Al sustituir cada trío de números cuánticos (n,l,ml) en la solución de la ecuación de Schrödinger para la función de onda ψ se pueden obtener los distintos orbitales. Así: --para n=1 y l=0 se obtiene el orbital ψ(1,0,0); --para n=2 y l=0 se obtiene el orbital ψ(2,0,0); --para n=2 y l=1 se pueden obtener tres orbitales, uno por cada uno de los tres valores permitidos de ml: ψ(–1, 0 y 1): ψ(2,1,−1), ψ(2,1,0) y ψ(2,1,−1); etc.

1. Bases de
Estructura de la Materia
y Química
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2. 1. El átomo de hidrógeno
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3. 1.4. Orbitales hidrogenoides
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4. Al sustituir cada trío de números cuánticos 𝑛, 𝓁, 𝑚 𝓁 en [1.14] y [1.15] y aplicando [1.16] se pueden obtener
las distintas soluciones de la ecuación de Schrödinger. A cada función de onda que es solución de la ecuación
de Schrödinger para un átomo hidrogenoide se le llama orbital. Así:
• para 𝑛 = 1 y 𝓁 = 0 se obtiene el orbital 1,0,0;
• para 𝑛 = 2 y 𝓁 = 0 se obtiene el orbital 2,0,0;
• para 𝑛 = 2 y 𝓁 = 1 se pueden obtener tres orbitales, uno por cada uno de los tres valores permitidos de 𝑚 𝓁
(–1, 0 y 1): 2,1,−1, 2,1,0 y 2,1,−1;
• etc.
Cada orbital hidrogenoide (1,0,0, 2,1,0, etc.) se refiere a un estado estacionario cuántico del átomo
monoelectrónico correspondiente. Como se verá más adelante, la función matemática denominada “orbita”
permite describir el tamaño, la forma y la orientación de la región del espacio en la que se encuentra el
electrón.
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ÍNDICE

5. 1.4.1. Notación espectroscópica de los orbitales
En química, en vez de la notación  𝑛,𝓁,𝑚 𝓁
, se usa esta otra para referirse a los orbitales:
𝑛𝓁 𝑚 𝓁
[1.17]
Es decir, se escribe primero el valor correspondiente al número cuántico principal (𝑛 = 1, 2, 3…) seguido del
valor de 𝓁 del orbital según un código de letras derivado de la espectroscopía y reflejado en la tabla 1.1 (la
espectroscopía es la ciencia que estudia las interacciones de la radiación con la materia y que proporciona los
datos experimentales que justifican la validez de la ecuación de Schrödinger). Y como subíndice de 𝓁 se escribe
el valor de 𝑚 𝓁 del orbital, ya sea en forma numérico o mediante una expresión algebraica, como se explicará
más adelante.
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Valor numérico de 𝓁: 0 1 2 3 4 5
Letra empleada: s p d f g h
Tabla 1.1. Equivalencias entre los valores numéricos del número cuántico 𝓁 y
letras derivadas de observaciones espectroscópicas (por ejemplo, d viene de
“difusa”; f de “fundamental”...).

6. Según este convenio se puede construir la tabla 1.2, que muestra algunos ejemplos de
las dos formas de nombrar los orbitales (para la forma 𝑛𝓁 𝑚 𝓁
en la tabla se usa el valor
numérico de 𝑚 𝓁; en el siguiente apartado se empleará el código algebraico, que es el
habitual en química).
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𝑛 1
𝓁 0
𝑚 𝓁 0
 𝒏,𝓵,𝒎 𝓵
1,0,0
𝒏𝓵 𝒎 𝓵
1s
𝑛 3
𝓁 0 1 2
𝑚 𝓁 0 -1 0 1 -2 -1 0 1 2
 𝒏,𝓵,𝒎 𝓵
3,0,0 3,1,−1 3,1,0 3,1,1 3,2,−2 3,2,−1 3,2,0 3,2,1 3,2,2
𝒏𝓵 𝒎 𝓵
3s 3p−1 3p0 3p1 3d−2 3d−1 3d0 3d1 3d2
𝑛 4
𝓁 0 1 2 3
𝑚 𝓁 0 -1 0 1 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 3
 𝒏,𝓵,𝒎 𝓵
4,0,0 4,1,−1 4,1,0 4,1,1 4,2,−24,2,−1 4,2,0 4,2,1 4,2,2 4,2,−24,2,−24,2,−1 4,2,0 4,2,1 4,2,2 4,2,−2
𝒏𝓵 𝒎 𝓵
4s 4p−1 4p0 4p1 4d−2 4d−1 4d0 4d1 4d2 4f−3 4f−2 4f−1 4f0 4f1 4f2 4f3
𝑛 2
𝓁 0 1
𝑚 𝓁 0 -1 0 1
 𝒏,𝓵,𝒎 𝓵
2,0,0 2,1,−1 2,1,0 2,1,1
𝒏𝓵 𝒎 𝓵
2s 2p−1 2p0 2p1
Tabla 1.2. Equivalencia entre la
notación  𝑛,𝓁,𝑚 𝓁
y la notación
𝑛𝓁 𝑚 𝓁
de los orbitales.

7. 1.4.2. Transformación de orbitales complejos en reales
Puede observarse en la ecuación [1.15] que la parte angular de la función de onda contiene el término 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑,
dentro del cual figura el número imaginario 𝑖 (= −1). Esto hace que todos aquellos orbitales en los que 𝑚 𝓁 ≠
0 sean funciones complejas, no reales. Si ya de por sí el significado de la función de onda es incierto, se hace aún
menos claro si es matemáticamente imaginaria. Pero hay una forma de superar este inconveniente.
Adviértase por [1.13] que la energía de los orbitales hidrogenoides solo depende del número cuántico 𝑛, no de 𝓁
ni 𝑚 𝓁. Por ello, los orbitales 2p-1, 2p0 y 2p1 tienen la misma energía. El orbital 2p0 es real (pues, al ser 𝑚 𝓁 = 0, el
término 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 se hace igual a 1), pero los otros son imaginarios. Según un teorema de la mecánica cuántica,
dadas dos soluciones de la ecuación de Schrödinger que tienen la misma energía, cualquier combinación lineal
de ellas es una nueva solución de la ecuación de Schrödinger con la misma energía. Pues bien, con los orbitales
2p-1 y 2p1 se pueden realizar dos combinaciones lineales (una basada en la suma de ambos y otra en su
diferencia) que sí son funciones de onda reales. Proceder así aporta una ventaja adicional: los nuevos orbitales
que se consiguen tienen unas propiedades direccionales en el espacio que son las que se deducen
experimentalmente a partir de la geometría de las moléculas y de los enlaces entre átomos. Concretamente,
uno de los orbitales resultante de las combinaciones lineales mencionadas se alinea con el eje 𝑋, por lo que se le
denomina 2px, mientras que el otro se alinea con el eje 𝑌 (llamándosele 2py). Por su parte, el orbital real 2p0 se
alinea con el eje 𝑍, por lo se le prefiere llamar 2pz.
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8. El procedimiento se aplica a todo par de funciones de onda hidrogenoides del tipo ( 𝑛,𝓁,𝑚 𝓁
,  𝑛,𝓁,−𝑚 𝓁
),
obteniéndose así orbitales reales. Para nombrarlos se sustituye el valor numérico de 𝑚 𝓁 por una expresión
algebraica que informa sobre la direccionalidad espacial del orbital correspondiente. Estas notaciones se
recogen en la tabla 1.3.
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𝓵 1
𝒎 𝓵 1 0 1
𝓵 𝒎 𝓵
px p 𝑧 p 𝑦
𝓵 0
𝒎 𝓵 0
𝓵 𝒎 𝓵
s
𝓵 3
𝒎 𝓵 3 2 1 0 1 2 3
𝓵 𝒎 𝓵
f 𝑥 x2−3y2 f 𝑥𝑦𝑧 f 𝑥z2 𝑓z3 f 𝑦z2 f 𝑧 x2−y2 f 𝑦 3x2−y2
𝓵 2
𝒎 𝓵 2 1 0 1 2
𝓵 𝒎 𝓵
dxy dxz dz2 dyz dx2−y2
Tabla 1.3. Notación espectroscópica de
todos los orbitales de los tipos s, p, d y
f. Para simplificar la tabla se ha omitido
el número cuántico 𝑛.

9. 1.4.3. Forma espacial de los orbitales
Como es sabido, las funciones matemáticas tienen una representación gráfica. Para representar una función de
una variable, 𝑓(𝑥), se necesita un plano, uno de cuyos ejes se usa para la y el otro para la variable. Si la función
es de dos variables, entonces se requiere el espacio de tres dimensiones. En uno de los tres ejes se representa la
función, 𝑓(𝑥, 𝑦), y en los otros dos las variables 𝑥 e 𝑦, como se ilustra en la figura 1.14.
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Fig. 1.14. Representación de tres funciones matemáticas. A la izquierda, funciones de una variable de los tipos 𝑓 𝑥 =
𝑚𝑥 + 𝑛 (ecuación de una recta de pendiente 𝑚 y ordenada en el origen 𝑛, en verde) y 𝑓(𝑥) = 𝑟2
− 𝑥2 1/2
(ecuación de
una circunferencia de radio 𝑟, en rojo); para representarlas solo se necesita un plano. A la derecha, función del tipo
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑟2
− 𝑥2
− 𝑦2 1/2
(ecuación de una superficie esférica de radio 𝑟). Se requiere el espacio de tres dimensiones.
En uno de los ejes (por ejemplo, el vertical) se representa 𝑧 ≡ 𝑓 𝑥, 𝑦 ; en los otros, 𝑥 e 𝑦.

10. Ahora bien, si se quiere representar la función de onda 𝑥, 𝑦, 𝑧 se necesitaría un espacio de cuatro
dimensiones, ya que es preciso un eje para la función y tres más para las variables de las que depende. Esto es
imposible. A pesar de eso hay que encontrar una manera de adquirir una idea de la forma espacial, el tamaño y
la orientación de los orbitales s, p, d y f porque de esas características depende la forma de enlazarse unos
átomos con otros para formar moléculas, así como la geometría de estas.
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1.4.3.1. Probabilidad. Principio de incertidumbre de Heisenberg
Como se ha dicho anteriormente, la función de onda de un átomo alcanza todo el espacio, lo que equivale a
decir que un electrón lo ocupa todo. Por ello, cabe preguntarse por la “fracción” del electrón que se encuentra
dentro de un determinado volumen acotado en el espacio. A esa fracción se le denomina probabilidad. La
probabilidad dentro de un elemento diferencial de volumen d𝜏 (𝜏 es la letra griega tau) se define como ∗
d𝜏,
siendo ∗ la conjugada compleja de , que se obtiene cambiando en  el número imaginario 𝑖 por −𝑖. Si  es
real (que es el caso de los orbitales con los que se trabaja en química), la probabilidad viene dada simplemente
por  2
d𝜏. Su valor en cada elemento de volumen oscila entre 0 y 1. Como es lógico, en todo el espacio se ha
de cumplir:
−∞
∞
 2d𝜏 = 1 [1.18]
El hecho de que la “posición” del electrón deba ser tratado en términos de probabilidad está en consonancia
con el principio de incertidumbre de Heisenberg: dada una partícula cualquiera, no se puede conocer al mismo
tiempo su posición y su momento (en mecánica clásica, el momento es el producto de la masa por la
velocidad). Si se llama  𝑥 al error cometido al medir la posición y  𝑝 al error del momento, el producto de
ambos debe cumplir la siguiente desigualdad:
 𝑥 𝑝 ≥
ℎ
4𝜋
[1.19]
Este inconveniente no es importante para partículas grande, pero es decisivo para el electrón; tanto, que el
concepto de trayectoria dejar de tener sentido para él.

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1.4.3.2. Densidad electrónica y superficies de contorno
Relacionada con la probabilidad está la densidad de probabilidad o densidad electrónica, que es la
probabilidad por unidad de volumen, es decir,  2. Un modo de adquirir una idea aproximada de cómo es la
región espacial ocupada por un orbital es calcular la densidad de probabilidad en miles de puntos elegidos al
azar alrededor del núcleo. Después se traza una superficie de contorno, que es aquella que reúne dos
condiciones: pasa por todos los puntos que tienen un valor concreto de densidad electrónica y engloba un
cierto porcentaje de la densidad electrónica total, habitualmente el 90%. Es decir, se trata de dibujar una
superficie de nivel dentro de la cual se halle “el 90% del electrón”. Procediendo así se obtiene la “forma”
aproximada del orbital. Para tener una mejor apreciación visual de ella, se programa el algoritmo de selección
de puntos de modo que tome más puntos en las regiones en que se vayan calculando valores de  2 más
altos. Con ellos se logra que la densidad de puntos sea proporcional a la densidad electrónica.
Seguidamente se muestran las formas geométricas que se obtienen siguiendo el método descrito para los
orbitales s, p, d y f.

13. 1.4.3.2.1. Orbitales s
La figura 1.15 recoge los mapas de puntos de densidad electrónica de los orbitales 1s, 2s y 3s.
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Fig. 1.15. Mapas de densidad electrónica,  2
, de los orbitales 1s, 2s y 3s. Las distribuciones son esféricas. Los orbitales
ocupan mayor volumen en el espacio cuanto mayor es el número cuántico principal. Los colores indican el signo
algebraico de la función de onda .

14. Los mapas de la figura anterior son tridimensionales. Es decir, los puntos no forman círculos, sino esferas. Por
otro lado, se observa que los orbitales 3s son más “grandes” que los 2s, y estos que los 1s. Dicho de otro modo,
la influencia de un electrón 3s llega bastante más lejos del núcleo que la del 1s. En general, un orbital s ocupa un
volumen efectivo mayor en el espacio cuanto mayor es el número cuántico principal, 𝑛.
Los colores de los mapas indican el signo algebraico de la función de onda. No se trata de signos de cargas
eléctricas (la carga del electrón siempre es negativa), sino de signos algebraicos, ya que la función de onda es
positiva para determinados valores de 𝑟 (distancia al núcleo) y negativa para otros. El signo de  se denomina
fase. Y aunque  2, como es lógico, siempre es positiva, en sus representaciones se retiene el signo de 
porque este importante a la hora de considerar los enlaces químicos que puede formar el átomo.
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Fig. 1.16. Mapa de densidad electrónica,  2
, de
una “rebanada” que pasa por el centro del orbital
2s. Se ha dibujado con línea discontinua la
sección en forma de circunferencia
correspondiente a la superficie esférica nodal.
Lógicamente, si la función de onda es positiva en
una región y negativa en otra, tienen que existir
lugares de separación en las que la función de
onda sea nula. Como 𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝑅(𝑟)𝑌 𝜃, 𝜑 ), la
función de onda 𝑠erá nula en las regiones en que
𝑅 𝑟 = 0 o 𝑌 𝜃, 𝜑 = 0. Estas regiones son
superficies y se llaman nodos. Los orbitales 2s y
3s tienen nodos debidos a la primera condición
(𝑅 𝑟 = 0); por eso se llaman nodos radiales. Un
nodo radial siempre es una superficie esférica. Se
sabe que cualquier orbital tiene 𝑛 − 𝓁 − 1 nodos
radiales. Por eso, el orbital 2s tiene uno y el 3s
dos. Estos nodos se ven mejor si se obtiene una
“rebanada” central del orbital, como se ilustra en
la figura 1.16, en la que se ha dibujado con línea
discontinua verde la sección del nodo radial, en
forma de circunferencia.

16. Como se ha dicho, una vez que se dispone del mapa de puntos de
densidad electrónica se elige un valor numérico determinado de  2
y se
dibuja una superficie que pase por todos los puntos que tienen dicho valor.
Cuando se realiza dicha operación sobre el mapa de punto de densidad del
orbital 1s se obtiene la esfera que se muestra en la figura 1.17.
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En la figura 1.18 se muestran los resultados correspondientes a los
orbitales 1s, 2s y 3s. Para poder apreciar mejor la constitución de estos
orbitales se han representado seccionados por la mitad. Los surcos que se
observan separando las fases corresponden a puntos en los que la
densidad electrónica es menor que el valor de corte. Dentro de esos surcos
están las correspondientes superficies esféricas nodales.
Fig. 1.17. Superficie de contorno
(esférica) de un orbital 1s
Fig. 1.18. Orbitales 1s, 2s
y 3s obtenidos mediante
superficies de contorno
que engloban un alto
porcentaje de la densidad
electrónica. Se han
seccionado por la mitad
para mostrar su estruc-
tura de nodos radiales.

17. 1.4.3.2.2. Orbitales p
En la figura 1.19 (página siguiente) se muestran los mapas de puntos de los orbitales 2pz, 3pz y 4pz (sus variantes
𝑥 e 𝑦 son iguales pero tienen diferente orientación espacial). Además de los nodos radiales (superficies
esféricas), estos orbitales tienen también nodos angulares debidos a que en ciertas superficies del espacio la
parte angular de la función de onda, 𝑌 𝜃, 𝜑 , se anula. A diferencia de los nodos radiales, los angulares son
planos o cónicos. Un orbital determinado tiene 𝓁 nodos angulares. Dado que el número de nodos radiales es 𝑛 −
𝓁 − 1, el número total de nodos que tiene cualquier orbital es 𝑛 − 1. Así, los 2p tienen un nodo; los 3p, dos; los
4p, tres, etc.
Las representaciones gráficas de sus formas espaciales obtenidas mediante superficies de contorno y
seccionadas por la mitad aparecen en la figura 1.20.
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Fig. 1.19. Mapa de densidad electrónica de los
orbitales 2pz, 3pz y 4pz. El eje z es vertical, por lo
que el plano XY queda perpendicular al
observador. El orbital 2p tiene un nodo angular
(plano representado por una línea discontinua);
el 3p tiene un nodo angular y uno radial (este
último es la superficie esférica representada por
una circunferencia discontinua); el 4p, un nodo
angular y dos radiales.
Fig. 1.20. Orbitales 2p, 3p y 4p obtenidos
mediante superficies de contorno que
engloban un alto porcentaje de la densidad
electrónica. Se han dibujado seccionados por
la mitad para mostrar la estructura de nodos
radiales.

19. 1.4.3.2.3. Orbitales d
Los orbitales d tienen estructuras más complicadas que los p. Para un número cuántico principal determinado,
existen siempre 5 orbitales d. La forma de cuatro de ellos (dxy, dyx, dxz, dx2
-y2) es idéntica, aunque con distinta
orientación espacial; solo el quinto (dz2) difiere de los anteriores en la forma, si bien no en la energía, pues los
cinco tienen la misma. En la figura 1.21 se representan las formas tridimensionales de los orbitales 3d. Como se
ha dicho antes, deben poseer en total dos nodos (𝑛 − 1) y ambos deben ser angulares (pues 𝓁 = 2). Para 3dz2
ambos nodos son cónicos; para los demás orbitales 3d los nodos son planos.
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Fig. 1.21. A la
izquierda, forma de
los orbitales 3dxz,
3dyz, 3dxy y 3dx
2
-y
2,
formados por cuatro
lóbulos. A la derecha,
el orbital dz
2, formado
de dos lóbulos y,
entre ellos, un
toroide. Se han
representado las dos
superficies nodales
de cada orbital.

20. 1.4.3.2.3. Orbitales f
La forma de los 7 orbitales f responde a los cuatro patrones que se muestran en la figura 1.22 con sus superficies
nodales. Todos tienen la misma energía.
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Fig. 1.22. Los cuatro patrones de los orbitales 4f. Los orbitales 4fx(x
2
-3y
2
) y 4fy(3x
2
-y
2
) son iguales, aunque su orientación espacial es
diferente. Asimismo, son iguales entre sí los orbitales 4fxz
2 y 4fyz
2 y los orbitales 4fxyz y 4fz(x
2
-y
2
). El 4fz
3 es diferente a los demás.

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1.4.3.2. Tamaño relativo de los orbitales. Densidad electrónica radial
Como se ha dicho, el cuadrado de la función de onda en cada punto (en realidad, elemento infinitesimal de
volumen) del espacio,  2, da la densidad electrónica en dicho punto. Pero es también interesante conocer la
densidad electrónica en una capa esférica de espesor infinitesimal d𝑟 alrededor del núcleo, como se muestra
en la figura 1.23. El concepto se denomina densidad electrónica radial o función de distribución radial y es
muy útil para hacerse una idea del “tamaño” relativo de los orbitales.
Fig. 1.23.
Función de
distribución
radial o
densidad
electrónica
radial en
una capa
esférica de
espesor d𝑟
situada a
una
distancia 𝑟
del núcleo.

22. Triplenlace.com
En la figura 1.23, el centro
de coordenadas represen-
ta al núcleo de un átomo
hidrogenoide. La capa es-
férica dibujada, de espesor
d𝑟 , se encuentra a una
distancia del núcleo com-
prendida entre 𝑟 y 𝑟 + d.
La densidad electrónica
radial se define como
𝑅 𝑟 2
𝑟2
y puede enten-
derse como la densidad de
probabilidad asociada al
factor radial, 𝑅 𝑟 , de la
función de onda. En la
figura 1.24 se representan
los valores de densidad
electrónica radial frente a
la distancia desde el
núcleo (en unidades 𝑟/𝑎)
para varios tipos de
orbitales.
Fig. 1.24. Representación de la función de distribución radial frente a la distancia al núcleo para
varios tipos de orbitales hidrogenoides. Los puntos en los que 𝑅 𝑟 2
𝑟2
se anula corresponden a
nodos del factor radial, 𝑅 𝑟 , de la función de onda.

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Es importante constatar que para cada tipo de orbital las escalas del eje de abscisas son diferentes. Así, el máximo
de densidad electrónica radial de los orbitales 2s está en torno a 6 unidades de distancia, mientras el máximo de los
1s está a menos de 2 unidades y el los 3s a unas 13. Esto quiere decir que los orbitales s son “mayores” (en el
sentido de que extienden su influencia más lejos del núcleo) cuanto mayor es el número cuántico principal. Lo
mismo sucede con los orbitales p, los d y los f.
Nótese, finalmente, que la función de distribución radial informa sobre la densidad electrónica total en una capa
esférica a distancia 𝑟 del núcleo, pero ello no significa que en todo punto situado a distancia 𝑟 la densidad
electrónica deba tener el mismo valor. Sí lo tiene en los orbitales s por su simetría esférica, pero no en los p, d y f.
Por ejemplo, como puede verse en la figura 1.19, la densidad electrónica de los orbitales p en el plano nodal es nula
a cualquier distancia 𝑟 del núcleo, pero tiene un valor no nulo en los puntos fuera de ese plano.

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Fuentes
MacQuarrie, Donald A.; Simon, John D.: Physical Chemistry: a molecular approach, University Science Books,
1997.
Los mapas de densidad electrónica y las superficies de contorno se han construido con el programa Orbital
Viewer: http://www.orbitals.com/orb/ov.htm
Pueden encontrase representaciones interactivas de mapas de densidad electrónica y superficies de contorno de
los orbitales del hidrógeno en:
https://undergrad-ed.chemistry.ohio-state.edu/H-AOs/
https://www.chemtube3d.com/a-level-orbitals-all/
Orbitrón: https://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/2s/wave-fn.html
La forma de todos los orbitales puede verse en:
http://www.orbitals.com/orb/orbtable.htm
https://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_orbital
Figura 1.23: R. Chang: Physical Chemistry for the Chemical Sciences, University Science Books, 2014.
Figura 1.24: McRobbie, Porscha, Geva, Eitan: Hydrogen Atom Radial Functions,
http://demonstrations.wolfram.com/HydrogenAtomRadialFunctions/, Wolfram Demonstrations Project, 2010
(vista en agosto de 2019).

25. Bases de Estructura de la Materia y Química
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