1. Příklad 1: Společnost plánuje utratit 10 000 Kč za reklamu v rozhlasu a televizi.
Minuta vysílacího času stojí v rozhlase 1 000 Kč a v televizi 3 000 Kč. Podle předběžných
průzkumů přinese minut televizní reklamy s minutami rozhlasové reklamy firmě
dodatečný příjem ve výši
Kolik má firma utratit v jednotlivých médiích, aby její příjem byl maximální? Zapište
matematický model úlohy, sestavte Lagrangeovu funkci a zapište podmínky optima a
najděte bod, kde jsou podmínky splněny.
Řešení:
délka reklamy v TV v minutách
délka reklamy v rozhlase v minutách
A … investice do reklamy v TV v korunách
B … investice do reklamy v rozhlase v korunách
max.
Podmínky:
Společnost by měla investovat přibližně 7 393 Kč do televizní reklamy a 2 607 Kč
do rozhlasové reklamy, aby tato investice byla nejvýhodnější.

2. Příklad 2: Zpracovatelská firma může nakoupit až 20 kg chemikálie po 10 USD/kg.
Jeden kilogram chemikálie může použít s dodatečnými náklady 2USD na výrobu 1 litru
produktu A nebo s dodatečnými náklady 4 USD na výrobu 1 litru produktu B. Vyrobí-li
litrů produktu A a litrů produktu B, prodá je na trhu za ceny resp.
USD za litr. Rozhodněte, kolik chemikálie má firma nakoupit a jak ji rozdělit na výrobu
jednotlivých produktů, aby byl její zisk maximální. Zapište jako optimalizační problém
s omezením ve tvaru nerovností a určete optimální řešení, znázorněte přípustnou
množinu graficky a načrtněte vrstevnice účelové funkce, sestavte Lagrangeovu funkci.
Řešení:
počet litrů produktu A
počet litrů produktu B
náklady na výrobu 1 litru produktu A … 12 USD
náklady na výrobu 1 litru produktu B … 14 USD
max.
Podmínky:
Firma nakoupí 18 kg chemikálie, ze které rovnoměrně vyrobí produkty A i B.

4. Příklad 3: Soukromý výrobce vyrábí dva typy šperků: přívěšek s osmi drahými
kameny, jehož výroba mu zabere půl dne, a prsten se třemi kameny, jehož výroba však
trvá celý den. Na následující pracovní týden má k dispozici 24 kamenů a 5 pracovních
dnů. Má zajištěn odbyt pro celou svou produkci, a to za ceny 1 500 Kč za přívěšek a 2
000 Kč za prsten. Kolik má vyrobit prstenů a přívěšků, aby byla jeho tržba maximální?
Formulujte úlohu jako celočíselné programování, najděte optimální celočíselné řešení a
porovnejte hodnotu účelové funkce v celočíselném optimu a pro hodnoty řešení
relaxované úlohy.
Řešení:
… počet vyrobených přívěšků
… počet vyrobených prstenů
→max.
a) celočíselné programování
Podmínky:
b) neceločíselné programování
Podmínky: ;
1,385
c) srovnání
U celočíselného řešení má účelová funkce hodnotu 10 000, ale nedojde k úplnému
vyčerpání zdrojů (zbude 9 kamenů), na rozdíl od řešení bez podmínky
celočíselnosti, kdy jsou všechny podmínky aktivní (dojde k úplnému vyčerpání
vstupů) - hodnota účelové funkce v tomto případě nabývá hodnoty 10 692,31.
V tomto případě neceločíselné programování nemá smysl, neboť výrobce bude
chtít vyrábět jen celé kusy výrobků.

5. Příklad 4: Investor se rozhoduje o rozložení své investice mezi akcie, podílové fondy a
státní dluhopisy. Může investovat maximálně 10 milionů Kč. Rizikovost jednotlivých
aktiv ohodnotil bodově po řadě 10, 6 a 2 body, přičemž nechce, aby celkové riziko
portfolia přesáhlo 52 mil. bodů. Investor předpokládá výnos jednotlivých aktiv ve výši 6,
3, resp. 2 procenta p.a. Formulujte matematický model pro maximalizaci očekávaného
výnosu, vyřešte úlohu. O kolik korun vzroste optimální očekávaný výnos, jestliže investor
zvýší investovanou částku o δ Kč? O kolik korun vzroste optimální očekávaný výnos, jestliže
bude investor tolerovat i riziko vyšší o δ bodů?
Řešení:
… počet investovaných milionů korun do akcií
… počet investovaných milionů korun do podílových fondů
… počet investovaných milionů korun do státních dluhopisů
→max.
Podmínky:
Za těchto podmínek bude nejoptimálnější investovat 4 miliony Kč do akcií a 6 milionů Kč
do státních dluhopisů. Investovaných 10 milionů Kč by se mělo za rok zhodnotit na 36
milionů Kč.
a) O kolik korun vzroste optimální očekávaný výnos, jestliže investor zvýší investovanou
částku o δ Kč?
Stínová cena u této duální úlohy je rovna 1. Tedy pokud investor zvýší investovanou částku o
δ korun, tak očekávaný výnos se zvýší taky o δ korun. Toto pravidlo bude platit, pouze pokud
se investor rozhodne investovat maximálně 26 milionů korun. Každá investovaná koruna nad
tuto částku nezvýší očekávaný výnos, neboť investice je limitována mírou rizika, která je ve
výši 52 mil. bodů, tudíž by nebylo možné investovat, aniž by tato hranice nebyla překročena.
b) O kolik korun vzroste optimální očekávaný výnos, jestliže bude investor tolerovat i riziko
vyšší o δ bodů?
Stínová cena i této duální úlohy je rovna 0,5. Tedy pokud se investor rozhodne posunout
hranici míry rizika o δ bodů, očekávaný výnos se zvýší o korun. Toto pravidlo bude
platit pouze do doby, kdy se investor rozhodne navýšit hranici míry rizika na 100 mil. bodů.
Jelikož je limitován výší investice (10 milionu korun), tak každý další bod rizika nad 100 mil.
se ve výši očekávaného výnosu neprojeví.

6. Příklad 5: Metodou CPM najděte minimální délku trvání projektu popsaného
následující tabulkou. Sestrojte síťový graf projektu. Určete kritickou cestu a celkové
rezervy všech činností.
Bezprostředně
Činnost předchozí Trvání
činnost
A - 7
B - 9
C A 6
D A 5
E B 5
F C, D 4
G C 9
H C, D 8
I E, F 6
Doba realizace projektu je 23 jednotek a kritická cesta se skládá z činností A-C-F-I.