resortes en serie

1. LA DERIVADA
• DEFINICIÓN

2. Interpretación Geométrica de la Derivada

3. 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
DEFINICIÓN: Sea 𝑦 = 𝑓 𝑥 una función dada. La derivada de
y con respecto a x, denotada por 𝑑𝑦/𝑑𝑥 se define por
A la derivada también se le da el nombre de coeficiente diferencial
y la operación de calcular la derivada de una función se denomina
diferenciación

4. La derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a x también se denota
por uno de los siguientes símbolos:
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 ,
𝑑𝑓
𝑑𝑥
,
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 , 𝑦′
, 𝑓′
𝑥 , 𝐷𝑥𝑦, 𝐷𝑥𝑓
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
𝑑𝐶
𝑑𝑞
= lim
∆𝑞→0
∆𝐶
∆𝑞
𝑑𝑥
𝑑𝑢
= lim
∆𝑢→0
∆𝑥
∆𝑢
Cada una de estas notaciones indica exactamente lo mismo que
𝑑𝑦/𝑑𝑥

5. PROPIEDADES DE LA
DERIVADA:
• Básicas
• Producto
• Cociente
• Regla de la Cadena

6. Teorema A regla para la función constante
𝐷𝑥 𝑘 = 0
si 𝑓 𝑥 = 𝑘, donde k es una constante, entonces para cualquier x,
𝑓,
𝑥 = 0; esto es
Demostración
𝑓,
𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑘 − 𝑘
ℎ
= lim
ℎ→0
0 = 0

7. Teorema B regla para la función identidad
Si 𝑓 𝑥 = 𝑥, entonces 𝑓,
𝑥 = 1; esto es,
𝐷𝑥 𝑥 = 1
Demostración
𝑓,
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ − 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ
= 1

8. 𝐷𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1
Teorema C regla para la potencia
Si 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛
, donde n es un entero positivo, entonces:
𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1; esto es,
Demostración
𝑓,
𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ 𝑛
− 𝑥𝑛
ℎ

9. lim
ℎ→𝑜
𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1ℎ +
𝑛(𝑛 − 1)
2
𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛 + 𝑥𝑛
ℎ
lim
ℎ→0
𝑘 𝑛𝑥𝑛−1
+
𝑛(𝑛 − 1)
2
𝑥𝑛−2
+ ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−2
+ ℎ𝑛−1
𝑘

10. Dentro de los corchetes, todos los términos excepto el primero
tiene a h como factor, y así que todo valor x cada uno de estos
términos tiene limite cero cuando h se aproxima a cero. Por lo
tanto
𝑓,
𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1
Como ejemplos del teorema C, observe que
𝐷𝑥 𝑥3 = 3𝑥2
𝐷𝑥 𝑥9 = 9𝑥8 𝐷𝑥 𝑥100 = 100𝑥99

11. Teorema D Regla del múltiplo constante
Si k es una constante f es una función derivada, entonces:
𝑘𝑓 ′ 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑓′ 𝑥 ; esto es,
𝐷𝑥 𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝐷𝑥𝑓(𝑥)
En palabras, una constante k, que multiplica, puede “sacarse” del
operador 𝐷𝑥

12. Demostración sea 𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 . Entonces
= lim
ℎ→0
𝑘 ∙
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎ
= 𝑘 ∙ lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎ
= 𝑘 ∙ 𝑓′
(𝑥)
𝐹′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝐹 𝑥 + ℎ − 𝐹(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)
ℎ

13. El penúltimo paso fue fundamental. Pudimos pasar k a través del
signo de límite a consecuencia del teorema principal de limites.
Ejemplo que ilustran este resultado son
• 𝐷𝑥 −7𝑥3
= −7𝐷𝑥 𝑥3
= −7 ∙ 3𝑥2
= −21𝑥2
• 𝐷𝑥
4
3
𝑥9
=
4
3
𝐷𝑥 𝑥9
=
4
3
∙ 9𝑥8
= 12𝑥8

14. Teorema E Regla para la suma
si 𝑓 𝑦 𝑔 son funciones derivables, entonces:
𝑓 + 𝑔 ′
𝑥 = 𝑓′
𝑥 + 𝑔′
𝑥 ; esto es,
𝐷𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝐷𝑥𝑓 𝑥 + 𝐷𝑥𝑔(𝑥)
Teorema F Regla para la diferencia
Si f y g son funciones derivadas, entonces:
𝑓 − 𝑔 ′
𝑥 = 𝑓′
𝑥 − 𝑔′
𝑥 ; esto es,
𝐷𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = 𝐷𝑥𝑓 𝑥 − 𝐷𝑥𝑔(𝑥)

15. Demostracion Sea 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 . Entonces:
𝑓, 𝑥 lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ + 𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
ℎ
lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
+
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔(𝑥)
ℎ
lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
+ lim
ℎ→0
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔(𝑥)
ℎ
En palabras, la derivada de una suma y de una resta es la suma y
resta de las derivadas.

16. Ejemplo:
Encuentre las derivadas de 5𝑥2 + 7𝑥 − 6
𝐷𝑥 5𝑥2 + 7𝑥 − 6
(Teorema E)
(Teorema F)
(Teorema D)
(Teorema C,B,A)
= 𝐷𝑥 5𝑥2
+ 𝐷𝑥 7𝑥 − 𝐷𝑥 6
= 5𝐷𝑥 𝑥2 + 7𝐷𝑥 𝑥 − 𝐷𝑥 6
= 5 ∙ 2𝑥 + 7 ∙ 1 − 0
= 10𝑥 + 7
= 𝐷𝑥 5𝑥2 + 7𝑥 − 𝐷𝑥 6

17. Encuentre las derivadas de 5𝑥2
+ 7𝑥 − 6
• 𝐲 = 𝟐𝒙𝟐
• 𝐲 = 𝟑𝒙𝟑

18. Ejemplos:
Encuentre
𝒅𝒚
𝒅𝒙
mediante las reglas de diferenciación
• 𝐲 = 𝟐𝒙𝟐
𝐷𝑥 2𝑥2 = 2𝐷𝑥 𝑥2 = 2 ∙ 2𝑥 = 4𝑥
• 𝐲 = 𝟑𝒙𝟑
𝐷𝑥 3𝑥3 = 3𝐷𝑥 𝑥3 = 3 ∙ 3𝑥2 = 9𝑥2

19. • 𝐲 = 𝝅𝒙
𝐷𝑥 𝜋𝑥 = 𝜋𝐷𝑥 𝑥 = 𝜋 ∙ 1 = 𝜋
• 𝐲 = 𝝅𝒙𝟑
𝐷𝑥 𝜋𝑥3
= 𝜋𝐷𝑥 𝑥3
= 𝜋 ∙ 3𝑥2
= 3𝜋𝑥2

20. • 𝐲 = 𝒙𝟒
+ 𝒙𝟑
+ 𝒙𝟐
+ 𝒙 + 𝟏
= 𝐷𝑥 𝑥4
+ 𝐷𝑥 𝑥3
+ 𝐷𝑥 𝑥2
+ 𝐷𝑥 𝑥 + 𝐷𝑥 1
= 4𝑥3
+ 3𝑥2
+ 2𝑥 + 1
𝐷𝑥 𝑥4
+ 𝑥3
+ 𝑥2
+ 𝑥 + 1

21. • 𝐲 = 𝟑𝒙𝟒
− 𝟐𝒙𝟑
− 𝟓𝒙𝟐
+ 𝝅𝒙 + 𝝅𝟐
𝐷𝑥 3𝑥4
− 2𝑥3
− 5𝑥2
+ 𝜋𝑥 + 𝜋2
= 3𝐷𝑥 𝑥4
− 2𝐷𝑥 𝑥3
− 5𝐷𝑥 𝑥2
+ π𝐷𝑥 𝑥 + 𝐷𝑥 𝜋2
= 3 4𝑥3
− 2 3𝑥2
− 5 2𝑥 + 𝜋 1 + 0
= 12𝑥3
− 6𝑥2
− 10𝑥 + 𝜋

22. • 𝐲 = 𝟑𝒙𝟒
− 𝟐𝒙𝟑
− 𝟓𝒙𝟐
+ 𝝅𝒙 + 𝝅𝟐

23. • 𝐲 = 𝝅𝒙𝟕
− 𝟐𝒙𝟓
− 𝟓𝒙−𝟐
𝐷𝑥 𝜋𝑥7
− 2𝑥5
− 5𝑥−2
= 𝜋𝐷𝑥 𝑥7
− 2𝐷𝑥 𝑥5
− 5𝐷𝑥 𝑥−2
= 𝜋 7𝑥6
− 2 5𝑥4
− 5 −2𝑥−3
= 7𝜋𝑥6
− 10𝑥4
+ 10𝑥−3

24. • 𝐲 = 𝝅𝒙𝟕
− 𝟐𝒙𝟓
− 𝟓𝒙−𝟐

25. Ejercicios en clase
a) 𝑦 = 𝑥80
b) 𝑓(𝑥) = 9𝑥2

26. c) 𝑦 =
2
3
𝑥4
d) 𝑓(𝑥) =
𝑡9
18

27. e) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3 f) 𝑦 = −𝑥8
+ 𝑥5

28. g) 𝑓(𝑥) = 2(13 − 𝑥4
) h) 𝑓 𝑥 = 4𝑥2
− 2𝑥 + 13

29. i) 𝑦 = −13𝑥3
+ 14𝑥2
− 2𝑥 + 3 j) 𝑔(𝑥) =
13 − 𝑥4
3

30. k) 𝑦 = 4𝑥4
+ 𝑥3
−
9𝑥2
2
+ 8𝑥 l) 𝑓 𝑥 =
3𝑥4
10
−
7
3
𝑥3

31. m) 𝑦 = 𝑥7/2
n) 𝑦 = 𝑥3/4
+2𝑥5/3

32. o) 𝑓(𝑟) = 63
𝑟
ñ) 𝑦 = 11 𝑥

33. Teorema G Regla para el producto
Si 𝑓 𝑦 𝑔 son funciones derivables, entonces
𝑓 ∙ 𝑔 ,
𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔,
𝑥 + 𝑔(𝑥)𝑓,
(𝑥)
Esto es,
𝐷𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝐷𝑥𝑔 𝑥 + 𝑔(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥)

34. Ejemplo:
Encuentre la derivada de 3𝑥2 − 5 2𝑥4 − 𝑥 mediante el uso de la regla del
producto. Verifique se respuesta resolviendo el problema de una forma diferente.
𝐷𝑥 3𝑥2 − 5 2𝑥4 − 𝑥 = 3𝑥2 − 5 𝐷𝑥 2𝑥4 − 𝑥 + 2𝑥4 − 𝑥 𝐷𝑥 3𝑥2 − 5
= 24𝑥5 − 3𝑥2 − 40𝑥3 + 5 + 12𝑥5 − 6𝑥2
= 3𝑥2 − 5 8𝑥3 − 1 + 2𝑥4 − 𝑥 6𝑥
= 36𝑥5 −40𝑥3 − 9𝑥2 + 5
Para verificar, primero multipliquemos y luego tomemos la derivada
3𝑥2 − 5 2𝑥4 − 𝑥 = 6𝑥6 − 10𝑥4 − 3𝑥3 + 5𝑥
Así
𝐷𝑥 3𝑥2 − 5 2𝑥4 − 𝑥 = 𝐷𝑥 6𝑥6 − 𝐷𝑥 10𝑥4 − 𝐷𝑥 3𝑥3 + 𝐷𝑥 5𝑥
= 36𝑥5 −40𝑥3 − 9𝑥2 + 5

35. 𝑓 ∙ 𝑔 ,
𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔,
𝑥 + 𝑔(𝑥)𝑓,
(𝑥)
Encuentre la derivada de 3𝑥2
− 5 2𝑥4
− 𝑥 mediante el uso de la regla del
producto. Verifique se respuesta resolviendo el problema de una forma diferente.

36. • y = 𝑥2 + 17 𝑥3 − 3𝑥 + 1

37. Teorema H Regla para el cociente
Sean f y g funciones derivables con g(x)≠0. Entonces
𝑓
𝑔
,
𝑥 =
𝑔 𝑥 𝑓, 𝑥 − 𝑓(𝑥)𝑔,(𝑥)
𝑔2 𝑥
Es decir,
𝐷𝑥
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑔 𝑥 𝐷𝑥𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥)𝐷𝑥𝑔(𝑥)
𝑔2 𝑥

38. Ejemplo:
• Encuentre
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥−5
𝑥2+7
.
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥 − 5
𝑥2 + 7
=
𝑥2
+ 7
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥 − 5 − 3𝑥 − 5
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
+ 7
𝑥2 + 7 2
=
𝑥2
+ 7 3 − 3𝑥 − 5 − (2𝑥)
𝑥2 + 7 2
=
−3𝑥2
+ 10𝑥 + 21
𝑥2 + 7 2

39. 𝑓
𝑔
,
𝑥 =
𝑔 𝑥 𝑓, 𝑥 − 𝑓(𝑥)𝑔,(𝑥)
𝑔2 𝑥
• Encuentre
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥−5
𝑥2+7

40. 𝑓
𝑔
,
𝑥 =
𝑔 𝑥 𝑓, 𝑥 − 𝑓(𝑥)𝑔,(𝑥)
𝑔2 𝑥

41. Ing. Roberto López Ch.
Ejemplos:
Encuentre
𝒅𝒚
𝒅𝒙
mediante las reglas de diferenciación
• y = 𝑥2
+ 17 𝑥3
− 3𝑥 + 1
𝐷𝑥 𝑥2 + 17 𝑥3 − 3𝑥 + 1
= 𝑥2 + 17 𝐷𝑥 𝑥3 − 3𝑥 + 1 + 𝑥3 − 3𝑥 + 1 𝐷𝑥 𝑥2 + 17
= 𝑥2
+ 17 3𝑥2
− 3 + 𝑥3
− 3𝑥 + 1 (2𝑥)
= 3𝑥4 + 48𝑥2 − 51 + 2𝑥4 − 6𝑥2 + 2𝑥
= 5𝑥4 + 42𝑥2 + 2𝑥 − 51

42. • y = x + 2 (x + 3)(x + 4)
𝑦′
= [ 𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝐷𝑥 𝑥 + 4 ] + [ 𝑥 + 4 𝐷𝑥 𝑥 + 2 𝑥 + 3 ]
𝑦′
= [ 𝑥 + 2 𝑥 + 3 1 ] + [ 𝑥 + 4 [𝐷𝑥(𝑥2
+5𝑥 + 6)]]
𝑦′
= [ 𝑥 + 2 𝑥 + 3 ] + [ 𝑥 + 4 (2𝑥 + 5)]
𝑦′
= [𝑥2
+ 5𝑥 + 6] + [2𝑥2
+ 13𝑥 + 20]
𝑦′
= 3𝑥2
+ 18𝑥 + 26

43. • y = x + 2 (x + 3)(x + 4)
𝑓 ∙ 𝑔 ,
𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔,
𝑥 + 𝑔(𝑥)𝑓,
(𝑥)

44. • y =
2
5𝑥2−1
𝐷𝑥
2
5𝑥2 − 1
=
5𝑥2 − 1 𝐷𝑥 2 − (2)𝐷𝑥(5𝑥2 − 1)
5𝑥2 − 1 2
=
5𝑥2 − 1 0 − 2(10𝑥)
5𝑥2 − 1 2
= −
20𝑥
5𝑥2 − 1 2

45. • y =
2
5𝑥2−1

46. • 𝑦 =
1
𝑥+
1
𝑥+1
𝑦 =
1
𝑥 𝑥 + 1 + 1
𝑥 + 1
𝑦 =
1
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥 + 1
𝑦 =
𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑦′
=
𝑥2
+ 𝑥 + 1 𝐷𝑥 𝑥 + 1 − [ 𝑥 + 1 𝐷𝑥 𝑥2
+ 𝑥 + 1 ]
(𝑥2+𝑥 + 1)2

47. • 𝑦 =
1
𝑥+
1
𝑥+1

48. 𝑦′
=
𝑥2
+ 𝑥 + 1 (1) − [ 𝑥 + 1 (2𝑥 + 1)]
(𝑥2+𝑥 + 1)2
𝑦′
=
𝑥2
+ 𝑥 + 1 − (2𝑥2
+ 3𝑥 + 1)
(𝑥2+𝑥 + 1)2
𝑦′
=
𝑥2
+ 𝑥 + 1 − 2𝑥2
− 3𝑥 − 1
(𝑥2+𝑥 + 1)2
𝑦′
=
−𝑥2
− 2𝑥
(𝑥2+𝑥 + 1)2

49. Ejercicios en clase
Encuentre
𝒅𝒚
𝒅𝒙
mediante las reglas de diferenciación
𝑎) 𝑦 = 𝑥3
+ 3𝑥 − 2 2𝑥2
− 𝑥 − 3
𝑦′ = 10𝑥4
− 4𝑥3
+ 9𝑥2
− 14𝑥 − 7

50. 𝑏) 𝑓 𝑤 = 8𝑤2
+ 2𝑤 − 3 5𝑤3
+ 2

51. c) y = x2
− 1 3x5
− 6x + 5 − 4(4x4
+ 2x + 1)
𝑦′ = 21𝑥6 − 15𝑥4 − 64𝑥3 − 18𝑥2 + 10𝑥 − 2

52. d) f p =
3
2
p − 4 4p − 5
𝑓′ 𝑝 = 9 𝑝 −
15
4 𝑝
− 24

53. e) f x =
−5
x − 1
f) f x =
3
2x6
𝑓′(𝑥) =
5
(𝑥 − 1)2 𝑓′(𝑥) = −9𝑥−7

54. g) y =
x + 2
x − 1
𝑦′ =
−3
(𝑥 − 1)2

55. h) y =
8x2
− 2x + 1
x2 − 5x
𝑦′ =
−38𝑥2
− 2𝑥 + 5
(𝑥2 − 5𝑥)2
𝑓
𝑔
,
𝑥 =
𝑔 𝑥 𝑓, 𝑥 − 𝑓(𝑥)𝑔,(𝑥)
𝑔2 𝑥

56. La regla de la cadena
Imagine que trata de encontrar la derivada de
𝐹 𝑥 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1 60
Podríamos encontrar la derivada, pero primero tendríamos que
multiplicar los 60 factores cuadráticos de 2𝑥2
− 4𝑥 + 1 y después derivar
el polinomio resultante. Y que tal si por fortuna, existe un método mejor.
Después de aprender la regla de la cadena, seremos capaces de
escribir las respuestas
𝐹, 𝑥 = 60 2𝑥2 − 4𝑥 + 1 59 4𝑥 − 4

57. 𝐹 𝑥 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1 60

58. Teorema A Regla de la cadena
Sean 𝑦 = 𝑓 𝑢 𝑦 𝑢 = 𝑔 𝑥 . Si g es derivable de x y f es
derivable en 𝑢 = 𝑔 𝑥 , entonces la función compuesta 𝑓°𝑔,
definida por 𝑓°𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 , es derivable en x y
𝑓°𝑔 ,
𝑥 = 𝑓,
(𝑔 𝑥 )𝑔,
(𝑥)
Esto es,
𝐷𝑥𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓,
(𝑔 𝑥 )𝑔,
(𝑥)
o
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥

59. Ejemplos:
• si y = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1 60, ecuentre 𝐷𝑥𝑦.
Solución consideremos a y como la sexagésima potencia de una función de x; esto es
y = 𝑢60 𝑦 𝑢 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1
la funcion exterior es f u = 𝑢60 y la funcion interna es
u = g x = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1. por lo tanto,
𝐷𝑥𝑦 = 𝐷𝑥𝑓 𝑔 𝑥
= 𝑓,(𝑢)𝑔,(𝑥)
= 60𝑢59 4𝑥 − 4
= 60 2𝑥2
− 4𝑥 + 1 59
4𝑥 − 4

60. • si y = 1/ 2𝑥5
− 7 3,
encuentre
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Solución considérelo de esta manera
𝑦 =
1
𝑢3
= 𝑢−3 𝑦 𝑢 = 2𝑥5 − 7
así
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −3𝑢−4 10𝑥4
=
−3
𝑢4
∙ 10𝑥4
=
−30𝑥4
2𝑥5 − 7 4

61. • si y = 1/ 2𝑥5
− 7 3,
encuentre
𝑑𝑦
𝑑𝑥

62. • encuentre 𝐷𝑡
𝑡3−2𝑡+1
𝑡4+3
13
Solución El ultimo paso en el calculo de esta expresión seria elevar la expresión
interna al exponente 13. por lo tanto, iniciamos aplicando la regla de la cadena a
la función 𝑦 = 𝑢13, donde 𝑢 = 𝑡3 − 2𝑡 + 1 / 𝑡4 + 3 . La regla de la cadena
seguida de la regla del cociente da
𝐷𝑡
𝑡3
− 2𝑡 + 1
𝑡4 + 3
13
= 13
𝑡3
− 2𝑡 + 1
𝑡4 + 3
13−1
𝐷𝑡
𝑡3
− 2𝑡 + 1
𝑡4 + 3
= 13
𝑡3 − 2𝑡 + 1
𝑡4 + 3
12
𝑡4 + 3 3𝑡2 − 2 − 𝑡3 − 2𝑡 + 1 4𝑡3
𝑡4 + 3 2
= 13
𝑡3 − 2𝑡 + 1
𝑡4 + 3
12
−𝑡6 + 6𝑡4 − 4𝑡3 + 9𝑡2 − 6
𝑡4 + 3 2

63. • encuentre 𝐷𝑡
𝑡3−2𝑡+1
𝑡4+3
13

64. a) y = 1 + x 15
b) y = 7 + x 5
Ejercicios en clase
Encuentre
𝒅𝒚
𝒅𝒙
mediante las reglas de diferenciación

65. c) y = 3 − 2x 5 d) y = 4 + 2x2 7

66. e) y = 5x2 − x f) y =
4
2x − 1