This shows how the problem of estimating the water budget can be seen as a probabilistic problem

1. Riccardo Rigon
L’idrogramma Istantaneo Unitario
Preliminari
TheGreatWaveoffKanagawa,Hokusai1823

2. Riccardo Rigon
2
Tempo di viaggio (travel time)
Un po’ di definizioni

3. Riccardo Rigon
3
Tempo di viaggio (travel time)
Un po’ di definizioni

4. Riccardo Rigon
4
Tempo di viaggio (travel time)
Un po’ di definizioni

5. Riccardo Rigon
5
Volume d’acqua
Precipitazioni
Outflows
Il bilancio di massa

6. Riccardo Rigon
6
injection time
actual time
Age-ranked functions

7. Riccardo Rigon
7
aged storage
Total storage
Age-ranked functions

8. Riccardo Rigon
aged discharge
8
Age-ranked functions

9. Riccardo Rigon
9
aged input
Age-ranked mass budget

10. Riccardo Rigon
10
Age-ranked mass budget
Il bilancio idrologico si può fare seguendo i volumi
entrati al tempo

11. Riccardo Rigon
11
(⇥)
IUH: unitarietà

12. Riccardo Rigon
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-4 -2 0 2 4
05101520
Delta function
t
density
IUH: unitarietà

13. Riccardo Rigon
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e’ la funzione impulso o “delta di Dirac”
Dirac’s delta
Se

14. Riccardo Rigon
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Integrando sul tempo
Age-ranked mass budget
Definiamo il volume di precipitazione
entrata al tempo ed uscita al tempo t

15. Riccardo Rigon
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Allora:
That’s so simple: “il volume di acqua presente
all’interno del bacino precipitato (generato,
iniettato), al tempo è uguale alla
precipitazione caduta al tempo meno il
volume di acqua (precipitata al tempo ) uscita
Age-ranked mass budget

16. Riccardo Rigon
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Si può osservare che
e quindi la frazione sopra si può considerare una probabilità di superamento,
condizionata su della quantità
che rappresenta il tempo di residenza
Forward probabilities

17. Riccardo Rigon
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Allora è anche:
Dunque:
Forward probabilities

18. Riccardo Rigon
18
Forward probabilities
Oppure, semplificando la notazione:
Derivando l’espressione si ottiene l’identità

19. Riccardo Rigon
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Ovvero
Dunque la portata (o la somma degli outflows) si può ottenere dalla
convoluzione della densità di probabilità dei tempi di residenza con
le precipitazioni.
Outflows

20. Riccardo Rigon
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Nella teoria classica dell’ idrogramma istantaneo unitario
La probabilità dei tempi di residenza è presa indipendente da :
IUH