Teoria fundamental do motor de indução

IVO BARBI
TEORIA
FUNDAMENTAL DO
MOTOR DE INDUÇÃO
d
q
EDIÇÃO DO
AUTOR

CAPÍTULO
1
INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONVERSÃO
ELETROMECÂNICA DE ENERGIA
1.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo pode ser considerado introdutório. Nele são estabelecidos os
princípios sobre os quais serão desenvolvidos os capítulos seguintes.
Serão modelados alguns sistemas simples, nos quais ocorre transformação de
energia elétrica em mecânica ou vice-versa.
O estudo desses sistemas permitirão estabelecer os princípios básicos que
explicam os fenômenos associados à conversão eletromecânica de energia.
Os resultados obtidos serão genéricos e serão empregados no
desenvolvimento dos demais capítulos, nos quais serão estabelecidos os modelos da
máquina de indução.
As máquinas cuja conversão eletromecânica de energia dependa da presença
de campos elétricos serão excluídas deste texto, visto que não apresentam interesse
para o estudo da máquina de indução.
1.2 CIRCUITO R - L
Consideremos a Fig. 1.1. Nela está representado um sistema constituído por
uma bobina enrolada sobre um bastão de material magnético. Na Fig. 1.2 está
representado o circuito equivalente do sistema. Nela aparece a indutância da bobina e
a resistência do fio.

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA
Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com
v
Fig. 1.1 – Circuito magnético simples.
L
v
R
i
+
-
vR
+ -vL
Fig. 1.2 – Circuito elétrico equivalente.
Empregando a teoria de circuitos elétricos, pode-se estabelecer as equações
(1.1) e (1.2) que relacionam as tensões e a corrente do circuito.
R Lv v v= + (1.1)
di
v Ri L
dt
= + (1.2)
Multiplicando-se todos os membros da equação (1.2) por i, obtém-se a
equação (1.3)
2 di
vi Ri Li
dt
= + (1.3)
mas
21
d Li
di 2
Li
dt dt
 
 
 = (1.4)
Assim
2
2
1
d Li
2
vi Ri
dt
 
 
 = + (1.5)
Na expressão (1.5) tem-se as seguintes grandezas:
Vi → potência instantânea fornecida pela fonte ao circuito;

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 3
2
Ri → potência instantânea dissipada na resistência do
circuito;
2
Li
2
1
→ energia instantânea armazenada no campo
magnético;
21
d Li
2
dt
 
 
  → velocidade instantânea de crescimento da energia no
campo magnético. Esta grandeza tem a dimensão de
potência.
É preciso ter em mente que no sistema apresentado na Fig. 1.1, não existe
conversão eletromecânica de energia. Toda energia fornecida pela fonte é
transformada em calor e acumulada no campo magnético. Neste caso, somente a
equação (1.5) representa o comportamento do sistema apresentado.
1.3 MÁQUINA ELEMENTAR A DESLOCAMENTO LINEAR
Considerando-se a Fig. 1.3, semelhante a Fig. 1.1, mas com uma diferença
fundamental: possibilidade de haver movimento relativo entre a bobina e o seu núcleo.
Desta forma existe a possibilidade de variação do valor da indutância. A indutância da
bobina é função de x, posição relativa entre ela e o seu núcleo.
v
x
i
L(x)
Fig. 1.3 – Circuito magnético sujeito a uma força
mecânica externa.
L(x)
v
R
i
+
-
vR
+ -vL
Fig. 1.4 – Circuito elétrico equivalente.

O circuito equivalente encontra-se representado na Fig. 1.4. Empregando-se a
teoria de circuitos elétricos, obtém-se a expressão (1.6)
R Lv v v= + (1.6)
d
v Ri
dt
φ
= + (1.7)
( )ixL=φ (1.8)
Assim:
( )( )d L x i
v Ri
dt
= + (1.9)
como L(x) e i são variáveis, obtém-se:
( )
( )dL xdi
v Ri L x i
dt dt
= + + (1.10)
Multiplicando-se todos os membros da expressão (1.10) por i obtém-se a
expressão (1.11)
( )
( )2 2 dL xdi
vi = Ri + L x i +i
dt dt
(1.11)
( )
( )
( )
2
2
1
d L x i
dL xdi 12
= L x i + i
dt dt 2 dt
 
 
  (1.12)
( )
( ) ( )
2
2
1
d L x i
dL xdi 12
L x i = - i
dt dt 2 dt
 
 
  (1.13)
Levando-se a expressão (1.13) na expressão (1.11) obtém-se a expressão
(1.14):

( ) ( ) ( )
2
2 2 2
1
d L x i
dL x dL x12
vi = Ri + - i +i
dt 2 dt dt
 
 
  (1.14)
Assim:
( )
( )
2
2 2
L x i
d
2 dL x1
vi = Ri + + i
dt 2 dt
 
 
  (1.15)
Observamos que a expressão (1.15) possui o termo
( )
dt
xdL
i
2
1 2
a mais em
relação a expressão (1.5). Esse termo existe como conseqüência da variação da
indutância do sistema e representa a diferença entre a potência fornecida pela fonte e
as potências dissipadas na resistência do circuito e armazenada no campo magnético.
Assim:
( ) ( ) 2
2 2
1
d L x i
dL x1 2
i = vi - Ri +
2 dt dt
  
  
  
 
 
 
(1.16)
Este termo corresponde à potência elétrica convertida em potência mecânica.
Portanto:
( )
dt
xdL
i
2
1
dt
dx
FP 2
cme == (1.17)
( ) ( )dL x dL x dx
=
dt dx dt
(1.18)
Assim:
( )2 dL x1
F = i
2 dx
(1.19)
A expressão (1.19) é muito importante e estabelece o princípio básico da
conversão eletromecânica de energia. Estabelece que uma força é produzida quando a

indutância é variável com o deslocamento. Este princípio explica o funcionamento de
todos os sistemas nos quais ocorre conversão eletromecânica de energia.
O sistema representado na Fig. 1.1 possui uma só variável dependente, a
corrente do circuito. Por isto o seu comportamento é representado apenas pela
expressão (1.2). O sistema representado na Fig. 1.3 possui duas variáveis
dependentes, a corrente e a posição relativa entre o núcleo e a bobina. Por esta razão
a equação (1.10) não basta para representar o seu comportamento.
Deve-se obter a equação mecânica do sistema para completar o modelo.
Considerando-se a Fig. 1.5
v
x
i
L(x)R
F
F
F
F
i
e
a
Fig. 1.5 – Circuito magnético simples com possibilidade de deslocamento do núcleo.
dt
dx
DFa = ⇒ é a força de atrito.
2
2
i
dt
xd
mF = ⇒ é a força de inércia.
eF ⇒ é a força externa aplicada sobre o núcleo
( )2 dL x1
F = i
2 dx
⇒ é a força elétrica.
O equilíbrio mecânico estabelece que:
aie FFFF ++= (1.20)
Reunindo-se as equações elétrica e mecânica, obtém-se o modelo completo
representado pelas equações (1.21) e (1.22):

( ) 2
2
e2
dL x1 dx d x
i - D - m = F
2 dx dt dt
(1.21)
( ) ( ) V
dt
xdL
i
dt
di
xLRi =++ (1.22)
Como entradas ou variáveis independentes temos a tensão e a força externa.
Como saídas ou variáveis dependentes temos a posição relativa x e a corrente i.
Como parâmetros do sistema temos o coeficiente de atrito D, a massa do
núcleo m, a resistência da bobina R e a sua indutância L(x).
Podemos representar o sistema de acordo com a Fig. 1.6.
- Parâmetros
- Modelo
SISTEMAv(t)
Fe(t)
x(t)
i(t)
Fig. 1.6 – Representação por bloco do sistema de equações.
O sistema estudado, com a sua aparente simplicidade é representado por um
modelo relativamente complexo, na medida em que é não-linear e de difícil, senão
impossível, tratamento analítico.
1.4 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM UM ROLAMENTO.
TORQUE DE RELUTÂNCIA
Consideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.7:

R
L( )
Rotor
0
d
q
θ
θ
+
-
v
Fig. 1.7 – Representação da máquina elétrica elementar de um enrolamento.
O rotor desta máquina elementar pode girar em torno do eixo “O”. Quando o
rotor se desloca em relação à bobina, a indutância da bobina L(θ) varia.
Por analogia com o sistema apresentado na Fig. 1.5, podemos obter a equação
elétrica do sistema, representado pela expressão (1.23):
( ) ( )
dt
dL
i
dt
di
LRiV
θ
+θ+= (1.23)
Do mesmo modo podemos estabelecer a expressão do torque elétrico
produzido pelo sistema
( )
dt
dL
i
2
1
dt
d
TP 2
mec
θ
=
θ
= (1.24)
Assim:
( )2 dLd 1 d
T = i
dt 2 d dt
θθ θ
θ
(1.25)
Portanto:
( )2 dL1
T = i
2 d
θ
θ
(1.26)
A expressão (1.26) estabelece uma relação entre o torque produzido sobre o
rotor e a variação da indutância própria do enrolamento. É preciso enfatizar que para o

sistema apresentado, o torque depende da variação da indutância própria do
enrolamento.
A variação da indutância é decorrente da variação da relutância segundo o eixo
da bobina, com o deslocamento angular do rotor. Por isto é denominado torque de
relutância.
Analisando-se a variação da indutância própria da bobina com a posição,
constata-se que ela assume valores máximos quando θ é igual a 0o
e 180o
, assume
valores mínimos quando θ é igual a 90o
e 270o
.
Pode-se representar ( )θL de acordo com a Fig. 1.8:
90 135 1800 270
2 Lm
L0
45
L( )
θ
θ
Lq
Ld
Fig. 1.8 – Variação da indutância própria da bobina em função do ângulo θ.
Tal função pode geralmente ser representada com boa precisão pela
expressão (1.27):
( ) 0m L2cosLL +θ=θ (1.27)
Neste caso, em que a função L( )θ é conhecida, a expressão do torque pode
ser obtida numa forma mais adequada ao uso.
Levando-se a expressão (1.27) em (1.26) obtém-se a expressão (1.28):
( )0m
2
L2cosL
dt
d
i
2
1
T +θ= (1.28)
Assim, em módulo:
θ= 2seniLT 2
m (1.29)

De acordo com a Fig. 1.8, as indutâncias de eixo direto e quadratura assumem
os valores representados pelas expressões (1.30) e (1.31):
m0d LLL += (1.30)
m0q LLL +−=− (1.31)
Assim:
2
LL
L
qd
m
−
= (1.32)
( )
θ
−
= seni
2
LL
T 2qd
(1.33)
A expressão (1.33) traduz o fato de que o torque só existe na medida em que
as indutâncias de eixo direto e quadratura sejam diferentes. Pode-se ainda representar
a expressão do torque em função da relutância de eixo direto e quadratura, Rd e Rq.
Sabe-se que:
d
2
d
R
n
L = (1.34)
q
2
q
R
n
L = (1.35)
onde n representa o número de espiras da bobina. Assim:
θ⋅








−= 2seni
R
1
R
1
2
n
T 2
qd
2
(1.36)
Deste modo:
θ⋅








⋅
−
= 2seni
RR
RR
2
n
T 2
qd
dq
2
(1.37)
Se o rotor for cilíndrico, tem-se que Rd = Rq e o torque produzido é nulo.

Resta-nos ainda representar o modelo completo da máquina elementar
representada na Fig. 1.7.
A equação mecânica é representada pela expressão (1.38):
iea TTTT ++= (1.38)
Assim, o modelo completo fica representado pelas equações (1.39) e (1.40).
( ) 2
2
e
2
dL1 d d
i - D - J = T
2 d dt dt
θ θ θ
θ
(1.39)
( )
( )dLdi
Ri + L +i = v
dt dt
θ
θ (1.40)
A representação do sistema em bloco aparece na Fig. 1.9.
MÁQUINA
v(t)
Te(t)
i(t)
ELEMENTAR (t)θ
Fig. 1.9 – Representação de máquina elementar de um enrolamento com as variáveis de entrada e saída.
A tensão de alimentação e o torque externo de carga são variáveis
independentes. A corrente e a posição angular são as variáveis dependentes.
O princípio aqui exposto é de grande importância prática. Basta lembrar o
elevado número de equipamentos que nele se baseiam: motores a relutância,
instrumentos de medição do tipo ferro móvel, etc.
1.5 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS.
TORQUE DE EXCITAÇÃO
Considerando a máquina elementar representada na Fig. 1.10. Admitindo que
os dois enrolamentos S e R estejam situados sobre peças cilíndricas de sorte que as

suas indutâncias próprias sejam independentes da posição. Em tal estrutura, somente
a indutância mútua entre os dois enrolamentos depende da posição.
S
R
v
+
-
S
vR
+
-
i S
iR
θ
Fig. 1.10 – Representação física de máquina elementar relativa de dois enrolamentos.
As equações elétricas deste sistema, estabelecidas por inspeção estão
representadas a seguir:
( ) ( )( )SR RS S
S S S
d M id L i
v = R i + +
dt dt
θ
(1.41)
( ) ( )( )SR SR R
R R R
d M id L i
v = R i + +
dt dt
θ
(1.42)
LS e LR são as indutâncias próprias.
MSR é a indutância mútua existente entre os enrolamentos.
Desenvolvendo-se as expressões (1.41) e (1.42), obtém-se as expressões
(1.43) e (1.44).
( )
( )SRS R
S S S S R SR
dMdi di
v = R i + L +i + M
dt dt dt
θ
θ (1.43)
( )
( )SR SR
R R R R S SR
dM didi
v = R i + L +i + M
dt dt dt
θ
θ (1.44)
Multiplicando-se a expressão (1.43) por iS e (1.44) por iR, obtém-se as
expressões (1.45) e (1.46).

( )
( )2 SRS R
S S S S S S S R S SR S
dMdi di
P = v i = R i + L i +i i + M i
dt dt dt
θ
θ (1.45)
( )
( )2 SR SR
R R R R R R R S R SR R
dM didi
P = v i = R i + L i +i i + M i
dt dt dt
θ
θ (1.46)
PS e PR representam as potências instantâneas fornecidas pelas fontes dos
enrolamentos.
A potência total será:
SR PPP += (1.47)
Assim:
( )
( )
( )
( )
2 SRS R
S S S S R S SR S
2 SR SR
R R R R S R SR R
dMdi di
P = R i + L i +i i + M i +
dt dt dt
dM didi
+R i + L i +i i + M i
dt dt dt
θ
θ
θ
θ
(1.48)
Sabemos que:
( )
( ) ( )
( )
2 2
S S R R SR S R
SRS SR R
S S R R SR S SR R S R
d 1 1
L i + L i + M i i =
dt 2 2
dMdi didi di
= L i + L i + M i + M i + i i
dt dt dt dt dt
 
θ 
 
θ
θ θ
(1.49)
Portanto:
( ) ( )
( )
( ) ( )
SRS SR R
S S R R SR S SR R S R
2 2
S S R R SR S R
SR
S R
dMdi didi di
L i + L i + M i + M i + 2i i =
dt dt dt dt dt
1 1
d L i + L i + M i i
dM2 2
= + i i
dt dt
θ
θ θ
 
θ  θ 
(1.50)
Portanto a potência total passa a ser representada pela expressão (1.51):
( ) ( )2 2
S S R R SR S R
2 2 SR
S S R R S R
1 1
d L i + L i + M i i
dM 2 2
P = R i + R i + i i +
dt dt
 
θ θ   (1.51)

Seja:
2 2
r S S R RP =R i +R i (1.52)
( )2 2
S S R R SR S R
L
1 1
d L i + L i + M i i
2 2
P =
dt
 
θ 
  (1.53)
rP representa a potência dissipada nos resistores.
LP representa a potência acumulada no campo magnético.
Assim:
( )SR
mec S R
dM
P = i i
dt
θ
(1.54)
mecP representa a quantidade de potência elétrica convertida em potência
mecânica. Isto decorre do fato que a potência fornecida é igual à potência dissipada,
mais a potência acumulada, mais a potência convertida.
Por outro lado:
dt
d
TPmec
θ
= (1.55)
Assim:
( )SR
S R
dMd d
T = i i
dt d dt
θθ θ
θ
(1.56)
Então a expressão do torque será:
( )SR
S R
dM
T = i i
d
θ
θ
(1.57)
A expressão (1.57) traduz o fato de que há torque eletromagnético se a
indutância mútua variar com o deslocamento angular.
O torque originado pela variação de indutância mútua é denominado torque de
excitação. É ele que explica o funcionamento da maior parte das máquinas elétricas,

como o motor de indução, o motor síncrono com excitação e o motor de corrente
contínua.
A indutância mútua entre os enrolamentos representados na Fig. 1.10, pode
ser estabelecida de diversas maneiras. A simples inspeção indica que ela é máxima
para θ = 0 , nula para θ = π/2 e θ = 3π/2 e mínima para θ = π. A sua variação pode
então ser representada graficamente segundo Fig. 1.11.
3
2
M
π
2 π
π
2
π
0
θ
M ( )SR θ
Fig. 1.11 – Variação da indutância mútua entre os enrolamentos em função de θ.
É possível representá-la com boa precisão pela expressão (1.58).
( ) θ=θ cosMM 0SR (1.58)
Portanto o torque, em módulo, fica representado pela expressão (1.59).
θ= seniiMT RS0 (1.59)
A representação gráfica é mostrada na Fig. 1.12:
2
M i i
π
2 π π3
2 π
0
θ
T
R S
Fig. 1.12 – Variação do torque em função do ângulo θ.

Com as informações até aqui conseguidas, podemos estabelecer o modelo
completo do sistema em questão. Basta para isto agrupar as equações elétrica e
mecânica.
Seja:
iae TTTT ++= (1.60)
Assim o modelo completo é representado pelas expressões (1.61), (1.62) e
(1.63):
( ) 2
SR
e S R 2
dM d d
T = i i - D - J
d dt dt
θ θ θ
θ
(1.61)
( )
( )SRS R
S S S S R SR
dMdi di
v = R i + L +i + M
dt dt dt
θ
θ (1.62)
( )
( )SR SR
R R R R S SR
dM didi
v = R i + L +i + M
dt dt dt
θ
θ (1.63)
A máquina possui como variáveis independentes, vS, vR e Te. Como variáveis
dependentes as correntes iS , iR e o deslocamento angular θ.
A representação em bloco está mostrada na Fig. 1.13.
MÁQUINA
v (t)
Te(t)
v (t)
S
R i (t)
(t)θ
i (t)
S
R
Fig. 1.13 – Representação da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos com as variáveis de entrada e
saída.

1.6 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS.
ROTOR COM PÓLOS SALIENTES
Consideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.14. A indutância
própria do enrolamento estatórico e a mútua entre os dois enrolamentos dependem do
ângulo θ .
+
-
+
-
v
S
v
R
i
S
i
R
θ
Fig. 1.14 – Representação física da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos de pólos salientes.
Como já foi demonstrado, o torque de excitação é obtido pela expressão (1.64):
( )SR
exc S R
dM
T = i i
d
θ
θ
(1.64)
O torque de relutância é representado pela expressão (1.65):
( )2
R S
dL1
T = i
2 d
θ
θ
(1.65)
O torque total produzido pela máquina será a soma dos torques de relutância e
de excitação. É representado pela expressão (1.66):
( ) ( )2 S SR
S S R
dL dM1
T = i +i i
2 d d
θ θ
θ θ
(1.66)
Considerando a variação de LS e MSR em função de θ representada pelas
expressões (1.67) e (1.68):

( ) 2θ 0s ML θ =L cos +L (1.67)
( ) θ=θ cosMM 0SR (1.68)
Obtém-se:
θ+θ= seniiM2seniLT RS0
2
Sm (1.69)
A máquina síncrona de pólos salientes possui torque de relutância e excitação
e é um bom exemplo de máquina cujo comportamento é traduzido por uma expressão
com a forma da expressão (1.69).
1.7 MÁQUINA COM TRÊS ENROLAMENTOS
Os resultados até aqui obtidos serão estendidos para uma máquina de três
enrolamentos. Neste caso o modelo é representado pelas equações (1.70) à (1.73).
( ) ( ) ( )1 1 12 2 13 3
1 1 1
d L i d M i d M i
v = R i + + +
dt dt dt
(1.70)
( ) ( ) ( )12 1 2 2 23 3
2 2 2
d M i d L i d M i
v = R i + + +
dt dt dt
(1.71)
( ) ( ) ( )13 1 23 2 3 3
3 3 3
d M i d M i d L i
v = R i + + +
dt dt dt
(1.72)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 12 13 23
1 2 3 1 2 1 3 2 3
dL dL dL dM dM dM1 1 1
T = i i i i i i i i i
2 d 2 d 2 d d d d
θ θ θ θ θ θ
+ + + + +
θ θ θ θ θ θ
(1.73)
Pode-se compactar as expressões precedentes, usando-se a notação matricial,
As equações elétricas passam a ser representadas pela expressão (1.74).
1 1 1 1 12 13 1
2 2 2 12 2 23 2
3 3 3 13 23 3 3
v R 0 0 i L M M i
d
v = 0 R 0 i M L M i
dt
v 0 0 R i M M L i
         
         +         
                  
(1.74)

Vamos em seguida reescrever a equação do torque:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 12 13
1 1 1 2
3
1
12 2 23
2 2 2 2
3
1
13 23 3
3 3 3 2
3
i
dL dM dM1
T = i i i i
2 d d d
i
i
dM dL dM1
i i i i
2 d d d
i
i
dM dM dL1
i i i i
2 d d d
i
 
θ θ θ   + + +   θ θ θ    
 
θ θ θ   + + + +   θ θ θ    
 
θ θ θ   + + +   θ θ θ    
(1.75)
A expressão (1.75) pode ainda ser representada segundo a expressão (1.76):
[ ]
131 12
1
2312 2
1 2 3 2
3
13 23 3
dMdL dM
d d d i
dM1 dM dL
T = i i i i
2 d d d
i
dM dM dL
d d d
 
 θ θ θ   
  
  θ θ θ
    
 
 θ θ θ 
(1.76)
Seja:
1
2
3
i
= i
i
 
 
 
  
i (1.77)
1
2
3
R 0 0
0 R 0
0 0 R
 
 
 
  
R = (1.78)
[ ]t
1 2 3= i i ii (1.79)

( )
131 12
2312 2
13 23 3
dMdL dM
d d d
d dMdM dL
d d d d
dM dM dL
d d d
 
 θ θ θ
 
 =
 θ θ θ θ
 
 
 θ θ θ 
L θ
(1.80)
Assim, o torque passa a ser representado pela expressão (1.82). As tensões
são representadas pela expressão (1.81):
( )d
= +
dt
L
v Ri i
θ
(1.81)
( )t d1
T =
2 dθ
L
i i
θ
(1.82)
As expressões (1.81) e (1.82) foram estabelecidas para uma máquina com três
enrolamentos. Contudo podem ser empregadas para qualquer sistema onde exista
conversão eletromecânica de energia.
1.8 CONCLUSÕES
Pode-se sintetizar os resultados obtidos no desenvolvimento deste capítulo, do
seguinte modo:
(a) O deslocamento relativo das partes de um sistema implica em
conversão eletromecânica de energia, quando há indutâncias próprias
ou mútuas, desse sistema, que sofrem variação com o deslocamento.
(b) A representação matricial dos sistemas nos quais ocorre conversão
eletromecânica de energia leva a obtenção de modelos compactos de
fácil interpretação física e de fácil manuseio.

1.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
I = 2A
P
S = 5cm
2
= 40cm
+ -v
Fig. 1.15 – Representação física do eletroimã do
problema 1.
1) Um eletroímã de manutenção tem uma
secção reta uniforme de 5cm2
e um
comprimento total médio de 40cm
(incluindo a armadura). O enrolamento é
excitado por uma corrente de 2A; supõe-
se que o núcleo e a armadura possuem a
mesma permeabilidade. A permeabilidade
relativa (µr) é igual a 2500. Calcular o
número de espiras necessário para resistir
a uma massa de 50kg. (Fig. 1.15)
2) O relé mostrado na Fig. 1.16 tem uma armadura móvel de secção quadrada, com
lado d, guiado por dois suportes não magnéticos de espessura q e comprimento d/2. A
carcaça é excitada por duas bobinas percorridas pela mesma corrente i. Cada bobina
possui N espiras. Supõe-se que a carcaça e a armadura possuem permeabilidade
infinita.
(a) Calcular a indutância do relé em função de x.
(b) Calcular a força eletromagnética que atua sobre a armadura, em
função de i e x.
(c) Calcular a força quando o relé está “colado”.
(d) Fazer uma aplicação numérica para d = 4cm; g = 0,1cm, N = 1000 e
i = 0,5A

d
+-
v
d
x
d/2
g
g
N
N
I
Fig. 1.16 – Representação física do relé do problema 2.
3) Na Fig. 1.17 está representada uma
peça de aço, de massa M, suspensa por
uma mola de constante K (N/m) e
submetida a influência de uma bobina cuja
resistência é desprezível. Supõe-se que a
indutância da bobina varia em função da
posição x da massa, segundo a expressão
L (x) = A + Bx, sendo A e B constantes.
v(t)
i(t)
M
x(t)
+
-
Fig. 1.17 – Representação física do problema 3.
(a) Escrever a equação elétrica do sistema, estabelecendo a tensão V(t)
em função de i(t) e de x(t).
(b) Calcular a força eletromagnética que atua sobre a massa M.
(c) Obter a equação diferencial mecânica do sistema.

θ
v
i
i
Fig. 1.18 – Instrumento do tipo bobina móvel.
4) Na Fig. 1.18, as duas bobinas são
ligadas eletricamente em série; uma está
alojada no estator fixo e a outra no rotor
móvel. As indutâncias próprias e mútuas
valem:
L1 = 0,2mH,
L2 = 0,1mH,
L3 = 0,05cos θ mH
As duas bobinas são percorridas por uma
corrente senoidal de valor eficaz igual a
5A (i = 2 5 sen ωt).
(a) Calcular o valor médio do torque eletromagnético exercido sobre a
bobina móvel em função de θ.
(b) Supor que a bobina móvel seja mantida no ângulo θ = 900
, por
ação de uma mola espiral que exerce um torque dado pela
expressão T = K(θ - π/2) com K = 0,004J/rd2
. Calcular o valor do
ângulo “θ“ de equilíbrio em graus.
5) Considere a Fig. 1.19. O ferro-móvel pode sofrer deslocamento na direção x. Ao se
deslocar sofre a ação da mola, cuja constante é Ks. A posição do ferro-móvel em
relação ao ferro-fixo é D, quando não há corrente no enrolamento. A massa do ferro-
móvel é M. O atrito é por hipótese nulo. Efeitos secundários, como dispersão de fluxo
são ignorados. O enrolamento possui N espiras e resistência elétrica nula.
O enrolamento é alimentado por uma fonte tal que a densidade de fluxo no
entreferro é dada por B(t) = Bm sen ωt.
(a) Encontrar a expressão da força eletromagnética exercida sobre o
ferro-móvel em função de Bm, ω e t.
(b) Escrever a equação da tensão de alimentação do enrolamento em
função de Bm, ω e t.

(c) Obter a equação diferencial mecânica do sistema em termos de Bm,
ω e t.
Mola
v(t)
x
D
A
Fig. 1.19 – Instrumento do tipo ferro-móvel.
6) Seja a estrutura representada a seguir:
R
L( )
Rotor
0
d
q
θ
θ
+
-
v
Fig. 1.20 – Máquina elétrica elementar com um enrolamento.
(a) Obter a expressão geral do torque.
(b) Explicar fisicamente a origem do torque.
(c) Seja L (θ) = Lmcos 2θ + L0. Obter a expressão final do torque.
(d) Estabelecer o modelo completo para o estudo do comportamento
dinâmico da estrutura.

CAPÍTULO
2 ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
2.1 INTRODUÇÃO
A máquina de indução trifásica com rotor bobinado é simétrica. Apresenta
estruturas magnéticas cilíndricas tanto no rotor quanto no estator. Os enrolamentos,
tanto do rotor quanto do estator são iguais entre si e igualmente defasados.
A máquina de indução com rotor em gaiola também é simétrica, pelas mesmas
razões expostas. Porém o número de fases do rotor é superior a três. De fato, cada
barra da gaiola constitui uma fase.
Neste capítulo será modelada apenas a máquina trifásica, porém sem perda de
generalidade. O método pode ser empregado para qualquer número de fases e
conseqüentemente para o rotor em gaiola.
Um desenho ilustrativo da máquina simétrica trifásica está representado na Fig.
2.1.
vS3
vS2
vS1
iS3
iS1
iS2
+
-
+
-
+
-
+
+
+
-
- -
i
R3i R1
i
R2
v
R1
vR2
vR3
Fig. 2.1 – Representação da máquina simétrica trifásica.

26 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
2.2 HIPÓTESES DE ESTUDO E CONVENÇÕES
Para que se possa representar matematicamente a máquina em estudo, serão
feitas algumas hipóteses simplificativas, sem as quais a formulação, se não se tornasse
impossível, tornar-se-ia extremamente complexa.
A) Hipóteses de estudo e conseqüências:
(a) Os três enrolamentos estatóricos são iguais entre si.
(b) Os três enrolamentos rotóricos são iguais entre si.
(c) Os ângulos elétricos entre os enrolamentos são iguais, tanto no
estator quanto no rotor.
(d) O entreferro é considerado constante.
(e) O circuito magnético é considerado ideal. A saturação não existe.
(f) A distribuição da densidade de fluxo magnético no entreferro é
radial e senoidal.
(g) A máquina será considerada bipolar.
(h) Não serão consideradas as perdas magnéticas.
Como conseqüência das hipóteses de estudo adotadas, podemos estabelecer
que:
(a) Os fluxos podem ser superpostos. Assim:
totalφ = ∑=
φ
3
1i
Ri
+∑=
φ
3
1i
Si
(2.1)
sendo iRφ o fluxo produzido pelo enrolamento “i” do rotor e iSφ o fluxo produzido pelo
enrolamento “i” do estator.

(b) os enrolamentos do estator e do rotor possuem indutâncias próprias
constantes. Assim:
1SL , 2SL , 3SL , 1RL , 2RL e 3RL são constantes.
(c) como conseqüência da igualdade dos enrolamentos tem-se:
SSSS LLLL 321
===
RRRR LLLL 321
===
SSSS RRRR 321
===
RRRR RRRR 321
===
(d) como conseqüência do defasamento igual entre os enrolamentos tem-se:
SSSS MMMM 132312
===
RRRR MMMM 132312
===
onde:
SM = indutância mútua entre dois enrolamentos do estator
RM = indutância mútua entre dois enrolamentos do rotor
(e) as indutâncias mútuas entre os enrolamentos estatóricos e rotóricos são
funções senoidais do deslocamento angular θ. Os enrolamentos do estator e do rotor
estão representados simbolicamente na Fig. 2.2:

S1
S2
S3
R1
R2
R3
θ
θ
Fig. 2.2 – Representação simbólica dos enrolamentos do estator e do rotor.
( )
( )3/4cosMM
3/2cosMM
cosMM
SRRS
SRRS
SRRS
31
21
11
π+θ=
π+θ=
θ=
(2.2)
( )
( )3/2cosMM
cosMM
3/4cosMM
SRRS
SRRS
SRRS
32
22
12
π+θ=
θ=
π+θ=
(2.3)
( )
( )
θ=
π+θ=
π+θ=
cosMM
3/4cosMM
3/2cosMM
SRRS
SRRS
SRRS
33
23
13
(2.4)
B) Convenções:
A máquina será tratada como um receptor e as equações das tensões terão a
forma representada pela expressão (2.5)
a
a a a
d
v R i
dt
φ
= + (2.5)
onde φ representa o fluxo total que envolve o enrolamento “a”.

2.3 EQUAÇÕES DOS FLUXOS
Adotando a superposição, os fluxos estatóricos serão descritos pelas
expressões (2.6), (2.7) e (2.8).
3312211113211 RRSRRSRRSSSSSSSS iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.6)
Representando-se as equações (2.6), (2.7) e (2.8) matricialmente, obtém-se a
equação (2.9):




















+




















=










φ
φ
φ
3
2
1
332313
322212
312111
3
2
1
3
2
1
R
R
R
RSRSRS
RSRSRS
RSRSRS
S
S
S
SSS
SSS
SSS
S
S
S
i
i
i
MMM
MMM
MMM
i
i
i
LMM
MLM
MML
(2.9)
Generalizando-se para os enrolamentos rotóricos e compactando-se a
representação obtém-se as expressões (2.10):
( )
( )
= +
= +
S SS S SR R
R RS S RR R
L i L i
L i L i
φ θ
φ θ
(2.10)
onde:
S S S
S S S
S S S
L M M
M L M
M M L
 
 =  
  
SSL (2.11)
R R R
R R R
R R R
L M M
M L M
M M L
 
 =  
  
RRL (2.12)

( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
SR
cos cos 2 /3 cos 4 /3
M cos 4 /3 cos cos 2 /3
cos 2 /3 cos 4 /3 cos
θ θ + π θ + π 
 
= θ + π θ θ + π 
 θ + π θ + π θ 
SRL θ (2.13)
( ) ( )
t
=RS SRL Lθ θ (2.14)
As matrizes (2.11) e (2.12) são chamadas de matrizes circulantes simétricas.
2.4 EQUAÇÕES DAS TENSÕES
Na medida que for possível será mantida a representação matricial no
desenvolvimento deste capítulo.
Das leis da física, podemos escrever as expressões das tensões como estão
representadas nas expressões (2.15) e (2.16):
d
dt
= +
S
S S Sv R i
φ
(2.15)
d
dt
= +
R
R R Rv R i
φ
(2.16)
onde:










=
S
S
S
R00
0R0
00R
SR (2.17)










=
R
R
R
R00
0R0
00R
RR (2.18)
A seguir serão desenvolvidas as expressões dos fluxos:
( )( )dd
dt dt
+ θ
=
SS S SR RS L i L iφ
(2.19)

( ) ( )( )dd d
dt dt dt
θ
= +
SR RS SS S
L iL iφ
(2.20)
( )
( )d dd d
dt dt dt dt
θ
= + θ +
S SRS R
SS SR R
Li i
L L i
φ
(2.21)
mas
( ) ( )d d
dt dt
θ ∂ θ θ
=
∂θ
SR SRL L
(2.22)
Assim, a derivada do fluxo do estator é representada pela expressão (2.23).
( )
( )d d d d
dt dt dt dt
∂ θ θ
= + θ +
∂θ
S SRS R
SS SR R
Li i
L L i
φ
(2.23)
A derivada do fluxo do rotor, obtida de maneira análoga, é representada pela
expressão (2.24):
( )
( )d dd d
dt dt dt dt
∂ θ θ
= + θ +
∂θ
R RSSR
RR RS S
Lii
L L i
φ
(2.24)
Levando-se as expressões das derivadas dos fluxos (2.23) e (2.24) nas
expressões (2.15) e (2.16), obtém-se as expressões das tensões, (2.25) e (2.26):
( )
( )d d d
dt dt dt
∂ θ θ
= + + θ +
∂θ
SRS R
S S S SS SR R
Li i
v R i L L i (2.25)
( )
( )dd d
dt dt dt
∂ θ θ
= + + θ +
∂θ
RSSR
R R R RR RS S
Lii
v R i L L i (2.26)
2.5 EQUAÇÃO DO TORQUE
Como foi estabelecido no capítulo 1, o torque de excitação, quando se trata de
dois enrolamentos, é determinado pela expressão (2.27):

( )d
T
dt
= SR
S R
M
i i
θ
(2.27)
Na máquina simétrica trifásica há três enrolamentos no estator e três no rotor.
Adicionando os torques produzidos pelos seis enrolamentos, obtém-se a expressão
(2.28):
3 11 1 2 1
1 1 2 3
3 21 2 2 2
2 1 2 3
1 3 2 3 3 3
3 1 2 3
S RS R S R
R S S S
S RS R S R
R S S S
S R S R S R
R S S S
MM M
T = i i +i +i +
MM M
+i i +i +i +
M M M
+i i +i +i
∂∂ ∂ 
 
∂θ ∂θ ∂θ 
∂∂ ∂ 
 
∂θ ∂θ ∂θ 
∂ ∂ ∂ 
 
∂θ ∂θ ∂θ 
(2.28)
Representando-se na forma matricial, obtém-se a expressão (2.29):
[ ]




















θ∂
∂
=
3
2
1
332313
322212
312111
321
R
R
R
RSRSRS
RSRSRS
RSRSRS
SSS
i
i
i
MMM
MMM
MMM
iiiT (2.29)
Seja:
( )
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
S R S R S R
S R S R S R
S R S R S R
M M M
M M M
M M M
 
 
=  
 
 
SRL θ (2.30)
1
2
3
R
R
R
i
i
i
 
 
=  
 
 
Ri (2.31)
1
2
3
S
S
S
i
i
i
 
 
=  
 
 
Si (2.32)
A expressão do torque será então representada pela expressão (2.33).

( )( )t
T
∂
=
∂θ
SR
S R
L
i i
θ
(2.33)
Transpondo-se a expressão (2.33), obtém-se a expressão (2.34):
( )( )t
T
∂
=
∂θ
RS
R S
L
i i
θ
(2.34)
Adicionando-se as expressões (2.33) e (2.34) e dividindo-se por dois obtém-se
a expressão (2.35).
( )( ) ( )( )t t1
T
2
 ∂ ∂
= + 
 ∂θ ∂θ 
SR RS
S R R S
L L
i i i i
θ θ
(2.35)
A expressão (2.35) pode ser reescrita segundo a expressão (2.36).
( )
( )
( )
t t
01
T
02
   ∂ 
=      ∂θ    
SSR
S R
RRS
iL
i i
iL
θ
θ
(2.36)
As matrizes LSS e LRR são formadas por termos independentes da posição
angular θ. Por isto:
0
∂ ∂
= =
∂θ ∂θ
SS RRL L
(2.37)
Pode-se consequentemente estabelecer que:
( )
( )
( )
( )
0
0
   ∂ ∂
=      ∂θ ∂θ   
SR SS SR
RS RS RR
L L L
L L L
θ θ
θ θ
(2.38)
Seja:
( )ttt
RS iii = (2.39)






=
R
S
i
i
i (2.40)

( )
( )
( )
 
=   
 
SS SR
RS RR
L L
L
L L
θ
θ
θ
(2.41)
Assim o torque será representado pela expressão (2.42):
( )t1
T
2
∂
=
∂θ
L
i i
θ
(2.42)
2.6 EQUAÇÕES FINAIS DA MÁQUINA
Reunindo-se as expressões das tensões e do torque, (2.25) e (2.26) e (2.42)
respectivamente, obtém-se o modelo completo da máquina, representado pelas
expressões (2.43), (2.44) e (2.45).
( )
( )d d d
dt dt dt
∂ θ θ
= + + θ +
∂θ
SRS R
S S S SS SR R
Li i
v R i L L i (2.43)
( )
( )dd d
dt dt dt
∂ θ θ
= + + θ +
∂θ
RSSR
R R R RR RS S
Lii
v R i L L i (2.44)
( )t1
T
2
∂
=
∂θ
L
i i
θ
(2.45)
As equações elétricas podem ser reescritas segundo a expressão (2.46):
( )
( )
( )
( )
0 0 d
0 0 dt
0 0d d
0 0dt dt
        
= + +                
        
      ∂ θ
+ +            ∂θ      
S S S SS S
R S R RR R
S SSR SR
R RRS RS
v R i L i
v R i L i
i iL L
i iL L
θ θ
θ θ
(2.46)
As expressões (2.46) podem ser reescritas de uma forma mais compacta,
segundo a expressão (2.47):
( )
( )d d
dt dt
∂ θ
= + +
∂θ
Li
v Ri L i
θ
θ (2.47)

Pois:






=
R
S
R
R
R
0
0
(2.48)
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
    
+ =         
     
SS SR SS SR
RR RS RS RR
L L L L
L L L L
θ θ
θ θ
(2.49)
Reunindo-se as expressões (2.47) e (2.42) obtém-se o modelo da máquina
simétrica na sua forma mais compacta, representada pelas expressões (2.50):
( )
( )
( )t
p
1
T
2
•∂
= + + θ
∂θ
∂
=
∂θ
L
v Ri L i i
L
i i
θ
θ
θ
(2.50)
2.7 OUTRA TÉCNICA PARA OBTENÇÃO DA EXPRESSÃO DO
TORQUE
Consideremos a expressão das tensões (2.51):
( )
( )p
•∂
= + + θ
∂θ
L
v Ri L i i
θ
θ (2.51)
Pré-multiplicando-se todos os termos da equação pelo vetor corrente
transposto obtém-se a equação (2.52):
( )
( )t t t t
p
•∂
= + + θ
∂θ
L
i v i Ri i L i i i
θ
θ (2.52)
Por outro lado:
( ) ( )
( )
( )t t t1 1 d 1 1 d
p
2 2 dt 2 2 dt
•∂ 
= + θ+ 
∂θ 
t
Li i
i L i i L + i i L i
θ
θ θ θ (2.53)
mas:

( ) ( )
t
t1 d 1 d
2 dt 2 dt
i i
i L = L iθ θ (2.54)
Assim:
( )
( )
( )t t td 1 1
p
dt 2 2
∂  
= − θ+  
∂θ  
Li
i L i i i L i
iθ
θ θ (2.55)
Substituindo-se a expressão (2.55) em (2.52), obtém-se a expressão (2.56):
( )
( )t t t t1 1
p
2 2
•∂ 
= + + θ 
∂θ 
L
i v i Ri i L i i i
θ
θ (2.56)
O último termo da expressão (2.56) representa a parcela de potência elétrica
absorvida pela máquina e convertida em potência mecânica. Assim:
( )t
m
1
P
2
•∂
= θ
∂θ
L
i i
θ
(2.57)
portanto:
( )t1
T
2
∂
=
∂θ
L
i i
θ
(2.58)
Fica assim estabelecida a equação do torque, com o emprego de um método
diferente daquele empregado no item 2.5.
Os diversos termos das expressões (2.47) podem ser interpretados
fisicamente. Assim:
(a) iR → Representa as quedas de tensão nas resistências dos
enrolamentos da máquina.
(b) ( )pL iθ → Representa as tensões geradas nos enrolamentos, causadas
pela variação das correntes. São tensões variacionais.
(c)
( ) •∂
θ
∂θ
L
i
θ
→ São as tensões geradas nos enrolamentos, quando há
deslocamento relativo entre eles. São denominadas tensões rotacionais.

Quando
•
θ = 0 , ou seja, quando o rotor estiver em repouso, o modelo passa a
ser representado pela expressão (2.59):
( )p= +v Ri L iθ (2.59)
que representa um transformador.
2.8 CONCLUSÕES
As equações (2.50) são não lineares e de difícil solução. Em geral, não são
empregadas no estudo do comportamento da máquina.
Por isto, foram desenvolvidas técnicas baseadas em transformações lineares,
com o objetivo de estabelecer modelos mais simples a partir do modelo original
estabelecido neste capítulo. Tais técnicas serão estudadas nos capítulos seguintes.
Em alguns trabalhos, destinados a determinar o comportamento da máquina de
indução associada a certos tipos de conversores estáticos, o modelo representado
pelas equações (2.50) foram empregados. Tal tipo de estudo porém é muito particular e
só pode ser realizado com o emprego de computadores.

1) Seja uma máquina simétrica trifásica, alimentada em corrente no estator e no rotor.
As correntes estatóricas e rotóricas são dadas pelas expressões seguintes:
( )1S S S Si I cos t= ω + θ
( )2S S S Si I cos t 2 /3= ω + θ − π
( )3S S S Si I cos t 4 /3= ω + θ − π
( )1R R R Ri I cos t= ω + θ
( )2R R R Ri I cos t 2 /3= ω + θ − π
( )3R R R Ri I cos t 4 /3= ω + θ − π
O rotor gira com velocidade mω em relação ao estator. Será considerada uma
máquina de indução de dois pólos. Assim:
mRS ω+ω=ω
Pede-se a expressão final do torque desenvolvido pela máquina.

CAPÍTULO
3 ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
3.1 INTRODUÇÃO
O primeiro passo a ser dado na obtenção de modelos mais adequados para a
análise da máquina de indução é o estudo da transformação 0αβ . Consiste numa
transformação linear que diagonaliza as matrizes circulantes simétricas, que aparecem
na formulação dos modelos da máquina trifásica simétrica.
Fisicamente a transformação 0αβ transforma a máquina simétrica trifásica
numa máquina simétrica bifásica, com mesma potência mecânica, torque, velocidade e
número de pólos. Por isto é também conhecida com o nome de transformação trifásica-
bifásica.
Esta transformação é muito útil também no estudo de transitórios de
transformadores simétricos e reatores trifásicos.
A alimentação pode ser não-simétrica e não-senoidal, desde que a máquina
seja simétrica.
3.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
Seja duas estruturas, uma trifásica e uma bifásica, representadas Fig. 3.1 e
Fig. 3.2:
Os enrolamentos que compõem a estrutura trifásica possuem n3 espiras e os
que compõem a estrutura bifásica possuem n2 espiras.
Cada enrolamento, ao ser percorrido por uma corrente produz uma força
magnetomotriz F.

40 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
S1
S2
S3
F2
F1
F3
n3
n3
n3
iS
2
iS1
iS3
Fig. 3.1 – Circuito trifásico simétrico.
S
S
F
n2
iS
F n2
iS
α
α
α
β
β
β
Fig. 3.2 – Circuito bifásico simétrico.
Será estabelecida uma transformação que permita encontrar Fα e Fβ em função
de F1, F2 e F3, de sorte que a estrutura bifásica produza uma força magnetomotriz
resultante com efeito semelhante à resultante da estrutura trifásica.
Decompondo-se vetorialmente F1, F2 e F3 segundo os eixos Sα e Sβ encontra-
se as expressões (3.1) e (3.2).
( ) ( )1 2 3S S SF F + F cos 2 /3 F cosSα
= π + 4π/3 (3.1)
( ) ( )2 3S S SF = 0 + F sen 2 /3 + F sen 4 /3β
π π (3.2)
Assim:
1
2
3
S
S
S
S
S
F
F 1 1 2 1 2
F
F 0 3 2 3 2
F
α
β
 
− −     
=     
−    
 
(3.3)
mas:
S S
2
S S
F i
n
F i
α α
β β
   
=   
   
(3.4)
e
1 1
2 2
3 3
S S
S 3 S
S S
F i
F n i
F i
   
   
=   
   
   
(3.5)

Substituindo-se as expressões (3.4) e (3.5) na expressão (3.3) encontramos a
expressão (3.6):
1
2
3
S
S 3
S
S 2
S
i
i 1 -1 2 -1 2n
i
i n 0 3 2 - 3 2
i
α
β
 
     
=     
    
 
(3.6)
Para que a matriz definida pela expressão (3.6) possa ser invertida, vamos
definir a corrente i0 segundo a expressão (3.7):
( )0 1 2 3
3
S S S S
2
n
i a i i i
n
= + + (3.7)
Levando-se (3.7) em (3.6) obtém-se (3.8):
0 1
2
3
S S
3
S S
2
S S
i a a a i
n
i 1 1 2 1 2 i
n
i i0 3 2 3 2
α
β
     
      
= − −      
      −    
(3.8)
Seja a matriz definida pela expressão (3.9):
3
2
a a a
n
1 1 2 1 2
n
0 3 2 3 2
−
 
 
= − − 
 − 
1
A (3.9)
Para que a potência seja invariante (apêndice), deve-se satisfazer a seguinte
relação:
( ) 1
t11
AA
−
=
−−
(3.10)
ou
t1
AA =−
(3.11)
ou
− −
=
t
1 1
A A I (3.12)

sendo I a matriz identidade, ou:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 =  
  
I (3.13)
Portanto:
2
3
2
a 1 0a a a 1 0 0
n
1 1 2 1 2 a 1 2 3 2 0 1 0
n
0 0 10 3 2 3 2 a 1 2 3 2
    
     
− − − =      
     − − −     
(3.14)
Assim:
2
23
2
n
3 a 1
n
 
= 
 
(3.15)
( ) 141411
n
n
2
2
3
=++





(3.16)
Portanto:
3
2
n
n
2
3
= (3.17)
e
2
1
a = (3.18)
Assim a matriz torna-se:










−
−−=−
23230
21211
212121
3
21
A (3.19)
Seja:











=
β
ααβ
S
S
S
i
i
i 0
0Si (3.20)
e










=
3
2
1
321
S
S
S
i
i
i
Si (3.21)
3210 S
1
S iAi −
=αβ
(3.22)
αβ
= 0321 SS iAi (3.23)
A matriz 1
A−
define a transformação 0αβ ou trifásica-bifásica.
3.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO αβ0
Consideremos um enrolamento trifásico simétrico (estator de um motor de
indução com enrolamento rotórico aberto).
Sejam nulas as resistências desse enrolamento. Consideremos a expressão
dos fluxos, representada por (3.24):




















=










φ
φ
φ
3
2
1
3
2
1
i
i
i
LMM
MLM
MML
(3.24)
ou
1 2 3 1 2 3= Liφ (3.25)
Seja:
3210 φφ 1
A−
αβ = (3.26)

0 1 2 3αβ
−
= 1
i A i (3.27)
Assim:
321321 iLAA 11 −−
=φ (3.28)
αβ
−
αβ = 00 iALA 1
φ (3.29)
Seja:
ALAL 1
N
−
= (3.30)
Assim:
αβαβ = 00 iLNφ (3.31)
Calculemos a matriz NL :










−
−




















−
−−=
232121
232121
0121
LMM
MLM
MML
23230
21211
212121
3
2
3
2
NL (3.32)










−
−
+
=
ML00
0ML0
00M2L
NL (3.33)
Seja:
0 L 2M= +L (3.34)
S L M= −L (3.35)
Assim:
0 0 0
S
S
0 0 i
0 0 i
0 0 i
α α
β β
     φ
     
φ =     
     φ     
L
L
L
(3.36)

As novas indutâncias são definidas do seguinte modo:
0L - indutância cíclica homopolar
SL - indutância cíclica
Comparando-se as expressões (3.24) e (3.36), verifica-se que a matriz
indutância foi diagonalizada.
A matriz indutância L original é do tipo circulante simétrica, que aparece na
formulação dos modelos das máquinas elétricas. Daí a importância prática da
transformação 0αβ .
3.4 ESTUDO DO REATOR TRIFÁSICO SIMÉTRICO
Será empregada, a título de exemplo, a transformação 0αβ na análise de um
reator trifásico simétrico, representado na Fig. 3.3:
v1
v2
v3
i1
i2
i3
R
L
M
2
2
2
R3
R1
L3
L1
3
M13
M12
Fig. 3.3 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico.
São conhecidos os parâmetros R, L e M e as tensões v1(t), v2 (t) e v3 (t).
Deseja-se determinar as correntes i1 (t), i2 (t) e i3 (t).
A equação das tensões é representada pela expressão (3.37).

123 123 123p= +v Ri Li (3.37)
Pré-multiplicando-se os termos de (3.37) por A-1
obtém-se a expressão (3.38):
321321321 p iLAiRAVA 111 −−−
+= (3.38)
Assim:
0 0 0pαβ αβ αβ
− −
= +1 1
v A RAi A LAi (3.39)
Seja:
−1
NR = A RA (3.40)
−1
NL = A LA (3.41)
Assim:
0 N 0 N 0pαβ αβ αβ= +V R i L i (3.42)
mas,










=
R00
0R0
00R
NR (3.43)
0
S
S
0 0
0 0
0 0
 
 =  
  
NL
L
L
L
(3.44)
O modelo do reator trifásico simétrico será então descrito pela expressão (3.45)
0 0 0
S
S
v R p 0 0 i
v 0 R p 0 i
v 0 0 R p i
α α
β β
   + 
    = +    
    +    
L
L
L
(3.45)

Constata-se que a matriz impedância fica diagonalizada. O reator é então
representado por três equações diferenciais de 1ª ordem, representadas pelas
expressões (3.46).
( )
( )
( )
0 0 0
S
S
v R p i
v R p i
v R p i
α α
β β
= +
= +
= +
L
L
L
(3.46)
Fisicamente o reator trifásico é convertido em três reatores monofásicos
independentes, representados na Fig. 3.4.
v0
i0
R L0
vα
iα
R Lα
vβ
iβ
R Lβ
Fig. 3.4 – Modelo elétrico equivalente para o reator trifásico usando a transformada αβ0.
Na solução de um problema particular do reator conhecendo-se v1, v2 e v3
determina-se v0, vα e vβ. Com o emprego das equações (3.46) determina-se i0, iα e iβ
Aplicando-se a transformação inversa, determina-se i1, i2 e i3.

3.5 EMPREGO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 NO ESTUDO DO
TRANSFORMADOR
Seja um transformador trifásico simétrico, cuja estrutura está representada na
Fig. 3.5.
MSR
S1
S2
S3
R1
R3
R2
Fig. 3.5 – Estrutura do transformador trifásico simétrico.
O circuito correspondente está representado na Fig. 3.6.
vS1
vS2
vS3
iS1
iS2
iS3
RS1
RS2
RS3
L S1
L S2
L S3
iR3
iR2
iR1
L R3
L R2
L R1
RR3
RR2
RR1
Fig. 3.6 – Circuito elétrico equivalente do transformador trifásico simétrico.
O transformador é representado pelas equações (3.47).

d d
dt dt
dd
dt dt
= + +
= + +
S R
S S S SS SR
SR
R R R RR RS
i i
v R i L L
ii
v R i L L
(3.47)
onde:










=
S
S
S
R00
0R0
00R
SR (3.48)










=
R
R
R
R00
0R0
00R
RR (3.49)










=
SSS
SSS
SSS
LMM
MLM
MML
SSL (3.50)










=
RRR
RRR
RRR
LMM
MLM
MML
RRL (3.51)










−−
−−
−−
==
SRSRSR
SRSRSR
SRSRSR
M2M2M
2MM2M
2M2MM
RSSR LL (3.52)
Aplicando-se a transformação 0αβ nas equações (3.47), obtém-se as
equações (3.53) e (3.54):
0 0
0 0
d d
dt dt
αβ αβ
αβ αβ
− − −
= + +
S R1 1 1
S S S SS SR
i i
v A R Ai A L A A L A (3.53)
0 0
0 0
dd
dt dt
αβ αβ
αβ αβ
− − −
= + +
SR1 1 1
R R R RR SR
ii
v A R Ai A L A A L A (3.54)

As expressões (3.53) e (3.54) podem ser reescritas segundo as expressões
(3.55) e (3.56).
0 0
N N N0 0
d d
dt dt
αβ αβ
αβ αβ
= + +
S R
S S S SS SR
i i
v R i L L (3.55)
0 0
N N N0 0
d d
dt dt
αβ αβ
αβ αβ
= + +
R R
R R R RR RS
i i
v R i L L (3.56)
As matrizes parâmetros transformados estão representadas pelas expressões
(3.57), (3.58), (3.59), (3.60) e (3.61):
S
S
S
R 0 0
0 R 0
0 0 R
 
 =  
  
NSR (3.57)










=
R
R
R
R00
0R0
00R
NRR (3.58)
S
S
S
0 0
0 0
0 0
 
 =  
  
SSL
L
L
L
(3.59)
R
R
R
0 0
0 0
0 0
 
 =  
  
RRL
L
L
L
(3.60)










==
SR
SR
m00
0m0
000
RSSR LL (3.61)
onde:
S0 S SL 2M= +L ⇒ indutância cíclica homopolar do primário.
R0 R RL 2M= +L ⇒ indutância cíclica homopolar do secundário.

S S SL M= −L ⇒ indutância cíclica do primário.
R R RL M= −L ⇒ indutância cíclica do secundário.
SR SR
3
m = M
2
⇒ indutância mútua cíclica.
O modelo completo do transformador é representado pelas expressões (3.62).
0 0
0
00 0
S S SS
S S S SRS
S S S SRS
RRR R
SR RRR R
SRRR R
v i p 0 0 0 0 0R 0 0 0 0 0
v i 0 p 0 0 pm 00 R 0 0 0 0
v i 0 0 p 0 0 pm0 0 R 0 0 0
0 0 0 pL 0 00 0 0 R 0 0v i
0 pm 0 0 pL 00 0 0 0 R 0v i
0 0 pm 0 0 p0 0 0 0 0 Rv i
α α
β β
α α
β β
    
    
    
    
   = + 
    
    
    
        
L
L
L
0
0
S
S
S
R
R
R R
i
i
i
i
i
L i
α
β
α
β
  
  
  
  
  
  
  
  
     
(3.62)
Como as matrizes parâmetros são diagonalizadas, o modelo (3.62) pode ser
reescrito segundo as equações (3.63), (3.64) e (3.65).
0 0 0 0
0 0 0 0
S S S SS
RR R R R
v i 0 iR 0
p
0 Rv i 0 i
        
= +        
               
L
L
(3.63)
0
0
S S S SS
RR R R R
v i 0 iR 0
p
0 Rv i 0 i
α α α
α α α
        
= +        
               
L
L
(3.64)
0
0
S S SSS
RR R R R
v i i0R 0
p
0 Rv i 0 i
β β β
β β β
       
= +       
              
L
L
(3.65)
As equações (3.63), (3.64) e (3.65) representam três transformadores
monofásicos independentes, representados pela Fig. 3.7, Fig. 3.8 e Fig. 3.9.
iS0
iR0vS0
vR0
+
-
Fig. 3.7 – Seqüência 0.

iSα
iRαvSα
vRα
+
-
Fig. 3.8 – Seqüência α.
iSβ
iRβvSβ
vRβ
+
-
Fig. 3.9 – Seqüência β.
Desse modo, a transformação 0αβ apresenta a importante propriedade de
converter um transformador trifásico simétrico em três transformadores monofásicos
independentes, tornando a análise muito simples.
3.6 APLICAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO TRIFÁSICA-BIFÁSICA NAS
EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA
No capítulo 2 foram estabelecidas as equações da máquina simétrica trifásica,
representadas neste capítulo pelas expressões (3.66), (3.67) e (3.68).
( )
( )d d d
dt dt dt
∂ θ θ
= + + θ +
∂θ
SRS R
S S S SS SR R
Li i
v R i L L i (3.66)
( )
( )dd d
dt dt dt
∂ θ θ
= + + θ +
∂θ
RSSR
R R R RR RS S
Lii
v R i L L i (3.67)
( )t1
T
2
∂
=
∂θ
L
i i
θ
(3.68)

Aplicando-se a transformação A-1
na expressão (3.66) obtém-se a expressão
(3.69):
( ) ( )0 0
00
d d d
dt dt dt
αβ αβ− − − − −
αβαβ
∂ θ
= + +
∂θ
S R1 1 1 1 1
S S S SS SR SR R
i i
A v A R Ai +A L A A L A A L Aiθ θ (3.69)
Definindo-se:
N
−
= 1
S SR A R A (3.70)
N
−
= 1
R RR A R A (3.71)
N
−
= 1
SS SSL A L A (3.72)
N
−
= 1
RR RRL A L A (3.73)
( ) ( )N
−
= 1
SR SRL A L Aθ θ (3.74)
( ) ( )N
−
= 1
SR SRL A L Aθ θ (3.75)
Substituindo as últimas expressões em (3.69) e generalizando os resultados
para a expressão da tensão rotórica obtém-se as expressões (3.76) e (3.77), que são
as equações elétricas da máquina nas variáveis 0αβ .
( )
( )0 0
N N 00 0
N
N
d d d
dt dt dt
αβ αβ
αβαβ αβ
∂ θ
= + + +
∂θ
S R SR
S S S SS SR R
i i L
v R i L L i
θ
θ (3.76)
( )
( )0 0
N N0 0 0N
dd d
dt dt dt
αβ αβ
αβ αβ αβ
∂ θ
= + + +
∂θ
SR RS N
R R R RR RS S
ii L
v R i L L i
θ
θ (3.77)
Para se obter a expressão do torque, adota-se o prossedimento a seguir:
( )t
T
∂
=
∂θ
SR
S R
L
i i
θ
(3.78)
0αβ
= SS iAi (3.79)

t
SS Aii
tt
0αβ
= (3.80)
( )
00
t
T αβαβ
∂
=
∂θ
SRt
S R
L
i A Ai
θ
(3.81)
( )( )
00
t
T αβαβ
∂
=
∂θ
t
SR
S R
A L A
i i
θ
(3.82)
Assim:
( )
00
t N
T αβαβ
∂
=
∂θ
SR
S R
L
i i
θ
(3.83)
As matrizes NSR , NRR , NSSL e NRRL são as mesmas obtidas no estudo do
transformador.
No procedimento que segue, é estabelecida a matriz ( )NRSL θ .
Substituindo-se as matrizes -1
A , A e ( )SRL θ na expressão (3.75), obtém-se a
expressão (3.84).
( ) SRN
1 1 1 12 4
1 0cos cos cos
2 2 2 23 3
2 1 1 4 2 1 1 3
M 1 cos cos cos
3 2 2 3 3 2 22
2 43 3 1 1 3
cos cos cos0
3 32 2 2 22
    π π   
θ θ + θ+       
       
    π π     = − − θ+ θ θ+ −    
       
   π π      θ + θ + θ− − −   
          
SRL θ 




(3.84)
Realizando-se os produtos matriciais obtém-se as matrizes (3.85) e (3.86):
( ) SR SRN
SR SR
0 0 0
0 m cos m sen
0 m sen m cos
 
 
= θ − θ 
 θ θ 
SRL θ (3.85)
( ) SR SRN
SR SR
0 0 0
0 m cos m sen
0 m sen m cos
 
 
= θ θ 
 − θ θ 
RSL θ (3.86)

Pois
( ) ( )N N
t
=RS SRL Lθ θ (3.87)
Com:
( )
( ) ( )0 N N
0 0N
dd d
dt dt dt
αβ
αβ αβ
∂ θ
+ =
∂θ
SR SRR
SR R R
L Li
L i i
θ θ
θ (3.88)
pode-se escrever o modelo final sob a forma de variáveis 0αβ da máquina simétrica
trifásica, segundo as expressões (3.89):
( )
( )
( )
0 N
N N 00 0
0 N
N N0 0 0
N
00
t
dd
dt dt
dd
dt dt
T
αβ
αβαβ αβ
αβ
αβ αβ αβ
αβαβ
= + +
= + +
∂
=
∂θ
SRS
S S S SS R
SRR
R R R RR S
SR
S R
Li
v R i L i
Li
v R i L i
L
i i
θ
θ
θ
(3.89)
O modelo desenvolvido, obtido a partir das expressões (3.89) é representado
pelas expressões (3.90).
Nelas verifica-se a presença do ângulo θ nas matrizes indutâncias mútuas. Por
isto o modelo é não linear e de difícil solução analítica.
0 0
0 0
0
0
S S
S
S S
S
S S
S
RR R
R
R R
R
R R
S
S SR SR
S SR SR
R
SR SR R
p
v i
R 0 0v i
0 R 0 0
v i0 0 R
R 0 0v i
0 0 R 0
v i
0 0 R
v i
0 0 0 0 0
0 0 0 m cos m sen
0 0 0 m sen m cos
0 0 0 0 0
0 m cos m sen 0 0
α α
β β
α α
β β
= +
+
   
    
    
    
    
    
    
    
    
      
θ − θ
θ θ
θ θ
L
L
L
L
L
0
0
S
S
S
R
R
SR SR R
R
i
i
i
i
i
0 m sen m cos 0 0
i
α
β
α
β
 
   
   
   
   
   
   
   
   − θ θ     
L

0
0
R
SR S S S R
R
i0 0 0
T m i i i 0 sen cos i
0 cos sen i
α β α
β
  
   = − θ − θ     
  θ − θ    
(3.90)
No capítulo seguinte será introduzida a transformação de PARK, destinada a
simplificar mais o modelo da máquina simétrica trifásica.
O efeito da transformação 0αβ aplicado á máquina simétrica trifásica pode ser
melhor evidenciado com o auxílio da Fig. 3.10 e Fig. 3.11:
S1
S2
S3
R1
R2
R3
θ
θ
S1
i
S2
i
S3
i
R1
i
R2
i
R3
i
Fig. 3.10 – Motor trifásico.
Sβ
Sα
Rβ
Rα
θ
Rβ
i Sβ
i
Rα
i
Sα
i
Fig. 3.11 – Motor bifásico equivalente.
Portanto, a máquina trifásica real é transformada numa máquina bifásica
imaginária. A ausência dos enrolamentos de seqüência zero ou homopolar será
explicada no item 3.7.

3.7 INTERPRETAÇÃO DA INDUTÂNCIA CÍCLICA HOMOPOLAR
Seja a máquina simétrica com enrolamentos rotóricos abertos e enrolamentos
estatóricos submetidos a uma mesma tensão, de acordo com o que está representado
na Fig. 3.12.
iS
i
i
S
S
iS
vS
1
2
3
S1
S2
S3
R1
R2
R3
Fig. 3.12 – Máquina simétrica trifásica com enrolamentos rotóricos abertos sendo os estatóricos alimentados
com a mesma tensão.
1 2 3S S S Sv v v v= = = (3.91)
Levando-se as tensões 1Sv , 2Sv e 3Sv da expressão (3.91) na expressão (3.92),
obtém-se os resultados a seguir:
0 1 2 3αβ
−
= 1
S Sv A v (3.92)
Sv 0α
= (3.93)
Sv 0β
= (3.94)
0S Sv 3 v= (3.95)
Considerando a máquina em regime permanente, tem-se:
0
0
S
S
0
v
i
2 f
=
π L
(3.96)

( )0 1 2 3S S S S
1
i i i i
3
= + + (3.97)
Então
3
i
i S
S0
= (3.98)
Levando (3.98) e (3.95) em (3.96), obtém-se:
S S
0
i 3 v
2 f3
=
π L
(3.99)
Assim:
S
S
0
3v
i
X
= (3.100)
onde:
0 0X 2 f= π L (3.101)
Pode-se imediatamente concluir que a corrente que circula na fonte fica
limitada apenas pela reatância cíclica homopolar.
Para facilitar a interpretação física, será considerada a Fig. 3.11:
ROTOR
FS1
FS3
FS2
iS1
iS3
iS2
Fig. 3.13 – Estrutura de uma máquina simétrica trifásica.

Como as correntes 1Si , 2Si e 3Si , são iguais, as três forças magnetomotrizes,
1SF , 2SF e 3SF são iguais em módulo e em fase no tempo. Assim os fluxos são nulos,
com exceção dos fluxos de dispersão, que se fecham pelo ar e que estão
representados na Fig. 3.13.
Pode-se então concluir que a indutância de seqüência zero ou cíclica
homopolar é uma imagem da indutância da dispersão.
Consideramos as equações completas de seqüência zero, obtidas a partir das
equações (3.90).
0 0 0 0
0 0 0 0
S S S SS
RR R R R
v i p 0 iR 0
0 Rv i 0 p i
        
= +        
               
L
L
(3.102)
Segundo as expressões (3.102) não há indutância mútua entre as
componentes de seqüência homopolar do estator e do rotor.
Quando não há fio neutro na alimentação da máquina simétrica trifásica as
tensões e correntes homopolares não existem.
Quando há neutro e a alimentação for balanceada, existem componentes
homopolares. Contudo elas não produzem torque, como pode ser constatado a partir
das expressões (3.90).

v
R i
i i
1
2 3
LS
LS
R R
LS
Fig. 3.14 – Rotor trifásico com uma fase em aberto.
1) Seja a estrutura representada na Fig.
3.14, com os seguintes parâmetros:
R = 1Ω
SL = 0,280H (indutância cíclica)
f = 60Hz
V = 380V (valor eficaz)
O circuito é considerado em regime
permanente. Determinar as expressões e
os valores das correntes nas fases da
estrutura.
2) Repetir os cálculos para a Fig. 3.15, representada a seguir:
i
v
1
1
LSLS
LS
RR
R
v
i
2
v3
v
+
+ +
- -
-+
-
3 2i
Fig. 3.15 – Rotor trifásico com duas fases em paralelo e em série com a terceira sendo alimentadas por uma
fonte de tensão única.
3) Seja a estrutura representada na Fig. 3.16:

i 1
v1
+
-
i 2
v2
+
-
i 3
v3
+
-
Fig. 3.16 – Estrutura de um reator trifásico.
onde: 50RRRR 321 ,==== Ω ,
60LLLL 321 ==== mH (próprias)
=M -30mH (mútuas)
No instante t = 0 aplicam-se as seguintes tensões nos enrolamentos:
1v 50V= ; 2v 30V= ; 3v 100V=
Empregando a transformação 0αβ , determinar as correntes nos enrolamentos
em função do tempo.
4) Seja um reator trifásico, representado esquematicamente pela Fig. 3.17:
v
v
v
S
S
S i
i
i
1
2
3
1
2
3
R
LS
M
Fig. 3.17 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico.
Os parâmetros são os mesmos do exercício 3. Os interruptores 1S , 2S e 3S são
fechados simultaneamente.

1
2
3
v Vcos t
2
v Vcos t
3
4
v Vcos t -
3
= ω
π 
= ω − 
 
π 
= ω 
 
onde
377=ω rad/s
v 2 220= volts
Determinar as correntes ( )ti1 , ( )ti2 e ( )ti3 .
5) Seja o transformador trifásico, representado na Fig. 3.18.
S1 S2 S3
R3
R2
R1
iS1
iS2
iS3
iR1
iR2
iR3
v1 v2 v3
Fig. 3.18 – Transformador trifásico com um curto-circuito na saída de duas fases.
É estabelecido um curto circuito entre as fases 2 e 3 do secundário. Determinar
a expressão da corrente de curto circuito, empregando a transformação 0αβ , sabendo
que:

1
2
3
v Vcos t
2
v Vcos t
3
4
v Vcos t -
3
= ω
π 
= ω − 
 
π 
= ω 
 

CAPÍTULO
4
A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA
SIMÉTRICA
4.1 INTRODUÇÃO
A transformação de PARK tem uma importância muito grande no estudo das
máquinas elétricas. Consiste de uma transformação linear que simplifica as equações
das máquinas, introduzindo um conjunto de variáveis hipotéticas.
Fisicamente, transforma a máquina bifásica com enrolamentos estatóricos fixos
e enrolamentos rotóricos girantes, em enrolamentos estatóricos fixos e rotóricos
pseudo-estacionários.
4.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK
Foi demonstrado no capítulo 3, que sob a transformação 0αβ , os fluxos e as
correntes ficam relacionados pelas equações (4.1).
0 0
0
00 0
S S
S
S S
S SR SR
S SS SR SR
RR R
SR SR R
R R
SR SR R
R R
i
0 0 0 0 0
i0 0 0 m cos m sen
i0 0 0 m sen m cos
0 0 0 0 0 i
0 m cos m sen 0 0 i
0 m sen m cos 0 0
i
α α
β β
α α
β β
φ   
    
 φ   θ − θ    
φ  θ θ   
=     φ     
 θ θ   φ     − θ θ     φ   
L
L
L
L
L
L
(4.1)
Os fluxos estatóricos podem ser reescritos segundo a expressão (4.2).
0 0 0
0
S S RS
S S S SR SR R
S SR SRS S R
i i0 0 0 0 0
0 0 i 0 m cos m sen i
0 0 0 m sen m cosi i
α α α
β β β
     φ    
        φ = + θ − θ        
        θ θφ             
L
L
L
(4.2)

Vamos definir um novo conjunto de correntes rotóricas, segundo a expressão
(4.3):










φ
φ
φ










θθ
θ−θ=










φ
φ
φ
β
α
R
R
R
R
R
R 0
q
d
0
cossen0
sencos0
001
(4.3)
Assim:
00dq αβ
−
= R
1
R iBi (4.4)
onde:










θθ
θ−θ=−
cossen0
sencos0
001
1
B (4.5)
A matriz B-1
define a transformação de PARK.
4.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK
Vamos representar a expressão (4.1) na forma compacta, segundo as
expressões (4.6) e (4.7), ignorando as componentes homopolares, que não serão
alteradas pela transformação de PARK.
S SRmαβ αβ αβ
−
= + 1
S S Ri B iL Iφ (4.6)
R SRmαβ αβ αβ
= +R R Si B iL Iφ (4.7)
onde:






θθ−
θθ
=
cossen
sencos
B (4.8)
e

66 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
1 0
0 1
 
=  
 
I (4.9)
Aplicando-se a transformação B-1
na equação (4.7), obtém-se:
dqSR Rmαβ αβ
− − −
= +1 1 1
R S RB B B i B Biφ L (4.10)
Assim:
dq dqSR Rm αβ
= +R S Ri iI L Iφ (4.11)
A partir da expressão (4.6) obtém-se:
dqSR Smαβ αβ
= +S R Si iI L Iφ (4.12)
Reunindo-se as equações (4.11) e (4.12) e representando-se na forma
matricial, encontra-se a expressão (4.13).
0 0
0
00 0
d d
q q
S S
S
S S
S SR
S SS SR
RR R
SR R
R R
SR R
R R
i
0 0 0 0 0
i0 0 0 m 0
i0 0 0 0 m
0 0 0 0 0 i
0 m 0 0 0 i
0 0 m 0 0
i
α α
β β
φ   
    
 φ   
    
φ     
=     φ     
    φ     
     φ   
L
L
L
L
L
L
(4.13)
A expressão (4.13) mostra que as submatrizes indutâncias são diagonalizadas
pela transformação de PARK.
Convém chamar atenção para o fato de que as variáveis estatóricas não foram
transformadas; somente as variáveis rotóricas sofreram a ação da transformação de
PARK.
Fazendo-se o produto BB 1−
obtém-se:






=





θθ−
θθ






θθ
θ−θ
10
01
cossen
sencos
cossen
sencos
(4.14)

Portanto a transformação de PARK, como foi definida é ortogonal. Por isto, sob
esta transformação, a potência é invariante.
4.4 INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK
Para interpretarmos fisicamente a transformação de PARK, vamos considerar
os sistemas de eixos representados na Fig. 4.1.
•
θ
Rq
R d
Rβ
Rα
θ
Rβ
i Rq
i
Rα
i
Rd
i
Fig. 4.1 – Sistemas de eixo representando a transformada de Park.
Os eixos βα RR giram no sentido anti-horário com velocidade
•
θ . Os eixos
qd RR estão em repouso. Tem-se assim dois enrolamentos girando, com correntes αRi
e βRi e dois estacionários com correntes Rdi e qRi . Todos os enrolamentos são
considerados idênticos.
Decompondo-se as forças magnetomotrizes dos enrolamentos girantes
segundo os eixos fixos e dividindo-se pelo número de espiras, encontra-se as relações
(4.15) e (4.16).
θ−θ= βα
senicosii RRRd
(4.15)
θ+θ= βα
cosisenii RRRq
(4.16)
Na forma matricial obtém-se a expressão (4.17), que é a própria transformação
de PARK:












θθ
θ−θ
=








β
α
R
R
R
R
i
i
cossen
sencos
i
i
q
d
(4.17)

Pode-se estabelecer assim que a transformação de PARK permite converter
um conjunto de enrolamentos girantes num conjunto de enrolamentos fixos, produzindo
os mesmos efeitos. As correntes dos enrolamentos fixos terão freqüência diferente das
correntes dos enrolamentos girantes.
A transformação de enrolamentos fixos em girantes coloca em evidência a
seguinte questão: os enrolamentos do rotor são fixos, mas o rotor encontra-se em
movimento. Isto só é possível numa máquina a comutador. Assim, a transformação de
PARK transforma enrolamentos comuns, alimentado através de anéis, em
enrolamentos alimentados através de escovas e comutador, que são também
conhecidos com o nome de enrolamentos pseudo-estacionários. Desse modo a
transformação de PARK pode ser realizada fisicamente. Na Fig. 4.2 está representada
a transformação física.
R
Rα
β
VRβ
VR α Rq
Rd
VR d
VR q
Fig. 4.2 – Representação física da transformada de Park.
Simbolicamente, a máquina antes e depois da transformação está
representada na Fig. 4.3 e Fig. 4.4.
Sβ
Sα
Rβ
Rα
θ
Fig. 4.3 – Máquina original.
q
d
R
R
S = S
q
d
q β
S = Sd α
Fig. 4.4 – Máquina transformada.

4.5 TENSÕES DA MÁQUINA SOB A FORMA DE VARIÁVEIS DE PARK
O modelo elétrico em variáveis αβ é representado pelas equações (4.18) e
(4.19).
d
dtαβ αβ αβ
= +S S S Sv R i φ (4.18)
d
dtαβ αβ αβ
= +R R R Rv R i φ (4.19)
Aplicando-se a matriz B-1
na expressão (4.19) obtém-se a expressão (4.20).
( )dq
dq
d
dtαβ
− − −
= +
R
1 1 1
R R R
B
B v B R Bi B
φ
(4.20)
dq
dq dq dq
d d
dt dt
− − ∂ θ
= + +
∂θ
R
1 1
R R R R
B
v R i B B B
φ
φ (4.21)
cos sen sen cos
sen cos cos sen
− θ − θ − θ θ   ∂
=    θ θ − θ − θ∂θ    
1 B
B (4.22)
Assim:
0 1
1 0θ
− − ∂
=  ∂  
1 B
B (4.23)
dq
dq dq dq
d 0 1d
1 0dt dt
− θ
= + +  
 
R
R R R Rv R i
φ
φ (4.24)
dq
dq dq
d
dt
= +
S
S S Sv R i
φ
(4.25)
As expressões (4.25) e (4.24) podem ser reescritas segundo as expressões
(4.26) e (4.27) respectivamente.

d d d d
q q q q
S S S RS S SR
S S SRS S S R
v i i iR 0 p 0 pm 0
0 R 0 p 0 pmv i i i
            
= + +            
                   
L
L
(4.26)
d d
d d q q
q q d d
q q
S S
R R S SSR R SR RR
SR R SR RRR R R R
R R
i i
v i i im 0 0 m 0 0R 0 0 1
p
0 m 0 0 m 00 Rv i i 1 0 i
i i
•
   
   
       −      
= + + θ             
               
   
      
L L
L L
(4.27)
Resumindo-se as expressões (4.26) e (4.27), encontra-se as equações (4.28).
d d
q q
d d
q q
S S SRS S
S SS S SR
R R
SR SR R R R
R R
SR SR R R R
R p 0 pm 0v i
v i0 R p 0 pm
v i
pm m R p
v i
m pm R p
• •
• •
 
+    
    
+    =    
   θ + θ 
           − θ − θ + 
L
L
L L
L L
(4.28)
As expressões (4.28) representam as equações elétricas da máquina simétrica
trifásica (ou polifásica), com o referencial colocado no estator. Está sendo considerada
uma máquina de dois pólos. A generalização para um número genérico de pares de
pólos será apresentada mais adiante. As componentes homopolares quando existirem,
poderão ser adicionadas nas equações (4.28).
Estas equações são muito importantes e são capazes de representar a
máquina sob não importa qual condição de operação.
4.6 EXPRESSÃO DO TORQUE
Foi estabelecida a expressão do torque, com a seguinte forma:
( )
T
t
αβαβ
∂ θ
=
∂θ
SR
S R
L
i i (4.29)
mas,
( ) 1
SR BθL −
= SRm (4.30)

Portanto:
SRT = m
t
αβαβ
−
∂
∂θ
1
S R
B
i i (4.31)
SRT = m dqdq
t
θ
−
∂
∂
1
S R
B
i Bi (4.32)
sen cos
cos sen
−
− θ − θ ∂
=  θ − θ∂θ  
1
B
(4.33)
sen cos cos sen
cos sen sen cos
−
− θ − θ θ θ   ∂
=    θ − θ − θ θ∂θ    
1
B
B (4.34)
0 1
1 0
−
− ∂
=  ∂θ  
1
B
B (4.35)
Assim:
dqdq
01
10
mT
t
SR RS ii 




 −
= (4.36)
d
d q
q
R
SR S S
R
i0 1
T m i i
1 0 i
 − 
 =    
    
(4.37)
( )q d d qSR S R S RT m i i i i= − (4.38)
4.7 EQUAÇÕES COMPLETAS DA MÁQUINA
O modelo completo para a máquina de indução, com n pares de pólos é
representado pelas equações (4.39) e (4.40). Será considerada uma máquina em que
d qR Rv v 0= = (rotor em curto-circuito).

d d
q q
d
q
S S SRS S
S SS S SR
R
SR SR R R R
R
SR SR R R R
R p 0 pm 0v i
v i0 R p 0 pm
0 i
pm n m R p n
0 i
n m pm n R p
• •
• •
 
+    
    
+    =    
   θ + θ 
           − θ − θ + 
L
L
L L
L L
(4.39)
( )q d d qSR S R S RT = nm i i -i i (4.40)
S
n
ω
ω
= (4.41)
onde:
ω ⇒ Pulsação das tensões de alimentação.
Sω ⇒ Velocidade síncrona do motor.
4.8 GENERALIZAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK
Neste item será estabelecido o modelo de PARK da máquina simétrica, para
um sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer, representado na
Fig. 4.5.
Os enrolamentos do estator, αS e βS estão em repouso. Os enrolamentos do
rotor, αR e βR giram com velocidade
•
θ . Os eixos qd giram com velocidade
•
Ψ . Todos
os enrolamentos possuem o mesmo número de espiras.

S
S
R
R β
β
α
α
d
q
isβ
isα
iR
α
iR
β
is
iR
d
d
isq
iRq
θ
Ψ
ωm
Fig. 4.5 – Sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer.
Fazendo as projeções das forças magnetomotrizes do rotor e do estator sobre
os eixos de referência qd , obtém-se as expressões a seguir:
a)
dSi i cos i senS Sα β
= Ψ + Ψ (4.42)
qS S Si i sen i cosα β
= − Ψ + Ψ (4.43)
Representando-se na forma matricial obtém-se as expressões (4.44).
S S
S S
i icos sen
i sen cos i
d
q
α
β
   Ψ Ψ 
=    − Ψ Ψ       
(4.44)
b)
( ) ( )dR R Ri i cos i senα β
= Ψ −θ + Ψ − θ (4.45)
( ) ( )qR R Ri = -i sen i cosα β
Ψ −θ + Ψ −θ (4.46)
( ) ( )
( ) ( )
R R
R R
i icos sen
sen cosi i
d
q
α
β
   Ψ −θ Ψ − θ 
=    
− Ψ − θ Ψ −θ       
(4.47)
Os casos particulares, mais comumente empregados são os seguintes:

I ) Referencial no estator ( )0Ψ =












=








β
α
S
S
S
S
i
i
10
01
i
i
q
d
(4.48)












θθ
θ−θ
=








β
α
R
R
R
R
i
i
cossen
sencos
i
i
q
d
(4.49)
II ) Referencial no rotor ( )Ψ = θ












θθ−
θθ
=








β
α
S
S
S
S
i
i
cossen
sencos
i
i
q
d
(4.50)












=








β
α
R
R
R
R
i
i
10
01
i
i
q
d
(4.51)
III ) Referencial no campo girante
StΨ = ω (4.52)
tmω=θ (4.53)












ωω−
ωω
=








β
α
S
S
SS
SS
S
S
i
i
tcostsen
tsentcos
i
i
q
d
(4.54)
( ) ( )
( ) ( )
d α
q β
R RS m S m
S m S mR R
i icos ω -ω t sen ω -ω t
=
-sen ω -ω t cos ω -ω ti i
    
    
       
(4.55)

4.9 EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA NUM SISTEMA DE EIXOS
GENÉRICOS
Sejam as transformações definidas pelas expressões (4.56) e (4.57).
cos sen
sen cos
− Ψ Ψ 
=  − Ψ Ψ 
1
SB (4.56)
( ) ( )
( ) ( )
cos sen
sen cos
− Ψ − θ Ψ − θ 
=  
− Ψ −θ Ψ −θ 
1
RB (4.57)
Sejam as equações elétricas da máquina, sob a forma de variáveis αβ ,
representadas pelas expressões (4.58) e (4.59).
d
dt
αβ
αβ αβ
= +
S
S S Sv R i
φ
(4.58)
d
dt
αβ
αβ αβ
= +
R
R R Rv R i
φ
(4.59)
Vamos aplicar a transformação BS
-1
na equação (4.58).
d
dt
αβ
αβ αβ
− − −
= +
S1 1 1
S S S S S SB v B R i B
φ
(4.60)
( )dq
dq dq
d
dt
− −
= +
S S
1 1
S S S S S S
B
v B R B i B
φ
(4.61)
SSS
1
S RBRB =
−
(4.62)
dq dq
dq
d d
dt dt
•
− − − ∂
= + Ψ
∂Ψ
S S S1 1 1 S
S S S S S
B B
B B B B
φ φ
φ (4.63)
0 1d
1 0d
− − 
=  Ψ  
1 S
S
B
B (4.64)

Levando-se (4.62), (4.63) e (4.64) em (4.61) obtém-se:
dq
dq dq dq
d 0 1
1 0dt
•− 
= + + Ψ 
 
S
S S S Sv R i
φ
φ (4.65)
Adotando-se procedimento análogo para a equação elétrica do rotor, obtém-se:
dq
dq dq dq
d 0 1
1 0dt
• •−  
= + + Ψ− θ  
  
R
R R R Rv R i
φ
φ (4.66)
Em seguida será deduzida a expressão do torque:
( )t
T αβαβ
∂
=
∂θ
SR
S R
L
i i
θ
(4.67)
dqSSS iBi =αβ
(4.68)
Assim:
ttt
dq SSS Bii =αβ
(4.69)
dqRRR iBi =αβ
(4.70)
Assim:
( )
dqdq
t t
T
∂
=
∂θ
SR
S S R R
L
i B B i
θ
(4.71)
mas,
( ) SRm −
= 1
SRL Bθ (4.72)
Assim:
dqdqSRT = m
t t
−
∂
∂θ
1
S S R R
B
i B B i (4.73)
Assim:

( )d d q dSR R S R ST = m i i -i i (4.74)
Reunindo-se as equações (4.65), (4.66) e (4.74), desenvolvendo-se e
generalizando-se para n pares de pólos, obtém-se o modelo representado pelas
equações (4.75) e (4.76). Para o rotor em curto, basta fazer d qR Rv v 0= = .
d d
q q
d d
q q
S S S SR SR
S S
S S S SR SR
S S
R R
SR SR R R R
R R
SR SR R R R
R p n pm m n
v i
n R p m n pmv i
v i
pm m n R p n
v i
m n pm n R p
• •
• •
• • • •
• • • •
 
+ − Ψ − Ψ 
    
    Ψ + Ψ   
 =  
      − Ψ−θ + − Ψ−θ         
      
    
Ψ−θ Ψ−θ +        
L L
L L
L L
L L





(4.75)
( )qddq RSRSSR iiiimnT −= (4.76)
Quando a velocidade do motor varia com o tempo, as equações elétricas da
máquina são não-lineares. Para velocidade constante, o modelo torna-se linear.
Em qualquer das situações, a equação mecânica é não-linear, pois aparece o
produto de duas correntes.
O modelo obtido representa a máquina para qualquer situação e para qualquer
referencial.
4.10 MODELO DQ REFERIDO AO PRIMÁRIO
Ao se estabelecer as equações da máquina simétrica representadas pelas
equações (4.75) e (4.76), não se fez referências à relação de transformação entre os
enrolamentos estatóricos e rotóricos. Assim, ao se empregar as referidas equações,
deve-se empregar os parâmetros do estator medidos no estator e os do rotor medidos
no lado do rotor.

Porém, quando se trata de uma máquina com rotor em gaiola, não se tem
acesso ao rotor. Todos os parâmetros são referidos ao estator. Por isto as equações da
máquina devem ser desenvolvidas para permitir o emprego desses parâmetros
medidos em relação a um só lado.
Para realizar tal modificação, será aplicada a transformação primária-
secundária, que será apresentada com detalhes no capítulo 7, e que aqui está
representada pela expressão (4.77):
dd
qq
dd
qq
SS
SS
'
RR
'
RR
vv 1 0 0 0
vv 0 1 0 0
0 0 a 0 vv
0 0 0 a vv
   
    
    
 =   
    
           
(4.77)
Assim:
[ ]'
SR SRv v−
  = 
1
PS (4.78)
Onde a é a relação entre o número de espiras do estator e o número de espiras
do rotor.
A matriz PS-1
refere todas as tensões ao estator.
Para as correntes, a transformação é dada pela expressão (4.79).


























=














q
d
q
d
q
d
q
d
R
R
S
S
'
R
'
R
S
S
i
i
i
i
a1000
0a100
0010
0001
i
i
i
í
(4.79)
SR
'
SR iSPi = (4.80)
Em seguida a transformação será aplicada nas equações da máquina.
=
'
SR SRv Z i (4.81)
1−
=
' '
SR SRPS v ZPS i (4.82)

1 1− −
=
' '
SR SRv PS ZPS i (4.83)
onde Z é dada pela expressão (4.84).
S S S SR SR
S S S SR SR
SR SR R R R
SR SR R R R
R p n pm m n
n R p m n pm
pm m n R p n
m n pm n R p
• •
• •
• • • •
• • • •
 
+ − Ψ − Ψ 
 
 
Ψ + Ψ 
 =
    
− Ψ−θ + − Ψ−θ       
 
    
Ψ− θ Ψ− θ +        
Z
L L
L L
L L
L L
(4.84)
Realizando o produto matricial determinado pela expressão (4.83),
encontramos as equações representadas pela expressão (4.85).
Quando os parâmetros são obtidos por ensaio, a relação de transformação é
desconhecida. Isto não apresenta dificuldade na análise, uma vez que eles serão
determinados em relação ao estator. Desse modo todas as grandezas rotóricas, como
tensão e corrente, ficam determinadas também referidas ao estator.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
d d
q
d
q
S S S SR SR
S S
S S S SR SR
S
'
2 2R
SR SR R R R
'
R
2 2
SR SR R R R
R p n p am am n
v i
n R p am n p amv
v
p am am n a R p n a
v
am n p am n a a R p
• •
• •
• • • •
• • • •
 
+ − Ψ − Ψ 
  
   Ψ + Ψ  
   =
      − Ψ−θ + − Ψ−θ         
        
Ψ−θ Ψ−θ +         
L L
L L
L L
L L
q
d
q
S
'
R
'
R
i
i
i
 
 
 
 
 
 
  
(4.85)
Através de ensaios clássicos, a vazio e em curto-circuito, pode-se determinar
os parâmetros elétricos.
1) 1SR mma = ⇒ indutância magnetizante medida em relação
ao estator.
2) S 1 1m= +L ⇒ sendo 1 a indutância de dispersão do
estator.

3)
'2
R 2 1 Ra m= + =L L ⇒ sendo 1 a indutância de dispersão do rotor
referida ao estator.
4) SR ⇒ resistência do estator.
5)
'
RR
2
RRa = ⇒ resistência do rotor referida ao estator.
Desse modo as equações elétricas passam a ser representadas pela
expressão (4.86):
d d
q q
d d
q q
S S S 1 1
S S
S S S 1 1
S S
' '
' ' '
R R
1 1 R R R
' '
R R
' ' '
1 1 R R R
R p n pm m n
v i
n R p m n pmv i
v ipm m n R p n
v i
m n pm n R p
• •
• •
• • • •
• • • •
 
+ − Ψ − Ψ 
    
   
Ψ + Ψ   
   =
      
− Ψ−θ + − Ψ−θ            
      
Ψ−θ Ψ−θ +        
L L
L L
L L
L L







(4.86)
( )q d d d
' '
1 S R S RT = nm i i -i i (4.87)
O torque fica representado pela expressão (4.87).

1) Seja:
( )1S Sv 2 Vsen t= ω + θ
( )2S Sv 2 Vsen t 120= ω − ° + θ
( )3S Sv 2 Vsen t 120= ω + ° + θ
Determinar 0Sv , dSv e qSv para o referencial colocado no estator e colocado no
campo girante.
2) Um motor de indução é alimentado por um inversor do tipo °180 . As formas de onda
impostas em cada fase estão representadas abaixo. Obter e representar graficamente
as tensões 0Sv , dSv e qSv .
vS1
vS2
vS3
(2E/3)
(E/3)
(2E/3)
(E/3)
(2E/3)
(E/3)
O O O O
0 60 120 180
Fig. 4.6 – Formas de onda impostas as fases de um motor trifásico.

3) Obter o modelo de estado do motor de indução, para um referencial genérico, em
termos de variáveis dq.
4) Considere o modelo do motor de indução com referencial no campo girante. Seja:
1S Sv 2Vsen t= ω
( )2S Sv 2Vsen t 120= ω + °
( )3S Sv 2Vsen t 120= ω − °
Consideremos o motor em regime permanente.
(a) As tensões dSv e qSv são funções do tempo? Por que?
(b) As correntes dSi , qSi , dRi e qRi são funções do tempo? Por que?
5) Seja o enrolamento trifásico rotórico de uma máquina de indução, girando no sentido
anti- horário em relação ao estator. Seja:
( )1R R Rv 2V sen t= ω + ∆
( )2R R Rv 2V sen t 120= ω − °+ ∆
( )3R R Rv 2V sen t 120= ω + °+ ∆
Seja SmR ω=ω+ω onde:
mω ⇒ velocidade do rotor
Sω ⇒ pulsação das correntes do estator
Rω ⇒ pulsação das correntes do rotor
a) Determinar as tensões 0Rv , Rv α
e Rv β
. Qual a freqüência dessas tensões?

b) Determinar as tensões 0Rv , dRv e qRv para um referencial colocado no estator. Qual a
freqüência dessas tensões?
Supor em seguida que:
( )1R R Rv 2V sen t= ω + ∆
( )2R R Rv 2V sen t 120= ω + °+ ∆
( )3R R Rv 2V sen t 120= ω − °+ ∆
Repetir as questões a) e b). A freqüência das tensões mudou? Por que?
6) Seja uma máquina de indução trifásica onde:
m 0tθ = ω + θ
S m Rω = ω + ω
( )1S S Si I sen t= ω + φ
( )2S S Si I sen t 120= ω − ° + φ
( )3S S Si I sen t 120= ω + ° + φ
( )1R R Ri I sen t= ω + ∆
( )2R R Ri I sen t 120= ω − °+ ∆
( )3R R Ri I sen t 120= ω + °+ ∆
Determinar a expressão do torque desenvolvido pela máquina, partindo da
expressão:

( )SR Sq Rd Sd RqT m i i i i= −
7) Um motor de indução pode ser empregado como freio, impondo-se a seguinte
alimentação:
(a) a fase α do estator é alimentada por uma corrente contínua ICC.
(b) a fase β do estator é mantida aberta.
Nessas condições, empregando o modelo de PARK com referencial no estator,
determinar:
(a) a expressão do torque desenvolvido pelo motor em função da velocidade.
(b) a velocidade, em função dos parâmetros da máquina, para a qual o torque é
máximo.
(c) a expressão do torque máximo.
8) Considere o modelo de PARK motor de indução com o referencial no campo girante.
Seja uma fonte que imponha as correntes estatóricas do motor. Assim:
dS S Si I sen t= ω
qS S Si I cos t= ω
Determinar as expressões das correntes dRi e qRi e do torque desenvolvido
pelo motor.
9) Considere um motor de indução de rotor bobinado em repouso. No instante t 0= as
três fases do estator são subitamente alimentadas com tensões senoidais
balanceadas. Determinar a evolução das tensões rotóricas em função do tempo.
Considerar os enrolamentos rotóricos abertos.

10) Considere uma máquina de indução bifásica com rotor em gaiola. A fase d é
alimentada por uma tensão do tipo:
dS Sv 2Vsen t= ω
A fase q é mantida aberta. A máquina é acionada por um motor auxiliar.
q
d
vSd
ωm
Fig. 8.7 – Máquina de indução bifásica com rotor em
gaiola.
Demonstrar que a tensão qSv é função da
velocidade do rotor. Que condições devem
ser satisfeitas para que a relação entre
qSv e mω seja linear ?
Empregar as equações de PARK para o
referencial colocado no estator. Este
sistema é conhecido como tacogerador de
indução. A sua característica principal é o
fato da tensão gerada qSv apresentar
freqüência constante, igual à freqüência
da tensão dSv de excitação.
11) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d do estator é
alimentado por uma fonte que lhe impõe uma corrente senoidal.
12) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d é alimentado por
uma corrente contínua.

CAPÍTULO
5
AS COMPONENTES SIMÉTRICAS
INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA
5.1 INTRODUÇÃO
O emprego das componentes simétricas instantâneas permite a obtenção de
modelos mais simples que aqueles obtidos com a transformação de PARK. Esses
novos modelos são adequados para estudos analíticos para as situações em que a
máquina gira em velocidade constante.
5.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO COMPONENTES
SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS
Vamos considerar o modelo estabelecido no capítulo IV e representado pelas
equações (5.1).
d d
q q
d d
q q
S S S SR SR
S S
S S S SR SR
S S
R R
SR SR R R R
R R
SR SR R R R
R p pm m
v i
R p m pm
v i
v i
pm m R p
v i
m pm R p
• •
• •
• • • •
• • • •
 
+ − Ψ − Ψ 
    
    Ψ + Ψ    
 =   
       − Ψ−θ + − Ψ−θ          
       
    
Ψ−θ Ψ−θ +         
L L
L L
L L
L L
(5.1)
Verifica-se que cada submatriz da matriz é do tipo representado pela
expressão (5.2).
a b
b a
− 
=  
 
Z (5.2)

Vamos determinar uma transformação que diagonalize a matriz Z. Tomando-
se:
( )( ) 2
a a b 0−λ −λ + = (5.3)
encontra-se:
1
2
a jb
a jb
λ = +
λ = −
(5.4)
que são os autovalores da matriz Z.
A seguir são calculados os autovetores associados aos autovalores λ1 e λ2.
( )11 11
21 21
z za b
a jb
z zb a
−     
= +    
    
(5.5)
( )11 21 11az bz a jb z− = + (5.6)
Assim:
21 11z jz= − (5.7)
( )12 12
22 22
z za b
a jb
z zb a
−     
= −    
     
(5.8)
( )12 22 12az bz a jb z− = − (5.9)
Assim:
22 12z jz= (5.10)
Assim os autovetores associados aos autovalores λ1 e λ2 são respectivamente:

88 CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA
z
jz
 
=  − 
1z (5.11)
e
z
jz
 
=  
 
2z (5.12)
Consequentemente, a matriz [ D2 ] que diagonaliza a matriz Z é dada pela
expressão (5.13).
1 1
z
j j
 
=  − 
2D (5.13)
Para que a transformação mantenha invariante a potência, ela deve ser
unitária. Assim:
( )
*t 1−
=2 2D D (5.14)
ou
( )
*1 t−
=2 2D D (5.15)
onde a matriz inversa é igual à transposta conjugada.
A partir de (5.13), obtém-se:
t 1 j
z
1 j
− 
=  
 
2D (5.16)
( )
*1 1 j1
1 j2z
− − 
=  
 
2D (5.17)
Para que a relação (5.14) se verifique é necessário que:

1
z
2z
= (5.18)
1
z
2
= (5.19)
Assim:
1 11
j j2
 
=  − 
2D (5.20)
1 1 j1
1 j2
−  
=  − 
2D (5.21)
Conhecendo-se as expressões de [ D2 ] e [ D2
-1
], pode-se diagonalizar a matriz
Z, com o emprego da expressão (5.22).
1−
=DZ 2 2D ZD (5.22)
Assim:
a jb 0
0 a jb
+ 
=  − 
DZ (5.23)
como era de se esperar, pois os termos que aparecem são os autovalores da matriz Z.
Sabe-se que:
=dq dq dqv z i (5.24)
=+- +- +-v z i (5.25)
onde a notação [ +- ] refere-se às componentes simétricas instantâneas, obtidas a
partir das componentes de PARK.
Sabemos que:

90 CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA
1−
=+-Z 2 dq 2D Z D (5.26)
Assim
1−
=+- +-v i2 dq 2D Z D (5.27)
ou
=+- +-v i2 dq 2D Z D (5.28)
Comparando-se (5.28) com (5.24) obtém-se:
=dq +-v v2D (5.29)
1−
=+-v 2 dqD v (5.30)
=dq +-i i2D (5.31)
1−
= dqi+- 2i D (5.32)
Assim, a matriz D2
-1
transforma as variáveis de Park ( dq ) em componentes
simétricas instantâneas ( +- ).
Pode-se assim estabelecer a expressão (5.33).
d
q
d
q
SS
SS
R R
R R
vv 1 j 0 0
vv 1 j 0 01
v 0 0 1 j v2
v 0 0 1 j v
+
−
+
−
    
    −     =     
    
−        
(5.33)
A mesma transformação pode ser empregada nas demais variáveis da
máquina, como fluxos e correntes.

Quando se trata de transformação trifásica, a forma empregada é a
representada pela expressão (5.34).
1
2 0 0
1
0 1 j
2
0 1 j
−
 
 
=  
 − 
2D (5.34)
5.3 EQUAÇÕES DAS TENSÕES
Definimos anteriormente a transformação componentes simétricas
instantâneas. Vamos a seguir aplicá-la na obtenção de um novo modelo para a
máquina simétrica.
As equações (5.1) podem ser reescritas segundo as equações .
    
   = 
       
dq dq
dq dq
S S
R R
v i
v i
1 3
2 4
Z Z
Z Z
(5.35)
Assim:
       
=       
       
+- +-
+- +-
S S
R R
v i
v i
1 32 2
2 42 2
Z ZD D
Z ZD D
0 0
0 0
(5.36)
Podemos então estabelecer que:
1 1
1 1
− −
− −
    
 =   
     
+- +-
+- +-
S S
R R
v i
v i
2 1 2 2 3 2
2 2 2 2 4 2
D Z D D Z D
D Z D D Z D
(5.37)
Cada submatriz da matriz impedância fica então diagonalizada. Assim:

Teoria fundamental do motor de indução

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