..........................

1. PREPARAÇÃO PARA TESTE GLOBAL|27 DE MAIO
1. Considera a função 𝑓, definida ℝ, por 𝑓(𝑥) = 2|𝑥 + 3| − 5.
1.1. Determina:
1.1.1. 𝑓(−4);
𝑓(−4) = 2|−4 + 3| − 5 = 2 × |−1| − 5 = 2 − 5 = −3
1.1.2. 𝑓(6).
𝑓(6) = 2|6 + 3| − 5 = 2 × |9| − 5 = 18 − 5 = 13
1.2. Estuda a função 𝑓 quanto à monotonia, extremos e zeros.
𝑓(𝑥) = 𝑎|𝑥 − 𝑏| + 𝑐
𝑓(𝑥) = 2|𝑥 + 3| − 5
O vértice é (−3, −5) e 𝑎 = 2 > 0
𝐷´
= [−5, +∞[
A função 𝑓 tem um mínimo absoluto que é −5 e minimizante −3
A função 𝑓 é decrescente em ]−∞, −3] e é crescente em [−3, +∞[
𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 2|𝑥 + 3| − 5 = 0 ⟺ 2|𝑥 + 3| = 5 ⟺ |𝑥 + 3| =
5
2
⟺ 𝑥 + 3 =
5
2
∨ 𝑥 + 3 = −
5
2
⟺
⟺ 𝑥 =
5
2
− 3 ∨ 𝑥 = −
5
2
− 3 ⟺ 𝑥 =
5
2
−
6
2
∨ 𝑥 = −
5
2
−
6
2
⟺ 𝑥 = −
1
2
∨ 𝑥 = −
11
2
Zeros: − e −
1.3. Resolve a condição
1.3.1. 𝑓(𝑥) > 7
2|𝑥 + 3| − 5 > 7 ⟺ 2|𝑥 + 3| > 7 + 5 ⟺ 2|𝑥 + 3| > 12 ⟺ |𝑥 + 3| > 6
⟺ 𝑥 + 3 > 6 ∨ 𝑥 + 3 < −6 ⟺ 𝑥 > 6 − 3 ∨ 𝑥 < −6 − 3 ⟺ 𝑥 > 3 ∨ 𝑥 < −9
𝐶. 𝑆. = ]−∞, −9[ ∪ ]3, +∞[
1.3.2. 𝑓(𝑥) = −3
2|𝑥 + 3| − 5 = −3 ⟺ 2|𝑥 + 3| = −3 + 5 ⟺ 2|𝑥 + 3| = 2 ⟺ |𝑥 + 3| = 1
⟺ 𝑥 + 3 = 1 ∨ 𝑥 + 3 = −1 ⟺ 𝑥 = 1 − 3 ∨ 𝑥 = −1 − 3 ⟺ 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = −4
𝐶. 𝑆. = {−4, −2}
1.4. Define analiticamente a função 𝑓 por ramos.
𝑓(𝑥) = 2|𝑥 + 3| − 5
𝑓(𝑥) =
2(𝑥 + 3) − 5 𝑠𝑒 𝑥 + 3 ≥ 0
2[−(𝑥 + 3)] − 5 𝑠𝑒 𝑥 + 3 < 0
⟺ 𝑓(𝑥) =
2𝑥 + 6 − 5 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −3
2(−𝑥 − 3) − 5 𝑠𝑒 𝑥 < −3
⟺ 𝑓(𝑥) =
2𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −3
−2𝑥 − 6 − 5 𝑠𝑒 𝑥 < −3
⟺ 𝑓(𝑥) =
2𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −3
−2𝑥 − 11 𝑠𝑒 𝑥 < −3
1.5. Indica:
1.5.1. o contradomínio da função 𝑎(𝑥) = −𝑓(𝑥 + 2) − 3.

2. 𝐷´
= [−5, +∞[, logo 𝐷´
= ]−∞, 2]
1.5.2. o contradomínio da função 𝑏(𝑥) = 2𝑓(𝑥) + 1.
𝐷´
= [−5, +∞[, logo 𝐷´
= [−9, +∞[
1.5.3. os zeros da função 𝑐(𝑥) = 3𝑓(𝑥 − 4).
Os zeros da função 𝑓 são − e − , logo os zeros da função 𝑐 são: e
Cálculos auxiliares: − + 4 = − + = e − + 4 = − + =
1.5.4. o intervalo ou a união de intervalos em que é negativa a função 𝑑(𝑥) = −2𝑓 𝑥 + .
os zeros da função 𝑑 são: −9 e −4
Cálculos auxiliares: − − = − = −9 e − − = − = −4
𝑑(𝑥) < 0: ]−∞, −9[ ∪ ]−4, +∞[
2. Na figura estão representados, em referencial ortonormado 𝑂𝑥𝑦𝑧, três cubos, cada um deles
com 4 cm de aresta.
Sabe-se que:
 o ponto 𝐹 pertence ao eixo 𝑂𝑥;
 os pontos 𝐻 e 𝐼 pertencem ao eixo 𝑂𝑦;
 os pontos 𝐶 e 𝑁 pertencem ao eixo 𝑂𝑧;
Como os cubos têm 4 cm de aresta, então as coordenadas
dos pontos são as seguintes:
𝐴(4, −4, −4); 𝐵(4, 0, −4); 𝐶(0, 0, −4); 𝐷(0, −4, −4);
𝐸(4, −4, 0); 𝐹(4, 0, 0); 𝐺(4, 4, 0); 𝐻(0, 4, 0); 𝐼(0, −4, 0);
𝐽(4, −4, 4); 𝐾(4, 0, 4); 𝐿(4, 4, 4); 𝑀(0, 4, 4);
𝑁(0, 0, 4); 𝑃(0, −4, 4)
2.1. Escreve as coordenadas do vetor 𝐴𝑁
⃗ + 𝑁𝐺
⃗.
1º processo: 𝐴𝑁
⃗ + 𝑁𝐺
⃗ = (−4, 4, 8) + (4, 4, −4) = (0, 8, 4)
𝐴𝑁
⃗ = 𝑁 − 𝐴 = (0, 0, 4) − (4, −4, −4) = (−4, 4, 8)
𝑁𝐺
⃗ = 𝐺 − 𝑁 = (4, 4, 0) − (0, 0, 4) = (4, 4, −4)
2º processo: 𝐴𝑁
⃗ + 𝑁𝐺
⃗ = 𝐴𝐺
⃗ = 𝐺 − 𝐴 = (4, 4, 0) − (4, −4, −4) = (0, 8, 4)
2.2. Determina −3𝑃𝐹
⃗ − 2𝐿𝑁
⃗ .
−3𝑃𝐹
⃗ − 2𝐿𝑁
⃗ = (−4) + (−4) + 12 = √16 + 16 + 144 = √176 = 4√11
𝑃𝐹
⃗ = 𝐹 − 𝑃 = (4, 0, 0) − (0, −4, 4) = (4, 4, −4)
𝐿𝑁
⃗ = 𝑁 − 𝐿 = (0, 0, 4) − (4, 4, 4) = (−4, −4, 0)
−3𝑃𝐹
⃗ − 2𝐿𝑁
⃗ = −3(4, 4, −4) − 2(−4, −4, 0) = (−12, −12, 12) + (8, 8, 0) = (−4, −4, 12)
𝐴 𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝑂
𝐼
𝐽
𝑥
𝑦
𝑧
𝐺
𝐻
𝐿
𝑀
𝐾
𝑁
𝑃

3. 2.3. Define por uma condição:
2.3.1. a reta 𝐶𝐷; 𝑥 = 0 ∧ 𝑧 = −4
2.3.2. a face [𝐺𝐻𝐿𝑀]. 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 ∧ 𝑦 = 4 ∧ 0 ≤ 𝑧 ≤ 4
2.4. Escreve uma equação vetorial da reta 𝐷𝐺.
𝐷𝐺: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4, 4, 0) + 𝑘(4, 8, 4), 𝑘 ∈ ℝ ou 𝐷𝐺: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, −4, −4) + 𝑘(4, 8, 4), 𝑘 ∈ ℝ
𝐷𝐺
⃗ = 𝐺 − 𝐷 = (4, 4, 0) − (0, −4, −4) = (4, 8, 4)
2.5. Determina uma equação do plano mediador de [𝐹𝑀].
𝐹(4, 0, 0) e 𝑀(0, 4, 4)
(𝑥 − 4) + (𝑦 − 0) + (𝑧 − 0) = (𝑥 − 0) + (𝑦 − 4) + (𝑧 − 4)
⟺ (𝑥 − 4) + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 − 4) + (𝑧 − 4)
⟺ 𝑥 − 8𝑥 + 16 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − 8𝑦 + 16 + 𝑧 − 8𝑧 + 16 ⟺ −8𝑥 = −8𝑦 + 16 − 8𝑧
⟺ −8𝑥 + 8𝑦 − 16 + 8𝑧 = 0 ⟺ −𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0
2.6. Determina a equação reduzida da superfície esférica de diâmetro [𝐴𝑁].
𝐴(4, −4, −4) e 𝑁(0, 0, 4)
Seja 𝑇 o ponto médio de [𝐴𝑁] e o centro da superfície esférica
𝑇
4 + 0
2
,
−4 + 0
2
,
−4 + 4
2
=
4
2
,
−4
2
,
0
2
= (2, −2, 0)
𝑑( , ) = (2 − 4) + −2 − (−4) + 0 − (−4) = (−2) + 2 + 4 = √4 + 4 + 16 = √24 = 2√6
(𝑥 − 2) + (𝑦 + 2) + 𝑧 = 24
3. No referencial ortonormado da figura estão
representadas duas funções 𝑓 e 𝑔, definidas,
respetivamente, por: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 − 2 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 7.
Sabe-se que:
 os pontos 𝐴 e 𝐵 são pontos de interseção dos
gráficos das funções 𝑓 e 𝑔;
 o ponto 𝐴 tem coordenadas (−3, 4);
 o ponto 𝐶 é o ponto de intersecção do gráfico da
função 𝑓 com o eixo 𝑂𝑦;
 o ponto 𝐷 é o ponto de intersecção do gráfico da
função 𝑔 com o eixo 𝑂𝑦
3.1. Determina as coordenadas do ponto 𝐵.
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 − 2 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 7
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑥 + 𝑥 − 2 = 𝑥 + 7
⟺ 𝑥 + 𝑥 − 2 − 𝑥 − 7 = 0 ⟺ 𝑥 − 9 = 0 ⟺ 𝑥 = 9 ⟺ 𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 3
𝐵 3, 𝑔(3) logo 𝑔(3) = 3 + 7 = 10. Assim, 𝐵(3, 10)
𝑥
𝐷
𝐶
𝐵
𝐴
𝑦
𝑂
𝑓
𝑔
−3
4

4. 3.2. Determina a área do triângulo [𝐴𝐶𝐷].
𝑔(0) = 0 + 7 = 7, ou seja, 𝐷(0, 7)
𝑓(0) = 0 + 0 − 2 = −2, ou seja, 𝐶(0, −2)
𝐴[ ] =
3 × 9
2
=
27
2
= 13,5
4. Considera a função 𝑓, de domínio ℝ, definida por:
𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 24𝑥 + 32
4.1. Escreve 𝑓(𝑥) na forma 𝑎(𝑥 − ℎ) + 𝑘, 𝑎 ∈ ℝ{0} e indica os intervalos de monotonia.
𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 24𝑥 + 32
4𝑥 − 24𝑥 + 32 = 4(𝑥 − 6𝑥) + 32 = 4(𝑥 − 6𝑥 + 3 − 3 ) + 32 = 4(𝑥 − 6𝑥 + 3 ) − 36 + 32
4(𝑥 − 6𝑥 + 9) − 4 = 4(𝑥 − 3) − 4
Assim, 𝑓(𝑥) = 4(𝑥 − 3) − 4 e a função é decrescente em ]−∞, 3] e crescente em [3, +∞[
4.2. Resolve a seguinte inequação 𝑓(𝑥) ≤ 12.
𝑓(𝑥) ≤ 12
𝑓(𝑥) ≤ 12 ⟺ 4𝑥 − 24𝑥 + 32 ≤ 12 ⟺ 4𝑥 − 24𝑥 + 32 − 12 ≤ 0 ⟺ 4𝑥 − 24𝑥 + 20 ≤ 0
𝑥 =
24 ± (−24) − 4 × 4 × 20
2 × 4
⟺ 𝑥 =
24 ± √576 − 320
8
⟺ 𝑥 =
24 ± √256
8
⟺ 𝑥 =
24 ± 16
8
⟺ 𝑥 =
40
8
∨ 𝑥 =
8
8
⟺ 𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = 1
𝑥 ∈ [1, 5]
5. Considera a função real de variável real definida por 𝑔(𝑥) = 2|𝑥 − 1| − 6.
5.1. Exprime 𝑔(𝑥) sem usar o símbolo de valor absoluto e indique o contradomínio de 𝑔.
𝑔(𝑥) = 2|𝑥 − 1| − 6
𝑔(𝑥) =
⎩
⎨
⎧ 2(𝑥 − 1) − 6 𝑠𝑒 𝑥 − 1 ≥ 0
2 −(𝑥 − 1) − 6 𝑠𝑒 𝑥 − 1 < 0
𝑔(𝑥) =
⎩
⎨
⎧2𝑥 − 2 − 6 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
−2𝑥 + 2 − 6 𝑠𝑒 𝑥 < 1
𝑔(𝑥) =
⎩
⎨
⎧ 2𝑥 − 8 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
−2𝑥 − 4 𝑠𝑒 𝑥 < 1
O contradomínio da função é 𝐷 = [−6; +∞[.
5.2. Determina, sob a forma de intervalo, os valores de 𝑥 para os quais 𝑔(𝑥) < 4.
𝑔(𝑥) < 4 ⟺ 2|𝑥 − 1| − 6 < 4 ⟺ 2|𝑥 − 1| < 4 + 6 ⟺ 2|𝑥 − 1| < 10 ⟺ |𝑥 − 1| <
10
2
⟺ |𝑥 − 1| < 5

5. ⟺ 𝑥 − 1 < 5 ∧ 𝑥 − 1 > −5 ⟺ 𝑥 < 5 + 1 ∧ 𝑥 > −5 + 1 ⟺ 𝑥 < 6 ∧ 𝑥 > −4
𝑥 ∈ ]−4, 6[
6. Em relação a um referencial ortonormado (𝑂, 𝑒⃗, 𝑒⃗), considere:
 a reta 𝑟: (𝑥, 𝑦) = (2, 1) + 𝑘(6, −2), 𝑘 ∈ ℝ;
 a reta 𝑠: −4𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0;
 os pontos 𝑃(3, −1) e 𝑄(−1, −3).
6.1. Indique as coordenadas de três pontos da reta 𝑟.
𝑟: (𝑥, 𝑦) = (2, 1) + 𝑘(6, −2), 𝑘 ∈ ℝ
(𝑥, 𝑦) = (2, 1) + (6𝑘, −2𝑘) ⟺ (𝑥, 𝑦) = (2 + 6𝑘, 1 − 2𝑘)
Para 𝑘 = −1; (𝑥, 𝑦) = 2 + 6 × (−1), 1 − 2 × (−1) ⟺ (𝑥, 𝑦) = (2 − 6, 1 + 2) ⟺ (𝑥, 𝑦) = (−4, 3).
Assim, 𝑃 (−4,3)
Para 𝑘 = 0; (𝑥, 𝑦) = (2 + 6 × 0, 1 − 2 × 0) ⟺ (𝑥, 𝑦) = (2 + 0, 1 − 0) ⟺ (𝑥, 𝑦) = (2, 1). Assim, 𝑃 (2, 1)
Para 𝑘 = 2; (𝑥, 𝑦) = (2 + 6 × 2, 1 − 2 × 2) ⟺ (𝑥, 𝑦) = (2 + 12, 1 − 4) ⟺ (𝑥, 𝑦) = (14, −3). Assim,
𝑃 (14, −3)
6.2. Escreva uma equação vetorial da reta 𝑡 paralela à reta 𝑟 e que passe no ponto 𝑃.
𝑟: (𝑥, 𝑦) = (2, 1) + 𝑘(6, −2), 𝑘 ∈ ℝ e 𝑃(3, −1)
Como a reta 𝑡 é paralela à reta 𝑟 podemos usar o mesmo vetor (retas paralelas têm o mesmo
declive).
𝑡: (𝑥, 𝑦) = (3, −1) + 𝑘(6, −2), 𝑘 ∈ ℝ
6.3. Escreva uma equação reduzida da reta 𝑃𝑄.
1º Processo: 𝑃(3, −1) e 𝑄(−1, −3)
𝑃𝑄
⃗ = 𝑄 − 𝑃 = (−1, −3) − (3, −1) = (−1 − 3, −3 + 1) = (−4, −2)
𝑃𝑄: (𝑥, 𝑦) = (3, −1) + 𝑘(−4, −2), 𝑘 ∈ ℝ
(𝑥, 𝑦) = (3, −1) + 𝑘(−4, −2) ⟺ (𝑥, 𝑦) = (3, −1) + (−4𝑘, −2𝑘) ⟺ (𝑥, 𝑦) = (3 − 4𝑘, −1 − 2𝑘)
𝑥 = 3 − 4𝑘
𝑦 = −1 − 2𝑘
⟺
𝑥 − 3 = −4𝑘
𝑦 + 1 = −2𝑘
⟺
−𝑥 + 3 = 4𝑘
−𝑦 − 1 = 2𝑘
⟺
𝑘 =
−𝑥 + 3
4
𝑘 =
−𝑦 − 1
2
−𝑦 − 1
2
=
−𝑥 + 3
4
⟺ 4(−𝑦 − 1) = 2(−𝑥 + 3) ⟺ −4𝑦 − 4 = −2𝑥 + 6
⟺ −4𝑦 = −2𝑥 + 6 + 4 ⟺ −4𝑦 = −2𝑥 + 10
⟺ 𝑦 =
−2𝑥
−4
+
10
−4
⟺ 𝑦 =
𝑥
2
−
5
2
⟺ 𝑦 =
1
2
𝑥 −
5
2
Assim, 𝑃𝑄: 𝑦 = 𝑥 −
2º Processo: 𝑃(3, −1) e 𝑄(−1, −3)
𝑃𝑄
⃗ = 𝑄 − 𝑃 = (−1, −3) − (3, −1) = (−1 − 3, −3 + 1) = (−4, −2)
Equação reduzida da reta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, onde 𝑚 é o declive da reta e 𝑏 a ordenada na origem

6. Tendo o vetor 𝑢
⃗ = (𝑢 , 𝑢 ) o declive obtém-se 𝑚 = , 𝑢 ≠ 0
𝑃𝑄
⃗ = (−4, −2), logo 𝑚 = ⟺ 𝑚 =
Usando, por exemplo, o ponto 𝑄(−1, −3)
𝑦 =
1
2
𝑥 + 𝑏
( , )
− 3 =
1
2
× (−1) + 𝑏 ⟺ −3 = −
1
2
+ 𝑏 ⟺ 𝑏 = −3 +
1
2
⟺ 𝑏 = −
6
2
+
1
2
⟺ 𝑏 = −
5
2
Assim, 𝑃𝑄: 𝑦 = 𝑥 −
6.4. Determine as coordenadas do ponto 𝑀, ponto de interseção entre a reta 𝑟 e a reta 𝑠.
𝑟: (𝑥, 𝑦) = (2, 1) + 𝑘(6, −2), 𝑘 ∈ ℝ.
Equação reduzida (𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏) da reta 𝑟
𝑚 = −
2
6
⟺ 𝑚 = −
1
3
𝑦 = −
1
3
𝑥 + 𝑏
( , )
1 = −
1
3
× 2 + 𝑏 ⟺ 1 = −
2
3
+ 𝑏 ⟺ 1 = −
2
3
+ 𝑏 ⟺ 𝑏 = 1 +
2
3
⟺ 𝑏 =
5
3
𝑟: 𝑦 = −
1
3
𝑥 +
5
3
Equação reduzida (𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏) da reta 𝑠
𝑠: −4𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0
−4𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0 ⟺ 2𝑦 = 4𝑥 + 8 ⟺ 𝑦 =
4𝑥
2
+
8
2
⟺ 𝑦 = 2𝑥 + 4
Interseção entre as retas 𝑟 e 𝑠
𝑦 = −
1
3
𝑥 +
5
3
𝑦 = 2𝑥 + 4
⟺
2𝑥 + 4 = −
1
3
𝑥 +
5
3
_______________________
⟺
6𝑥
3
+
12
3
= −
1
3
𝑥 +
5
3
_______________________
⟺
6𝑥 + 12 = −𝑥 + 5
_____________________
⟺
6𝑥 + 𝑥 = −12 + 5
_____________________
⟺
7𝑥 = −7
__________
⟺
𝑥 = −1
________
⟺
𝑥 = −1
𝑦 = 2 × (−1) + 4
⟺
𝑥 = −1
𝑦 = −2 + 4
⟺
𝑥 = −1
𝑦 = 2
⟺ 𝑀(−1, 2)
6.5. Determine a área do triângulo [𝑂𝐴𝐵], onde 𝑂 é a origem do referencial e os pontos 𝐴 e 𝐵 são
os pontos de interseção da reta 𝑠 com, respetivamente, o eixo 𝑂𝑥 e o eixo 𝑂𝑦.
𝑠: −4𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0 ⟺ 𝑦 = 2𝑥 + 4
Eixo 𝑂𝑥
𝑦 = 2𝑥 + 4 0 = 2𝑥 + 4 ⟺ 2𝑥 = −4 ⟺ 𝑥 = −2
𝐴(−2, 0)
Eixo 𝑂𝑦
𝑦 = 2𝑥 + 4 𝑦 = 2 × 0 + 4 ⟺ 𝑦 = 4
𝐵(0, 4)
𝑨
𝑩
𝒙
𝒚
𝑶
𝑦 = 2𝑥 + 4

7. 𝐴∆ =
𝐴𝑂 × 𝐵𝑂
2
⟺ 𝐴∆ =
2 × 4
2
⟺ 𝐴∆ =
8
2
⟺ 𝐴∆ = 4
7. Em relação ao referencial o. m. 𝑂𝑥𝑦 da figura, considere os pontos 𝐴(−1, 4), 𝐵(−3, −4), 𝐶(5, −2)
e 𝐷(4, 2).
7.1. Define, através de uma equação, a circunferência de centro em 𝐶 e que contenha 𝐷.
𝐶𝐷 é igual ao raio da circunferência
𝐶𝐷 = (5 − 4) + (−2 − 2)
⟺ 𝐶𝐷 = 1 + (−4)
⟺ 𝐶𝐷 = √1 + 16
⟺ 𝐶𝐷 = √17
(𝑥 − 5) + (𝑦 + 2) = √17
(𝑥 − 5) + (𝑦 + 2) = 17
7.2. Mostra que a mediatriz de [𝐴𝐶] é definida pela equação 𝑦 = 𝑥 − 1 e verifica se o ponto 𝐵
pertence à mediatriz.
Mediatriz do segmento de reta [𝐴𝐶]; pontos 𝑃(𝑥, 𝑦), 𝐴(−1, 4), 𝐶(5, −2)
𝑃𝐴 = 𝑃𝐶
(𝑥 + 1) + (𝑦 − 4) = (𝑥 − 5) + (𝑦 + 2)
⟺ (𝑥 + 1) + (𝑦 − 4) = (𝑥 − 5) + (𝑦 + 2)
⟺ 𝑥 + 2𝑥 + 1 + 𝑦 − 8𝑦 + 16 = 𝑥 − 10𝑥 + 25 + 𝑦 + 4𝑦 + 4
⟺ 2𝑥 + 1 − 8𝑦 + 16 = −10𝑥 + 25 + 4𝑦 + 4
⟺ 2𝑥 − 8𝑦 + 17 = −10𝑥 + 4𝑦 + 29
⟺ 2𝑥 − 8𝑦 + 17 + 10𝑥 − 4𝑦 − 29 = 0
⟺ 12𝑥 − 12𝑦 − 12 = 0
⟺ 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
⟺ −𝑦 = −𝑥 + 1
⟺ 𝑦 = 𝑥 − 1 equação da mediatriz do segmento de reta [𝐴𝐶]
𝑦 = 𝑥 − 1
( , )
− 4= −3 − 1 ⟺ −4 = −4, o ponto 𝐵 pertence à mediatriz
7.3. Mostra que o triângulo [𝐵𝐶𝐷] é rectângulo e classifique-o quanto aos lados.
𝐵(−3, −4), 𝐶(5, −2), 𝐷(4, 2)
𝐵𝐶 = (−3 − 5) + (−4 + 2)
⟺ 𝐵𝐶 = (−8) + (−2)
⟺ 𝐵𝐶 = √64 + 4
𝑨
𝑩
𝑪
𝑫
𝒙
𝒚
𝑶
𝑨
𝑩
𝑪
𝑫
𝒙
𝒚
𝑶
𝑨
𝑩
𝑪
𝑫
𝒙
𝒚
𝑶

8. ⟺ 𝐵𝐶 = √68
𝐶𝐷 = (5 − 4) + (−2 − 2)
⟺ 𝐶𝐷 = 1 + (−4)
⟺ 𝐶𝐷 = √1 + 16
⟺ 𝐶𝐷 = √17
𝐵𝐷 = (−3 − 4) + (−4 − 2)
⟺ 𝐵𝐶 = (−7) + (−6)
⟺ 𝐵𝐶 = √49 + 36
⟺ 𝐵𝐶 = √85
Como todos os lados do triângulo têm comprimento diferente, o triângulo [𝐵𝐶𝐷] quanto aos lados é
escaleno.
𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 = 𝐵𝐷
⟺ √68 + √17 = √85
⟺ 68 + 17 = 85
⟺ 85 = 85
O triângulo [𝐵𝐶𝐷], quanto à amplitude dos ângulos, é retângulo.
7.4. Determina as coordenadas do vetor −3𝐴𝐷
⃗ + 𝐵𝐶
⃗.
𝐴(−1, 4), 𝐵(−3, −4), 𝐶(5, −2), 𝐷(4, 2)
𝐴𝐷
⃗ = 𝐷 − 𝐴 = (4, 2) − (−1, 4) = (4 + 1, 2 − 4) = (5, −2)
𝐴𝐷
⃗ = (5, −2)
𝐵𝐶
⃗ = 𝐶 − 𝐵 = (5, −2) − (−3, −4) = (5 + 3, −2 + 4) = (8, 2)
𝐵𝐶
⃗ = (8, 2)
−3𝐴𝐷
⃗ + 𝐵𝐶
⃗ = −3(5, −2) + (8, 2) = (−15, 6) + (8, 2) = (−15 + 8, 6 + 2) = (−7, 8)
−3𝐴𝐷
⃗ + 𝐵𝐶
⃗ = (−7, 8)
7.5. Determina 𝐴𝐷
⃗ .
𝐴(−1, 4), 𝐷(4, 2)
𝐴𝐷
⃗ = 𝐷 − 𝐴 = (4, 2) − (−1, 4) = (4 + 1, 2 − 4) = (5, −2)
𝐴𝐷
⃗ = 5 + (−2) = √25 + 4 = √29

9. 8. Na figura encontra-se representada graficamente a função 𝑓.
8.1. Indique o domínio, o contradomínio e os zeros da função 𝑓.
Domínio: 𝐷 = [−4; 6]; Contradomínio: 𝐷 = [−2; 2]; Zeros de 𝑓: −3, 2 e 5
8.2. Indique, caso existam, os extremos absolutos da função 𝑓.
O máximo absoluto é o 2. O mínimo absoluto é o −2.
8.3. Construa o quadro de sinais e o quadro de variação da função 𝑓.
Quadro de sinais
𝑥 −4 −3 2 5 6
𝑓(𝑥) − − 0 + 0 − 0 + +
Quadro de variação
𝑥 −4 −2 −1 1 3 6
𝑓(𝑥) −1 ↗ 1 → 1 ↗ 2 ↘ −2 ↗ 1
8.4. Indique o conjunto-solução da condição 𝑓(𝑥) ≤ −1.
𝑓(𝑥) ≤ −1 ⟺ 𝑥 ∈ {−4} ∪ [2,5;4]
8.5. Determine o valor de 𝑓(1) − 𝑓(−4).
𝑓(1) − 𝑓(−4) = 2 − (−1) = 2 + 1 = 3
𝒙
𝒚
𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔
−𝟐 −𝟏
−𝟒 −𝟑
𝟐
𝟏
−𝟏
−𝟐
𝒙
𝒚
𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔
−𝟐 −𝟏
−𝟒 −𝟑
𝟐
𝟏
−𝟏
−𝟐

10. 9. No referencial o. m. 𝑥𝑂𝑦 da figura, estão representados três pontos e uma circunferência.
Sabe-se que:
 a circunferência tem centro em 𝐶(3, −1) e raio 2;
 os pontos 𝐴 e 𝐵 tem, respectivamente, coordenadas (−4, 2) e (−1, −3);
9.1. Defina por uma condição a região colorida.
Círculo de centro em 𝐶(3, −1) e raio 2: (𝑥 − 3) + (𝑦 + 1) ≤ 2 ⟺ (𝑥 − 3) + (𝑦 + 1) ≤ 4
Região colorida: (𝑥 − 3) + (𝑦 + 1) ≤ 4 ∧ (𝑥 ≥ 3 ∨ 𝑦 ≥ −1)
9.2 Determine a equação reduzida da reta 𝐴𝐵.
1º Processo: 𝐴(−4, 2) e 𝐵(−1, −3)
𝐴𝐵
⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (−1, −3) − (−4, 2) = (−1 + 4, −3 − 2) = (3, −5)
𝐴𝐵: (𝑥, 𝑦) = (−4, 2) + 𝑘(3, −5), 𝑘 ∈ ℝ
(𝑥, 𝑦) = (−4, 2) + 𝑘(3, −5) ⟺ (𝑥, 𝑦) = (−4, 2) + (3𝑘, −5𝑘) ⟺ (𝑥, 𝑦) = (−4 + 3𝑘, 2 − 5𝑘)
𝒙
𝒚
𝟎 𝟏 𝟓 𝟔
−𝟐 −𝟏
−𝟒 −𝟑
𝟐
𝟏
−𝟏
−𝟐
−𝟑
−𝟒
𝟐 𝟑 𝟒
𝑪
𝑨
𝑩
𝒙
𝒚
𝟎 𝟏 𝟓 𝟔
−𝟐 −𝟏
−𝟒 −𝟑
𝟐
𝟏
−𝟏
−𝟐
−𝟑
−𝟒
𝟐 𝟑 𝟒
𝑪
𝑨
𝑩

11. 𝑥 = −4 + 3𝑘
𝑦 = 2 − 5𝑘
⟺
𝑥 + 4 = 3𝑘
𝑦 − 2 = −5𝑘
⟺
𝑘 =
𝑥 + 4
3
𝑘 =
𝑦 − 2
−5
𝑦 − 2
−5
=
𝑥 + 4
3
⟺ 3(𝑦 − 2) = −5(𝑥 + 4) ⟺ 3𝑦 − 6 = −5𝑥 − 20
⟺ 3𝑦 = −5𝑥 − 20 + 6 ⟺ 3𝑦 = −5𝑥 − 14
⟺ 𝑦 =
−5𝑥
3
−
14
3
⟺ 𝑦 = −
5
3
𝑥 −
14
3
Assim, 𝐴𝐵: 𝑦 = − 𝑥 −
2º Processo: 𝐴(−4, 2) e 𝐵(−1, −3)
𝐴𝐵
⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (−1, −3) − (−4, 2) = (−1 + 4, −3 − 2) = (3, −5)
Equação reduzida da reta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, onde 𝑚 é o declive da reta e 𝑏 a ordenada na origem
Tendo o vetor 𝑢
⃗ = (𝑢 , 𝑢 ) o declive obtém-se 𝑚 = , 𝑢 ≠ 0
𝐴𝐵
⃗ = (3, −5), logo 𝑚 = ⟺ 𝑚 = −
Usando, por exemplo, o ponto 𝐴(−4, 2)
𝑦 = −
5
3
𝑥 + 𝑏
( , )
2 = −
5
3
× (−4) + 𝑏 ⟺ 2 =
20
3
+ 𝑏 ⟺ 𝑏 = 2 −
20
3
⟺ 𝑏 =
6
3
−
20
3
⟺ 𝑏 = −
14
3
Assim, 𝐴𝐵: 𝑦 = − 𝑥 −
9.3. Determine uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto 𝐵 e é paralela à reta 𝐴𝐶.
𝐴(−4, 2), 𝐵(−1, −3) e 𝐶(3, −1)
𝐴𝐶
⃗ = 𝐶 − 𝐴 = (3, −1) − (−4, 2) = (3 + 4, −1 − 2) = (7, −3)
Duas retas paralelas têm o mesmo declive, logo para definir uma reta paralela à reta 𝐴𝐶 usa-se o
mesmo vetor da reta 𝐴𝐶, ou seja, 𝐴𝐶
⃗ = (7, −3) (um vetor que lhe seja colinear)
Uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto 𝐵 e é paralela à reta 𝐴𝐶, será, (𝑥, 𝑦) = 𝐵 +
𝑘𝐴𝐶
⃗, 𝑘 ∈ ℝ
𝒙
𝒚
𝟎 𝟏 𝟓 𝟔
−𝟐 −𝟏
−𝟒 −𝟑
𝟐
𝟏
−𝟏
−𝟐
−𝟑
−𝟒
𝟐 𝟑 𝟒
𝑪
𝑨
𝑩

12. Assim, (𝑥, 𝑦) = (−1, −3) + 𝑘(7, −3), 𝑘 ∈ ℝ
9.4. Determine 𝐶𝑀
⃗ , sendo 𝑀 o ponto médio do segmento de reta [𝐴𝐵].
𝐴(−4, 2), 𝐵(−1, −3) e 𝐶(3, −1)
𝑀
−4 − 1
2
,
2 − 3
2
𝑀 −
5
2
, −
1
2
𝐶𝑀
⃗ = 𝑀 − 𝐶 = −
5
2
, −
1
2
− (3, −1) = −
5
2
− 3, −
1
2
+ 1 = −
5
2
−
6
2
, −
1
2
+
2
2
= −
11
2
,
1
2
𝐶𝑀
⃗ = −
11
2
+
1
2
⟺ 𝐶𝑀
⃗ =
121
4
+
1
4
⟺ 𝐶𝑀
⃗ =
122
4
⟺ 𝐶𝑀
⃗ =
√122
2
9.5. Determine a área do triângulo [𝑂𝑅𝑆], considerando 𝑂 a origem do referencial e 𝑅 e 𝑆 os
pontos de interseção da mediatriz do segmento de reta [𝐴𝐵] com, respetivamente, o eixo 𝑂𝑥 e o
eixo 𝑂𝑦.
Mediatriz do segmento de reta [𝐴𝐵]; pontos 𝑃(𝑥, 𝑦), 𝐴(−4, 2) e 𝐵(−1, −3)
𝑃𝐴 = 𝑃𝐵
(𝑥 + 4) + (𝑦 − 2) = (𝑥 + 1) + (𝑦 + 3)
⟺ (𝑥 + 4) + (𝑦 − 2) = (𝑥 + 1) + (𝑦 + 3)
⟺ 𝑥 + 8𝑥 + 16 + 𝑦 − 4𝑦 + 4 = 𝑥 + 2𝑥 + 1 + 𝑦 + 6𝑦 + 9
⟺ 8𝑥 + 16 − 4𝑦 + 4 = 2𝑥 + 1 + 6𝑦 + 9
⟺ 8𝑥 − 4𝑦 + 20 = 2𝑥 + 6𝑦 + 10
⟺ 8𝑥 − 4𝑦 + 20 − 2𝑥 − 6𝑦 − 10 = 0
⟺ 6𝑥 − 10𝑦 + 10 = 0
⟺ 3𝑥 − 5𝑦 + 5 = 0
⟺ −5𝑦 = −3𝑥 − 5
𝒙
𝒚
𝟎 𝟏 𝟓 𝟔
−𝟐 −𝟏
−𝟒 −𝟑
𝟐
−𝟏
−𝟐
−𝟑
−𝟒
𝟐 𝟑 𝟒
𝑪
𝑨
𝑩
𝟏
segmento de reta 𝑨𝑩 →
mediatriz de [𝑨𝑩] →
𝑹
𝑺
𝑶

13. ⟺ 𝑦 =
−3
−5
𝑥 −
5
−5
⟺ 𝑦 = 𝑥 + 1 equação da mediatriz do segmento de reta [𝐴𝐵]
Interseção da mediatriz com o eixo 𝑂𝑥
𝑦 =
3
5
𝑥 + 1 ∧ 𝑦 = 0 ⟺ 0 =
3
5
𝑥 + 1 ⟺ −
3
5
𝑥 = 1 ⟺ −3𝑥 = 5 ⟺ 𝑥 = −
5
3
Assim, 𝑅 − , 0 .
Interseção da mediatriz com o eixo 𝑂𝑦
𝑦 =
3
5
𝑥 + 1 ∧ 𝑥 = 0 ⟺ 𝑦 =
3
5
× 0 + 1 ⟺ 𝑦 = 0 + 1 ⟺ 𝑦 = 1
Assim, 𝑆(0, 1).
𝐴[ ] =
𝑂𝑅 × 𝑂𝑆
2
𝐴[ ] =
5
3 × 1
2
⟺ 𝐴[ ] =
5
3
2
⟺ 𝐴[ ] =
5
6
10. Considera os polinómios seguintes:
 𝐴(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 − 1
 𝐵(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 + 1
 𝐶(𝑥) = 2𝑥 − 4
10.1. Determina uma forma reduzida do polinómio 𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) × 𝐶(𝑥).
𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) × 𝐶(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 − 1 − (𝑥 − 3𝑥 + 1) × (2𝑥 − 4)
𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) × 𝐶(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 − 1 − (2𝑥 − 4𝑥 − 6𝑥 + 12𝑥 + 2𝑥 − 4)
𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) × 𝐶(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 − 1 − 2𝑥 + 4𝑥 + 6𝑥 − 12𝑥 − 2𝑥 + 4
𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) × 𝐶(𝑥) = 𝑥 − 4𝑥 + 10𝑥 − 12𝑥 + 3
10.2. Determina o resto da divisão de 𝐴(𝑥) por 𝑥 − 5, sem efetuar a divisão.
Teorema do Resto
𝐴(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 − 1 ⟺ 𝐴(5) = 5 − 2 × 5 + 2 × 5 − 1 ⟺ 𝐴(5) = 625 − 2 × 125 + 10 − 1
⟺ 𝐴(5) = 625 − 250 + 9 ⟺ 𝐴(5) = 625 − 250 + 9 ⟺ 𝐴(5) = 375 + 9 ⟺ 𝐴(5) = 384
10.3. Determina o polinómio quociente e polinómio resto da:
10.3.1. divisão inteira de 𝐴(𝑥) por 𝐵(𝑥), utilizando o algoritmo da divisão inteira;
𝑥 −2𝑥 0𝑥 2𝑥 −1 𝑥 − 3𝑥 + 1
−𝑥 +3𝑥 −𝑥 𝑥 + 𝑥 + 2
𝑥 −𝑥 2𝑥 −1
−𝑥 +3𝑥 −𝑥
2𝑥 𝑥 −1
−2𝑥 6𝑥 −2 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 + 2
7𝑥 −3 𝑅(𝑥) = 7𝑥 − 3
𝑹 𝑶
𝑺
𝟓
𝟑
𝟏

14. 10.3.2. divisão inteira de 𝐴(𝑥) por 𝐶(𝑥), utilizando a Regra de Ruffini.
1 −2 0 2 −1 2𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2
⟺ 𝑄(𝑥) = (𝑥 + 2) ⟺ 𝑄(𝑥) = + 1
2 2 0 0 4
1 0 0 2 3 𝑅(𝑥) = 3
11. Considere os seguintes polinómios:
 𝐴(𝑥) = 𝑥 − 𝑥
 𝐵(𝑥) = 3𝑥 − 4𝑥 + 2
 𝐶(𝑥) = 𝑥 − 3
11.1 Determine na forma reduzida e ordenada os polinómios:
11.1.1 𝐴(𝑥) − 2 × 𝐵(𝑥);
𝐴(𝑥) − 2 × 𝐵(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 2 × (3𝑥 − 4𝑥 + 2) = 𝑥 − 𝑥 − 6𝑥 + 8𝑥 − 4 = −6𝑥 − 𝑥 + 9𝑥 − 4
11.1.2 𝐵(𝑥) × 𝐶(𝑥).
𝐵(𝑥) × 𝐶(𝑥) = (3𝑥 − 4𝑥 + 2) × (𝑥 − 3) = 3𝑥 − 9𝑥 − 4𝑥 + 12𝑥 + 2𝑥 − 6
= 3𝑥 − 9𝑥 − 4𝑥 + 14𝑥 − 6
11.2. Determine o resto da divisão de 𝐵(𝑥) por 𝑥 + 2, sem efetuar a divisão.
𝐵(𝑥) = 3𝑥 − 4𝑥 + 2 𝐵(−2) = 3 × (−2) − 4 × (−2) + 2
⟺ 𝐵(−2) = 3 × (−8) + 8 + 2 ⟺ 𝐵(−2) = −24 + 10 ⟺ 𝐵(−2) = −14
11.3. Determine o polinómio-quociente e polinómio-resto da:
11.3.1. divisão inteira de 𝐵(𝑥) por 𝐴(𝑥), utilizando o algoritmo da divisão inteira;
3𝑥 0𝑥 −4𝑥 2 −𝑥 + 𝑥
−3𝑥 +3𝑥 −3𝑥 − 3
+3𝑥 −4𝑥 −2 𝑄(𝑥) = −3𝑥 − 3
−3𝑥 +3𝑥 𝑅(𝑥) = −𝑥 − 2
−𝑥 −2
11.3.2. divisão inteira de 𝐵(𝑥) por 𝐶(𝑥), utilizando a Regra de Ruffini.
3 0 −4 2
𝑄(𝑥) = 3𝑥 + 9𝑥 + 23
3 9 27 69
3 9 23 71 𝑅(𝑥) = 71