1.
Funciones cuadráticas
PROF: SOCORRO MEDINAVELÁSQUEZ
S.L.M.V

2.
EN EDIFICACIONES
S.L.M.V

3.
S.L.M.V

4.
OBSERVA LAS IMÁGENES
S.L.M.V

5.
…Y MÁS PARABOLAS
S.L.M.V

6.
S.L.M.V

7.
Ejemplos:
a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1
b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2
a = 2, b = 3 y c = 1
a = 4, b = -5 y c = -2


S.L.M.V

8.
¿Qué es una función cuadrática? Es una relación que tiene la forma
donde a,b,c, pertenecen a los reales y a es diferente de cero.
• Una función que posee la forma de una ecuación cuadrática
• Ecuación cuadrática Función cuadrática
f(x)= ax2+bx+c
S.L.M.V

9.
S.L.M.V

10.
S.L.M.V

11.
Características y componentes
• Grafica
• Concavidad
• Intersecciones con los ejes
• Determinante
• Eje se simetría y vértice
S.L.M.V

12.
Gráfica de una parábola y vértice
• Las funciones en general se muestran en un plano bidimensional llamado
“Plano Cartesiano”,y su grafica es una parábola que no presenta cortes ni
saltos en dicho plano cada punto reside una coordenada de forma (x,y).
Tiene por vértice el punto máximo (abierta hacia abajo) o mínimo (abierta
hacia arriba), este punto coincide con su eje de simetría
S.L.M.V

13.
Concavidad y Discriminante
• Trata de la orientación de la curva de la parábola, también da cuenta de un
valor singular llamado máximo o mínimo dependiendo de la concavidad:
Vean la grafica de concavidad y discriminante:
Si a >0 Si a<0
S.L.M.V

14.
En una ecuación de segundo grado, el discriminante
Δ = b2 - 4ac
a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación
cuadrática tiene dos soluciones reales x1, x2 y distintas.
La parábola intersecta
en dos puntos al eje X.
Δ > 0
Discriminante
permite conocer la naturaleza de las raíces.
x1, x2 son reales y
x1 ≠ x2x2x1
S.L.M.V

15.
Discriminante y raices
S.L.M.V

16.
Intersección con los ejes
• Se les conoce con este nombre a los puntos donde la grafica de la función
interseca a los ejes Abscisa (x) y Ordenada (y), si bien se puede apreciar que
gráficamente se puede calcular mediante las siguientes formas.
x
y
x
y
cIntercepto con eje y
Interceptos con eje x
S.L.M.V

17.
Intersección con el ejeY
• Sea la función cuadrática: f(x)= ax2+bx+c, cuando la parábola intercepta al
ejeY , x = 0 y si reemplazamos este valor en la ecuación, obtenemos:
• y = a • 02 + b • 0 + c donde y = c
• Por lo tanto la intersección entre la parábola y el ejeY es el punto (0,c)
S.L.M.V

18.
Gráfica de una parábola al cambiar el coeficiente de
término cuadrático
S.L.M.V

19.
El valor de b en la función: f(x) = ax2 + bx + c permite saber
el movimiento horizontal de la parábola ( 0 )
b
a + -
+
-
1.3 Orientación:
S.L.M.V

20.
Eje de simetría y vértice
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice
de la parábola, y es paralela al eje Y.
x
y Eje de simetría
Vértice
El vértice de una parábola es el punto más alto o más
bajo de la curva, según sea su concavidad.
S.L.M.V

21.
Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces:
b) Su vértice es:
a) Su eje de simetría es:
2a 2a
V =
-b , f -b
4a
-b , 4ac – b2
2a
V =
-b
2a
x =
EJE DE SIMETRIAYVÉRTICE
S.L.M.V

22.
Desplazamientos de la parábola
S.L.M.V

23.
Otros desplazamientos el el eje x
S.L.M.V

24.
S.L.M.V

25.
i) y =a(x-h)² significa que la función se movió a la derecha,
h unidades
Si y=ax² una función cuadrática cualquiera.
ii) y =a(x+h)² significa que la función se movió a la izquierda,
h unidades.
iii) y=a(x-h)² + k significa que la función se movió a la
derecha y k unidades hacia arriba
iv) y=a(x + h)² - k significa que la función se movió a la
izquierda y k unidades hacia abajo.
Obs: h y k corresponden a las coordenadas del vértice V(h,k)
Traslación de una Función Cuadrática:
S.L.M.V

26.
Por ejemplo: ¿Cuál es el gráfico de la función:
a) f(x)= (x – 1)2 – 6 b) f(x)= -(x + 1)2 + 2
-1
2V(-1,2)
-6
1
V(1,-6)
S.L.M.V

27.
RESUMEN : La gráfica de la función:
f(x) = ax 2 + bx +c
es una parábola con vértice V(h,k) y eje vertical.
La parábola es cóncava hacia arriba si a > 0, o
cóncava hacia abajo si a < 0.
Así el vértice se puede hallar con :
a
b
h
2

 k = f(h)
Sea V(h,k) el vértice de una función cuadrática f , entonces:
- f(h) = k es el máximo valor de f
cuando a<0.
- f(h) = k es el mínimo valor de f
cuando a>0.
S.L.M.V

28.
Por ejemplo: Hallemos el vértice de la función cuadrática f(x)= -x2 -4x + 12
S.L.M.V

29.
Hallar el vértice
S.L.M.V

30.
Tabulación y gráfica de la función
S.L.M.V

31.
Seguimos practicando:
S.L.M.V

32.
HALLA LAS COORDENADAS DEL VÉRTICE
2·1
-2
x =
En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8,
entonces:
V = ( -1, f(-1) )
a) Su eje de simetría es:
x = -1
b) Su vértice es:
V = ( -1, -9 )
2a
-b
x =
-b , f -b
2a 2a
V =
 


S.L.M.V

33.
x2
x
y
x1
Determina las coordenadas de las raices
En la función, f(x)=x2 - 3x - 4 = 0 la ecuación asociada es
: x2 - 3x - 4 = 0 , y tiene raíces -1 y 4.
Luego, la parábola intersepta al eje X en esos puntos.
S.L.M.V

34.
DOMINIO Y RECORRIDO:
 Dominio: El dominio de cualquier función cuadrática
siempre será IR.
Dom f = IR
 Recorrido:
Dependerá de la concavidad de la parábola:
 Sí es cóncava hacia arriba, (a>0) es:
ó
 Sí es cóncava hacia abajo, (a<0) es:
ó
S.L.M.V

35.
Tipos de Ecuaciones cuadráticas:
Incompleta Pura: ax2 + c = 0 ,con b=0
Sus soluciones son:
1
c
ax  
2
c
ax   
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación 4x2 - 36 = 0
4x2 = 36 /:4
x2 = 36/4
/√x2 = 9
x =±3
x1 = 3
x2 = -3
Tipos de Ecuaciones de 2° Grado y sus raíces:
S.L.M.V

36.
función Incompleta : ax2 + bx = 0 ,con c=0
Sus soluciones son:
x1 = 0
x2 = 5/2
x1 =0
x2 = -b/a
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación 6x2 - 15x = 0
De acuerdo a la ecuación tenemos que a=6 y b=-15
x = -(-15)/6 Simplificamos por /:3
x =5/2
S.L.M.V

37.
Fórmula para determinar sus soluciones (raíces) es:
- b ± b2 – 4ac
2a
x =
Ejemplo: Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0
-(-3) ± (-3)2 – 4·1(- 4)
2
x =
3 ± 9 + 16
2
x =
Funcion Completa por la fórmula general:
ax2 + bx +c = 0
Se obtiene el valor de: a=1, b=-3 y c=-4 y se reemplazan
en la fórmula dada:
S.L.M.V

38.
3 ± 25
2
x =
2
x = 3 ± 5
2
x = 8
2
x = -2
x1 = 4 x2 = -1
También se puede obtener las raíces de la ecuación
factorizando como producto de binomios:
x2 - 3x - 4 = 0
(x - 4)(x + 1) = 0
(x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0
x1 = 4 x2 = -1

S.L.M.V

39.
Propiedades de las raíces
Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo
grado de la forma ax2 + bx + c = 0, entonces:
-b
a
x1 + x2 =
c
a
x1 · x2 =
Δ
a
x1 - x2 =
1)
2)
3)
Dadas las raíces o soluciones de una ecuación de segundo
grado, se puede determinar la ecuación asociada a ellas.
(x – x1)(x – x2) = 0
4)
S.L.M.V

40.
S.L.M.V

41.
ACTIVIDADES DE REFORZAMIENTO A REALIZAR ENTU PORTAFOLIO
S.L.M.V

42.
S.L.M.V

43.
S.L.M.V