Phuong phap dao ham trong tich phan

1. PHÖÔNG PHAÙP ÑAÏO HAØM TRONG TÍCH PHAÂN
(hay ñeå khöû tích phaân töøng phaàn )
VOÕ KIM HUỆ (Caàn Thô)
I.DAÏNG 1:
Ñeå tính tích phaân ,nguyeân haøm coù daïng:
(x x)e xdx; x sin xdx; ( x ) cos xdx; e x sin xdx; x ln(x )dx.... ò 2 - 3 ò 3 2 ò 2 +1 2 3 ò 3 2 ò 5 +2
ta thöôøng aùp duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn baèng caùch söû duïng
coâng thöùc:
òu(x)v'(x)dx =u(x)v(x)-òu'(x)v(x)dx
Thí duï ñeå tính I1= ò(x2 +1)exdx ta thöôøng giaûi nhö sau:
Ñaët
u x2 1 du =
2
xdx
Þ
dv edx
î í ì
= +
x v =
ex
î í ì
=
I1=(x2 +1)ex-2 òxexdx =(x2+1)ex-2J vôùi J= òxexdx
laïi ñaët
t =
x
dt =
dx
Þ
dv edx
x v ex
î í ì
=
î í ì
=
J=xex- òexdx =xex -ex +C
Vaäy I1= (x2 +1)ex-2xex+2ex+C=(x2-2x+3)ex+C
Töông töï ñeå tính I2= òx2 sinxdx ta giaûi nhö sau:
Ñaët
u x2 du =
2
xdx
Þ
dv sinxdx
î í ì
=
v = -
cosx
î í ì
=

2. I2=(x2)(-cosx)+2 òx cosxdx =(x2)(-cosx)+2J vôùi J= òx cosxdx
laïi ñaët
y x
dy dx
dt cosxdx
=
=
Þ
t sinx
î í ì
=
î í ì
=
J=xsinx- òsinxdx =xsinx +cosx +K
Vaäy I2= -x2cosx+2xsinx+2cosx+C.
Vaø cuõng khoâng khoù khaên laém khi nhaän xeùt raèng : vieäc giaûi toaùn thaät
ñôn ñieäu khi gaëp caùc ña thöùc baäc cao hôn nhö òx3exdx ; òx4exdx;...vì phaûi laäp
ñi laäp laïi caùch trình baøy theo phöông phaùp tích phaân töøng phaàn nhieàu laàn .
Vôùi nhaän xeùt: ò(u(x)v'(x)+u'(x)v(x))dx =u(x)v(x)+C
ta tìm caùch theâm bôùt caùc soá haïng töông öùng ñeå coù ñöôïc nguyeân haøm cuûa
haøm soá maø khoâng phaûi söû duïng tích phaân töøng phaàn nhieàu laàn:
I1= ò(x2 +1)exdx = ò[(x2 +1)(ex ) +(2x)(ex ) -(2x)(ex ) -(2)(ex ) +(2)(ex )]dx
= (x2 +1)ex - 2xex + 2ex + C
I2= òx2 sinxdx =ò(x2 sinx +(2x)(-cosx) -(2x)(-cosx) -(2)(-sinx) +(2)(-sinx))dx
=(x2 )(-cosx) -(2x)(-sinx) +(2)(cosx) +C
II.DAÏNG 2:
Trong caùc kì thi tuyeån sinh ñaïi hoïc,ta coøn gaëp daïng "nöûa tích phaân töøng
1 1
phaàn" nhö sau:I3= )dx
ln x ln x
(
e
e ò
-
2
2
, ñeå tính tích phaân naøy ta thöôøng duøng phöông
phaùp tích phaân töøng phaàn ôû " moät phaàn" bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân vaø
seõ xuaát hieän "phaàn coøn laïi" sau khi aùp duïng:
Vôùi baøi toaùn treân ta coù caùch giaûi nhö sau:
Ñaët

3. 1 1
ì
u 2
= -
Þ
=
v x
ïî
ïí
=
ì
ïî
ïí
=
dx
xln x
du
lnx
dv dx
Ta coù:
I3=
2 2 2
ln ln ln2
e e e
dx x dx
x x x
ò = + ò
e e e
=
2 2 2
ln ln2 ln
e e e
dx dx x
x x x
ò - ò =
e e e
=
2 2 2
e e
dx x e e
( 1 1 )
ln ln ln 2
ò - = = -
x 2
x x
e e
Tuy nhieân ta coù theå aùp duïng tröïc tieáp coâng thöùc tích phaân cuûa ñaïo haøm tích
nhö sau:
2 1 1 e 2 1 1 2 '
e
2
1 I3=
- = 1 - = æ = (e 2 -
2e)
ò ( ò ò = ÷ø
2 2
e
e
.x)dx x
e
e
e
dx x
x ln x
ln x
ln x
e .
ln x
)dx (
ln x ln x
ö çè
2
Baèng caùch bieán ñoåi thích hôïp ñöa veà daïng ñaïo haøm cuûa tích ta coù theå
giaûi nhanh daïng baøi sau maø khoâng caàn aùp duïng phöông phaùp tích phaân töøng
phaàn :
I= ò sinn-1(x)sin(n+1)xdx,nÎN+
= ò sinn-1 x(sinnxcosx +sinx cosnx)dx,nÎN+
1 = ò{ (nsin n - 1 x cosx)sinnx +sin n
x(ncosnx) } dx,nÎN+
n
1 n +
= sin x sinnx C
n
töông töï môøi baïn tham gia giaûi caùc baøi sau baèng caùch bieán ñoåi thích hôïp:
a) ò(sinx +cosx)exdx
b) ò(sinx -cosx)exdx
Toång quaùt hoaù hai baøi treân: ò(f (x)+f '(x))dx =f (x)ex +C
c)
(ln(x + 1 ) + ln(x -
1
))dx
x 1 x
1
ò - + HD:1/(x-1).ln(x+1)+1/(x+1).ln(x-1)
d)
(2ln x 1 )dx
lnx
ò +

4. e)
sinx
e ( 1
+
x cosx)dx
HD: 1
.e x.cosxe
sinx sinx
+
ò
x cosx sinxdx
f) ò
- x
2
g) 2
x +
1
exdx
(x 2
)
(x + 2 - 1 )ex = (x + 2
)ex -
ex
(x + 2 ) (x +
2
)
ò + HD: 2 2
III.THÖÏC HAØNH:
Ngoaøi ra,trong thöïc haønh ta ñeå tính ò(x2 +1)exdx coù theå laäp baûng theo
maãu:(thöù töï laäp caùc oâ ghi trong daáu ngoaëc phía döôùi):
coät u(x)v'(x) töø doøng 2 ñeå tìm ra caùc bieåu thöùc theâm vaøo vaø bôùt ra
coät u(x) laáy ñaïo haøm lieân tieáp
coät v'(x) laáy nguyeân haøm lieân tieáp
coät u(x)v(x) ñeå tìm ra caùc bieåu thöùc nguyeân haøm cuûa haøm soá.
u(x).v'(x) u(x) v'(x) daáu u(x)v(x)
(x2+1).ex
x2+1
ex
(1)
(2)
(3)
2x.ex
(7)
2x
(4)
ex
(5)
+ (x2+1)(ex)
(6)=(2)(5)
2.ex
(11)
2
(8)
ex
(9)
- (2x)(ex)
(10)=(4)(9)
0.ex 0
(12)
ex
(13)
+ 2.ex
(14)=(8)
(13)
ò(x2 +1)exdx = ò((x2 +1)(ex ) +(2x)(ex ) -(2x)(ex ) -(2)(ex ) +(2)(ex )dx
= (x2 +1)ex - 2xex + 2ex + C
töông töï cho baøi: òx2 sinxdx
u(x).v'(x) u(x) v'(x) daáu u(x)v(x)
x2.sinx
x2
sinx
(1)
(2)
(3)
2x.-cosx
(7)
2x
(4)
-cosx
(5)
+ x2(-cosx)
(6)=(2)(5)

5. 2(-sinx)
(11)
2
(8)
-sinx
(9)
- (2x)(-sinx)
(10)=(4)(9)
0
(12)
cosx
(13)
+ (2)(cosx)
(14)=(8)
(13)
òx2 sinxdx =ò(x2 sinx +(2x)(-cosx) -(2x)(-cosx) -(2)(-sinx) +(2)(-sinx))dx
=(x2 )(-cosx) -(2x)(-sinx) +(2)(cosx) +C
Baïn thöû töï giaûi thích caùch tìm ñaùp soá döïa vaøo coät daáu +,-,+,-,...vaø coät
u(x)v(x).
Ñoái vôùi caùc baøi toaùn phöùc taïp hôn ta khoâng tieáp tuïc laäp baûng khi thaáy
coät u'(x)v(x) laäp laïi (baøi 4)hay phaûi ruùt goïn tröôùc khi laáy coät ñaïo haøm vaøcoät
nguyeân haøm ôû doøng tieáp theo (baøi 5).
Caùc baøi taäp thöïc haønh:
p
/
1
Baøi 1:Tính A= ò
(x +
)sinxdx
0
2 1
Laäp baûng:
u(x).v'(x) u(x) v'(x) daáu u(x)v(x)
(x2+1).sinx
(1)
x2+
1
(2)
sinx
(3)
2x.(-cosx)
(7)
2x
(4)
-cosx
(5)
+ (x2+1)(-cosx)
(6)
2.(-sinx)
(11)
2
(8)
-sinx
(9)
- (2x)(-sinx)
(10)
0 0
(12)
cosx
(13)
+ (2)(cosx)
(14)
- 2 + + + =p- p/ (x )cosx x sinx cosx
A= 1 2 2 2
1 0
2p
Baøi 2:Tính B= ò
0
x 2
sinx dx
2
Laäp baûng:
u(x).v'(x) u(x) v'(x) daáu u(x)v(x)
x2.sin(x/2) x2 sin(x/2)

6. 2x.(-2cos(x/2)) 2x -2cos(x/2) + x2(-2cos(x/2))
2(-4sin(x/2)
2 -4sin(x/2) - (2x)(-4sin(x/2))
0 0 8cos(x/2) + (2)(8cos(x/2))
A= - 2 x 2 cosx + xsin x + cosx 2 p
= - 8( p 2
+ 4)
2
16
2
8
2
0
1
Baøi 3:Tính C= ò +
0
(1 x)2 e2xdx
Laäp baûng:
u(x).v'(x) u(x) v'(x) daáu u(x)v(x)
(1+x)2e2x (1+x)2 e2x
2(1+x)(e2x/2) 2(1+x
)
e2x/2 + (1+x)2.e2x/2
2e2x/4 2 e2x/4 - 2(1+x)e2x/4
0 0 e2x/8 + 2e2x/8
1 C= ( 1 + x2 )e2x - 1
( 1 + x)e2x + 1
e2x 1 = 5
e 2
-
1
2
2
4
0
4
4
Ñoái vôùi moät soá baøi phöùc taïp hôn,ta phaûi döøng laïi neáu thaáy coät
u(x)v'(x) laäp laïi:
Baøi 4:Tính D= ò p
0
ex sinxdx
Laäp baûng:(theo thöù töï ghi trong daáu ngoaëc phía döôùi)
u(x).v'(x) u(x) v'(x) daá
u
u(x)v(x)
D= sinx.ex
(1)
sinx
(2)
ex
(3)
cosx.ex
(7)
cosx
(4)
ex
(5)
+ sinx.ex
(6)=(2)(5)
-sinx.ex=-D
(11)
-sinx
(8)
ex
(9)
- cosx.ex
(10)= (4)(9)

7. Chuù yù: D=sinx.ex -cosx.ex p
0 - D
1 p +
suy ra D= (e 1)
2
hay phaûi ruùt goïn coät u(x)v'(x) tröôùc khi tính ñaïo haøm vaø nguyeân haøm ôû doøng
tieáp theo:
Baøi 5:Tính E= ò e
x ln 2
xdx
1
Laäp baûng:(theo thöù töï ghi trong daáu ngoaëc phía döôùi)
u(x).v'(x) u(x) v'(x) daá
u
u(x)v(x)
E=ln2x.x
(1)
ln2x
(2)
x
(3)
Ruùt goïn(4)
(5)
lnx.x
(7)
2(1/x)lnx
(4)
x2/2
(5)
+ x2.ln2x
(6)=(2)(5)
lnx
(8)
x
(9)
Ruùt goïn(10)
(11)
1.x/2
(13)
1/x
(10)
x2/2
(11)
- (x2/2).ln2x
(12)=(8)(11)
1
(14)
x/2
(15)
0 0
(16)
x2/4
(17)
+ x2/4
(18)=(14)
(15)
1
x 2
x x e 2
ln x - ln x + e = -
E= 2 2 4 1
4
4
2 2
2
Vaø thaät laø nhanh choùng bieát keát quaû neáu chòu khoù reøn luyeän vaø neáu
phaûi laøm baøi theo phöông phaùp traéc nghieäm!
Chuùc caùc baïn coù nhieàu tìm toøi môùi.