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1. 1
Leyes de exponentes hecho en LATEX
Por Whatsmath contacto: 928873817
En esta revisamos ejercicios típicos sobre las leyes de exponentes
1. Práctica dirigida
[1] ¿Cuál de los siguientes números es más grande?
a)212
b)415
c)811
d)168
e)326
[2] ¿Cuántas cifras tiene el número 22000
52003
?
a)2000 b)2001 c)2002 d)2003 e)2004
[3] Encuentre el valor de:
22
2
1
2 2
1
6 2
1
12 2
1
20 :::
a)4 b)8 c)16 d)32 e)64
[4] Halle x si se cumple que:
x360
+ x360
+ ::: + x360
| {z }
81 sumandos
= 8191
; (x 2 R )
a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 9
[5] Dar el valor reducido de:
x
p
xx2+2x
1
x
x
donde x = 11
a)1 b)11 c)121 d)110 e)
1
11
[6] Si m = 1
64
3 1
calcule
(2m) m
16 m
a)2 b)4 c)8 d)16 e)32

2. 2
[7] Reduzca la expresión:
1 n
p
n2 + n 1 n
p
nn 2
1 n
p
n1+n
a)nn 1
b)(n 1)n
c)
p
n d)n + 1 e)2n
[8] Resuelva:
3
r
3
3
q
3
3
p
3 =
3
q
3
p
3
x
a)
16
3
b)
14
3
c)12 d)
13
3
e)
1
3
[9] Si x =
3
r
5 +
q
6 +
p
6 +
p
6+::: calcule 5
p
15x + 5
p
15x + :::
a)4 b)3 c)2 d)1 e)5
[10] Halle el equivalente reducido de:
2n+4
16n+1
4n+3 8n+2
a)2 b)1
4
c)2n
d) 1
16
e)8
[11] La suma de todos los dígitos del número 1099
99 es:
a)873 b)879 c)874 d)899 e)2
[12] Si
8
><
>:
4x
2x+y
= 8
9x+y
35y
= 243
Donde x; y son números reales. Halle x y
a)4 b)3 c)2 d)1 e)8
[13] ¿Qué valor de n cumple la igualdad?
2n+4
4 (2n
)
nn
= 3 (2n
)
a)4 b)2 c)1 d)3 e)5

3. 3
[14] Reduzca:
3
p
1; 5 +
3
r
3
16
+
3
r
1
18
+
3
p
12
a)9
4
3
p
12 b)11
4
3
p
12 c)13
4
3
p
12 d)7
4
3
p
12 e)23
12
3
p
12
[15] Halle 3
p
10x + 7si se cumple que x
p
x + 1 = 4
p
9; (x 2 N)
a)1 b)5 c)3 d)7 e)0
[16] De el número de soluciones enteras de la ecuación:
6x2
+ 12x 2
x2 2x+2
= 4
a)0 b)1 c)2 d)3 e)4
[17] Señale el exponente …nal de x al reducir:
r
x
3
q
x2 4
p
x3:::
| {z }
n radicales
a)1 1
(n+1)!
b) 1
(n+1)!
c)(n + 1)! 1 d)(n+1)! n
(n+1)!
e)1 + 1
(n+1)!
Solucionario
Solución 1 Expresamos todos los números como potencias de la base 2:
212
= 212
415
= 22 15
= 230
811
= 23 11
= 233
X
168
= 24 8
= 232
326
= 25 6
= 230
con lo que el número más grande es 811
Solución 2 Trabajemos con potencias de diez1
22000
52003
= 22000
52000
53
= 53
22000
52000
= 125 102000
= 125 00:::0| {z }
2000 cifras
por tanto 22000
52003
tiene 2003 cifras
1
(10)
n
= 100:::0| {z }
n cifras

4. 4
Solución 3 Veamos:
22
2
1
2 2
1
6 2
1
12 2
1
20 ::: = 2
2+ 1
2 + 1
6 + 1
12 + 1
20 +:::
= 2
2+ 1
1 2 + 1
2 3 + 1
3 4 + 1
4 5 +:::
= 2(2+(1 1
2 )+(1
2
1
3 )+(1
3
1
4 )+(1
4
1
5 )+:::+(1
k
1
k+1 ))
= 2(3 1
k+1 )
= 23
= 8
Solución 4 2
x360
+ x360
+ ::: + x360
| {z }
81 sumandos
= 8191
81x360
= 8191
x360
=
8191
81
x360
= 8190
x360
= 34 90
x360
= 3360
! (x = 3) _ (x = 3)
Como por dato x 2 R se tiene que x = 3
Solución 5
x
p
xx2+2x
1
x
x
= x
x2+2x
x x 1 x
= x
x2+2x
x
x
= x
x2+2x x2
x
= x2
luego para x = 11
x2
= 112
= 121
2
Tenga en cuenta que:
a + a + ::: + a
| {z }
n veces
= an

5. 5
Solución 6 Por dato:
m =
1
64
3 1
= 64 1
1
3
= 43 1
1
3
= 43 1 1
3 = 4
Piden:
(2m) m
16 m
=
2m
16
m
=
m
8
m
=
4
8
4
=
1
2
4
= 2 1 4
= 24
= 16
Solución 7
1 n
p
n2 + n 1 n
p
nn 2
1 n
p
n1+n
=
n
2
1 n + n n
n
1 n
2
n
1+n
1 n
=
n
2
1 n + n1+ n
1 n
2
n
1+n
1 n
=
n
2
1 n + n
1 n+n
1 n
2
n
1+n
1 n
=
n
2
1 n + n
1
1 n
2
n
1+n
1 n
=
n
2
1 n + n
2
1 n
n
1+n
1 n
=
2n
2
1 n
n
1+n
1 n
= 2n
2
1 n
1+n
1 n
= 2n
2 1 n
1 n
= 2n
1 n
1 n
= 2n

6. 6
Solución 8 Desarrollemos la ecuación exponencial:
3
r
3
3
q
3
3
p
3 =
3
q
3
p
3
x
3
p
3
3
q
3
p
3
3
r
3
q
3
p
3 =
9
p
3
x
3
p
3
9
p
3
27
p
3 =
9
p
3
x
3
1
3 3
1
9 3
1
27 = 3
x
9
3
1
3
+ 1
9
+ 1
27 = 3
x
9
3
9
27
+ 3
27
+ 1
27 = 3
x
9
3
13
27 = 3
x
9
=)
13
27
=
x
9
=)
13
3
= x
Solución 9 Sea y =
q
6 +
p
6 +
p
6+::: luego:
y =
v
u
u
t6 +
q
6 +
p
6+:::
| {z }
y
y2
= 6 + y
y2
y 6 = 0
(y 3)(y + 2) = 0 ! (y = 3) _ (y = 2)
como y es el resultado de extraer raíz cuadrada debemos obtener un resultado positivo,
por lo que nos quedamos con y = 3; ahora reemplazando:
x =
3
s
5 +
r
6 +
q
6 +
p
6+:::
x = 3
p
5 + 3 =
3
p
8 = 2

7. 7
Solución 10 Expresarmos todas las potencias como potencias de 2:
2n+4
16n+1
4n+3 8n+2
=
2n+4
(24
)
n+1
(22)n+3
(23)n+2
=
2n+4
24n+4
22n+6 23n+6
=
2n+4+4n+4
22n+6+3n+6
=
25n+8
25n+12
= 2 4
=
1
24
=
1
16
Solución 11 Tenemos que:
1099
99 = 100:::00| {z }
99 ceros
99 = 99:::99| {z }
97 cifras
01
con lo que la suma de cifras es 9 (97) + 0 + 1 = 874
Solución 12 Por dato:
4x
2x+y
= 8 !
(22
)
x
2x+y
= 23
! 2x y
= 23
! x y = 3
también por dato:
9x+y
35y
= 243 !
(32
)
x+y
35y
= 35
! 32x 3y
= 35
! 2x 3y = 5
Resolvemos el siguiente sistema:
x y = 3
2x 3y = 5
CS = f(4; 1)g
Piden 4 1 = 4

8. 8
Solución 13 Resolvemos la ecuación exponencial:
2n+4
4 (2n
)
nn
= 3 (2n
)
2n+4
22
(2n
)
nn
= 3 (2n
)
2n+4
2n+2
nn
= 3 (2n
)
2n+2
(22
1)
nn
= 3 (2n
)
2n+2
(3)
nn
= 3 (2n
)
2n+2
nn
= 2n
2n+2
2n
= nn
22
= nn
2 = n
Solución 14
3
p
1; 5 +
3
r
3
16
+
3
r
1
18
+
3
p
12
3
r
15
10
+
3
r
3
24
+ 3
r
1
2 32
+
3
p
22 3
3
r
3
2
+
3
p
3
3
p
24
+
1
3
p
2 32
+
3
p
22 3
p
3
3
p
3
3
p
2
+
3
p
3
2 3
p
2
+
1
3
p
2 32
+
3
p
22 3
p
3
Sacamos el mcm de los denominadores que es 2 3
p
2
3
p
32y homogenizamos las fracciones:
2
3
p
32
2
3
p
32
!
3
p
3
3
p
2
+
3
p
32
3
p
32
!
3
p
3
2 3
p
2
+
2
2
1
3
p
2 32
+
2 3
p
2
3
p
32
2 3
p
2
3
p
32
!
3
p
22 3
p
3
2
3
p
33 +
3
p
33 + 2 + 2
3
p
23 3
p
33
2 3
p
2
3
p
32
2 (3) + 3 + 2 + 2(2)(3)
2 3
p
2
3
p
32
23
2 3
p
2
3
p
32

9. 9
…nalmente racionalizamos para dar con la respuesta.
23
2 3
p
2
3
p
32
3
p
22 3
p
3
3
p
22 3
p
3
!
23 3
p
12
2
3
p
23 3
p
33
23
12
3
p
12
Solución 15 Debemos resolver:
x
p
x + 1 =
4
p
9; (x 2 N)
Como x es índice de una raíz, tenemos que x 2, luego la cantidad subradical x + 1
3 > 0 con lo que la raíz está bien de…nida. luego:
x
p
x + 1 =
4
p
9
(x + 1)
1
x = 3
1
2
x = 2
Solución 16 Completamos cuadrados tanto en la base como en el exponente.
6x2
+ 12x 2
x2 2x+2
= 4
6 x2
2x + 1 + 6 2
(x2 2x+1)+1
= 4
4 6 (x 1)2 (x 1)2
+1
= 4
Como buscamos soluciones enteras, tenemos que x es entero. Tenemos que el 4 del otro
extremo puede expresarse como 41
, 22
,( 2)2
luego tenemos los siguientes sistemas.
(i)
4 6 (x 1)2
= 4
(x 1)2
+ 1 = 1
(ii)
4 6 (x 1)2
= 2
(x 1)2
+ 1 = 2
(iii)
4 6 (x 1)2
= 2
(x 1)2
+ 1 = 2
El sistema (i) tiene por solución x = 1; el sistema (ii) no tiene solución y el sistema (iii)
tiene por solución x = 0; x = 2: Por tanto tenemos 3 soluciones enteras.
Solución 17 Veamos algunos casos particulares:
Si n = 2 :
q
x
3
p
x2 =
6
p
x5 = x
5
6 = x
(2+1)! 1
(2+1)!

10. 10
Si n = 3
r
x
3
q
x2 4
p
x3 =
24
p
x23 = x
23
24 = x
(3+1)! 1
(3+1)!
Entonces notamos que el exponente para cualquier n es
(n + 1)! 1
(n + 1)!
=
(n + 1)!
(n + 1)!
1
(n + 1)!
= 1
1
(n + 1)!