BD es de 66.7kN, de compresión.
Los esfuerzos en la barras AC y BD son
AB
AC
A
Ay
3
3
m
BD
BE
B
E
A
30kN
4m 4m
(b) (c)
2
2
2
[ΣME=0]

)
(
3
.
59
10
3
.
59
10
900
10
4
.
53
900
4
.
53
2
6
2
6
3
2
Tensión
MPa
m
N
m
N
mm
kN
A
P
AC
=
×
=
×
×
=
=
=
−
σ
σ
σ
( )
Compresión
MPa
m
N
m
N
mm
kN
BD
1
.
74
10
1
.
74
10
900
10
7
.
66
900
7
.
66
2
6
2
6
3
2
=
×
=
×
×
=
= −
σ
σ
En el análisis de armaduras, el método de analizar una sola junta o nudo, como
se muestra en la figura (b), se conoce como método de nudo. El análisis de una
sección de la armadura compuesta de dos o más nudos, como se muestra en la
figura (c), se conoce con el nombre de método de secciones. Debe hacerse
hincapié en que cada fuerza interna en un miembro de una armadura esta
dirigida a lo largo de la línea o eje de cada miembro, pues por hipótesis sólo son
miembros de dos fuerzas.
1.4 ESFUERZO CORTANTE
El esfuerzo cortante (o de cizallamiento), a diferencia del axial (o de
tensión o de compresión) es producido por fuerzas que actúan paralelamente al
plano que las resiste, mientras que los de tensión o de compresión lo son por
fuerzas normales al plano sobre el que actúan. Por esta razón, los esfuerzos de
tensión y de compresión se llaman también esfuerzos normales, mientras que
los esfuerzos cortantes pueden denominarse también esfuerzo tangencial.
Aparecen esfuerzos cortantes siempre que las fuerzas aplicadas obliguen
a que sección del sólido tienda a deslizar sobre la sección adyacente. En la
figura 1-5 se muestran varios ejemplos. En (a) el remache resiste el corte a
través de su sección central, mientras que en la articulación representada en (b)

el pasador lo resiste a través de dos secciones; el caso (a) puede llamarse
cortante simple, y el (b) cortante doble. En (c) se ha de punzonar una placa; el
área resistente es semejante al canto de una moneda. En todos estos casos, el
cizallamiento o corte tiene lugar en un plano paralelo a la de la carga aplicada.
Puede llamárseles casos de fuerza cortarte directa, a diferencia de la fuerza
cortante indirecta que aparece en secciones inclinadas con respecto a la
resultante de las cargas.
Figura 1-5. Ejemplo de secciones sometidas a corte.
La demostración concerniente al esfuerzo normal uniforme dada en la
sección anterior permite deducir que también puede existir esfuerzo cortante
uniforme si la fuerza de corte resultante pasa por el centroide de la sección
sometida a cortante. Si esto ocurre así, el esfuerzo de corte viene dado por:
A
V
=
τ (1.2)
La distribución del esfuerzo cortante en una sección no es uniforme
prácticamente en ningún caso y por ello la expresión (1.2) debe interpretarse
solamente como el esfuerzo cortante medio. Esto no restringe su empleo en
modo alguno, siempre que el valor del esfuerzo cortante admisible para un
material dado tenga en cuenta este hecho de que la distribución real no es
uniforme. Además, cuando la distancia entre las fuerzas que la producen sea

muy pequeña, o el ancho de la sección que la soporta sea igualmente pequeño,
la distribución del esfuerzo cortante tiende a ser uniforme.
1.5 DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACIÓN
La resistencia de un material no es el único criterio que debe utilizarse al
diseñar estructuras. Frecuentemente, la rigidez suele tener la misma o mayor
importancia. En menor grado, otras propiedades tales como la dureza, la
tenacidad y la ductilidad también influyen en la elección de un material. Estas
propiedades se determinan mediante pruebas, comparando los resultados
obtenidos con patrones establecidos. Aunque la descripción completa de estas
pruebas corresponde al «ensayo de materiales», examinaremos una de ellas, la
prueba de tensión en el acero, dada su importancia y la inapreciable ayuda que
proporciona en la introducción de otros conceptos básicos.
Figura 1-6. Diagrama Esfuerzo-Deformación.
Consideremos una probeta de acero sujeta entre las mordazas de una
máquina de pruebas de tensión y observemos simultáneamente la carga y el
alargamiento de una determinada longitud de la misma. Los resultados se

suelen representar en un gráfico en el que las ordenadas llevan las cargas y en
abscisas los correspondientes alargamientos. En la figura 1-6 se representa un
gráfico de esta clase; se puede observar que no aparecen representadas las
fuerzas y los alargamientos totales, sino las fuerzas unitarias o esfuerzos y los
alargamientos unitarios o deformaciones, ya que sólo se pueden comparar las
propiedades de una muestra con las de la otra si se reducen los valores
observados a unos puntos de referencia comunes. El diagrama de la figura 1-6
se denomina diagrama esfuerzo-deformación, cuyo nombre deriva de las
magnitudes que aparecen en sus ejes de coordenadas.
1.6 DEFORMACIÓN
El valor de la deformación (unitaria) ε es el cociente del alargamiento
(deformación total) δ y la longitud L en la que se ha producido. Por tanto,
L
δ
ε = (1.3)
Sin embargo, de este modo sólo se obtiene el valor medio de la deformación. La
expresión correcta de la deformación en cualquier punto es:
dL
dδ
ε = (1.3 a)
Que determina el valor de la deformación en una longitud tan pequeña
(dL) que puede considerarse constante en dicha longitud. No obstante, en
ciertas condiciones, se puede suponer que la deformación es constante y aplicar
la expresión (1.3). Estas condiciones son:
1. El elemento sometido a tensión debe tener una sección transversal o
recta constante.
2. El material debe ser homogéneo.
3. La fuerza o carga debe ser axial, es decir, producir un esfuerzo

uniforme.
Por último, obsérvese que, como la deformación representa un cambio de
longitud dividido entre la longitud inicial, la deformación es una cantidad sin
dimensiones. No obstante, cuando se habla de deformaciones se emplean
unidades de metro por metro (m/m). En la práctica es frecuente encontrar
deformaciones del orden de 1.0 x 10-3
m/m.
1.7 ESFUERZOS LÍMITES
En la figura 1-6 se observa que, desde el origen O hasta un punto
llamado límite de proporcionalidad, el diagrama esfuerzo-deformación es un
segmento rectilíneo, de donde se deduce la tan conocida relación de
proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación. Se quiere hacer resaltar
que esta proporcionalidad no se extiende a todo el diagrama, si no que termina
en el límite de proporcionalidad, y más allá de este punto, el esfuerzo deja de ser
proporcional a la deformación. El límite de proporcionalidad tiene una gran
importancia, ya que toda la teoría subsiguiente respecto al comportamiento de
los sólidos elásticos está basada precisamente en la citada proporcionalidad
entre esfuerzos y deformaciones estableciendo, pues, un límite superior al
esfuerzo admisible que un material dado puede soportar. También proporciona
una primera indicación de por qué debe de ser el límite de proporcionalidad y no
el esfuerzo de ruptura el máximo esfuerzo al que un material puede ser
sometido.
Otros conceptos interesantes del diagrama esfuerzo-deformación son los
siguientes:
(1) El límite de elasticidad (o límite elástico) es el esfuerzo más allá del
cual el material no recupera totalmente su forma original al ser descargado, sino
que queda con una deformación residual llamada deformación permanente.
(2) El punto de fluencia es aquel en el que aparece un considerable
alargamiento o fluencia del material sin el correspondiente aumento de carga

que, incluso, puede disminuir mientras dura la fluencia. Sin embargo, el
fenómeno de la fluencia es característico del acero al carbono, mientras que hay
otros tipos de acero, aleaciones y otros metales y materiales diversos, en los que
no se manifiesta, como se observa en la figura 1-7, en donde se representa el
diagrama típico de diversos materiales. Esta forma de los diagramas es también
característica de la primera carga de piezas en las que los materiales tienen
esfuerzos residuales importantes, como consecuencia de ciertos tratamientos o
de sus procesos de fabricación, pero al cabo de sucesivas cargas y descargas,
los esfuerzos residuales van desapareciendo y la curva se hace prácticamente
recta, como se comprueba experimentalmente en el laboratorio.
(3) El límite aparente de proporcionalidad al 0.2% (o a otro tanto por
ciento), está estrechamente asociado al punto de fluencia. Se aplica este
concepto en aquellos materiales que no tienen un punto de fluencia bien
definido, o que carecen de él, mediante un procedimiento de equiparación con
los que sí lo tienen. Consiste en trazar una paralela a la tangente en el origen a
la curva partiendo de un valor normalizado (equivalente la deformación en el
límite de proporcionalidad de otros materiales) que suele tomarse del 1.2%, o
sea 0.002 m/m. Como se observa en la figura 1-8, la intersección de esta recta
con la curva esfuerzo-deformación define el punto considerado.
Figura 1-7. Comparación de diagramas de
distintos materiales.
Figura 1-8. Determinación del limite de
proporcionalidad al 0.2%.

(4) El esfuerzo último, o bien el límite de resistencia, es la máxima
ordenada de la curva esfuerzo-deformación.
(5) El punto de ruptura o el esfuerzo en el punto de ruptura, que en el
acero al carbono es algo menor que esfuerzo último, debido a que el esfuerzo en
este punto de ruptura se mide dividiendo la carga entre el área inicial de la
sección de la barra, lo que, aunque más cómodo, es incorrecto. El error es
debido al fenómeno denominado estricción. Próximo a tener lugar la ruptura, el
material se alarga muy rápidamente y al mismo tiempo se estrecha, en una parte
muy localizada de la probeta de forma que la carga, en el instante de la ruptura,
se distribuye realmente sobre una sección mucho más pequeña. Si la carga en
el momento de la ruptura se divide entre el área medida después de la fractura
se tiene el valor real del esfuerzo en el punto de ruptura, pero aunque es
bastante mayor que el esfuerzo último, se sigue tomando éste, en la mayoría de
los casos, como esfuerzo máximo del material.
1.8 ESFUERZO DE TRABAJO Y FACTOR O COEFICIENTE DE SEGURIDAD
El esfuerzo de trabajo es el esfuerzo real que soporta el material bajo la
acción de unas cargas, y no debe sobrepasar al esfuerzo admisible, que es el
máximo al que puede ser sometido el material, con un cierto grado de seguridad
en la estructura o elemento que se considere. En un diseño real, el esfuerzo
admisible σw ha de ser inferior al límite de proporcionalidad, con objeto de que
pueda aplicarse en todo momento la relación lineal entre esfuerzo y
deformaciones que establece la ley de Hooke, y en la que se basa toda la teoría
subsiguiente. Sin embargo, como es difícil determinar exactamente el límite de
proporcionalidad, se acostumbra tomar como base para fijar el esfuerzo
admisible el límite de fluencia (σyp) o, en su defecto, el esfuerzo último
dividiéndolos entre un número N, convenientemente elegido, que se llama factor
o coeficiente de seguridad:

yp
yp
N
σ
σ = o bien,
ult
ult
N
σ
σ = (1.4)
En el acero al carbono se toma como base para la determinación de σw el
punto de fluencia, ya que en él tiene lugar una deformación permanente de gran
magnitud y totalmente prohibitiva. En otros materiales, se suele considerar el
esfuerzo último como base para fijar el esfuerzo admisible.
Dada su importancia y los distintos factores a tener en cuenta, la
determinación del esfuerzo admisible debe hacerse por equipos de ingenieros
don experiencia. Los esfuerzos admisibles a emplear según los casos suelen
publicarse en numerosas especificaciones y normas de construcción. En el
breve examen de los factores que intervienen en la determinación de los
esfuerzos admisibles, empezaremos haciendo observar que en bastantes
materiales el límite de proporcionalidad está próximo a la mitad del valor del
esfuerzo último. A fin de evitar el peligro de sobrecargas accidentales, en el caso
de estructuras con cargas permanentes gradualmente aplicadas, se suele tomar
como esfuerzo admisible la mitad del límite de proporcionalidad. Al decir cargas
permanentes nos referimos al peso propio de la estructura o a las cargas que,
una vez aplicadas, ya no se van a suprimir. En este sentido, el coeficiente de
seguridad N basado en el límite de resistencia es 4, recomendable para
materiales que sean isótropos y homogéneos. Para otros materiales, como la
madera, en los que pueden existir imprevisibles faltas de homogeneidad (los
nudos) se deben considerar coeficientes de seguridad mayores. Los efectos
dinámicos de las fuerzas aplicadas bruscamente requieren también un mayor
coeficiente de seguridad. Estos, como vemos, no van a estar normalizados, ya
que no son siempre los mismos, y los esfuerzos admisibles han de ser elegidos
de acuerdo con la experiencia del diseñador relativa a los diferentes materiales y
condiciones en que vaya a ser utilizada la estructura o el elemento
correspondiente.

1.9 LEY DE HOOKE: DEFORMACIÓN AXIAL-DISTORSIÓN
Consideremos de nuevo el diagrama esfuerzo-deformación representado
en la figura 1-6, y observemos su parte rectilínea. La pendiente de la recta es la
relación entre el esfuerzo la deformación; se llama m6dulo de elasticidad y se
representa por la letra E:
Pendiente de la línea esfuerzo-deformación =
ε
σ
=
E
que se suele escribir en la forma ε
σ E
= (1.5)
que no expresa otra cosa que la conocida ley de Hooke. En principio, Hooke
sólo enunció la ley de que el esfuerzo es proporcional a la deformación. Fue
Thomas Young, en el año 1807, quien introdujo la expresión matemática con
una constante de proporcionalidad que se llamó6 modulo de Young. Finalmente,
este nombre se sustituyó por el de modulo de elasticidad módulo elástico que,
aunque da la impresión de que se trata de una medida de las propiedades
elásticas del material, es una medida de su rigidez. Un nombre mas apropiado
hubiera sido quizá el de “modulo de rigidez”.
De la ley de Hooke, ecuación (1.5), podemos ver que las unidades para el
módulo de elasticidad E son idénticas a las unidades para el esfuerzo σ
-recordemos que la deformación ε es una cantidad adimensional. Como ejemplo,
el módulo de elasticidad para el acero es aproximadamente 200 X 109
N/m2
(200
X 109
Pa). Si empleamos el prefijo G (léase "giga") del SI para representar
múltiplos de 109
, esto se puede expresar como 200 GN/m2
(200 GPa).
Otra forma de la expresión de la ley de Hooke, muy conveniente a veces,
es la que se obtiene al sustituir σ por su equivalente P/ A y ε por δ/ L, de modo
que la ecuación (1.5) resulta o lo que es igual,

E
L
AE
PL
L
E
A
P
σ
δ
δ
=
=
=
(1.6)
La expresión (1.6) relaciona la deformación total δ con la fuerza o carga
aplicada P, la longitud de la barra L, el área de la sección recta A y el módulo de
elasticidad E. La deformación total se obtiene en las mismas unidades que la
longitud L, ya que σ y E tienen las mismas unidades. Recalquemos que en la
validez de la expresión (1.6) hay que tener en cuenta las hipótesis siguientes:
1. La carga ha de ser axial.
2. La barra debe ser homogénea y de sección constante.
3. El esfuerzo no debe sobrepasar el límite de proporcionalidad.
2. DEFORMACIÓN ANGULAR (O POR CORTANTE) –DISTORSIÓN:
Las fuerzas cortantes producen una deformación angular o distorsión, de
la misma manera que las fuerzas axiales originan deformaciones longitudinales,
pero con una diferencia fundamental. Un elemento sometido a tensión
experimenta un alargamiento, mientras que un elemento sometido a una fuerza
cortante no varía la longitud de sus lados, manifestándose por el contrario un
cambio de forma, de rectángulo a paralelogramo como se observa en la figura 1-
9.
Figura 1-9. Deformación angular o distorsión.
El proceso puede imaginarse como producido por el desplazamiento

infinitesimal o resbalamiento de capas infinitamente delgadas del elemento unas
sobre otras, siendo la suma de estos infinitos resbalamientos infinitesimales la
deformación transversal total δs, en una longitud L.
La deformación angular media se obtiene dividiendo δ entre L. Por tanto,
tan γ= δs/L, figura 1-9; ahora bien, como γ es siempre muy pequeño, tan γ = γ
con lo que, que
ult
s
l
δ
γ = (1.7)
Para ser más precisos, la distorsión es la variación experimentada por el
ángulo entre dos caras perpendiculares de un elemento diferencial.
Suponiendo que la ley de Hooke también es válida en el cortante, existe
una relación lineal entre la distorsión y el esfuerzo cortante dado por:
γ
τ G
= (1.8)
en donde G es el m6dulo de elasticidad al cortante llamado a veces «módulo de
rigidez». La relación entre la deformación tangencial total y las fuerzas cortantes
aplicadas es
G
A
VL
S
s =
δ (1.9)
en donde V representa la fuerza cortante que actúa sobre la sección de área As
que la soporta. Obsérvese la semejanza de este resultado con la expresión
(1.6).
PROBLEMAS Nº 03
Determinar el alargamiento producido por una fuerza de 100 kN aplicada a una
barra plana de 20 mm de espesor y un ancho que varía gradual y linealmente
desde 20 mm hasta 40 mm en una longitud de 10 m, como se indica en la figura

2-6. Supóngase E = 200 X 109
N/m2
.
Solución:
Como el área de la sección transversal de la barra no es constante, la expresión
(1.6) no se puede aplicar directamente. Sin embargo, sí se puede utilizar para
hallar el alargamiento de una longitud diferencial para la que la sección pueda
considerarse constante. El alargamiento total será la suma de los alargamientos
infinitesimales.
En una sección m-n a una distancia x del extremo más estrecho, la
semianchura y es, por consideraciones geométricas,
mm
x
y
donde
x
y
)
20
4
(
10
20
60
20
+
=
−
=
−
Y el área de esta sección,
2
)
800
160
(
)
2
(
20 mm
x
y
A +
=
=
Por tanto la sección m-n en una longitud diferencial dx, el alargamiento se puede
obtener de la expresión (1.6):
)
10
200
)(
10
)(
800
160
(
)
10
100
(
9
6
3
×
+
×
= −
x
dx
dδ

800
160
500
.
0
+
=
x
dx
Por lo que el alargamiento es
( )
[ ]10
0
10
0
800
160
ln
160
500
.
0
800
160
500
.
0 +
=
+
= ∫ x
x
dx
δ
( ) mm
m 44
.
3
10
44
.
3
800
2400
ln
10
13
.
3 3
3
=
×
=
×
= −
−
2.1 RELACIÓN DE POISSON: ESTADOS DE DEFORMACIÓN BIAXIAL y
TRIAXIAL
Otro tipo de deformación elástica es la variación de las dimensiones
transversales que acompaña a toda tensión o compresión axial. En efecto, se
comprueba experimentalmente que si una barra se alarga por una tensión axial
sufre una reducción de sus dimensiones transversales. Poisson comprobó en el
año 1811 que la relación entre las deformaciones unitarias en estas direcciones
es constante, por debajo del límite de proporcionalidad. En recuerdo suyo, se ha
dado su nombre a esta relación, que se nombra con la letra griega ν (una
minúscula) y está definida por:
x
z
x
y
ε
ε
ε
ε
ν =
= (2)
Donde εx es la deformación debida solamente a un esfuerzo en la dirección X, y
εv y εx, son las deformaciones unitarias que se manifiestan en las direcciones
perpendiculares. El signo menos indica un acortamiento en las dimensiones
transversales cuando εx es positiva, como ocurre con un alargamiento producido

por tensión.
La relación de Poisson permite generalizar la aplicación de la ley de
Hooke al caso de esfuerzos biaxiales. Por ejemplo, si un elemento está sometido
simultáneamente a esfuerzos de tensión según los ejes X y Y, la deformación en
la dirección X debida a σx es σx /E pero, al mismo tiempo, el esfuerzo σy
producirá una contracción lateral en la dirección X de valor νσy/E, por lo que la
deformación resultante en la dirección X estará dada por:
E
E
y
x
x
σ
ν
σ
ε =
= (2.1)
análogamente, la deformación según la dirección Y es:
E
E
x
y
y
σ
ν
σ
ε =
= (2.2)
Resolviendo el sistema formado por (2.1) y (2.2) se obtienen los esfuerzos en
función de las deformaciones:
2
2
1
)
(
;
1
)
(
ν
νε
ε
σ
ν
νε
ε
σ
−
−
=
−
+
=
E
E
x
y
y
y
x
x
(2.3)
Más aún estas expresiones pueden todavía generalizarse al caso de
deformaciones por tensión triaxiales, obteniéndose:

( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
y
x
z
z
x
z
y
y
z
y
x
x
E
E
E
σ
σ
ν
σ
ε
σ
σ
ν
σ
ε
σ
σ
ν
σ
ε
+
−
=
+
−
=
+
−
=
1
1
1
(2.4)
Todas las expresiones anteriores son igualmente válidas cuando uno o varios
esfuerzos son de compresión, sin más que aplicar signos positivos a los
alargamientos y esfuerzos de tensión, y signos negativos a los acortamientos y
esfuerzos de compresión.
Una importantísima relación entre las constantes E, G y ν para un material
dado es:
( )
ν
+
=
1
2
E
G (2.5)
que se suele utilizar para determinar el valor de v cuando se conocen las
constantes E y G. Los valores más frecuentes de la relación de Poisson son 0.25
a 0.30 para el acero, 0.33 aproximadamente para otros muchos metales y 0.20
para el concreto.
Problema Nº 04
Un eje macizo de aluminio de 80 mm de diámetro se introduce
concéntricamente dentro de un tubo de acero. Determinar el diámetro interior del
tubo de manera que no exista presión alguna de contacto entre eje y tubo,
aunque el aluminio soporte una fuerza axial de compresión de 400 kN. Para el
aluminio ν =1/3 y Eo = 70 X 109
N/m2
Solución: La compresión axial en el aluminio es

=
=
A
P
σ ( )
2
2
3
6
.
79
080
.
0
4
10
400
m
MN
x −
=
×
−
=
π
σ
Para el esfuerzo unidireccional, la deformación transversal es:
m
m
E
y
x
x
y
6
9
6
10
379
10
70
10
6
.
79
3
1 −
×
=








×
×
−
−
=
=
−
=
ε
σ
ν
ν ε
ε
por lo que la holgura diametral que se requiere es:
( )( ) mm
L
y 0303
.
0
80
10
379 6
=
×
=
=
−
δ
ε
δ
El diámetro interior del tubo de acero se obtiene sumando el diámetro del eje de
aluminio a la holgura requerida
mm
80.0303
0.0303
80
D =
+
=
2.2 ESFUERZOS DE ORIGEN TÉRMICO
Es bien conocido el hecho de que los cambios de temperatura provocan
en los cuerpos dilataciones o contracciones, de manera que la deformación
lineal δT viene dada por
( )
T
L
T ∆
= α
δ
(2.6)
en donde α es el coeficiente de dilatación lineal, que se expresa en m/m*ºC, o
simplemente (ºC) -1
, L es la longitud y ∆T es la variación de temperatura en ºC.
Por la ecuación de dimensiones de la fórmula (2.6) se deduce que δT se expresa
en las mismas unidades que L.
Si no se impide la deformación debida a la temperatura, como ocurre en
los sistemas estáticamente determinados, no aparecerán esfuerzos en la

estructura, pero en multitud de casos no es posible evitar que las deformaciones
térmicas estén total o parcialmente impedidas. Como resultado de ello aparecen
fuerzas internas que contrarrestan, también parcial o totalmente, estas
deformaciones. Los esfuerzos originados por estas fuerzas internas se llaman
esfuerzos térmicos, o esfuerzos de origen térmico.
A continuación se indica el procedimiento general para determinar las
fuerzas y los esfuerzos originados cuando se impide la deformación térmica.
1. Se considera a la estructura descargada de toda fuerza aplicada y sin
ligaduras que impidan la libre deformación térmica. Representar en un esquema
estas deformaciones, ahora ya posibles, exagerando sus magnitudes.
2. Se aplica ahora a la estructura las fuerzas necesarias (desconocidas)
para que vuelva a las condiciones iniciales de restricción de movimientos.
Representar estas fuerzas en el esquema anterior.
3. Las relaciones geométricas entre las deformaciones debidas a la
temperatura y las debidas a las fuerzas aplicadas en el esquema proporcionan
unas ecuaciones que, junto con las de equilibrio estático, permiten determinar
las fuerzas desconocidas. Los ejemplos siguientes ilustran la aplicación de este
procedimiento a distintos casos.
PROBLEMA Nº 05
Una varilla de acero de 2.50 m de longitud está firmemente sujeta entre dos
muros. Si el esfuerzo en la varilla es nulo a 2O°C, determinar el esfuerzo que
aparecerá al descender la temperatura hasta -20°C. La sección es de 1200 mm2
,
σ= 11.7 μ.m/ (m*ºC), y E = 200 GN/m2
. Resolver el problema en los dos casos
siguientes: (a) Muros completamente rígidos e indeformables, y (b) muros que
ceden ligeramente, acortándose su distancia en 0.5 mm al descender la
temperatura de la barra.
Solución:
Caso a) Imaginemos que se suelta la varilla del muro derecho. En estas
condiciones puede producirse libremente la deformación térmica. El descenso

de temperatura origina una contracción, representada por δT en la figura 2-12.
Para volver a unir la varilla al muro, se necesitará aplicar a la varilla una fuerza
de tensión P que produzca una deformación por carga δ. Del esquema de
Figura 2-12. Muro rígido
deformaciones se deduce en este caso que δT =δ, o bien,
( )
E
L
AE
PL
L
T
σ
α =
=
∆
Donde
( )
2
2
6
-6
9
MN/m
93.6
N/m
10
93.6
)(40)
10
)(11.7
10
(200
=
×
=
×
×
=
∆
= T
L
α
σ
Obsérvese que la longitud L no interviene en la ecuación. Quiere esto decir que
el esfuerzo es independiente de la longitud y sólo depende de las características
físicas de la barra y de Ia variación de la temperatura, y no de sus características
geométricas.
Figura 2-13. Muro no rígido.

Caso b) Si el muro cede acercándose al otro, en la figura 2-13 se observa que la
contracción térmica libre es igual a la suma de la deformación debida a la carga
y del acercamiento de los muros. Es decir,
to
acercamien
p
T +
= δ
δ
Sustituyendo los valores de las deformaciones resulta:
( ) to
acercamien
E
L
T
L +
=
∆
σ
α
o bien
2
3
-
9
6
-
53.6MN/m
)
10
x
(0.5
-
10
200
(2.5)
-
)(2.5)(40)
10
x
(11.7
=
+
×
=
σ
σ
Obsérvese que en este caso, al ceder ligeramente los muros en una
cantidad fija, el esfuerzo se reduce considerablemente y la longitud de la barra
ya no desaparece de la ecuación como ocurría en el caso a).

BIBLIOGRAFIA
Ferdinand, S. (1982). Resistencia de los Materiales. (3era
Ed.). México: Harla
S.A. de C.V.
Profesor: Ing. Francisco J. Hernández
Resistencia de los Materiales (ADI UNEFM)

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