Statistik ARIMA

1. AUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE (ARIMA)

2. ARIMA: Gabungan dua model, yaitu Model Otoregresi (AR) dan Moving Average (MA).
Model AR berbentuk hubungan antara variabel terikat Y dengan variabel bebas yang merupakan nilai Y pada waktu sebelumnya.
Model MA menunjukkan ketergantungan variabel terikat Y terhadap nilai-nilai residual pada waktu sebelumnya secara berurutan.
Model otoregresi dengan orde p:pengamatan ytdibentuk dari rata-rata tertimbang pengamatan-pengamatan masa lalu, sebanyak p periode ke belakang.
Proses tersebut dinyatakan sebagai AR(p) dan modelnya adalah:
yt= 1yt-1+ 2yt-2+ . . . +pyt-p+ + et
Model AR(1) dapat dituliskan dengan:
yt= (1yt-1+ + et)

3. Model MA denganordo q: mengasumsikan bahwa tiap-tiap observasi dibentuk dari rata-rata tertimbang deviasi (disturbances) q periode ke belakang.
Model MA(q) dituliskan sebagai:
yt= + et-1 et-1-2et-2-. . . -qet-q
Untuk MA(1) model dapat dituliskan dengan:
yt = + et-1et-1
Adakalanya proses random yang stasioner tidak dapat dimodel melalui AR (p) atau MA (q) karena proses tersebut mempunyai karakteristik dua-duanya. Oleh karenanya, proses yang semacam ini perlu didekati dengan model campuran antara otoregresi dan moving average yang dikenal dengan model ARMA (p,q).
Model ini dinyatakan dalam bentuk:
yt= 1yt-1+. . . +pyt-p+ + et-1et-1-. . . -qet-q
Untuk ARMA (1,1), model adalah sebagai berikut:
yt= 1yt-1+ + et -1et-1

4. Proses diatas mengasumsikan data stasioner. Bagaimana bila data tidak stasioner? Transformasi dengan pembedaan (difference).
ARMA (p,q) ARIMA (p,d,q). ‘d’ adalah pembedaan.
Model dari proses ARIMA(p,d,q) dinyatakan dalam:
(B) dyt = + (B) et
Model diatas diberikan notasi yang merupakan bentuk sederhana penulisan model, dimana:
(B) = 1 -1B -2B2-. . . -pBp
(B) = 1 -1B -2B2-. . . -qBq
Bagaimana mengestimasi koefisien model?
Metode Yule-Walker Dalam kuliah ini tidak akan dijelaskan karena membutuhkan waktu yang cukup lama Akan dimanfaatkan output EViews atau SPSS.

5. Metode Box Jenkins
Metode Box Jenkins Mendapat Model ARIMA yang paling tepat. Pada dasarnya, metode ini menggunakan pendekatan iteratif, dengan empat tahapan dalam menentukan model yang cocok. Tahapan tersebut adalah:
IdentifikasiMencari atau menentukan p,d dan q dengan bantuan korelogram otokorelasi dan korelogram parsial otokorelasi.
Estimasi
Tes Diagnostikresidual White Noise?
Ramalan.

6. IDENTIFIKASI
Model
Pola ACF
Pola PACF
AR(p)
Menyusut secara eksponensial
Ada tiang pancang sampai lag p
MA(q)
Ada tiang pancang yang jelas sampai lag q
Menyusutsecara eksponensial
ARMA(p,q)
Menyusut secara eksponensial
Menyusut secara eksponensial

7. KORELOGRAM AR(1)
ACF Untuk AR(1) PACF Untuk AR(1)

8. KORELOGRAM MA(1)
ACF Untuk MA(1) PACF untuk θ positif
PACF untuk θ positif

9. Untuk ARMA(p,q) sulit menetapkan p dan q
ARIMA(p,d,q) sulit ditentukan dengan tepat.
Korelogram tetap dapat digunakan sebagai sinyal untuk menetapkan ARMA(p,q) dan ARIMA(p,d,q) berdasarkan AR dan MA Belum tentu tepat.
Perlu disiapkan beberapa alternatif model untuk diuji manakah yang tepat prinsip Metode Box Jenkins.
Setelah dipersiapkan tahap selanjutnya untuk memilih model.

10. Estimasi dan Diagnostik
Estimasi Metode Yule –Walker Output EViews dan SPSS
Diagnostik apakah residual white noise?
Pengujian: Gunakan korelogram
White Noise jika tidak ada residual yang signifikan (melampaui garis ‘Barlett’)
Uji lain: Statistik Q, dengan formulasi:
Q = T r2k2k-p-q
Pada intinya, bila Q terhitung lebih besar dari 2k-p-q ,5% kita yakin dengan 95% bahwa tidak semua k= 0. Bila hal ini terjadi, sudah barang tentu berarti residualnya tidak merupakan white noise.
Bagaimana jika ada dua atau lebih model yang White Noise?
Gunakan:
AIC, SIC, Loglikelihood, R2adj

11. ANALISIS MATA UANG YANG BEREDAR (M1)
Data stasioner?

12. Pembedaan 1
Data stasioner?
Meragukan? ADF

13. ADF Test Statistic
-5.713418
1% Critical Value*
-4.1135
5% Critical Value
-3.4836
10% Critical Value
-3.1696
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(M1,2)
Method: Least Squares
Date: 09/19/04 Time: 16:38
Sample(adjusted): 1998:05 2003:05
Included observations: 61 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
D(M1(-1))
-1.632112
0.285663
-5.713418
0.0000
D(M1(-1),2)
0.322046
0.218254
1.475554
0.1457
D(M1(-2),2)
0.128985
0.133493
0.966233
0.3381
C
2341.482
1568.758
1.492570
0.1412
@TREND(1998:01)
4.023247
39.36902
0.102193
0.9190
R-squared
0.635700
Mean dependent var
190.9180
Adjusted R-squared
0.609679
S.D. dependent var
8662.735
S.E. of regression
5412.105
Akaike info criterion
20.10908
Sum squared resid
1.64E+09
Schwarz criterion
20.28210
Log likelihood
-608.3268
F-statistic
24.42988
Durbin-Watson stat
1.946227
Prob(F-statistic)
0.000000

14. Berdasarkan Korelogram, bagaimana model ARIMA-nya? Hasil Estimasi:
Dependent Variable: D(M1)
Method: Least Squares
Date: 09/19/04 Time: 17:01
Sample(adjusted): 1998:03 2003:05
Included observations: 63 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 146 iterations
Backcast: OFF (Roots of MA process too large for backcast)
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
1739.835
182.5051
9.533075
0.0000
AR(1)
0.507934
0.107304
4.733605
0.0000
MA(1)
-1.138817
0.041948
-27.14807
0.0000
R-squared
0.321617
Mean dependent var
1574.571
Adjusted R-squared
0.299005
S.D. dependent var
5474.096
S.E. of regression
4583.212
Akaike info criterion
19.74464
Sum squared resid
1.26E+09
Schwarz criterion
19.84669
Log likelihood
-618.9560
F-statistic
14.22283
Durbin-Watson stat
1.919021
Prob(F-statistic)
0.000009
Inverted AR Roots
.51
Inverted MA Roots
1.14

15. Residualnya White Noise?

16. Penulisan Fungsi Berdasar Output EViews
Nilai-nilai koefisien yang didapat berdasarkan output EViews, tidaksecara langsung merupakan koefisien dari fungsi atau persamaan ARIMA (p,d,q) yang telah ditetapkan.
Model AR(p)
Dalam EViews, model AR(p) dituliskan dengan:
yt= δ + ut
dimana:
ut= ρ1ut-1+ ρ2ut-2+ ρ3ut-3+......+ ρput-p+ εt
Perhatikan model diatas, berbeda dengan model umum AR(p). Agar persamaan yang didapat sesuai dengan model umumnya, maka harus dilakukan penyelesaian secara manual.
Sebagai contoh, kita lihat model yang paling sederhana, yaitu AR(1), yang penurunannya adalah sebagai berikut:

17. AR(1): yt= δ + ut= δ + ρ1ut-1+ εt
Oleh karena: yt= δ + ut, maka: ut= yt–δ,
sehingga: ut-1= yt-1–δ
Dengan demikian, model AR(1) dapat dituliskan dengan:
yt= δ + ρ1(yt-1–δ) + εt= (1-ρ1) δ + ρ1yt-1+ εt.
Bila pada output ditemukan nilai koefisien untuk variabel AR(1) = 0,5 Artinya: ρ1=0,5, sehingga model yang didapat:
yt= (1-0,5) δ +0,5yt-1= 0,5 δ +0,5yt-1.
Bila pada output C = 1700 δ = 1700, sehingga persamaan:
yt= 0,5 (1700)+0,5yt-1= 850 + 0,5 yt-1
Untuk model-model AR dengan orde yang lebih tinggi, tekhnik penyelesaiannya kurang lebih sama dengan AR(1) diatas.

18. Model MA(q)
Sama dengan model AR(p), model MA(q) juga didefinisikan dengan:
yt= δ + ut
dimana:
ut= εt+ θ1εt-1+ θ2εt-2+ θ3 εt-3+......+ θqεt-q
Untuk model MA ini ternyata hampir tidak berbeda dengan model umum MA sebagaimana yang telah dipelajari.
Perhatikan model MA(1) berikut:
yt= δ + ut= δ + εt+ θ1εt-1
Sedang model yang pernah dipelajari adalah:
yt= + et-1et-1
Terlihat bahwa yang membedakan keduanya adalah tanda koefisien.
Bila pada output ditemukan nilai koefisien untuk variabel
MA(1) = -1.14 θ1= -1,14, dan C = 1700, maka model yang didapat:
yt= 1700 –1,14 εt-1

19. Model ARMA(p,q)
Model ARMA(p,q) juga didefinisikan sebagai:
yt= δ + ut
dimana:
ut= ρ1ut-1+ ρ2ut-2+ ρ3ut-3+......+ ρput-p+ εt+
θ1εt-1+θ2εt-2+ θ3εt-3+......+ θqεt-q
Sekarang perhatikan model ARMA(1,1) berikut:
ARMA(1,1): yt = δ + ut= δ + ρ1ut-1+ εt+ θ1εt-1
Ingat kembali bahwa: yt= δ + ut, maka: ut= yt–δ, sehingga: ut-1= yt-1–δ
Sehingga model ARMA(1,1) dapat dituliskan dengan:
yt= δ + ρ1(yt-1–δ) + εt + θ1εt-1
= (1-ρ1) δ + ρ1yt-1+ εt+ θ1εt-1
Perhatikan model diatas, ternyata merupakan pertambahan antara model AR(1) dan MA(1) yang telah kita selesaikan diatas.

20. Bila pada output ditemukan nilai koefisien:
AR(1) = 0,5
MA(1) = -1.14
C = 1700
Maka model ARMA(1,1) adalah:
yt= 0,5 (1700)+0,5yt-1= 850 + 0,5 yt-1 –1,14 εt-1
AR(1)MA(1)

21. Model ARIMA(p,d,q)
Model untuk ARIMA sedikit berbeda, karena kita harus memperhitungkan pembedaan yang telah dilakukan
Model dalam EViews:
yt -yt-1= δ + ut
Persamaan diatas dapat dijabarkan menjadi:
(1). yt= yt-1+ δ + ut
(2). ut = yt-yt-1-δ dan ut-1= yt-1-yt-2-δ
Model umum ARIMA(p,d,q) dapat kita tuliskan dengan langsung mensubstitusi persamaan ARMA dengan persamaan (1) dan (2) diatas.
Untuk memudahkan pemahaman, berikut akan diberikan contoh penjabaran dari model ARIMA (1,1,1).

22. Kita telah ketahui bahwa ut untuk ARMA(1,1) ditulis dengan: ut= ρ1ut-1+ εt+ θ1εt-1
Dengan mensubstitusi persamaan (2), didapat:
ut= ρ1(yt-1-yt-2–δ) + εt+ θ1εt-1
Persamaan ini kita substitusi kembali ke persamaan (1), sehingga menjadi:
yt= yt-1+ δ + ρ1(yt-1-yt-2–δ) + εt + θ1εt-1
yt= (1-ρ1) δ + (1+ ρ1) yt-1-ρ1yt-2 + εt + θ1εt-1
Untuk Analisis M1 ARIMA(1,1,1) dengan nilai koefisien:
AR(1) = 0,5
MA(1) = -1.14
C = 1739
Maka model ARIMA(1,1,1) adalah:
yt= (1-0,5) 1739+ (1+ 0,5) yt-1-0,5 yt-2 –1,14εt-1
yt= 869,5+ 1,5yt-1-0,5 yt-2–1,14εt-1

23. Model ARIMA(2,1,2):
Diketahui:
(1). yt = yt-1+ δ + ut
(2). ut= yt-yt-1-δ dan ut-1= yt-1-yt-2-δ serta ut-2= yt-2 -yt-3-δ
ut= ρ1ut-1+ ρ2ut-2+ εt+ θ1εt-1+ θ2εt-2
Substitusikan persamaan (2):
ut= ρ1(yt-1-yt-2–δ) + ρ2(yt-2-yt-3-δ) + εt+ θ1εt-1+ θ2εt-2
ut = -(ρ1+ ρ2) δ + ρ1yt-1+ (ρ2-ρ1) yt-2–ρ2yt-3 + εt + θ1εt-1+ θ2εt-2
Substitusikan persamaan diatas kedalam persamaan (1), sehingga:
yt= yt-1+ δ + -(ρ1+ ρ2) δ + ρ1yt-1+ (ρ2-ρ1) yt-2–ρ2yt-3+ εt + θ1εt-1+ θ2εt-2
yt= (1 -ρ1-ρ2) δ + (1 + ρ1) yt-1+ (ρ2 -ρ1) yt-2–ρ2yt-3+ εt + θ1εt-1+ θ2εt-2