Es el avance de calculo III de la universidad autonoma gabriel rene moreno de la asigantura de calculo III, con le ing Rivera, donde se aboradn todos los temas respectos a la materia

1. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
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UNIDAD No. 2
FUNCIONES DE VARIABLES COMPLEJAS, LIMITES
FUNCIONES
DEFINICION. – Si a cada valor que pueda tomar la variable compleja Z, le corresponde uno o más
valores de la variable compleja W, es decir que W es función de Z y la expresamos de la siguiente
manera: W = F(Z)
Resumen de la definición de una función de variable real, es decir:
F = {(𝑥, 𝑦) 𝑦
⁄ = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝔻 ∧ 𝑦 ∈ 𝔻𝕀}
F = {(𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), (𝑥3, 𝑦3), … (𝑥𝑛, 𝑦𝑛)}
x
y
Z1
Z2
Z3
R=2,29
Z4
c(- 3/2 , 0)
2
,2
9
- 2
,2
9
0
,7
9
- 3
,7
9
C
IR
C
U
N
FE
R
E
N
C
IAC
(-1
,5;0
)

2. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
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REPRESENTACION GRAFICA
FIGURA 1
FUNCION UNIVOCA Y FUNCION MULTIVOCA. – Si a cada valor de Z le corresponde un solo valor de W,
decimos que W es una función univoca de Z. Si más de un valor de W le corresponde a cada valor de
Z, la función es llamada multívoca o de múltiples valores.
REPRESENTACION GEOMETRICA. – Se requiere cuatro dimensiones para trazar la gráfica de una
función compleja, dos dimensiones para representa la variable independiente y dos dimensiones para
representa la variable dependiente.
En otras palabras, las variables Z y W se representan en planos complejos distintos, el plano Z y el plano
W.
Existirá una correspondencia entre los puntos P(x,y) y los puntos Q(u,v), que se denomina una
aplicación o una transformación de los puntos P(x,y) en los puntos Q(u,v), entonces Q(u,v) se denomina
la imagen de P(x,y), bajo la transformación de la función f y P(x,y) se denomina la pre-imagen de Q(u,v),
bajo la transformación de la función f.
𝐹 = {(𝑍, 𝑊) 𝑊
⁄ = 𝐹(𝑍), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑍 𝑦 𝑊 ∈ 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠}
𝑊 = 𝐹(𝑍) ⟹ 𝑢 + 𝑣 𝑖 = 𝐹(𝑥 + 𝑦 𝑖)
𝑊 = 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑍 = 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
X
Y
y=f(x)
X
f(x)
P

3. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
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PLANO Z PLANO W
FIGURA 2 FIGURA 3
FORMAS DE EXPRESION DE FUNCIONES COMPLEJAS. –
FUNCIONES DADAS EN FORMA IMPLICITA. – Función implícita es toda función dada de la siguiente
forma.
𝑓(𝑍, 𝑊) = 0 𝑓(𝑥 + 𝑦 𝑖, 𝑢 + 𝑣 𝑖) = 0
Ej. Expresar en forma implícita las siguientes funciones complejas.
1.- 𝑊 = 𝑓(𝑍) = 2𝑍2
− 3 𝑖 𝑍 sabiendo que 𝑍 = 𝑥 + 𝑦 𝑖
𝑓(𝑍) = 2(𝑥 + 𝑦 𝑖)2
− 3 𝑖 (𝑥 + 𝑦 𝑖)
𝑓(𝑍) = 2(𝑥2 + 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2) − 3 𝑖 (𝑥 + 𝑦 𝑖)
𝑓(𝑍) = 2𝑥2 + 4𝑥𝑦 𝑖 − 2𝑦2 − 3 𝑥 𝑖 + 3𝑦
𝑢 + 𝑣 𝑖 = (2𝑥2
− 2𝑦2
+ 3𝑦) + (4𝑥𝑦 − 3𝑥) 𝑖
𝑢 = 2𝑥2
− 2𝑦2
+ 3𝑦
𝑣 = 4𝑥𝑦 − 3𝑥
2.- 𝑊 = 𝑓(𝑍) = 3(𝑍̅)2
− 5 𝑖 𝑍̅
𝑓(𝑍) = 3(𝑥 − 𝑦 𝑖)2
− 5 𝑖 (𝑥 − 𝑦 𝑖)
𝑓(𝑍) = 3(𝑥2
− 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2) − 5 𝑖 (𝑥 − 𝑦 𝑖)
𝑓(𝑍) = 3𝑥2
− 6𝑥𝑦 𝑖 − 3𝑦2
− 5 𝑥 𝑖 − 5𝑦
𝑢 + 𝑣 𝑖 = (3𝑥2
− 3𝑦2
− 5𝑦) + (−6𝑥𝑦 − 5𝑥) 𝑖
Y V
X U
P(x,y) Q(u,v)
f

4. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
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𝑢 = 3𝑥2
− 3𝑦2
− 5𝑦
𝑣 = −6𝑥𝑦 − 5𝑥
3.- 𝑊 = 𝑓(𝑍) =
2
𝑍
−
3𝑍
̅
𝑍
𝑓(𝑍) =
2
𝑥+𝑦 𝑖
−
3(𝑥−𝑦 𝑖)
𝑥+𝑦 𝑖
𝑓(𝑍) =
2
𝑥+𝑦 𝑖
(𝑥−𝑦 𝑖)
(𝑥−𝑦 𝑖)
−
3(𝑥−𝑦 𝑖)
𝑥+𝑦 𝑖
(𝑥−𝑦 𝑖)
(𝑥−𝑦 𝑖)
𝑓(𝑍) =
2𝑥−2𝑦 𝑖
𝑥2−𝑦2 𝑖2 −
3(𝑥−𝑦 𝑖)(𝑥−𝑦 𝑖)
𝑥2−𝑦2 𝑖2
𝑓(𝑍) =
2𝑥−2𝑦 𝑖
𝑥2+𝑦2
−
3𝑥(𝑥−𝑦 𝑖)−3𝑦 𝑖(𝑥−𝑦 𝑖)
𝑥2+𝑦2
𝑓(𝑍) =
2𝑥−2𝑦 𝑖
𝑥2+𝑦2
−
3𝑥2−3𝑥𝑦 𝑖−3𝑥𝑦 𝑖−3𝑦2
𝑥2+𝑦2
𝑓(𝑍) =
2𝑥−2𝑦 𝑖−3𝑥2+3𝑥𝑦 𝑖+3𝑥𝑦 𝑖+3𝑦2
𝑥2+𝑦2
𝑓(𝑍) =
2𝑥−3𝑥2+3𝑦2−2𝑦 𝑖+3𝑥𝑦 𝑖+3𝑥𝑦 𝑖
𝑥2+𝑦2
𝑓(𝑍) = (
2𝑥−3𝑥2+3𝑦2
𝑥2+𝑦2
) + (
6𝑥𝑦−2𝑦
𝑥2+𝑦2
) 𝑖
𝑢 =
2𝑥−3𝑥2+3𝑦2
𝑥2+𝑦2 …. Parte Real
𝑣 =
6𝑥𝑦−2𝑦
𝑥2+𝑦2 ……Parte Imaginaria
FUNCIONES DADAS EN FORMA EXPLICITA. – Función explícita es toda función dada de la siguiente
forma, 𝑊 = 𝑓(𝑍), donde f nos da la ley de correspondencia entre W y Z, entonces f expresa el numero
finito de operaciones que hay que realizar sobre Z para obtener 𝑊 = 𝑓(𝑍).
Ej. Expresar en forma explícita las siguientes funciones complejas.
1.- 𝑢 = 2𝑥
𝑣 = 2𝑦 + 3
𝑊 = 𝑓(𝑍) = 𝑢 + 𝑣 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑍) = (2𝑥) + (2𝑦 + 3) 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑍) = 2𝑥 + 2𝑦 𝑖 + 3 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑍) = 2(𝑥 + 𝑦 𝑖) + 3 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑍) = 2𝑍 + 3 𝑖
2.- 𝑢 = 𝑥2
− 𝑦2
− 2𝑦

5. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
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𝑣 = 2𝑥𝑦 + 2𝑥
𝑊 = 𝑓(𝑍) = 𝑢 + 𝑣 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑍) = (𝑥2
− 𝑦2
− 2𝑦) + (2𝑥𝑦 + 2𝑥) 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑍) = 𝑥2
− 𝑦2
− 2𝑦 + 2𝑥𝑦 𝑖 + 2𝑥 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑍) = 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2
− 2𝑦 + 2𝑥 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑍) = (𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2) + 2𝑦𝑖2
+ 2𝑥 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑍) = (𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2) + 2(𝑥 + 𝑦𝑖) 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑍) = 𝑍2
+ 2𝑍 𝑖
FUNCIONES REPRESENTADAS EN COORDENAS POLARES. – Otra de las formas para representar una
función analíticamente, es en coordenadas polares, conociendo los números complejos llevados a su
forma polar, hallaremos la función buscada:
𝑊 = 𝑓(𝑍) = 𝑍 , donde 𝑍 = 𝑥 + 𝑦 𝑖 PLANO Z
𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
𝑥
𝑅
⟹ 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝑠𝑒𝑛(𝜃) =
𝑦
𝑅
⟹ 𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑊 = 𝑓(𝑍) = 𝑍 = 𝑥 + 𝑦 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑍) = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑖
𝑢 + 𝑣 𝑖 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑖
𝑢 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃) ………….. (1)
𝑣 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃) ………… (2)
(1)2
+ (2)2
𝑢2
= 𝑅2
𝑐𝑜𝑠2(𝜃) figura 4
+
𝑣2
= 𝑅2
𝑠𝑒𝑛2(𝜃)
𝑢2
+ 𝑣2
= 𝑅2
𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑅2
𝑠𝑒𝑛2(𝜃)
𝑢2
+ 𝑣2
= 𝑅2[𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)] ⟹ 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) = 1
𝑢2
+ 𝑣2
= 𝑅2
, ecuación de una circunferencia con centro en C(0,0) y radio R
X
Y
y
X
P(x,y)
𝜃

6. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
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REPRESENTACION POLAR
PLANO W
Figura 5
FUNCIONES DADAS EN FORMA PARAMETRICA. – No siempre las funciones 𝑓(𝑍), se dan como una
correspondencia directa entre la variable dependiente W y la variable independiente Z, consideremos
la variable compleja Z, como función de la variable real t.
𝑊 = 𝑓(𝑍)
𝑥 = 𝑓(𝑡) ; 𝑦 = 𝑔(𝑡)
Donde f y g representan funciones reales.
Ej. Dada las siguientes funciones, representar en el plano complejo w.
1. 𝑊 = 𝑓(𝑍) = 𝑍 + 𝑖
𝑥 = 𝑡 ; 𝑦 = 𝑡
𝑊 = 𝑓(𝑍) = 𝑥 + 𝑦 𝑖 + 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑍) = 𝑡 + 𝑡 𝑖 + 𝑖
𝑊 = 𝑢 + 𝑣 𝑖 = 𝑡 + (𝑡 + 1) 𝑖
𝑢 = 𝑡 ……………. (1)
𝑣 = 𝑡 + 1 …….. (2)
(1) − (2)
𝑢 = 𝑡 ……………. (1)
-
𝑣 = 𝑡 + 1 …….. (2)
U
V
𝑢2 + 𝑣2=𝑅2

7. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
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𝑢 − 𝑣 = −1 ⟹ 𝑣 = 𝑢 + 1 recta en el plano Z
PLANO W
figura 6
2. 𝑊 = 𝑓(𝑍) = 𝑍
𝑥 = 𝑡2
+ 1 ; 𝑦 = 𝑡 + 2
𝑊 = 𝑓(𝑍) = (𝑡2
+ 1) + (𝑡 + 2) 𝑖
𝑢 = 𝑡2
+ 1 ⟹ 𝑢 − 1 = 𝑡2
………. (1)
𝑣 = 𝑡 + 2 ⟹ 𝑣 − 2 = 𝑡 ………. (2)
(1) − (2)2
𝑢 + 1 = 𝑡2
-
(𝑣 − 2)2
= 𝑡2
𝑢 − 1 − (𝑣 − 2)2 = 0 ⟹ 𝑢 − 1 = (𝑣 − 2)2 ⟹ (𝑣 − 2)2 = 𝑢 − 1
(𝑣 − 2)2
= 𝑢 − 1 Ecuación de una parábola
U
V
v=u+1