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Treliças
1. 1
TRELIÇAS
São estruturas formadas por barras, ligadas entre si através de nós.
Consideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós.
Existem alguns tipos de calculo para determinação dos esforços nas
barras, como o Método dos Nós, Método Ritter ou Métodos das seções.
Nesta apostila, serão resolvidos apenas exercícios de treliças pelo
Método dos Nós.
Para determinar os esforços internos nas barras das treliças plana,
devemos verificar a condição de Isostática da Treliça, sendo o primeiro
passo.
Depois calculamos as reações de apoio e os esforços normais axiais nos
nós. Tais esforços serão denominados de N.
1º Condição de Treliça Isostática:
2 . n = b + ı Sendo
n = nº de nós
b = quantidade de barras
ı = nº de reações (Verticais e
2º Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal):
Fx = 0
Fy = 0
M = 0 (Momento fletor)
Por convenção usaremos: no sentido horário no sentido anti-horário
+ -
3º Métodos dos Nós
Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós
e nos próximos nós usamos os resultados das forças do nó anterior
fazendo a troca de sinais.
Importante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na
equação dos nós, pois as forças das reações horizontais e verticais
devem ser inseridos na equação considerando-se exclusivamente os
sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações.
Calma, nos exercicios verá que é fácil.
2. 2
Por Convenção os sinais das forças das barras são: +
TRAÇÃO
- COMPRESSÃO
Treliça Esquemática
3. 3
Exercícios
1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através
do Método dos Nós.
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+
2.6 = 9+3
12 = 12 OK
2º Passo Reações de Apoio
Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor)
HE = 0 VA+VE = 50+100+50 VA.4-50.4-100.2 = 0
VA+VE = 200 KN VA = 400÷4
100+VE = 200 KN VA = 100 KN
VE = 200-100
VE = 100 KN
3º Passo Método dos Nós
Decomposição das forças
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
NAB
VA
NAF
NAB
VA
NAF
9. 9
3º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através
do Método dos Nós.
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+
2.8 = 13+3
16 = 16 OK
2º Passo Reações de Apoio
10. Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento fletor)
HA = 0 VA+VB = 2+2+2 -VB.16+2.12+2.8+2.4=0
10
VA = 6-3 VB = 48÷16
VA = 3 t VB = 3 t
3º Passo Método dos Nós
Decomposição das forças
Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
VA
FV = 0 FH = 0
N13.sen36,87°+VA = 0 HA+N13.cos36,87°+N12 = 0
N13.sen36,87°+3 = 0 0+(-
N13
VA
N12
5).cos36,87°+N12 = 0
N13 = -3÷sen36,87° N12 = 4 t
N13 = -5 t
Nó “2” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
FV = 0 FH = 0
N23 = 0 -N21+N24 = 0
-4+N24 = 0
N24 = 4 t
Nó “3” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
FV = 0 FH = 0
-2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-
N31.cos36,87°+N35.cos36,87° = 0
N12
HA
N13
HA
N13
N23
N21 N24
N23
N21 N24
N32
N34
N34
N31
N35
N31
N35
2
N35
2
N31 N32 N34
18. 5º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através
do Método dos Nós.
18
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+
2.5 = 7+3
10 = 10 OK
2º Passo Reações de Apoio
Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento
fletor)
HA = 0 VA+VB = 10+20 -
VB.2,4+20.1,8+10.0,6=0
VA+17,5 = 30 VB = 42÷2,4
VA = 30-17,5 VB = 17,5 KN
VA = 12,5 KN
19. 3º Passo Método dos Nós
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
19
HA NAE HA
FV = 0 FH = 0
VA+NAC.sen53,13° = 0
VA
NA
HA+NAE+NAC.cos53,13° = 0
12,5+NAC.sen53,13° = 0 0+NAE+(-
15,63).cos53,13° = 0
NAC = -12,5÷sen53,13° NAE = 9,38 KN
NAC = -15,63 KN
Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
NC NC
FV = 0 FH = 0
-10-NCA.sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -
NCA.cos53,13°+NCD+NCE.cos53,13°=0
-10-(-15,63).sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -(-
15,63).cos53,13°+NCD+3,13.cos53,13°=0
-10+12,50-NCE.sen53,13° = 0 9,38+NCD+1,88
= 0
NCE = 2,5÷sen53,13° NCD = -11,26
KN
NCE = 3,13 KN
Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
NEC
NED
FV = 0 FH = 0
NEC.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -NEA+NEB+NED.cos53,13°-
NEC
NEC.cos53,13° = 0
NA
NA
NAE
VA
NC NCE
NC
10 10
NC NCE
NCE
NED
NEA NEB
NEA
NEB
NEC NED
21. 21
NAC -15,63 COMPRESSÃO
NAE 9,38 TRAÇÃO
NCE 3,13 TRAÇÃO
NCD -11,26 COMPRESSÃO
NED -3,13 COMPRESSÃO
NEB 13,14 TRAÇÃO
NDB -21,88 COMPRESSÃO
6º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através
do Método dos Nós.
1º Passo Condição de Isostática
22. 22
2.n = b+
2.5 = 7+3
10 = 10 OK
2º Passo Reações de Apoio
Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento
fletor)
HA+HB = 0 VA = 225 -HB.0,9+75.2,4+150.1,2 = 0
HB = -HA HB = 360÷0,9
HA = - 400 KN HB = 400 KN
3º Passo Método dos Nós
Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
NBA
FV = 0 FH = 0
NBA = 0 HB+NBD = 0
400+NBD = 0
NBD = -400 KN
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
HA NA HA
FV = 0 FH = 0
VA-NAB-NAD.sen36,87° = 0 -
NAB
NA
HA+NAC+NAD.cos36,87° = 0
225-0-NAD.sen36,87° = 0 -
400+NAC+375.cos36,87 = 0
VA
NA
NA
NAB
NBA
HB NBD HB
NBD
VA
NA
23. NAD = 225÷sen36,87° NAC = 100 KN
23
NAC = 375 KN
Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
ND
FV = 0 FH = 0
NDA.sen36,87°+NDC = 0 -NDA.cos36,87°-NDB+NDE = 0
375.sen36,87°+NDC = 0 -375.cos36,87°-(-400)+NDE = 0
NDC = -225 KN -300+400+NDE = 0
NDE = -100 KN
Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
15 15
FV = 0 FH = 0
-150-NCD-NCE.sen36,87°=0 -NCA+NCE.cos36,87°=0
-150-(-225)-NCE.sen36,87°=0 -100+125.cos36,87° = 0
-150+225-NCE.sen36,87° = 0 -
100+100 = 0
NCE = 75÷sen36,87° 0 = 0
NCE = 125 KN
Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
FV = 0 FH = 0
ND
ND
NDB NDE
NDB
NDE
ND ND
NCE
NC
NC NCE
NC
NC
NCE
NED
NEC
75 75
NEC
NEC
NED
24. 24
-75+NEC.sen36,87° = 0 -NEC.cos36,87°-NED = 0
-75+125.sen36,87° = 0 -125.cos36,87°-(-100) = 0
-75+75 = 0 -100+100 = 0
0 = 0 0 = 0
BARRA FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (KN) ESFORÇO
NBA 0 -
NBD -400 COMPRESSÃO
NAD 375 TRAÇÃO
NAC 100 TRAÇÃO
NDC -225 COMPRESSÃO
NDE -100 COMPRESSÃO
NCE 125 TRAÇÃO
7º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através
do Método dos Nós.
25. 25
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+
2.8 = 13+3
16 = 16 OK
2º Passo Reações de Apoio
Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento
fletor)
HE = 0 VA+VE = 8 VA.4a-4.3a-4.1a = 0
4+VE = 8 VA.4a-12a-4a = 0
VE = 8-4 VA = 16a÷4a
VE = 4 KN VA = 4 KN
3º Passo Método dos Nós
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
FV = 0 FH = 0
VA+NAB.sen30° = 0 NAB.cos30°+NAF
= 0
4+NAB.sen30° = 0 +(-8)cos30°+NAF
= 0
NAB = -4÷sen30° NAF = 6,9 KN
NAB = -8 KN
VA
NAB
NAF
NAB
NAB
NAF
VA
28. Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões,
28
ângulos), as barras dos nós H, D e E não precisam ser calculadas.
BARRA FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (KN) ESFORÇO
NAB = NED -8 COMPRESSÃO
NAF = NEH 6,9 TRAÇÃO
NFG = NHG 6,9 TRAÇÃO
NFB = NHD 4 TRAÇÃO
NBC = NDC -4 COMPRESSÃO
NBG = NDG -4 COMPRESSÃO
NCG 4 TRAÇÃO
29. 8º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através
do Método dos Nós.
29
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+
2.10 = 17+3
20 = 20 OK
2º Passo Reações de Apoio
Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento
fletor)
HJ = 0 VF+VJ = 2000 VF.4a-400.4a-400.3a-
400.2a-400.1a = 0
30. 30
1000+VJ = 2000 VF = 4000a÷4a
VJ = 2000-1000 VF = 1000 N
VJ = 1000 N
3º Passo Método dos Nós
Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
FV = 0 FH = 0
-400-NAF = 0 NAB = 0
NAF = -400 N
40
Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
FV = 0 FH = 0
NFB.sen45°+NFA+VF = 0 NFB.cos45° +
NFG = 0
NFB.sen45°+(-400)+1000 = 0 -
848,5.cos45°+NFG = 0
NFB = -600÷sen45° NFG = 600 N
NFB = -848,5 N
Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
NG NG
FV = 0 FH = 0
NGB = 0 -NGF+NGH = 0
-600+NGH = 0
NAF
NAB
40
NAB
NAF
NFA
NFB
NFG
NFA NFB
NFB
NFG
VF
VF
NGF NG
NGF NG
31. 31
NGH = 600 N
Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
40
FV = 0 FH = 0
-400-NBF.sen45°-NBG-NBH.sen45°=0 -NBA+NBC-NBF.cos45°+NBH.cos45°
= 0
-400-(-848,5).sen45°-0-NBH.sen45°=0 -0+NBC-(-
848,5).cos45°+282,8.cos45°=0
-400+600-NBH.sen45°=0 NBC+600+200 =
0
NBH = 200÷sen45° NBC = -800 N
NBH = 282,8 N
Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
FV = 0 FH = 0
40
-400-NCH=0 -NCB+NCD = 0
NCH = -400 N -(-800)+NCD=0
NCD = -800 N
40
Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões,
ângulos), as barras dos nós H, D, I, E e J não precisam ser calculadas.
BARRA FORÇAS NORMAIS
AXIAIS (N) ESFORÇO
NAB = NED 0 -
NBA
NBH
NBF
NBC
NBF NBC
NB
NBH
NBF NB NBH
NBA
40
NCB
NC NCB NC
NC NB
32. 32
NAF = NEJ -400 COMPRESSÃO
NFB = NJD -848,5 COMPRESSÃO
NFG = NJI 600 TRAÇÃO
NGB = NID 0 -
NGH = NIH 600 TRAÇÃO
NBH = NDH 282,8 TRAÇÃO
NBC = NDC -800 COMPRESSÃO
NCH -400 COMPRESSÃO
9º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através
do Método dos Nós.
33. 33
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+
2.6 = 8+4
12 = 12 OK
2º Passo Reações de Apoio
Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento
fletor)
HE = 18 KN VE+VF = 0 VE.3,6-9.5,4-9.2,7 =
0
HF = 0 VE = -VF VE.3,6-48,6-24,3 = 0
VF = -20,25 KN VE = 72,9÷3,6
VE = 20,25 KN
Por se tratarem de forças de reação horizontal e estarem na mesma linha de
ação, bem como as forças externas de 9 KN serem aplicadas no segmento
AE, a reação horizontal HE sofre sozinha a ação dos 18 KN enquanto a HF não
é solicitada.
Os cálculos mostrarão essa teoria.
37. 10º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através
do Método dos Nós.
37
1º Passo Condição de Isostática
2.n = b+
2.6 = 9+3
12 = 12 OK
2º Passo Reações de Apoio
Fx = 0 Fy = 0 M = 0 (Momento
fletor)
HC+HF = 0 VC = 100 KN HF.4,5-100.7,2 =
0
HF = -HC HF = 720÷4,5
HC = -160 KN HF = 160 KN
3º Passo Método dos Nós
Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)
NDA
NDE
NDA