1. www.VNMATH.com
Chuyên đề
LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
sin 2 α + cos 2 α = 1 tan α .cot α = 1
sin α  π  cos α
tan α =  α ≠ + kπ ÷ cot α = ( α ≠ kπ )
cos α  2  sin α
1  π  1
= tan 2 α + 1 α ≠ + k π ÷ = cot 2 α + 1 ( α ≠ kπ )
cos α
2
 2  sin α
2
2. Công thức LG thường gặp
sin ( a ± b ) = sinacosb ± sinbcosa
cos ( a ± b ) = cos a cos b m sinasinb
Công thức cộng:
tana ± tanb
tan ( a ± b ) =
1 m tanatanb
sin 2a = 2sin a.cos a
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a
cos 3a = 4 cos 3 a − 3cos a
Công thức nhân:
sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a
3 tan a − tan 3 a
tan 3a =
1 − 3 tan 2 a
1
Tích thành tổng: cosa.cosb = [cos(a−b)+cos(a+b)]
2
1
sina.sinb = [cos(a−b)−cos(a+b)]
2
1
sina.cosb = [sin(a−b)+sin(a+b)]
2
a+b a−b
Tổng thành tích: sin a + sin b = 2sin cos
2 2
a+b a−b
sin a − sin b = 2 cos sin
2 2
a+b a −b
cos a + cos b = 2 cos cos
2 2
a+b a −b
cos a − cos b = −2sin sin
2 2
sin(a ± b)
tan a ± tan b =
cos a.cos b
1
Công thức hạ bậc: cos2a = (1+cos2a)
2
1
sin2a = (1−cos2a)
2
a
Biểu diễn các hàm số LG theo t = tan
2
Chuyên đề: LG 1 Thái Thanh Tùng

2. www.VNMATH.com
2t 1- t 2 2t
sin a = ; cos a = ; tan a = .
1+ t 2
1+ t 2
1− t2
3. Phương trìng LG cơ bản
u = v + k 2π
* sinu=sinv ⇔  * cosu=cosv⇔u=±v+k2π
u = π − v + k 2π
* tanu=tanv ⇔ u=v+kπ * cotu=cotv ⇔ u=v+kπ ( k ∈ Z ) .
4. Một số phương trình LG thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các
công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các
phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG..
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là a 2 + b 2 ≥ c 2 .
b c
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt = tan α , ta được: sinx+tanαcosx= cos α
a a
c c ñaë
t
⇔ sinx cos α + sin α cosx= cos α ⇔ sin(x+ α )= cos α = sin ϕ .
a a
Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a 2 + b 2 , ta được:
a b c
sin x + cos x =
a +b
2 2
a +b
2 2
a + b2
2
a b
Đặt: = cos β ; = sin β . Khi đó phương trình tương đương:
a2 + b2 a2 + b2
c c ñaë
t
cos β sin x + sin β cos x = hay sin ( x + β ) = = sin ϕ .
a2 + b2 a 2 + b2
x
Cách 3: Đặt t = tan .
2
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).
π
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với x = + kπ .
2
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.
1  π 
Chú ý: 2
= tan 2 x + 1  x ≠ + kπ ÷
cos x  2 
Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc.
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t | ≤ 2 .
 π  π
Löu yù c coâg thöù : sin x + cos x = 2 sin  x + ÷ = 2 cos  x − ÷
caù n c
 4  4
 π  π
sin x − cos x = 2 sin  x − ÷ = − 2 cos  x + ÷
 4  4
Chuyên đề: LG 2 Thái Thanh Tùng

3. www.VNMATH.com
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).
Giải
1 − cos 2 x 1 − cos 6 x 1 + cos 4 x 1 + cos8 x
Phương trình (1) tương đương với: + = +
2 2 2 2
⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0
 π  π kπ
5 x = 2 + kπ  x = 10 + 5
cos 5 x = 0  
⇔ cos 2 x = 0 ⇔  2 x = π + kπ ⇔  x = π + lπ , ( k , l , n ∈ ¢ )
 2  4 2
cos x = 0
  
π
 x = + kπ π
 x = + nπ

 2 
 2
6 6 8 8
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos x+sin x = 2 ( cos x+sin x) (2).
Giải
Ta có (2) ⇔ cos6x(2cos2x−1) = sin6x(1−2sin2x)
⇔ cos2x(sin6x–cos6x) = 0
⇔ cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0
⇔ cos2x = 0
π π kπ
⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + , (k ∈ ¢ )
2 4 2
Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 2 cos6 x + 2 2 sin 3 x sin 3 x − 6 2 cos 4 x − 1 = 0 (3).
Giải
Ta có:
(3) ⇔ 2 2 cos3 x(4 cos3 x − 3cos x) + 2 2 sin 3 x sin 3 x − 1 = 0
⇔ 2 cos 2 x.2 cos x cos 3x + 2sin 2 x.2sin x sin x3 x = 2
⇔ (1 + cos 2 x)(cos 2 x + cos 4 x) + (1 − cos 2 x)(cos 2 x − cos 4 x) = 2
⇔ 2(cos 2 x + cos 2 x cos 4 x) = 2
2
⇔ cos 2 x(1 + cos 4 x) =
2
2
⇔ cos 2 x.cos 2 2 x =
4
2 π
⇔ cos 2 x = ⇔ x = ± + kπ , (k ∈ ¢ )
2 8
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
17
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: sin 8 x + cos8 x = (4).
32
Giải
Ta có (4)
4 4
 1 − cos 2 x   1 + cos 2 x  17 1 4 2 17
⇔ ÷ + ÷ = 32 ⇔ 8 (cos 2 x + 6 cos 2 x + 1) = 32
 2   2 
Chuyên đề: LG 3 Thái Thanh Tùng

4. www.VNMATH.com
 1
2 17 2 13 t = 2
Đặt cos 2x = t, với t∈[0; 1], ta có t + 6t + 1 = ⇔ t + 6t − = 0 ⇔ 
2
4 4 t = − 13

 2
1 1 cos 4 x + 1 1
Vì t∈[0;1], nên t = ⇔ cos 2 2 x = ⇔ =
2 2 2 2
π π π
⇔cos4x = 0 ⇔ 4 x = + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ )
2 8 4
Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta có (5) ⇔ 2(1− cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0
⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0
⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos x = 1 ⇔ x = kπ ,k( ∈ ¢ )
2
⇔
 2sin x + 2 cos x + 2sin x cos x + 1 = 0 (*)
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t |≤ 2 , khi đó phương trình (*) trở thành:
t = 0 π
2t + t2 – 1 + 1 = 0 ⇔ t2 + 2t = 0 ⇔  ⇔ sin x = -cos x ⇔ x = − + nπ , ( n ∈ ¢ )
t = −2 (lo¹ i) 4
π
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = − + nπ ; x = kπ , n k ∈ ¢ )
2 ( ,
4
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách
đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 6. Giải phương trình: π |sin x | = cos x (6).
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do | sin x |≥ 0, nên π |sin x | ≥ π 0 = 1 , mà |cosx| ≤ 1.
| sin x |= 0
 
 x = kπ , ( k ∈ ¢ + )  x = kπ
2 2
 π =
k 2 n k = n = 0
Do đó (6) ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
| cos x |= 1
  x = nπ , ( n ∈ ¢ )
  x = nπ  x = nπ x = 0
(Vì k, n ∈ Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
x2
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 1 − = cos x .
2
Giải
x2
Đặt f ( x )= cos x + . Dễ thấy f(x) = f(−x), ∀x ∈ ¡ , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét
2
với x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x)
đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
 π
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng  0; ÷ thoả mãn
 2
2− n
phương trình: sin n x + cos n x = 2 2 .
Giải
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x.
= nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)
Chuyên đề: LG 4 Thái Thanh Tùng

5. www.VNMATH.com
 π π  2−n
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng  0; ÷, ta có minf(x) = f  ÷ = 2 2
 2 4
π
Vậy x = là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
4
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
π
1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: x = k 2π ; x = + n 2π
2
2. tanx.sin2x−2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
π π
HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: x = − + kπ ; x = ± + n2π
4 3
3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
π π π 7π
ĐS: x = ± + k ; x = − + nπ ; x = + mπ .
4 4 12 12
π
4. |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: x = k .
2
5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) (ĐH Luật Hà Nội)
π 1
ĐS: x = + k 2π ; x = α + n 2π ; x = π − α + l 2π ; với sin α = − .
2 4
π
6. sinx−4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: x = + kπ .
4
 π  π π π
7. sin  3x − ÷ = sin 2 x.sin  x + ÷ ; (Học Viện BCVT) ĐS: x = + k
 4  4 4 2
3 3 3
8. sin x.cos3x+cos x.sin3x=sin 4x
π
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: x = k .
12
 −π
 x = 4 + kπ
1 1  7π  
+ = 4 sin  − x÷ −π
9. sin x  3π   4  ĐS:  x =

+ kπ
sin  x − ÷ 8
 2  
 x = 5π + kπ

 8
10. sin x − 3 cos x = sin x cos x − 3 sin x cos x
3 3 2 2
π π
HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = − + kπ , x = ± + k π
3 4
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
π 2π
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: x = + kπ ∨ x = ± + k 2π (k ∈ ¢ )
4 3
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải
(1) ⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx.
⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t=cosx, ĐK t ≤ 1 , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.
Chuyên đề: LG 5 Thái Thanh Tùng

6. www.VNMATH.com
 1
t= 1
⇒  2

⇒ cos x = …(biết giải)
2
t = sin x - 2 ( loaï )
 i
13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK t ≤ 1 .
2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … ∆=(4cosx–1)2.
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0.
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
1 2 ( cos x − sin x )
15. Giải phương trình lượng giác: =
tan x + cot 2 x cot x − 1
Giải
cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0

Điều kiện: 
cot x ≠ 1

1 2 ( cos x − sin x ) cos x.sin 2 x
= ⇔ = 2 sin x
Từ (1) ta có: sin x cos 2 x cos x cos x
+ −1
cos x sin 2 x sin x
⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x
 π
2  x = 4 + k 2π
⇔ cos x = ⇔ ( k ∈¢ )
2  x = − π + k 2π

 4
π
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = − + k 2π ( k ∈ ¢ )
4
sin 4 x + cos 4 x 1
16. Giải phương trình: = ( tan x + cot x )
sin 2 x 2
Giải
sin 4 x + cos 4 x 1
= ( tan x + cot x ) (1)
sin 2 x 2
Điều kiện: sin 2 x ≠ 0
1 1
1 − sin 2 2 x 1 − sin 2 2 x
2 1  sin x cos x  2 1 1
(1) ⇔ =  + ÷⇔ = ⇔ 1 − sin 2 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = 0
sin 2 x 2  cos x sin x  sin 2 x sin 2 x 2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2  π 2
17. Giải phương trình: 2 sin  x − ÷ = 2 sin x − tan x .
 4
Giải
 π   π 
Pt⇔ 2 sin  x − ÷ = 2 sin x − tan x (cosx ≠ 0) ⇔ 1 − cos  2 x − ÷ cos x = 2 sin x.cos x − sin x
2 2 2
 4   2 
⇔ (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 ⇔ sin2x = 1 hoặc tanx = 1.
(
18. Giải phương trình: sin 2 x ( cos x + 3) − 2 3cos x − 3 3cos2 x + 8 3 cos x − s inx − 3 3 = 0 .
3
)
Giải
Chuyên đề: LG 6 Thái Thanh Tùng

7. www.VNMATH.com
sin 2 x(cos x + 3) − 2 3.cos 3 x − 3 3.cos 2 x + 8( 3.cos x − sin x) − 3 3 = 0
⇔ 2sin x.cos 2 x + 6 sin x.cos x − 2 3.cos 3 x − 6 3 cos 2 x + 3 3 + 8( 3.cos x − sin x) − 3 3 = 0
⇔−2 cos 2 x ( 3 cos x −sin x ) − 6. cos x ( 3 cos x −sin x ) +8( 3 cos x −sin x) = 0
⇔ ( 3 cos x − sin x)( −2 cos 2 x − 6 cos x + 8) = 0
 tan x = 3
 3 cos x − sin x = 0 
⇔ ⇔  cos x = 1
cos 2 x + 3cos x − 4 = 0
  cos x = 4 (loai)

 π
⇔  x = 3 + kπ , k ∈ Z

 x = k 2π
 π
19. Giải phương trình: cosx=8sin3  x + ÷
 6
Giải
 π
( )
3
cosx=8sin3  x + ÷ ⇔ cosx = 3 sin x + cos x
 6
⇔ 3 3 sin 3 x + 9sin 2 x cos x + 3 3 sin x cos 2 x + cos 3 x − cos x = 0 (3)
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm
(3) ⇔ 3 3 tan 3 x + 8 tan 2 x + 3 3 tan x = 0
⇔ tan x = 0 ⇔ x = k π
1 2 ( cos x − sin x )
20. Giải phương trình lượng giác: =
tan x + cot 2 x cot x − 1
Giải
cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) ≠ 0

Điều kiện: 
cot x ≠ 1

1 2 ( cos x − sin x ) cos x.sin 2 x
= ⇔ = 2 sin x
Từ (1) ta có: sin x cos 2 x cos x cos x
+ −1
cos x sin 2 x sin x
⇔ 2sin x.cos x = 2 sin x
 π
2  x = 4 + k 2π
⇔ cos x = ⇔ ( k ∈¢ )
2  x = − π + k 2π

 4
π
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = − + k 2π ( k ∈ Z ¢
)
4
21. Giải phương trình: cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x)
Giải
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0
 cos x − sin x = −1
⇔
 cos x − sin x = 5 (loai vi cos x − sin x ≤ 2)
 π
⇔ 2 sin x −( 4) ( 4 )
π = 1 ⇔ sin x − π = sin π ⇔  x = 2 + k 2π ( k ∈ Z )
4  x = π + k 2π

Chuyên đề: LG 7 Thái Thanh Tùng

8. www.VNMATH.com
22. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0
Giải
π π
3 sin x + cos x + 2 cos 3 x = 0 ⇔ sin sinx + cos cosx = – cos3x.
3 3
 π  π
⇔ cos  x − ÷= − cos 3 x ⇔ cos  x − ÷= cos(π − 3 x)
 3  3
 π kπ
x = 3 + 2 π kπ
⇔  (k ∈Z ) ⇔ x= + (k∈Z)
π 3 2
 x = + kπ
 3
2+3 2
23. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x =
8
Giải
2+3 2 2+3 2
Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
8 8
2+3 2 2 π π
⇔ cos 2 3 x + sin 2 3x + 3 ( cos 3 x cos x − sin 3 x sin x ) = ⇔ cos 4 x = ⇔ x = ± + k ,k ∈ Z .
2 2 16 2
24. Định m để phương trình sau có nghiệm
 π  π  π
4sin 3 x sin x + 4 cos  3 x − ÷cos  x + ÷ − cos 2  2 x + ÷+ m = 0
 4  4  4
Giải
Ta có:
* 4sin 3 x sin x = 2 ( cos 2 x − cos 4 x ) ;
 π  π   π 
* 4 cos  3x − ÷cos  x + ÷ = 2 cos  2 x − ÷ + cos 4 x  = 2 ( sin 2 x + cos 4 x )
 4  4   2 
2  π  1  π  1
* cos  2 x + ÷ = 1 + cos  4 x + ÷ = ( 1 − sin 4 x )
 4  2  2 ÷ 2

Do đó phương trình đã cho tương đương:
1 1
2 ( cos 2 x + sin 2 x ) + sin 4 x + m − = 0 (1)
2 2
 π
Đặt t = cos 2 x + sin 2 x = 2 cos  2 x − ÷ (điều kiện: − 2 ≤ t ≤ 2 ).
 4
Khi đó sin 4 x = 2sin 2 x cos 2 x = t − 1 . Phương trình (1) trở thành:
2
t 2 + 4t + 2m − 2 = 0 (2) với − 2 ≤ t ≤ 2
(2) ⇔ t 2 + 4t = 2 − 2m
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D) : y = 2 − 2m (là đường song song với Ox và cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y = t 2 + 4t với − 2 ≤ t ≤ 2 .
x − 2 2
y’ +
y 2+4 2
2−4 2
Trong đoạn  − 2; 2  , hàm số y = t 2 + 4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 − 4 2 tại t = − 2 và đạt giá trị lớn
 
nhất là 2 + 4 2 tại t = 2 .
Chuyên đề: LG 8 Thái Thanh Tùng

9. www.VNMATH.com
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 − 4 2 ≤ 2 − 2m ≤ 2 + 4 2
⇔ −2 2 ≤ m ≤ 2 2 .
−−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−−
Chuyên đề: LG 9 Thái Thanh Tùng

10. www.VNMATH.com
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009
KHỐI A
 cos 3x + sin 3 x 
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π) của phương trình: 5  sin x + = cos 2 x + 3 (Khối A_2002).
 1 + 2sin 2 x ÷ 
Giải
π 5π
ĐS: x = ;x = .
3 3
cos 2 x 1
2. Giải phương trình: cot x − 1 = + sin 2 x − sin 2 x (Khối A_2003)
1 + tan x 2
Giải
π
ĐS: x = + kπ ( k ∈ Z )
4
3. Giải phương trình: cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0 (Khối A_2005)
Giải
Chuyên đề: LG 10 Thái Thanh Tùng

11. www.VNMATH.com
kπ
ĐS: x = ( k ∈Z)
2
4. Giải phương trình:
( )
2 cos 6 x + sin 6 x − sin x cos x
=0 (Khối A_2006)
2 − 2 sin x
Giải
5π
ĐS: x = + k 2π ( k ∈ Z )
4
( ) ( )
5. Giải phương trình: 1 + sin x cos x + 1 + cos x sin x = 1 + sin 2 x
2 2
(Khối A_2007)
Giải
π π
ĐS: x = − + k π , x = + k 2π , x = k 2π ( k ∈ Z )
4 2
1 1  7π 
+ = 4 sin  − x÷
6. sin x  3π   4  (Khối A_2008)
sin  x − ÷
 2 
Giải
Chuyên đề: LG 11 Thái Thanh Tùng

12. www.VNMATH.com
−π −π 5π
ĐS: x = + kπ , x = + kπ , x = + kπ , ( k ∈ Z )
4 8 8
( 1 − 2 sin x ) cos x
7. Giải phương trình: = 3. (Khối A_2009)
( 1 + 2 sin x ) ( 1 − sin x )
Giải
π 2π
ĐS: x = − +k , ( k ∈Z)
18 3
KHỐI B
8. Giải phương trình sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x (Khối B_2002)
Giải
π π
ĐS: x = k ; x = k , ( k ∈Z)
9 2
2
9. Giải phương trình cot x − tan x + 4 sin 2 x = (Khối B_2003)
sin 2 x
Giải
Chuyên đề: LG 12 Thái Thanh Tùng

13. www.VNMATH.com
π
ĐS: x = ± + kπ , ( k ∈ Z )
3
10. Giải phương trình 5sin x − 2 = 3 ( 1 − sin x ) tan x
2
(Khối B_2004)
Giải
π 5π
ĐS: x = + k 2π ; x = + k 2π , ( k ∈ Z )
6 6
11. Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 (Khối B_2005)
Giải
2π
ĐS: x = ± + k 2π ( k ∈ Z )
3
 x
12. Giải phương trình: cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 4 (Khối B_2006)
 2
Giải
Chuyên đề: LG 13 Thái Thanh Tùng

14. www.VNMATH.com
π 5π
ĐS: x = + kπ ; x = + kπ , ( k ∈ Z )
12 12
13. Giải phương trình: 2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x (Khối B_2007)
Giải
π 2π 5π 2π
ĐS: x = +k ;x = +k , ( k ∈Z)
18 3 18 3
14. Giải phương trình sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x (Khối B_2008)
Giải
π π π
ĐS: x = + k ; x = − + kπ , ( k ∈ Z )
4 2 3
15. Giải phương trình: sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 ( cos 4 x + sin x ) .
3
(Khối B_2009)
Giải
π 2k π π
ĐS: x = + , x = − − 2k π , ( k ∈ Z )
42 7 6
Chuyên đề: LG 14 Thái Thanh Tùng

15. www.VNMATH.com
KHỐI D
16. Tìm x∈[0;14] cos3x−4cos2x+3cosx−4=0 (Khối D_2002)
Giải
π 3π 5π 7π
ĐS: x = ;x = ;x = ;x =
2 2 2 2
x π 2 x
17. sin  − ÷tan x − cos =0
2 2
(Khối D_2003)
2 4 2
Giải
π
ĐS: x = π + k 2π , x = − + kπ , ( k ∈ Z )
4
18. Giải phương trình ( 2 cos x − 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x (Khối D_2004)
Giải
π π
ĐS: x = ± + k 2π , x = − + k π , ( k ∈ Z )
3 4
 π  π 3
19. Giải phương trình: cos x + sin x + cos  x − ÷sin  3 x − ÷ − = 0
4 4
(Khối D_2005)
 4  4 2
Giải
Chuyên đề: LG 15 Thái Thanh Tùng

16. www.VNMATH.com
π
ĐS: x = + kπ , ( k ∈ Z )
4
20. Giải phương trình: cos3x+cos2x−cosx−1=0 (Khối D_2006)
Giải
2π
ĐS: x = ± + k 2π , ( k ∈ Z )
3
2
 x x
21. Giải phương trình  sin + cos ÷ + 3 cos x = 2 (Khối D_2007)
 2 2
Giải
π π
ĐS: x = + k 2π , x = − + k 2π , ( k ∈ Z )
2 6
22. Giải phương trình sin 3 x − 3 cos 3 x = 2 sin 2 x (CĐ_A_B_D_2008)
Giải
Chuyên đề: LG 16 Thái Thanh Tùng

17. www.VNMATH.com
π 4π 2π
ĐS: x = + k 2π , x = +k , ( k ∈Z)
3 15 5
23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008)
Giải
2π π
ĐS: x = ± + k 2π , x = + k π , ( k ∈ Z )
3 4
24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009)
Giải
π 5π
ĐS: x = + kπ , x = + kπ , ( k ∈ Z )
12 12
25. Giải phương trình 3 cos 5 x − 2 sin 3 x cos 2 x − sin x = 0 (Khối D_2009)
Giải
π π π π
ĐS: x = + k , x = − + k , ( k ∈Z)
18 3 6 2
−Hết−
Chuyên đề: LG 17 Thái Thanh Tùng