Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con álgebra, relaciones y funciones. Incluye problemas sobre relaciones de equivalencia, productos cartesianos, composición de funciones, funciones biyectivas e inversas, y operaciones entre funciones definidas sobre conjuntos discretos.

1. ALGEBRA I (MAT 100) U.A.G.R.M. PRACTICO N° 3
ING. ELIO ROMERO CUELLAR Página 1 04/06/2020
PRÁCTICON° 3
UNIDAD N° 3: RELACIONES Y FUNCIONES
1.- Sabiendo que: a) (y-2, 2x+1) = ( x+4, y-3)
b) (x+y, x-y ) = ( 9, -1)
c) (2y+m, 2x+m) = ( x+m, y-(m/2))
d) (4x+3, y+5) = (3y+1, x+3)
Determine los valores de x  y.
2.- Sombrear el área apropiada en un diagrama de coordenadas RxR de:
a) { x /  x  3} x { y / 1 y  5 }
b) { x / x  1} x { y / -2  y  3 }
c) { x / -1  x  2} x { y / 1  y  3 }
3.- Dados A = { 1,2,3,4,5 } y B = { a,b,c,d }
Hallar: a) A x B
b) B x A
d) Grafique los productos cartesianos anteriores
e) A x B = B x A ?, interprete el resultado.
4.- Si A = { 1,2,3 }, B = { 2,4 } y C = { 2,3,4 }. Determinar:
a) A X ( B  C )
b) ( B x C )  ( B x A )
5.- Dados:A = { a,b,c } , R = { (a,a), (a,c), (c,c), (b,c), (b,b), (c,b), (a,b) }
Determinar que propiedades tiene la relación R.
6.- Graficar las siguientes relaciones,halle su dominio y recorrido.
a.- R1 = { (x,y)  |R x |R / (x-4)2
+ (y-2)2
= 9 }
b.- R2 = { (x,y) / 4x2
- y = 25x-21 }  |R2
c.- R3 = { (x,y) / 4x2
+9y2
+54y  8x+59 }  |R2
d.- R4 = { (x,y) / y  | x |  y  5 }  |R2
7.- Dados A = { x Z / 1 x  4 }
B = { x Z / 3 x  5 }
Se define R  AxB mediante (x,y) R  x2
+y2
 17
a) Definir la relación R por extensión.
b) Definir la relación R -1
por extensión.Graficar R y R –1
8.- Dados A = { x|N / 1  x  5 }
B = { x|N / 2  x  6 }
Se define R  AxB mediante (x,y)  |R  x+y  6
a.- Definir la relación (R –1
) –1
por extensión.
b.- Definir l relación R –1
por extensión.
c.- Determinar su dominio y recorrido
d.- Graficar (R -1
) -1
y R –1
9.- Sea R = { (0,0), (0,1), (1,2), (2,3) }. Una relación de A = { 0,1,2 } a B = { 0,1,2,3 }
Halle: a) R –1
b) ( R -1
) –1
10.- Considere las relaciones representadas por el siguiente diagrama:

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R1 R2 R3
a1 b1 c1
a2 c2 d1
a3 b2
a4 c3 d2
a5 b3 c4
{A} {B} {C} {D}
Hallar: a.- R2 o R1
b.- R3 o R2
c.- R3 o R2 o R1
11.- Sean A = { 1,2,3,4,5 }, B = { 1,4,6,16 } y C = {2,3,8,10 } y las Relaciones R AxB y S  BxC.
Donde:
R = { (1,1), (2,4), (4,16) }
S = { (4,2), (16,8), (6,3) }
Se pide :
a) Definir la composición S o R y
b) Determine el dominio y el recorrido de la composición S o R.
12.- Sean A = { 1,2,3 }
R = { (1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1) }  A2
Determine se R es una relación de equivalencia.
13.- Sean A = {1,2,3,4,5 }
R = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,3), (3,1), (2,5), (5,2) }  A2
Si R es una relación de equivalencia.
a.- Determine las clases de equivalencia para c/u de los elementos de A y además indique cuantas son distintas.
b.- Determine el conjunto cociente.
14.- Si A = { ,, }, Expresar una relación definida en A que sea Reflexiva,Simétrica pero no Transitiva.
15.- Si A = { a,b,c,d,e,f,g }. Si B = (A/R) = { {a,b}, {c,d}, {e}, {f,g}} . Si B es una patición de A. Determine una relación de
equivalencia correspondiente.
16.- Sea A = {a,b,c,d } encuentre un R definida en A que cumpla los siguientes requisitos:
a) Simétrica de 6 pares
b) Reflexiva y antisimétrica de 9 pares.
17.- Si A = { 1,2,3,4 }
R = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (1,3), (2,4), (2,3), (4,3), (1,4) }
a.- Determine si R es una relación de orden parcial sobre A.
b.- Realice el diagrama de flechas.
18.- Demuestre la validez de las siguientes proposiciones n  |N
a) 13
+ 33
+ 53
+ 73
+ ......+ (2.n-1)3
= n2
(2 n2
–1 )
b) 3n
– 1 es divisible por 2.
c) 3 2n +1
– 3 es divisible por 8
d) 1+ 3+ 32+ 33+ ......... + 3 n –1 = (3n – 1) / 2

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19.- Dados los conjuntos A, B ya la relación R. Indicar cuáles son funciones y porque.
A = B = { 1,2,3,4 }
a.- R = { (1,3), (2,3), (3,3), (4,3) }
b.- R = { (1,2), (2,1), (3,2) }
c.- R = { (1,4), (2,2), (3,1), (4,3) }
20.- Determinar si son funciones,caso contrario restringir el conjunto de partida o el conjunto de llegada (ambos si es
necesario),para que si sean.
a.- R1 = { (x,y) / y= x+3 }  |R2
b.- R2 = { (x,y) / x[-1,4], y[ -1,31], y =2 x2
–1}
c.- R3 = { (x,y) / x[0, , y[ 4,, | y – 2 | = | x + 2 | }
21.- Exprese en notación moderna de flechas cada una de las funciones del problema anterior.
22.- Clasifique las siguientes funciones.(Propiedades).
a) f: |R → |R b) f: |R → |R c) f: [1,3] → |R d) f: [1,3] → |R
x → x2
x → ex
x → (x+1)1/2
x → (1-x2
)1/2
23.- Dados:A = {1,2,3 }, B = {0,3,8 }. f : A → B tal que x → x2
–1
a) Defina la función por extensión.
b) Clasifique la función.
24.- Dadas las siguientes relaciones:
R1 = { (x,y) / x  [ 2,  [, y  ]0, 1/3 ], y = 1/ (x+1)}  |R2
R2 = { (x,y) / y = 1/ (2x+1), x  [ 1,  [, y  ]0, 1/3 ]}  |R2
R3 = { (x,y) / x  [ 1, 2 ], y  [ e –1
+1, 2 ], y = e –(x-1)
+1}  |R2
a) Demuestre analíticamente que las relaciones son funciones.
b) Demuestre analíticamente que las funciones son biyectivas.
25.- Se sabe que las siguientes funciones son biyectivas.
a) f: [2,3] → [11,18] b) f: [2,3] → [11,18]
x → x2
+ 2x +3 x → 2x2
– x +1
Hallar sus respectivas inversas (Hacer la gráfica).
26.- Sean las funciones
f = { (x,y) / y = x2
}  |R+
x |R+
g = { (x,y) / y = ln (x) }  |R+
x |R+
Hallar de ser posible a) (f o g)
b) (g o f)
27.- Sean f: { (x,y) / y = 2x-5 }  |R2
g: { (x,y) / y= 3x –k }  |R2
Determinar k de modo que f o g = g o f .
28.- Si f(x) = x2
+ 2x +2, hallar g(x) tal que fg(x) = x2
– 4x + 5
29.- Sea f = {(x,y)  Z2
/ y = 7x + 3, -6  x  2 } y g = { (x,y)  Z2
/ y = x2 –4, -2  x  5 }
Hallar: a) f+g b) f-g c) f x g d) f/g