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1. REPÚBLICABOLIVARIANADE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN BARCELONA
REALIZADO POR:
Stefany Marcano
C.I V-27.823.547
Profesor:
Pedro Beltrán
BARCELONA, 12 DE JUNIO DEL 2019

2. INTRODUCCIÓN
Una ecuación paramétrica define un grupo de cantidades como funciones de una o más variables independientes
llamadas parámetros.
Las ecuaciones paramétricas se usan comúnmente para expresar las coordenadas de los puntos que conforman un
objeto geométrico como una curva o superficie, en cuyo caso las ecuaciones se denominan colectivamente una
representación paramétrica o parametrización (alternativamente deletreada como parametrización) del objeto.
Entre sus expresiones t es el parámetro: Un punto (x, y) está en el círculo unitario si y solo si hay un valor de t tal que
estas dos ecuaciones generan ese punto. A veces, las ecuaciones paramétricas para las variables de salida escalares
individuales se combinan en una sola ecuación paramétrica en vectores.
Además de las curvas y las superficies, las ecuaciones paramétricas pueden describir variedades y variedades
algebraicas de dimensión superior, con el número de parámetros igual a la dimensión de la variedad o variedad, y el
número de ecuaciones igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad o variedad (para las curvas, la
dimensión es uno y se usa un parámetro, para las superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).

3. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA VECTORIAL
Fundamentos
El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones (extensión de los números reales) 1, i, j, y k, así como también
de la geometría cartesiana promovida por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los vectores servirían de
instrumento para representar varios fenómenos físicos.
El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:
Geométricamente
Los vectores son representados
por rectas que tienen una
orientación, y las operaciones
como suma, resta y
multiplicación por números
reales son definidas a través de
métodos geométricos.
Analíticamente
La descripción de los vectores y sus
operaciones es realizada con números,
llamados componentes. Este tipo de
descripción es resultado de una
representación geométrica porque se utiliza
un sistema de coordenadas.
Axiomáticamente
Se hace una descripción de los
vectores, independientemente del
sistema de coordenadas o de
cualquier tipo de representación
geométrica.

4. El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un sistema de referencia, que puede ser en una
o más dimensiones.
Entre los principales sistemas se encuentran:
Sistema unidimensional
Se trata de una recta donde un punto (O)
representa el origen y otro punto (P)
determina la escala (longitud) y el
sentido de esta:
Sistema de coordenadas rectangulares
(bidimensional)
Está compuesto por dos rectas perpendiculares llamadas
eje x y eje y, que pasan por un punto (O) origen; de esa
forma el plano queda divido en cuatro regiones llamadas
cuadrantes. En este caso un punto (P) en el plano es dado
por las distancias que existen entre los ejes y P.

5. Sistema de coordenadas polares (bidimensional)
En este caso el sistema es compuesto por un punto O
(origen) que es llamado polo y una semirrecta con origen
en O llamada eje polar. En este caso el punto P del plano,
con referencia al polo y al eje polar, es dado por el ángulo
(Ɵ), que se forma por la distancia que existe entre el
origen y el punto P.
Sistema tridimensional rectangular
Formado por tres rectas perpendiculares (x, y, z)
que tienen como origen un punto O en el espacio.
Se forman tres planos coordenados: xy, xz y yz; el
espacio quedará dividido en ocho regiones
llamadas octantes. La referencia de un punto P
del espacio es dada por las distancias que existen
entre los planos y P.

6. Los vectores son representaciones gráficas de una magnitud vectorial; es decir, son segmentos de recta en los que su
extremo final es la punta de una flecha.
Estos son determinados por su módulo o longitud del segmento, su sentido que es indicado por la punta de su flecha y su
dirección de acuerdo con la recta a la que pertenezca. El origen de un vector es también conocido como el punto de
aplicación.
Los elementos de un vector son los siguientes:
Módulo
Es la distancia que hay desde el origen hasta el extremo de un
vector, representada por un número real junto con una unidad.
Por ejemplo:
|OM| = |A| = A = 6 cm
Dirección
Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a partir del
positivo) y el vector, así como también se utilizan los puntos
cardinales (norte, sur, este y oeste).
Sentido
Es dado por la punta de flecha ubicada en el extremo
del vector, indicando hacia dónde se dirige este.

7. CAMPO VECTORIAL
Es toda aplicación que a cada punto del espacio le hace corresponder un vector. Ejemplo: la fuerza de atracción
gravitatoria que genera la tierra en cualquier punto del espacio.
CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES
VECTOR FIJO
Es aquel cuyo punto de
aplicación (origen) es fijo; es
decir, que se mantiene ligado a
un punto del espacio, por lo que
no puede desplazarse en este.
VECTOR LIBRE
Puede moverse libremente en el espacio
porque su origen se traslada a cualquier
punto sin cambiar su módulo, sentido o
dirección.
VECTOR DESLIZANTE
Es aquel que puede trasladar su origen a
lo largo de su línea de acción sin cambiar
su módulo, sentido o dirección.

8. VECTORES EQUIPOLENTES
Son aquellos vectores libres que
tienen igual módulo, dirección (o
estas son paralelas) y sentido que
un vector deslizante o un vector
fijo.
VECTORES EQUIVALENTES
Ocurre cuando dos vectores tienen la
misma dirección (o son paralelas), el
mismo sentido, y a pesar de tener
diferentes módulos y puntos de
aplicación, estos provocan efectos
iguales.
IGUALDAD DE VECTORES
Estos tienen igual módulo, dirección y
sentido, aun cuando sus puntos de
partida son diferentes, lo que permite
que un vector paralelo se traslade a sí
mismo sin afectarlo.
VECTORES OPUESTOS
Son aquellos que tienen el mismo
módulo y dirección, pero su sentido es
opuesto.
VECTOR NULO
Es aquel cuyo módulo es igual a 0; es
decir, su punto de origen y extremo
coinciden en un mismo punto.
o

9. VECTOR UNITARIO
Es aquel en el que el módulo es igual a la unidad (1). Este
se obtiene al dividir el vector por su módulo y es utilizado
para determinar la dirección y sentido de un vector, bien
sea en el plano o en el espacio, utilizando los vectores
base o unitarios normalizados, que son:
OPERACIONES CON VECTORES
PROPIEDADES DE LA SUMA DE
VECTORES EN EL ESPACIO
SUMA Y RESTA
MULTIPLICACIÓN
El nuevo vector tendrá sus propias características.
– La dirección: este nuevo vector será perpendicular al plano, que es
determinado por los vectores originales.
– El sentido: este se determina con la regla de la mano derecha,
donde se gira el vector A hacia el B señalando el sentido de la
rotación con los dedos, y con el pulgar se marca el sentido del vector.
– El módulo: es determinado por la multiplicación de los módulos de
los vectores AxB, por el seno del ángulo menor que existe entre estos
vectores. Se expresa:

10. El valor del ángulo que existe entre los dos vectores va a
depender de si estos son paralelos o perpendiculares. Entonces,
es posible afirmar lo siguiente:
– Si los vectores son paralelos y tienen el mismo sentido, seno 0º
= 0.
– Si los vectores son paralelos y tienen sentidos opuestos, seno
180º = 0.
– Si los vectores son perpendiculares, seno 90º = 1.
Cuando un producto vectorial es expresado en función de sus
vectores bases, se tiene que:
Permite representar una curva o superficie en el plano o en el
espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números
reales, mediante una variable , llamada parámetro, considerando
cada coordenada de un punto como una función dependiente del
parámetro.
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
•Como ejemplo , la hélice circular tiene l estas
ecuaciones paramétricas x = a cos t, y = a sen t, z =
bt
Para describir una superficie en el espacio R3 se
emplean dos parámetros.: s, t. y el correspondiente
sistema de tres ecuaciones paramétricas es x =
x(s,t), y = y(s,t), z = z(s,t), resolviendo para s y t el
sistema formado por las dos primeras ecuaciones y
reemplazando en la ecuación z= z(s,t) se puede
obtener z= f(x,y) o bien F(x,y,z) = 0
Por ejemplo para la esfera, el sistema de ecuaciones
paramétricas es x = a cos s sent, y = asen s sen t , z
= a cos t
.
Se aplica en el estudio de la curvatura, radio de
curvatura de una curva plana, la curvatura y la torsión
de una curva en el espacio; plano tangente de una
superficie., etc. y da motiva a la llamada derivación
de ecuaciones paramétricas con resultados
peculiares.En el espacio R3 cada punto de una curva se puede definir por
un sistema de tres ecuaciones x= x(t), y = y(t), z= z(t).

11. CURVAS NOTABLES
CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que:
Una expresión paramétrica es:
ELIPSE
Una elipse con centro en , que se interseque con el eje x en , y con el eje y en , verifica que:
Una expresión paramétrica es:
REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICADE UNA CURVA
En un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente
o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están
representados por n de la forma representa la i-ésima coordenada del punto
generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3
funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)
donde

12. Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a
cada punto
le corresponda un punto distinto de la
curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto
correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.
Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las
derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta
de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.
Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial:
Donde representa al vector unitario correspondiente a la coordenada K-ésima. Por ejemplo, las
funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cos t, y = sen t. Podemos
reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma:
Siendo la base usual del espacio bidimensional real.

13. CIRCUNFERENCIA
Sea la circunferencia de centro en O y radio a sean además M(x,y) un punto de la curva y Θ=ángXOM
Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia.

14. CICLOIDE
Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una
recta fija.
Tómese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y
sea M el punto fijo que describe la curva.

15. que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide.
En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con
T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A, cada punto habrá
hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo instante genérico, la distancia OT es igual al
arco TM. Teniendo presente que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual
al radio multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir:

16. HIPOCICLOIDE
Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo
siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija.
Sean a el radio de la circunferencia fija de
centro O, b el radio de la circunferencia
menor, de centro O´, que rueda,
permaneciendo siempre tangente a la
circunferencia mayor, M el punto fijo de la
circunferencia menor que describe la
hipocicloide, y T el punto de tangencia. En
A coinciden M y T. cuando M haya
descrito la arcada AB; habrá girado 360°,
y el punto T habrá recorrido el arco AB; o
sea: arco AB=2πb.

17. Conviene expresar el ángulo φ en función de Θ para que figure un parámetro solamente.

19. ASTROIDE
Si los radios de las circunferencias que intervienen en la generación de la hipocicloide son
inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. Pero, si los radios a y b son
conmensurables, resulta una curva cerrada.
En el caso particular de b=(1/4)a, se
obtiene una curva llamada astroide.
Las ecuaciones paramétricas de
esta curva se deducen de las de la
hipocicloide, sustituyendo b por
(1/4)a y después reduciendo queda:
Que son las ecuaciones paramétricas de la astroide.

20. De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo,
o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de
referencia.
Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de
puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y
θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P.
El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la
«coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
Es un sistema de coordendas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y
una distancia.
En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención
de representar el origen por (0,0º).

21. En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares
de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo del vector de posición sobre
el eje x.
Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y su distancia r al
centro de coordenadas, se tiene:
Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:
(aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
• Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
• Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los
intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

22. Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las
siguientes fórmulas ( “arctan” denota la inversa de la función
tangente):
Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes
fórmulas:
o equivalentemente

23. En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de
la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar
esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas. La llegada
del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma.
Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma paramétrica; es decir, cuando x e y son funciones
de una nueva variable, el parámetro t . Para poder usar la integral de longitud de arco, primero calculamos las
derivadas de ambas funciones y obtenemos dx y dy en términos de dt.
Se sustituye estas expresiones en la integral y se factoriza el
término dt² fuera del radical.

24. LA LONGITUD DE UNA CURVA PARAMETRIZADA
Considera la curva parametrizada por las siguientes ecuaciones:
Si dejamos que t varíe de -1.5 a 1.5, la curva resultante se ve así:
EJEMPLO
Al diferenciar la función x Al diferenciar la función y

25. Al sustituir estas expresiones en la integral, obtenemos:
Ahora todo el integrando está escrito en términos de t por lo que los límites de integración corresponden con los
valores inicial y final del parámetro t. En este caso, t va de -1.5 a 1.5

26. Las ecuaciones paramétricas son ecuaciones que definen la ubicación de los puntos utilizando otra variable. Por lo
general, la variable independiente se representa como un valor t, mientras que los valores x e y se escriben como
funciones de "t".
Las ecuaciones han sido escritas en notación de funciones. Recuerde, esto significa que x (t) es una función llamada 'x'
que se define utilizando una variable t.
CONCLUSIÓN
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores,
matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de
ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas computacionales, entre otras.

28. https://www.youtube.com/watch?v=zuADQhh8huo
https://www.youtube.com/watch?v=LSsrD-gU-AE
https://www.youtube.com/watch?v=buX2WIloCSU

29. EcurRed, (25 de mayo del 2016). Ecuaciones paramétricas. Recuperado de:
https://www.ecured.cu/Ecuaciones_param%C3%A9tricas
BIBLIOGRAFÍA
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https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/vectores/operaciones-de-vectores-en-el-espacio.html
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Blogsalvatierrac.blogspot (15 de mayo del 2013). ¿Cómo convertir una curva paramétrica y polar a una rectangular o
cartesiana? Recuperado de http://blogsalvatierrac.blogspot.com/2013/05/como-convertir-una-curva-parametrica-y.html
Lifeder. Álgebra Vectorial: Fundamentos, Magnitudes, Vectores. Recuperado de: https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-
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about-multivariable-function/ways-to-represent-multivariable-functions/a/vector-fields