Sogang ICPC Team – 2019 여름 고급 스터디

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0
Fast Fourier Transform
Sogang ICPC Team – 2019 여름 고급 스터디
Suhyun Park
acm.sogang.ac.kr

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1
Convolution
ci =
i
∑
j=0
ajbi−j
를 O (nlogn)만에 계산하는 데 쓰이는 알고리즘이다

3. .
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2
오늘의 스터디 끝!

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3
Convolution
··· 이 아니고, 사실 저도 이해하는 걸 포기했습니다 (어서 신호처리
들으세요)
PS에서는 저걸 계산하는 데에만 쓰기 때문에 원리는 이해하지 않아도
괜찮을 거 같고··· 어서 이 코드를 팀노트에 복사합시다.

5. .
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4
Convolution
anxn
+an−1xn−1
+···+a1x1
+a0
× bnxn
+bn−1xn−1
+···+b1x1
+b0
= c2nx2n
+c2n−1x2n−1
+···+c1x1
+c0
⇒ ci =
i
∑
j=0
ajbi−j 0 ≤ i ≤ 2n

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5
르모앙의 추측 BOJ #17134
5보다 큰 홀수는 홀수 소수 하나와 짝수 세미소수 하나의 합으로
나타낼 수 있다. 세미소수는 두 소수를 곱한 수이다.
홀수 N이 주어졌을 때, 홀수 소수 하나와 짝수 세미소수 하나의 합으로
나타내는 방법의 수를 구해보자.
▶ N ≤ 106
▶ 테스트 케이스 ≤ 105
개

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6
르모앙의 추측 BOJ #17134
두 개의 소수 p, q가 있다면 N = p+2q인 경우의 수를 세라는 의미
(p ̸= 2)

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7
르모앙의 추측 BOJ #17134
0+0·x1
+0·x2
+1·x3
+0·x4
+1·x5
+0·x6
+1·x7
+···
홀수 소수 차수의 항에서만 계수가 1
× 0+0·x1
+0·x2
+0·x3
+1·x4
+0·x5
+1·x6
+0·x7
+···
짝수 세미소수 차수의 항에서만 계수가 1
= ?
Remark: ci =
i
∑
j=0
ajbi−j 0 ≤ i ≤ 2n

9. .
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8
르모앙의 추측 BOJ #17134
0+0·x1
+0·x2
+1·x3
+0·x4
+1·x5
+0·x6
+1·x7
+···
홀수 소수 차수의 항에서만 계수가 1
× 0+0·x1
+0·x2
+0·x3
+1·x4
+0·x5
+1·x6
+0·x7
+···
짝수 세미소수 차수의 항에서만 계수가 1
를 하면 나오는 다항식의 모든 항 cixi
에 대해 ci 는 N = i일 때의 경우의
수가 된다

10. .
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9
르모앙의 추측 BOJ #17134
그런데 2×106
log 2×106
이 시간 안에 통과할까?

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10
르모앙의 추측 BOJ #17134
어차피 들어오는 쿼리는 전부 홀수이므로 우리는 c2k+1 에만 관심이
있으며 a2k 와 b2k+1 은 모든 k에 대해 어차피 0이니까
a′
i = a2i+1 b′
i = b2i c′
i = c2i+1
이라고 하면

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11
르모앙의 추측 BOJ #17134
a′
i = a2i+1 b′
i = b2i c′
i = c2i+1
c′
i = c2i+1 =
2i+1
∑
j=0
ajb(2i+1)−j
=
i
∑
j=0
a2 j
=0
b(2i+1)−2 j +
i
∑
j=0
a2j+1
=a′
j
b(2i+1)−(2j+1)
=
i
∑
j=0
a′
j b2i−2 j
=b′
i−j
=
i
∑
j=0
a′
jb′
i−j 0 ≤ i ≤ n

13. .
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르모앙의 추측 BOJ #17134
이렇게 하면 106
log 106
으로 줄어들고 N 이 들어오면 c′
N 대신 c′
⌊N
2 ⌋
을 구하면 된다 (물론 c′
i 는 전처리)

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르모앙의 추측 BOJ #17134
83 vector<int> c(1000001), a(1000001), b(1000001);
84
85 bitset<1000001> sieve;
86
87 int main() {
88 cin.tie(nullptr);
89 cout.tie(nullptr);
90 ios_base ::sync_with_stdio(false);
91
92 sieve.flip();
93 for (int i = 2; i <= 1000000; i ++) {
94 if (!sieve[i]) continue;
95 if (i != 2) a[i / 2] = 1;
96 if (i <= 500000) b[i] = 1;
97 for (int j = i * 2; j <= 1000000; j += i) {
98 sieve[j] = false;
99 }
100 }
source code
에라토스테네스의 체 돌리면서 a′
i, b′
i 전처리 – O (nloglogn)

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르모앙의 추측 BOJ #17134
102 multiply(a, b, c);
103
104 int n;
105 cin >> n;
106 while (n --) {
107 int x;
108 cin >> x;
109 cout << c[x / 2] << 'n';
110 }
111
112 return 0;
113 }
source code
FFT로 c′
전처리 – O (nlogn)

16. .
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르모앙의 추측 BOJ #17134
102 multiply(a, b, c);
103
104 int n;
105 cin >> n;
106 while (n --) {
107 int x;
108 cin >> x;
109 cout << c[x / 2] << 'n';
110 }
111
112 return 0;
113 }
source code
c를 계산하는 대신 c′
를 계산해 두고, 쿼리가 들어오면 c′
⌊N
2 ⌋ 출력 –
쿼리 각각은 O (1)