1. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
Chöùng minh raèng :
π 3π
1 π 1 1 π
1. ∫
4
dx 4. ln 2 < ∫ dx <
4 π
4 3 − 2 sin 2 x 2 0
1+ x x 4
3 π
cot g 1 1 1 π
2. ∫
3
dx 5. ∫ 2
dx
12 π
4 x 3 0 x + x+1 8
1 1
1 π π x π
3. ∫ dx
2 1
6. ∫ dx
2 0
1− x 6 6 18 0 x + x + x3 + 3
5 4
9 3
Baøi giaûi :
π 3π 1 1 1 1
1. x ⇒ sin x 1 ⇒ sin 2 x 1 ⇒ 1 2 sin 2 x 2 ⇒ 1 3 − 2 sin 2 x 2 ⇒ 1
4 4 2 2 2 3 − 2 sin 2 x
1 3π 3π
1 3π
π 3π
1 π
⇒ ∫π 4 dx ∫π 4 2
dx ∫ π 4 dx ⇒ ∫π 4 3 − 2 sin 2 xdx 2
4
2 4 4 3 − 2 sin x 4 4
 1
π π  3 cot gx 1
 3 cot gx 4 3 π3 π cot gx 4 π3
2. x dx ∫π 3 dx dx
π ∫π 4 π ∫π 4
⇒ ⇒ ⇒
4 3 3 1 4 π x π 4 x
π x π

3 π cot gx 1
∫π 4 x dx 3
3
⇒
12
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm.
1
3. 0 x < 1 ⇒ 0 x 6 .... x 2 < 1 ⇒ −1 − x 2 − x 6 0 ⇒ 0 1 − x 2 1 − x 6 1 ⇒ 1 − x 2 1 − x6 1
2
1 1 1 1
1
⇒1 ⇒ ∫ 2 dx ∫ 2 dx I
1− x 6
1− x 2 0 0
1 − x6
1
1  π π
Vôùi I = ∫ 2 dx Ñaët x = sin t ; t ∈  − ;  ⇒ dx = cos tdt
0
1 - x2  2 2
x 0 1
2
1
cos tdt 1
π 1 1
1 π
⇒I=∫ 2 = ∫ 2 dt = Vaäy ∫0 1 − x 6 dx 6
2
t 0 π 0
1 − sin 2 t 0 6 2
6
4. 0 x 1 ⇒ x x 1 ⇒ x2 x x x ⇒ 1 + x2 1 + x x 1 + x
1 1 1
⇒ ( 1) ; ∀x ∈ [ 0,1]
x + 1 1 + x x 1 + x2
Daáu ñaúng thöùc trong (1) xaûy ra khi :
x = 0 VT(1) VG(1)
 ⇒ x∈∅
x = 1 VG(1) VP(1)
1 1 1 1 1 dx 1 1 π
Do ñoù : ∫ dx < ∫ dx < ∫ 2 ⇒ ln 2 < ∫ dx <
0 1+ x 0 x +1 4
0
1+ x x 0
1+ x x
1 1 π
Chuù yù : ∫ dx = Xem baøi taäp 5 .
0 1 + x2 4
1

2. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
1 1
5. 0 x 1 ⇒ x2 x ⇒ x2 + x2 x2 + x ⇒ 2 + 2 x2 x2 + x + 2 ⇒ 2 2
x + x+ 2 2( x + 1)
1 1 1 1 1 1 1
⇒∫
0 x + x+2
2
dx
2 ∫0 x2 + 1 dx ; I = ∫0 1 + x2 dx
1
Ñaët x = tgt ⇒ dx = dt = (1 + tg 2 t)dt
cos 2 t
x 0 1 π 1 + tg 2 t π π π 1 1 π
⇒I=∫ 4 dt = ∫ 4 dt = ⇒ I = Vaäy ∫ 2 dx
π 0 1 + tg t2
4 4 0 x + x+2 8
t 0 0
4
0 x5 x 3

6. 0 x 1 ⇒  ⇒ 0 x5 + x 4 2 x 3 ⇒ x3 + 3 x 5 + x4 + x3 + 3 3 x 3 + 3

 0 x4 x 3
1 1 1 x x x
⇒ ⇒ 3
3x + 3
3
x + x + x3 + 3
5 4
x +33
3x + 3 x + x + x3 + 3
5 4
x +3
3
1 x 1 x 1 x
⇒∫ dx ∫ dx ∫ dx ( 1 )
0 3x + 3 3 0 x + x + x3 + 3
5 4 0 x +33
x 1 1 1 x x 0 1
° I1 = ∫ dx = ∫ 3 dx ; Ñaë t x = t 2 ;( t 0) ⇒ dx = 2 tdt
0 3 x3 + 3 3 0 x +1 t 0 1
1 1 2t 2 1 3 t 2 . dt t 0 1 2 1 du π
I1 = ∫ 6 dt = ∫ 3 2 Ñaët u = t 3 ⇒ du = 3t 2 dt ⇒ I1 = ∫ 2 =
3 0 t +1 9 0 (t ) + 1 u 0 1 9 0 u +1 18
π
Keát quaû : I = (baøi taäp 5)
4
1 x π 1 x
°I2 = ∫ 3 = (töông töï) Vaäy (1) ⇔ I1 ∫ 5 dx I2
0 x +3 0 x + x + x3 + 3
4
9 3
π 1 x π
18 ∫
0 x + x + x3 + 3
5 4
dx
9 3
π sin x .cos x π
1,Chöùng minh raèng : ∫ 2
dx
0
(1 + sin x ) (1 + cos x )
4 4
12
2.Neáu : I ( t ) = ∫
t tg 4 x  π  π (
2 tg 3t + 3 tgt
dx > 0 , ∀t ∈  0 ,  ; thì : tg  t +  > e 3
)
0 cos 2 x  4  4
Baøi giaûi :
3 2 + cos2 x + sin2 x 2 + sin 4 x + cos 4 x
1. Ta coù : =
(1 + sin 4 x)(1 + cos4 x) (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x)
3 1 + sin 4 x + 1 + cos 4 x 1 1
⇒ = +
(1 + sin x)(1 + cos 4 x)
4
(1 + sin x)(1 + cos x) 1 + sin x 1 + cos 4 x
4 4 4
2

3. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
3 sin x. cos x sin x. cos x sin x. cos x sin x. cos x 1  sin 2 x sin 2 x 
⇒ + ⇒  1 + sin 4 x + 1 + cos 4 x 
(1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 4
1 + sin x 4
1 + cos x (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 6 
π
3 sin x. cos x 1  π 2 sin 2 x π
sin 2 x 
⇒∫ 2
dx  ∫0 1 + sin 4 x dx + ∫ 2 dx 
0 (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x ) 6 0 1 + cos 4 x

π
sin 2 x
°J1 = ∫ 2 dx Ñaë t t = sin 2 x ⇒ dt = sin 2 xdx
0 1 + sin 4 x
x 0 π
2 ⇒ J = 1 dt = π (keát quaû I= π baøi taäp 5)
t 0 1 1 ∫0 t 2 + 1 4 4
π
sin 2 x
°J2 = ∫ 2 dx Ñaë t u = cos 2 x ⇒ du = − sin 2 xdx
0 1 + cos 4 x
x 0 π
2 1 du π π
⇒ J2 = ∫ 2 = (keát quaû I= baøi taäp 5)
u 1 0 0 u +1 4 4
π
sin x. cos x 1 π
sin x. cos x π
⇒∫ 2 dx ( I + J ) Vaäy ∫ 2 dx
0 (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 6 0 (1 + sin 4 x )(1 + cos 4 x) 12
dt
2. Ñaët t = tgx ⇒ dt = (1 + tg 2 x) dx ⇒ dx =
1 + t2
tgt
tgt t 4 dt tgt t 4 dt tgt  2 1   1 3 1 t-1  1 3 1 tgt - 1
I =∫
t 0 1 - t 2 . 1 + t 2 = ∫0 1 - t 2 = ∫0  -t - 1 + 1 - t 2 dt =  - 3 t - t - 2 ln t + 1  0 = - 3 tg t - tgt - 2 ln tgt + 1




2
1+t
Vì
1 1 tgt - 1
I > 0 neân : - tg 3 t - tgt - ln >0
(t) 3 2 tgt + 1
3 2
 tg t + 3 tgt 

1 tgt − 1 1  π 1  π
⇔ ln = ln tg  t +  > tg 3 t + tgt ⇒ tg  t +  > e 3  
2 tgt + 1 2  4 3  4
x2 1 1 1
1. I n = Chöùng minh : ≤ ∫ In dx ≤ vaø lim In dx = 0
x +1 2( n + 1) 0 n+1 n→+∞
1 2
2. J n = x n ( 1 + e-x ) Chöùng minh : 0 < ∫ J n dx vaø lim J n dx = 0
0 n +1 n→+∞
Baøi giaûi :
1 1 xn xn 1 1 1 xn 1
1. 0 x 1 ⇒ 1 x + 1 2 ⇒ 1 ; x n ⇒ ∫ x n dx ∫0 x + 1dx ∫ x n dx
2 x +1 2 x +1 2 0 0
1 1
x n+1 1 xn x n+1 1 1 xn 1
⇒
2 ( n + 1) ∫0 x + 1dx n +1 0
⇒
2 ( n +1) ∫0 x + 1dx n +1
0
3

4. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
 1
 n→∞ 2 ( n + 1) = 0

lim
xn
Ta coù :  ⇒ lim =0
n→∞ x + 1
 lim 1 = 0
 n→∞ n + 1

2. 0 x 1⇒ 0 e− x e0 = 1 ⇒ 1 1 + e− x 2 ⇒ xn x n (1 + e − x ) 2. x n hay 0 x n (1 + e − x ) 2 xn
1 n
(1 + e x ) dx x n (1 + e − x ) dx
2
1 1
∫ 2∫ x ndx ⇒ 0 ∫
−
⇒0 x
0 0 0 n +1
⇒ lim xn (1 + e− x ) dx = 0
2
Ta coù : lim =0
n→∞ n + 1 n→∞
Chöùng minh raèng :
π 2
1. ∫ π cos x(4 − 3 cos x)(2 cos x + 2)dx ≤ 8π 2. ∫
2
ln x(9 − 3 ln x − 2 ln x)dx ≤ 8(e − 1)
- 2 1
π
2π π
49π
3. ∫π 4. ∫
3 4
sin x(1 + 2 sin x )(5 − 3 sin x)dx < tgx(7 − 4 tgx)dx ≤
4 3 0 64
π 243π
5. ∫ sin 4 x. cos6 xdx ≤
0 6250
Baøi giaûi :
Ñaët f(x) = cosx(4 - 3 cosx )(2 cosx + 2)
3
 cos x + 4 − 3 cos x + 2 cos x + 2 
  =8
cauchy
f(x) 
 


 3 

π π π
2 2 2
⇒∫ f(x)dx 8∫ dx ⇒ ∫ cos x(4 − 3 cos x )(2 cos x + 2)dx 8π
−π −π −π
2 2 2
2. Ñaët f ( x) = ln x (9 − 3 ln x − 2 ln x) = ln x (3 + ln x )(3 − 2 ln x )
3
 ln x + 3 + ln x + 3 − 2 ln x 
f ( x) 
  =8


 3 

 
e e e
⇒∫ f ( x) dx 8∫ dx ⇒ ∫ ln x (9 − 3 ln x − 2 ln x) dx 8( e −1)
1 1 1
3
 sin x + 1 + 2 sin x + 5 − 3 sin x 
3. Ñaët f ( x) = sin x (1 + 2 sin x)(5 − 3 sin x ) ; f(x) 
 
 8

 3 

 
 sin x = 1 + 2 sin x
  sin x = −1

Ñaúng thöùc ⇔  ⇔ ⇔ x∈∅
 sin x = 5 − 3 sin x
  4 sin x = 5

π π π
2π
⇒ f(x) < 8 ⇒ ∫ f(x)dx < 8∫ ⇒∫
3 3 3
dx sin x(1 + 2 sin x )(5 − 3 sin x)dx <
π
4
π
4
π
4 3
1
4. Ñaët f(x) = tgx(7 − 4 tgx) = .4 tgx( 7 − 4 tgx)
4
4

5. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
2
1  4 tgx + 7 − 4 tgx  49
f ( x) ≤   =
4 2  16

∏
49 ∏ 4 ∏
49 ∏
⇒ ∫ 4 f ( x ) dx
0 16 ∫0
dx ⇒ ∫ 4 tgx 7 − 4 tgx dx
0
( ) 16
5. sin 4 x.cos 6 x = (1 − cos 2 x).(1 − cos 2 x).cos 2 x . cos 2 x . cos 2 x
1
= (2 − 2 cos 2 x)(1 − cos 2 x).cos 2 x.cos 2 x.cos 2 x
2
5
1  2 − 2 cos 2 x + 1 − cos 2 x + cos 2 x + cos 2 x + cos 2 x 
≤  
2 5 
243 ∏ 243 ∏
⇒ sin 4 x.cos 6 x ≤ ⇒ ∫ sin 4 x.cos 6 xdx ≤
6250 0 6250
Chöùng minh raèng :
( ) 5∏ 2
∏
∫ cos 2 x + 3sin 2 x + sin 2 x + 3cos 2 x dx
2
1.
−∏ 3 3
2. ∫
1
e
( 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x dx ) 4 ( e − 1)
∏ 3 cos x + sin x ∏
3. −
4 ∫ x2 + 4
dx
4
Baøi giaûi :
1. Ñaët f ( x ) = 1 cos 2 x + 3sin 2 x + 1. sin 2 x + 3cos 2 x
f 2( x ) 2 ( cos 2 x + 3sin 2 x + 3cos 2 x + sin 2 x ) ⇒ f ( x ) 2 2
( )
∏ ∏ ∏
5∏ 2
⇒ ∫ ∏2 f ( x ) dx 2 2 ∫ ∏2 dx ⇒ ∫ ∏2 cos 2 x + 3sin 2 x + sin 2 x + 3cos 2 x dx
− − − 3
3 3 3
2. Ñaët f ( x ) = 1 3 + 2 ln 2 x + 1 5 − 2 ln 2 x
f ( x ) 2 ≤ 2 ( 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x ) ⇒ f ( x ) ≤ 4
e
⇒ ∫ f ( x ) dx 4 ∫ dx ⇒ ∫
1
e
1
e
(
3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x dx ≤ 4 ( e − 1)
1 )
3. 3 cos x + sin x ≤ ( 3)2 + 1 ( cos 2 x + sin 2 x )
 
3 cos x + sin x 2 2 3 cos x + sin x 2 dx
⇒ ≤ ⇒∫ ≤ 2∫
x +4
2
x2 + 4 0 x +4
2 0 x +4
2
5

6. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
Ñaët x = 2tgt ⇒ dx = 2 (1 + tg 2 t ) dt
x 0 1 2 dx ∏ 2 (1 + tg 2t ) 1 ∏ ∏
⇒∫ =∫ 4 dt = ∫ 4 dt =
∏ x +4 4 (1 + tg t )
2 2
t 0 0 0 2 0 8
4
2 3 cos x + sin x ∏ ∏ 2 3 cos x + sin x ∏
⇒∫ dx ⇒− ∫ dx
0 x +4
2
4 4 0 x2 + 4 4
ÑAÙNH GIAÙ TÍCH PHAÂN DÖÏA VAØO TAÄP GIAÙ TRÒ
CUÛA HAØM DÖÔÙI DAÁU TÍCH PHAÂN
Chöùng minh raèng :
∏ ∏ ∏
sin x ∏ sin x
1.∫ 4
sin 2 xdx ≤ 2∫ 4
cos xdx 4..∫ 2
dx > ∫∏ dx
0 0 0 x 2 x
∏ ∏ 2 2
2.∫ 2
sin 2 xdx 2∫ 2
sin xdx 5. ∫ (ln x) 2 dx < ∫ ln xdx
0 0 1 1
2 x −1 2x − 12 ∏ ∏
3.∫ dx < ∫ dx 6. ∫ 4
sin xdx < ∫ 4
cos xdx
1 x 1 x +1 0 0
Baøi giaûi :
 ∏  0 ≤ sin x ≤ 1

1.∀x ∈  0;  ⇒ 
 ⇒ 2sin x.cos x ≤ 2 cos x
 4  0 ≤ cos x ≤ 1


∏ ∏
4 4
⇔ sin 2 x ≤ 2 cos x ⇒∫ sin 2 xdx ≤ 2 ∫ cos xdx
0 0
6

7. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
 ∏  cos x ≤ 1

2. ∀x ∈  0;  ⇒ 
 ⇒ 2 sin 2 x.cos x ≤ 2sin x
 2  0 ≤ sin x


∏ ∏
2 2
⇔ sin 2 x ≤ 2sin x ⇒ ∫ sin 2 xdx ≤ 2 ∫ sin xdx
0 0
x -1 2 x − 1 −x 2 + x − 1
3. ∀x ∈ [ 1;2 ] Xeùt hieäu :
− = <0
x x +1 x ( x + 1)
x −1 2x −1 2 x −1 2 2 x −1
⇒ < ⇒∫ dx < ∫ dx
x x +1 1 x 1 x +1
4. Ñaët x = ∏ -u ⇒ dx = -du
∏ ∏ ∏ sin x 0 sin(∏−u)
2 sin x
x ∏
2 ⇒ ∫∏ dx = ∫∏ (−du) = ∫ dx
u ∏ 0 2 x 2 ∏−u 0 ∏−x
2
∏ 1 1
0 < x < ⇒ 0 < x < ∏−x ⇒ <
2 ∏−x x
sin x sin x ∏
2 sin x
∏
2 sin x
Vì : sin x > 0 ⇒ < ⇒∫ dx < ∫ dx
∏−x x 0 ∏−x ∏ x
2 sin x
∏ ∏ sin x
⇒∫ dx > ∫∏ dx
0 x 2 x
5. Haøm soá y = f(x) = lnx lieân tuïc treân [1,2] neân y = g(x) = (lnx)2 cuõng lieân tuïc treân [1,2]
1 x 2 ⇒ 0 ln x ln 2 < 1 (*) ⇒ 0 (ln x )2 < ln x
2 2
∀x ∈ [ 1,2 ] ⇒ ∫ (ln x )2 dx < ∫ ln xdx
1 1
Chuù yù : daáu ñaúng thöùc (*) xaûy ra taïi x0 = 1⊂ [1,2]
∏ ∏ sin x
6. 0 < x < ⇒ 0 < tgx < tg = 1 ⇔ <1
4 4 cos x
∏ ∏
4 4
⇔ sin x < cos x ⇔ ∫ 0
sin xdx < ∫
0
cos xdx
Chöùng minh raèng :
1 x.sin x
1
1. 2 ∫ 0
x + 4 dx
2
5 4. ∫
0 1 + x .sin x
dx 1 − ln 2
1 1 1 3 e− x .sin x ∏
2. ∫ dx 1 5. 0 < ∫ dx
2 0
x8 + 1 1 x +1
2
12e
∏ 1 ∏ 2
1 1 x 25 1 dx
3. ∫ dx 6.
6 ∫ 4 − x2 − x3
26 3 2
0
0 3
x 10 + 1 26 8
7

8. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
Baøi Giaûi:
1. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x 2 ≤ 1 ⇒ 4 ≤ x 2 + 4 ≤ 5 ⇒ 2 x2 + 4 ≤ 5
1 1 1 1
⇒ 2 ∫ dx ≤ ∫ x 2 + 4 dx ≤ 5 ∫ dx ⇒ 2 ≤ ∫ x 2 + 4 dx ≤ 5
0 0 0 0
2. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x 8 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ x 8 + 1 ≤ 2
1 1
⇒ 0 ≤ x8 + 1 ≤ 2 ⇒ ≤1
≤
2
x8 + 1
1 1 1 dx 1 1 1 dx
⇒ ∫ dx ≤ ∫ ≤ ∫ dx ⇒ ≤∫ ≤1
2 0 0
x8 + 1 0
2 0
x8 + 1
3. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 1 x10 + 1 2 ⇒1 3
x10 + 1 3
2
1 1 x 25
x 25
⇒ 1⇔ x 25
3
2 3
x +1
10 3
2 3
x +110
1 1 1 x 25
1 1 1 x 25 1
⇒ ∫ x 25 dx ∫ dx ∫ x 25 dx ⇒ ∫ dx
3
2 0 0 3
x +1
10 0
26 23 0 3
x +1
10 26
x sin x x
4. Tröôùc heát ta chöùng minh : ;(1) ∀x ∈ [ 0,1] .
1 + x sin x 1+ x
Giaû söû ta coù : (1).
1 1 1 1
(1) ⇔ 1 − 1− ; ∀x [ 0.1] ⇔
1 + x sin x 1+ x 1 + x sin x 1 + x
⇔ 1 + x 1 + x.sin x ⇔ x (1 − sin x ) 0 ñuùng ∀x ∈ [ 0,1]
1x sin x 1 x 1 1 

(1) ⇔ ∫ dx ∫ dx = ∫ 1 −
  dx
0 x + x sin x 0 1+ x  1+ x 
0  
1 x .sin x 1
Vaäy (1) ñaúng thöùc ñuùng , khi ñoù: ⇔∫ dx ( x − ln 1 + x ) = 1 − ln 2
0 1 + x sin x 0
1 x.sin x
⇒∫ dx 1 − ln 2.
0 1 + x .sin x
 1 1
0 < e− x = x e− x sin x
1, 3  ⊂ ( 0, ∏ ) ⇒ 
5. x ∈   e e⇒0< 2 <
1

0 < sin x < 1 x +1 e ( x + 1)
2

3 e − x sin x 1 3 dx 1 3 dx
⇒0<∫ dx < ∫ = I ;I = ∫
1 x2 + 1 e 1 x2 + 1 e 1 x2 + 1
1
Ñaët x = tgt ⇒ dx = 2
dt = (1 + tg 2 t )dt
cos t
8

9. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
x 1 3
⇒ Ι = ∫∏
∏ (1 + tg t )dt =
2
∏ ∏ ∏
∫∏ 4 dt = t =
3 3 3
∏
t ∏ ∏ 4 1 + tg t 2
4 12
4 4
3 e − x sin x ∏
Vaäy 0 < ∫ dx <
1 x +1
2
12e
6. 0 x 1⇒ 0 x3 x2 ⇒ − x2 − x3 0
⇒ 4 − 2x2 4 − x 2 − x3 4 − x2
⇒ 4 − 2x2 4 − x2 − x3 4 − x2
1 1 1
⇒
4 − 2x2 4− x −x 2 3
4 − x2
1 1 1 1 1 1
⇒I =∫ dx ∫ dx ∫ dx = J
0
4 − x2 0
4 − x2 − x3 0
4 − 2 x2
Ñaët x = 2sin t ⇒ dx = 2 cos tdt
x 0 1 ∏ 2 cos tdt ∏ ∏
⇒I =∫ 6 = ∫ 6 dt =
t 0 ∏ 0
4 − ( 2sin t )
2 0 6
6
Ñaët x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt
x 0 1
t 0 ∏
4
∏
∏ 2 cos tdt 2
4
∏ 2
⇒J =∫ 4
= =
( ) 2 8
0 2
4−2 2 sin t 0
∏ 1 dx ∏ 2
⇒ ≤∫ ≤
6 0
4 − x 2 − x3 8
Chöùng minh raèng :
e −1 1 − x2 ∏ ∏
1 ∏ 6
1. ∫0 e dx 1 3. ≤ ∫ 2 1 + sin 2 x .dx ≤
e 2 0 2 4
∏ ∏ ∏ 1 1
sin 2 x
2. ∫0 2 e dx 2 e 4. 0.88 < ∫ dx < 1
2 0
1 + x4
Baøi giaûi :
9

10. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
1.°0 x 1 ⇒ 0 x 2 x 1 ⇒ 0 < e x
2
ex
1 1
e− x (1)
2
⇒ x2 x
⇔ e− x
e e
°x 2 1( 2 )
2 2
0 ⇒ ex e0 = 1 ⇒ e− x
Töø (1) vaø (2) suy ra : e − x
2
1 e− x
1 1 1 e −1 1
⇒ ∫ e − x dx ∫e ∫0 dx ⇒ e ∫e
2
− x2 − x2
dx dx 1
0 0 0
2
2. 0 sin 2 x 1⇒1 esin x
e
∏ ∏ ∏
∏ ∏
∏
⇒∫ ∫ e.∫ ∫
2 2
2
dx 2
esin x dx 2
dx ⇒ 2
esin x dx e
0 0 0 2 0 2
1 2 1 1 3
3. 0 sin 2 x 1⇒ 0 sin x ⇒1 1 + sin 2 x
2 2 2 2
∏ ∏
1 3 ∏2 ∏ ∏
1 ∏ 6
⇒∫ 2
dx ∫
2
1 + sin 2 x dx ∫0 dx ⇒ 2 ∫
2
1 + sin 2 x .dx
0 0 2 2 0 2 4
4. Caùch 1:
1 1
∀x ∈ ( 0,1) thì x 4 < x 2 ⇒ 1 + x 4 < 1 + x 2 ⇒ >
1+ x 4
1 + x2
( )
1
1 1 1 1
⇒∫ dx > ∫ dx = ln x + 1 + x 2 = ln 1 + 2 > 0,88
0 0
1 + x4 1 + x2 0
1 1 1
Maët khaùc : 1 + x 4 > 1 ⇒ <1⇒ ∫ dx < 1
1+ x 4 0
1 + x4
1 1
Vaäy : 0,88 < ∫ dx < 1
0
1 + x4
1
Chuù yù : hoïc sinh töï chöùng minh ∫ dx = ln x + x 2 + a 2 + C baèng phöông phaùp tích phaân töøng
a +x 2 2
phaàn .
Caùch 2 :
x ∈ ( 0,1) ⇒ x 4 < x 2 ⇒ 1+ x 4 < 1 + x 2
1 1 1 1
⇒ > ⇒∫ dx > I
1+ x 4
1+ x 2 0
1 + x4
1 1
Vôùi : I = ∫ dx
0
1 + x2
dt = (1 + tg 2t ) dt
1
Ñaët x = tgt ⇒ dx =
cos 2
10

11. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
x 0 1
I =∫
(1 + tg t ) dt =
∏
2
∏
1
∫
4 4
dt
∏
t 0
4 (1 + tg t )
0 2 0 cos t
∏
cos t
I =∫ 4
dt
0 1 − sin 2 t
t 0 ∏
Ñaët u = sin t ⇒ du = cos tdt 4
u 0 1
2
1
du 1 1
1− u + u +1 1 1
 1 1 
I =∫ 2
= ∫ 2
du = ∫ 2
 + du
0 1− u 2
2 0 (1 − u )(1 + u ) 2 0  1+ u 1− u 
1
1 1 1 1 1 1 1 1+ u 2
= ∫ 2 du + ∫ 2 du = ln
2 0 1+ u 2 0 1− u 2 1− u 0
1 2+ 2 1 1
I= ln > 0,88 ⇒ ∫ dx > 0,88
2 2− 2 0
1 + x4
1
Maët khaùc :1 + x 4 > 1 ⇒ <1
1 + x4
1 1 1
⇒∫ dx < ∫ dx = 1 ( 2 )
0 0
1 + x4
1 1
Töø (1) vaø (2) suy ra : 0.88 < ∫ dx < 1
0
1 + x4
Chöùng minh raèng :
∏2 ∏ 3 e− x cos x ∏
1. 0 < ∫ x tgx dx <
0 32
4 4. ∫
1 1+ x 2
dx <
12e
1 cos nx cos x
200 ∏ 1
2. ∫ dx ln 2 5. ∫ dx
0 1+ x 100 ∏
x 200 ∏
e− x .sin x ∏ 1  1  1 ex e  1 
1 − n −1  ∫
3
3. ∫ dx < 6.  dx 1 − n −1 
1 1+ x 2
12e n − 1  2  0 (1 + x )n n −1  2 
Baøi giaûi :
∏
1. 0 x ⇒0 tgx 1⇒ 0 tgx 1⇒ 0 x tgx x
4
∏
Xeùt : 0 < α < x < β < ta coù :
4
0 < tgx < 1

∏ ⇒ 0 < x tgx x
0< x< 
4
∏ α β ∏
I =∫ 4
x tgx dx = ∫ x tgx dx + ∫ x tgx dx + ∫ 4
x tgx dx
0 0 α β
11

12. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
Ta coù :
α  α
0 ∫ 0
x tgx dx
xdx  ∫ 0
β β 
 ∏ ∏
0 < ∫ x tgx dx < ∫ xdx  ⇒ 0 ∫
4
x tgx dx < ∫ 4
xdx
α α 0 0
∏ ∏

0 ∫ x tgx dx ∫ xdx 
4 4
β β 

∏
∏ 2
⇒ 0 < ∫ 4 x tgx dx <
0 32
α β
Chuù yù : (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì
b b
∫ a
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f( x ) dx
b α β
Tuy nhieân neáu : m f( x ) M thì :
b b b b
m ∫ dx ∫ f( x ) dx M ∫ dx ⇒ m ( b − a ) ∫ f( x ) dx M (b − a )
a a a a
Nhöng (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì m ∫ dx < ∫ f( x ) dx < M ∫ f( x ) dx
b b b
a a a
(Ñaây laø phaàn maéc phaûi sai laàm phoå bieán nhaát )Do chöa hieåu heát yù nghóa haøm soá f( x ) chöùa (α , β ) lieân
tuïc [ a, b ] maø (α , β ) ⊂ [ a, b ] )
cos nx
1 1 cos nx 1 cos nx 1 1 1
2. ∫0 1 + x dx ∫ 0 1+ x
dx = ∫
0 1+ x
dx ∫0 1 + x = ln 1 + x 0 = ln 2
1cos nx
⇒ ∫ 0 1+ x
dx ln 2
 e − x e −1 = 1

3. 1 x 3⇒ e
 sin x 1

1
3 e− x .sin x 3 e − x .sin x 3
e dx
⇒ ∫ 1 1 + x2
dx ∫ 1 + x2
dx ∫
1 1 + x2
3 e− x .sin x 1 3 1
⇒ ∫ dx .I vôùi I = ∫ dx
1 1 + x2 e 1 1 + x2
Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt
x 1 3
⇒ Ι = ∫∏
∏ (1 + tg t )dt =
2
∏
∏
∫ dt =
3 3
t ∏ ∏ 4 1 + tg t 4
2 ∏
12
4 3
−x
3 e .sin x ∏
⇒ ∫ dx (*) (Caùch 2 xem baøi 4 döôùi ñaây )
1 1+ x 12e
Ñaúng thöùc xaûy ra khi :
12

13. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
 e − x = e −1 x = 1
 ⇔ ⇒ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3 
 
sin x = 1 sin x = 1
−x
3 e .sin x ∏
Vaäy : ∫ dx <
1 1+ x 2
12e
Xem laïi chuù yù treân , ñaây laø phaàn sai laàm thöôøng maéc phaûi khoâng ít ngöôøi ñaõ voäi keát luaän ñaúng thöùc (*)
ñuùng . Thaät voâ lyù
3 e− x cos x 3 e − x cos x 3 e− x
4. ∫
1 1 + x2
dx ∫1 1 + x2
dx ∫
1 1 + x2
dx
Do y = e− x giaûm ⇒ max ( e− x ) = e −1 =
1
e
3 e− x cos x 1 3 1 ∏
⇒ ∫ dx ∫1 1 + x 2 dx = 12e ;do I baøi 3
1 1 + x2 e
Daáu ñaúng thöùc :
e− x = e −1 x = 1
 ⇔ ⇔ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3 
 
cos x = 1 cos x = 1
3 e − x cos x ∏
Vaäy ∫ dx <
1 1+ x 2
12e
u = 1
 
du = − 1 x 2 dx
5. Ñaët  x ⇒
dv = cos xdx
 v = sin x

200 ∏
200 ∏ cos x 1 200 ∏ sin x
⇒∫ dx = sin x +∫ dx
100 ∏ x x 100 ∏
100 ∏ x2
200 ∏
cos x
200 ∏ 200 ∏ 1 1 1
⇒∫ dx ∫ dx = − =
100 ∏ x 100 ∏ x 2
x 100 ∏ 200 ∏
200 ∏ cos x 1
Vaäy ∫ dx
100 ∏
x 200 ∏
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöong phaùp ñaïo haøm .
13

14. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
1 ex e
6. 0 x 1⇒1 ex e⇒
(1 + x ) (1 + x ) (1 + x )
n n n
1 1 1 ex 1 1
⇒∫ dx ∫ (1 + x ) dx e∫ dx
(1 + x ) (1 + x )
0 n 0 n 0 n
1− n 1 1− n 1
( x + 1) 1 ex ( x + 1)
⇔
1− n ∫ (1 + x )
0 n
dx e.
1− n
0 0
1  1  1 e x
e  1 
Vaäy : 1 − n −1  ∫ (1 + x ) dx 1 − n −1  ; n > 1
n −1  2  0 n
n −1 2 
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp nhò thöùc Newton .
Chöùng minh raèng : neáu f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá lieân tuïc vaø x xaùc ñònh treân [a,b] , thì ta coù :
(∫ )
b 2 b b
a
f ( x ) .g( x ) .dx ∫a
f 2( x ) dx . ∫ g 2( x ) dx
a
Caùch 1 :
Cho caùc soá α1 , tuyø yù i ∈ 1, n ta coù : ( )
(α 2
1 + α 2 2 + ... + α 2 n )( β 21 + β 2 2 + ... + β 2 n ) (α1β1 + α 2 β 2 + ... + α n β n ) (1)
α1 α 2 α
Ñaúng thöùc (1) xaûy ra khi : = = ... n
β1 β 2 βn
Thaät vaäy : phaân hoaïch [a,b] thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia :
a = x0 < x1 < x2 < …. <xn = b vaø choïn :
b−a
ξ1 ∈ [ xi −1 , xi ] = ∀i ∈ i, n
n
Do f vaø g lieân tuïc , ta coù :
 b 2 n
b−a
 ∫a f ( x ) dx = lim ∑ f 2 ( ξi ) ( 2)
n →+∞ n
 i =1
 b n
b−a
 ∫ g 2( x ) dx = lim ∑ g 2 (ξ i ) ( 3)
 a n →+∞
i =1 n
 n →∞
Khi ñoù (1)
n
b−a n
b−a
⇔ lim ∑ f 2 (ξi ) . lim ∑ g 2 ( ξi ) .
n →+∞ n n →+∞ n
i =1 i =1
2
 n
b−a 
 nlim ∑ f (ξi ) . g (ξ i ) n . ( 4)
 →+∞
i =1 
Töø (4) ta cuõng coù :
2
n
 n n n

∑ f (ξi ) ∑ g (ξi ). ∑ f (ξi ) ∑ g (ξi ). ( 5 )
i =1
2
i =1  i =1 i =1
2

Ñaúng thöùc xaûy ra khi : f(x):g(x) = k hay f(x) = k.g(x)
14

15. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
(∫ )
b 2 b b
Töø (5) ⇒ f ( x).g ( x)dx ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx
a a a
Caùch 2 : ∀t ∈ R + ta coù :
0 [tf ( x) − g ( x) ] = t 2 f 2 ( x) − 2.t. f ( x).g ( x) + g 2 ( x)
2
b b b
⇒ h(t ) = t 2 ∫ f 2 ( x)dx − 2t ∫ f ( x).g ( x)dx + ∫ g 2 ( x)dx 0
a a a
h(t) laø 1 tam thöùc baäc 2 luoân khoâng aâm neân caàn phaûi coù ñieàu kieän :

 ah = t > 0
2
 ⇔ ∆ 'h 0
∆ h 0

2
⇔  ∫ f ( x).g ( x)dx  − ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ≤ 0
b b b
 a
 
 a a
(∫ )
b 2 b b
⇒
a
f ( x).g ( x)dx ∫ a
f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx
a
Chöùng minh raèng :
 1
(e − 1)  e x − 
x
1 5 3. e x − 1 < ∫ e2 t + e− t dt < x
1. ∫ 1 + x3 dx <
0 2 0
 2
1 3∏ 1 3cos x − 4sin x 5∏
2. ∫ esin
2
x
dx > 4. ∫ dx
0 2 0 1 + x2 4
Baøi giaûi :
(∫ )
b 2 b b
1. Ta coù : f ( x).g ( x)dx ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ( ñaõ chöùng minh baøi tröôùc )
a a a
b b b
⇒ ∫ a
f ( x).g ( x)dx ∫ a
f 2 ( x)dx . ∫ a
g 2 ( x)dx
1 + x3 = (1 + x ) . (1 − x + x 2 ) = (1 + x ) . (1 − x + x ) 2
(1 − x + x ) dx < ∫ (1 + x ) dx ∫ ( x − x + 1) dx
1 1 1 1
⇒ ∫ 1 + x3 dx = ∫
0 0
(1 + x ) 2
0 0
2
1
1
1  x2   x3 x 2  5
∫0
1 + x3 dx <  + x 
 2 0

 3
−
2
+ x =
 2
 0
1 5
⇒ ∫ 1 + x3 dx <
0 2
∏ ∏ ∏
2. ∫ esin dx = ∫ dx + ∫
2 2 2
x 2
esin x 2
esin x
dx
0 0 0
x ∏ ∏
x 2
Ñaët t = + t ⇒ dx = dt
2 t 0 ∏
2
15

16. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
⇒ ∫ esin
∏ 2
x
∏
dx = ∫ 2 esin x dx + ∫
2
∏
2
e
(
sin 2 ∏ + t
2 ) dt
0 0 0
∏ ∏ ∏
=∫ dx + ∫ ecos x dx = 2∫
2 2 2
2 2 2
esin x
esin x dx
0 0 0
∏ 2 ∏ 2
   sin 2 x cos 2 x 
Ta laïi coù  ∫ 2
edx  =  ∫ 2 e 2 .e 2
dx 
 0   0 
∏ ∏
<∫ esin x dx . ∫
2 2
2 2
ecos x dx
0 0
∏ ∏ 2 ∏ ∏ 2
   
hay  ∫ e dx  <  ∫ 2 esin x dx  ⇒ ∫ 2 e dx < ∫ 2 esin x dx
2 2
2
 0   0  0 0
∏
∏ 1  3
⇒ ∫ esin x dx >
2 2
e =∏ e ; e > 
0 2 0  2
∏ 3
⇒ ∫ esin x dx >
2
0 2
Chuù yù : baøi naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm .
x x t
3. ∫ e 2t + e − t dt = ∫ e 2
et + e−2t dt
0 0
(∫ )
2
∫ e dt ∫ ( e + e −2t )dt
x t t t
e 2
et + e−2t dt t t
0 0 0
vi ( ∫ f ( x).g ( x)dx )
b 2 b b
a ∫ a
f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx
a
⇒ ( ∫ e + e dt )
2
   x 1
(e − 1)  e x − − 2 x
1 1
 < ( e − 1)  e − 
x
2t −t x x
o
 2 e   2
 1
(e − 1)  e x −  (1)
1
⇒∫ e 2t + e − t dt x
0
 2
Maët khaùc : e 2t + e − t > et ; ∀0 < t < x
x x
⇒∫ e2t + e− t dt > ∫ et dt = e x − 1 (2)
0 0
 1
(e − 1)  e x − 
x
Töø (1) vaø (2) suy ra : e x − 1 < ∫ e 2t + e − t dt < x
0
 2
3cos x − 4sin x 1 32 + ( −4 )2  sin 2 x + cos 2 x  = 5
4.
1 + x2 1 + x2    x2 + 1
1 3cos x − 4sin x 1 3cos x − 4sin x 1 1
⇒ ∫ 0 1 + x2
dx ∫
0 1 + x2
dx 5∫
0 1 + x2
dx
Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt
16