Unidad 1 algebra de vectores

1
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA
Modalidad Mixta- Ingeniería Industrial
CÁLCULO VECTORIAL
UNIDAD 1: ALGEBRA DE VECTORES
TERCER SEMESTRE
JULIO 2015

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Contenido
1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica.....................................4
Descomposición en un Sistema de Ejes Cartesianos ..........................................................................7
Vectores unitarios y componentes de un vector................................................................................7
Módulo de un Vector .........................................................................................................................7
Aplicación: coordenadas intrínsecas y cosenos directores.................................................................8
1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales. ..................................................................9
Definición de vectores........................................................................................................................9
Origen.............................................................................................................................................9
Módulo...........................................................................................................................................9
Dirección.........................................................................................................................................9
Sentido ...........................................................................................................................................9
. Clasificación....................................................................................................................................10
Vectores Libres .............................................................................................................................10
Vectores Deslizantes.....................................................................................................................10
Vectores Fijos ...............................................................................................................................10
Vectores Equipolentes ..................................................................................................................10
Vectores Opuestos........................................................................................................................10
Magnitudes Vectoriales .............................................................................................................10
Vector.........................................................................................................................................11
Vectores iguales......................................................................................................................11
Vector libre................................................................................................................................11
1.3 La geometría de las operaciones vectoriales..........................................................................12
Procedimiento Gráfico .....................................................................................................................12
1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades.........................................................................13
Suma y resta de vectores .................................................................................................................13
Método Algebraico para la Suma de vectores..................................................................................13
Conmutativa.................................................................................................................................14
Asociativa.....................................................................................................................................14
Elemento neutro o vector 0 ..........................................................................................................14
Elemento simétrico u opuesto a' ..................................................................................................14

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1.5 Descomposición vectorial en 3 dimensiones..........................................................................15
1.6 Ecuaciones de rectas y planos. ...............................................................................................16
1.7 Aplicaciones físicas y geométricas..........................................................................................18

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1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica.
Definición 1: La dirección de un vector es el ángulo medido en radianes que
forma el vector con el eje positivo de las
El ángulo se puede medir haciendo pero es importante localizar el vector puesto
que da valores entre y mientras que el ángulo buscado estará entre y
Ejemplo 1: Encontrar la dirección del vector
; sin embargo el vector está en el segundo cuadrante; por lo
tanto el ángulo será de
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO POR ESCALAR.
La multiplicación de un vector por un escalar
Ver la animación. Ver la animación. Ver la animación.
Si el vector conserva su dirección; si el vector obtenido tiene la dirección
contraria.
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA Y LA RESTA DE VECTORES.
Para vectores posición la suma es el vector representado por la diagonal principal del
paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores y . La resta o es
el vector representado por la otra diagonal ( al hacer el punto final del vector es y el
inicial , por eso la flecha, si fuera el punto final sería el de y el vector tendría la
dirección opuesta )

5
Ver la animación. Ver la animación.
Definición 2 : Sean los ángulos que forma el vector con los ejes
positivos respectivamente. Estos son los ángulos directores del vector
Como
; son los cosenos directores.
Respecto a la suma y resta de vectores en los vectores resultantes son igual que para la
diagonal.
Principal del paralelogramo para la suma y la otra diagonal con las mismas observaciones
para la resta

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1 [km]
A

30
N
S
EO
Representación gráfica de un vector.
Un vector se representa por una línea orientada, la cual indica la dirección, y por una flecha,
la cual indica su sentido. La longitud de la línea es proporcional a la magnitud del vector. Si
deseamos representar un vector A

de magnitud 4 [km] Norte 30 Este:
ESCALA:
Tamaño, norma, módulo o magnitud de un vector: Si A

representa un vector, su
tamaño, norma, módulo o magnitud se designa como:
| A

| = A.

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Descomposición en un Sistema de Ejes Cartesianos
a+b=(axi+ay j+ azk)+(bxi+by j+ bzk)=(ax+bx)i +(ay +by)j+(az+bz) k
Vectores unitarios y componentes de un vector
Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores,
cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.
r = rx + ry + rz
Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido
es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos
sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un
escalar por el correspondiente vector unidad.
De ese modo,
Los escalares , y se denominan componentes del vector y se representan por:
Los vectores son los vectores unitarios y suelen representarse
respectivamente por i, j y k.
También puede representarse de la siguiente forma:
Módulo de un Vector
Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a
esa magnitud se le denomina módulo.
Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se
representa por:

8
Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las
componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que
forman un sistema cartesiano tridimensional.
Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces
podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:
Aplicación: coordenadas intrínsecas y cosenos directores
|a| = modulo del vector
ua = vector unitario de a
Las proyecciones de a sobre los ejes x, y, z, respectivamente, equivalen a:
Si aplicamos la formula (Basada en el teorema de Pitágoras):
Entonces:
de donde se deduce que:

9
Se debe hacer notar que la proyección de a en una dirección cualquiera (por
ejemplo: ax) es un escalar, mientras que su componente en la misma dirección (por
ejemplo: ax · i ) es un vector .
Para un vector genérico a, los cosenos de los ángulos , y , que forma con los
semiejes x, y, z, respectivamente, se denominan cosenos directores de a.
1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales.
Definición de vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas
características que son:
Origen
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el
vector.
Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el
extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir
desde su origen hasta su extremo.
Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando
hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

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Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará
formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia
permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
. Clasificación
Podemos encontrar una serie de diferentes tipos de vectores.
Vectores Libres
Vienen determinados por sus tres componentes cartesianas, que son sus
proyecciones sobre los tres ejes de coordenadas de un sistema ortogonal que
se eligió como referencia. Este tipo de vectores tiene la propiedad de que se
puede trasladar su origen a cualquier punto del espacio, manteniendo su
módulo y su sentido constantes, y su dirección paralela.
Vectores Deslizantes
Estos vectores pueden trasladar su origen a lo largo de su línea de acción y
vienen determinados por sus tres componentes cartesianas y por su recta
soporte o línea de acción.
Vectores Fijos
Para determinarlos, es preciso conocer sus cuatro elementos característicos
mencionados antes: módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.
Vectores Equipolentes
Son vectores libres que tienen igual módulo, misma dirección y sentido. Sus
rectas soportes son paralelas o coincidentes. Por lo tanto, estos vectores
tendrán las mismas componentes cartesianas.
Vectores Opuestos
Son aquellos vectores que tienen la misma dirección y módulo, pero sentidos
opuestos.
Dos vectores A

y B

son opuestos si tienen igual tamaño, igual dirección pero sentido
contrario. Es decir
A

B

( A

= - B

)
Magnitudes Vectoriales

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Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un
valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.
Vector
Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial.
Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:
Un origen o punto de aplicación: A.
Un extremo: B.
Una dirección: la de la recta que lo contiene.
Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.
Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.
Vectores iguales
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.
Vectores iguales: Dos vectores A

y B

son iguales si tienen igual tamaño, dirección y
sentido. Es decir:
A

B

( A

= B

)
Vector libre
Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es
independiente del lugar en el que se encuentra.

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1.3 La geometría de las operaciones vectoriales.
Procedimiento Gráfico
Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del
paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por
el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la
suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como
podemos ver en el siguiente dibujo:
Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a
sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer
vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del
primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:
Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman
(tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con
sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado

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correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de
suma y resta de vectores.
1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades.
Suma y resta de vectores
La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente
forma:
Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector
suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el
extremo del segundo.
Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la
"saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la
otra diagonal representa la resta de dichos vectores.
Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta
con aplicar la propiedad asociativa.
Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante
Método Algebraico para la Suma de vectores
Dados tres vectores

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La expresión correspondiente al vector suma es:
O bien
Siendo, por tanto,
La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:
Conmutativa
a + b = b + a
Asociativa
(a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro o vector 0
a + 0 = 0 + a = a
Elemento simétrico u opuesto a'
a + a' = a' + a = 0
a' = -a
1) Dado los puntos inicial (1,2) y (5,5) final, expresar “V” en componentes y buscar //v//
a) 5,3,4
b) 5,3,5

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c) 5,3,6
d) 5,3,7
e) 5,3,8
1.5 Descomposición vectorial en 3 dimensiones.
TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Sean a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) y c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) , entonces:
a • ( b × c ) = a 1 ( b 2 c 3 – b 3 c 2 ) + a 2 ( b 3 c 1 – b 1 c 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 – b 2 c 1 )
Teoremas
Sean a , b y c vectores, entonces:
a • ( b × c ) = b • ( c × a ) = c • ( a × b )
a • ( b × c ) = ( a × b ) • c
| a • ( b × c ) | = volumen del paralelepípedo
Determinado por los vectores a , b y c
TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
A veces se define el producto mixto entre tres vectores, y como

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Este producto, cuyo resultado puede verse que va a ser un escalar, se puede calcular también
como el determinante de la matriz que se forma con las componentes de los vectores, es decir
Una de las utilidades del producto mixto es que da el volumen de un paralelepípedo formado
con las aristas de los vectores, y , ya que si manejamos un poco de geometría espacial
tenemos que:
Donde no es sino el área de la base del paralelogramo y resulta ser la altura de dicho paralelepípedo.
El área de la base por la altura nos da el volumen de este tipo de cuerpos geométricos.
1.6 Ecuaciones de rectas y planos.
Ecuaciones de Rectas
Para la ecuación de una línea recta en hay tres ecuaciones estándar que son:
De la una se puede pasar a la otra. Despejando de la primera ecuación se
obtiene con lo cual la pendiente es y ; entonces la recta
en utiliza la noción de pendiente de la recta .
Este concepto de pendiente en no existe. Con dos puntos sobre la recta se
hablará de un vector que le da la dirección a la recta.
Sean y dos puntos sobre la recta El vector ( o
) está sobre la recta y por lo tanto cualquier otro vector de la recta será
múltiplo de éste.

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Un vector cualquiera que esté en puede ser ( o ), donde es
cualquier punto de la recta (Una recta es un conjunto de puntos). Entonces
siendo un escalar. Siendo el origen,
que es lo mismo que decir
Si en vez de haber utilizado el vector se utiliza el vector el razonamiento es
el mismo:
Como ( cualquier vector que esté sobre la recta es múltiplo del vector
)
Ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos y
es el vector director,
vector director de la recta,
Ejemplo
1:
Encontrar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
y ; encontrar un punto distinto de estos que pertenezca
a la recta.
El vector director puede ser o . Haciendo
La ecuación vectorial es
Cada vez que se le da un valor al escalar se encuentra un punto sobre la recta.
Así si

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es punto de la recta. Si es otro punto
perteneciente a esta recta.
Ejemplo
2:
Encontrar la ecuación vectorial de la recta cuyo vector director es
y
pasa por el punto Verificar si los puntos y
pertenecen a la recta.
La ecuación será
Si el punto pertenece a la recta, debe existir un escalar tal que
por igualdad de vectores
Por lo tanto éste punto si pertenece a la recta.
De la misma manera
Por lo tanto, el punto no pertenece a la recta. Nota: Rectas paralelas
tienen vectores directores paralelos
1.7 Aplicaciones físicas y geométricas.
Aplicaciones en física. Una fuerza tiene una magnitud y dirección. Si 2 fuerzas u y v actúan sobre un
punto, la fuerza resultante sobre el punto, es la suma vectorial de las 2 fuerzas.
Ejemplo:
Un peso de 200 newtons es soportado por 2 cables, uno a 33 Grad. y otro a 50 Grad. determine la
magnitud de la tensión en cada cable.
El peso w y las 2 tensiones u y v son fuerzas que se comportan como vectores. Cada uno de estos
vectores se puede expresar como la suma de un componente horizontal y otro vertical. Para alcanzar
el equilibrio, (1) la magnitud de la fuerza izquierda debe ser igual a la magnitud de la fuerza derecha y
(2) la magnitud de fuerza hacia arriba debe ser igual a la magnitud de fuerza hacia abajo. Así ,
(1) |u| cos 33 = |v| cos 50

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(2) |u| sen 33 + |v| sen 50 = |w| = 200
Al despejar v en (1) y sustituir en (2), obtenemos
|u| = 200/sen 33 + (cos 33)(tan 50) = 129.52 newtons
Entonces |v| = 129.52 cos 33 / cos 50 = 168.99 newtons
APLICACIO"ES GEOMETRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL”
CALCULAR EL AREA DEL SIGUIENTE PARALELOGRAMO CON VERTICES:
A=(5,2,0), , B=(2,6,1)
C=(2,4,7) D=(5,0,6)
SOLUCION:
CALCULAMOS LAS COMPONENTES DEL VECTOR
AB=B-A=(2–5,6–2,1–0)=←3,4,1>
AD=D-A=(5–5,0–2,6–0)= 0,2,6>
VECTORES
AB=−3i+4j+k
AD=0i-2j+6k

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