1. ECONOMETRIE
CURS 6

2. Modele cu variabile standardizate

3. Exemplu

4. Modele neliniare
Modelul log-liniar (putere)
 Modelul reciproc
 Modele semi-logaritmice cu variabila
independenta logaritmata
 Modele polinomiale


5. Liniaritate
Un model econometric poate fi liniar:
- în parametri:
- în variabile:
Y = β0 + β1 X 2 + ε
Y = β 0 + β 1 X 1 + β 22 X 2 + ε
- în parametri şi variabile: Y = β 0 + β 1 X + ε

6. Modelul log-liniar (I)
este un model de regresie neliniară
 variabilele modelului apar prin funcţia logaritm
 modelul apare ca rezultatul liniarizării prin logaritmare
a unui model de tip putere

Estimarea parametrilor modelului
Considerăm modelul simplu de forma:
β1
Y = β0 X e
ε
y i = β 0 xiβ1 e ε i
sau
Prin logaritmare, se obţine modelul:
ln y i = ln β 0 + β 1 ln xi + ε i

7. Modelul log-liniar (II)
Modelul log-liniar poate fi transformat într-un model liniar făcând
următoarele notaţii:
y i* = ln y i
*
β 0 = ln β 0
*
β1 = β1
x* = ln xi
i
*
*
y i* = β 0 + β 1 x* + ε i*
i
ε i* = ε i
Interpretarea parametrilor modelului
 parametrul β 0 : valoarea medie a variabilei dependente Y, când
variabila independentă X ia valoarea 1;
dY *
d ln Y
*
 parametrul β1 al modelului (*): β 1 = β 1 =
, exprimă
=
*
d ln X
dX
variaţia
medie relativă (procentuală) a variabilei dependente Y la o variaţie
relativă (procentuală) cu o unitate a variabilei independente X.

8. Modelul log-liniar (III)
Elasticitatea
• Elasticitatea unei variabile Y în raport cu o altă variabilă X
reprezintă modificarea relativă (procentuală) a variabile Y la o
modificare relativă (procentuală) a lui X cu o unitate.
• Parametrul β1 reprezintă elasticitatea variabilei dependente Y în
raport cu variabila independentă X.
• Elasticitatea poate fi determinată prin relaţia:
∆Y
100
% mod if . Y
∆Y X
E=
= Y
=
% mod if . X ∆X 100 ∆X Y
X

9. Modelul log-liniar (IV)
Funcţia de producţie Cobb-Douglas

Este un model de regresie neliniar multiplu de tip log-liniar, de
forma:
β
β
β
y i = β 0 ⋅ x1i1 ⋅ x 2 i2 ⋅ ... ⋅ xikk e ε i

Modelul de producţie cu doi factori, munca (L) şi capitalul (K), are
forma:
y i = β 0 ⋅ Lβ1 ⋅ K iβ 2 ⋅ e ε i
i
Interpretare parametri
 β0 este nivelul mediu al producţiei pentru K=1 şi L=1;

β1 este elasticitatea parţială a producţiei în raport cu munca;

β2 este elasticitatea parţială a producţiei în raport cu capitalul;

β1+β2 este elasticitatea totală a producţiei în raport cu cei doi
factori. Se numeşte randament de scară.

10. Modelul log-liniar (IV)
Interpretarea elasticităţii totale
β1+β2 =1: variaţie constantă a producţiei în raport cu
factorii de producţie;
 β1+β2 <1: variaţie cu o viteză mai redusă a producţiei în
raport cu variaţia factorilor;
 β1+β2 >1: variaţie mai accelerată a producţiei în raport cu
variaţia factorilor.

Exemplu: În studiul legăturii dintre producţia agricolă (lei),
numărul mediu de salariaţi în agricultură (persoane) şi
suprafaţa agricolă (ha), se obţine următoarea ecuaţie
estimată:
ln yi = ln 6,758 + 0,143 ln x1i + 0,471 ln x2i

11. Exemplu
- liniar -

12. - Putere -