Se describen varios métodos para mejorar la habilidad mental en el calculo de multiplicaciones y cuadrados de números de 2 y 3 cifras, Ecuaciones canónicas del producto 2x2, productos de números cercanos a 100 y también cercanos a 50.

1. Calculo mental “Wilho”
Por willcox27
1
Cuadrados de los números de 1 a 100
Nota; Unidades de x; U(x) = x – 10. ----Complemento de b; b = 10 – b. Complemento
de ab, ab = 100 – ab.
Sea a y b ==> a^b = ab. Sea a y bc ==> a^bc = (a + b)^c. Sea ab y c ==> ab^c = abc.
Donde ab y bc son números de dos cifras y abc un numero de tres cifras.
1,1
Cuadrados de los números del 1 al 20
1x1 =
1
2x2 =
4
3x3 =
9
4x4 =
16
5x5 =
25
6x6 =
2^16 = 36 = U(6 + 6)^(6 x 6)
7x7 =
4^9
= 49 = U(7 + 7)^(7 x 7)
8x8 =
6^4
= 64 = U(8 + 8)^(8 x 8)

2. 9x9 =
8^1
10 x 10
= 81 = U(9 + 9)^(9 x 9)
= 100
1.1.1 El primero mas las unidades del otro ^ el producto de las unidades.
ab * ab
= (ab + b) ^ b²
11 x 11
= (11 + 1) ^ 1²
= 121
= (11 + U(11))^(U(11) x U(11))
12 x 12
= (12 + 2) ^2²
= 144
= (12 + U(12))^(U(12) x U(12))
13 x 13
= (13 + 3) ^ 3²
= 169
= (13 + U(13))^(U(13) x U(13))
14 x 14
= (14 + 4) ^ 4²
= 196
= (14 + U(14))^(U(14) x U(14))
15 x 15
= 1*(1 + 1) ^ 25
= 225
= a*(a + 1) ^ b²
1.1.2 El primero mas U(segundo) mas U(u + u) ^ el producto de los complementos
Cuando usamos complementos añadimos U(u + u)
16 x 16
= (16 + 6 + 2) ^ 4² = 256
= (16 + 6) ^ 36
= 256
= (16 + U(16) + U(6 + 6))^(6 x 6)
17 x 17
= (17 + 7 + 4) ^ 3² = 289
= (17 + 7) ^ 49
= 289
= (17 + U(17) + U(7 + 7))^(7 x 7)
18 x 18
= (18 + 8 + 6) ^ 2² = 324
= (18 + 8) ^ 64
= 324
= (18 + U(18) + U(8 + 8))^(8 x 8)
19 x 19
= (19 + 9 + 8) ^ 1² = 361
= (19 + 9) ^ 81
= 361
= (19 + U(19) + U(9 + 9))^(9 x 9)
20 x 20
= (2 x 2) ^ 00
1.2
= 400
Cuadrados de los números del 21 al 24
21 x 21
= 2*(21 + 1) ^ 1² = 441
22 x 22
= 2*(22 + 2) ^ 2² = 484

3. 23 x 23
= 2*(23 + 3) ^ 3² = 529
24 x 24
= 2*(24 + 4) ^ 4² = 576
25 x 25
= 2*(2 + 1) ^ 25 = 6^25 = 625
1.3
Cuadrados de los números del 26 a 36
Cuando se resta se usa el producto de los complementos #.
ab * ab
= a*(a + 1) ^ u*(a + 1) ^ b²
donde u = b + b – 10 y u > 0
26 x 26
= 6 ^ 6 ^ 16
= [90 – 6*4]^16
= 2*(26 + 6)^36
= 676
= 676
= 676
= [3*(26 + 6) – (2*3 x 6)]^[6 x 6]
= [2*(26 + 6) + 2]^16
#
= 6 ^ 12 ^ 9
= [90 – 6*3]^9
= 2*(27 + 7)^49
= 729
= 729
= 729
= [3*(27 + 7) – (2*3 x 7)]^[7 x 7]
#
= 6 ^ 18 ^ 4
= [90 – 6*2]^4
= 2*(28 + 8)^64
= 784
= 784
= 784
= [3*(28 + 8) – (2*3 x 8)]^[8 x 8]
#
= 6 ^ 24 ^ 1
= [90 – 6*1]^1
= 2*(29 + 9)^81
= 841
= 841
= 841
= [3*(29 + 9) – (2*3 x 9)]^[9 x 9]
#
30 x 30
= 9^00
= 900
= [3 x 3]^00
1.3.1
Si 2b < 10  * = a² ^ 2*a*b ^ b²
Cuando se suma se usa el producto de las unidades.
Nota; Sea abc y de, abc ^ de = ab^(c + d)^e.
31 x 31
=9^6^1
= [90 + 6*1]^1
= 3*(31 + 1)^1
= 961
= 961
= 961
= [3*(31 - 1) + (2*3 x 1)]^[1 x 1]
= 9 ^ 12 ^ 04
= [90 + 6*2]^4
= 3*(32 + 2)^4
= 1024
= 1024
= 1024
= [3*(32 - 2) + (2*3 x 2)]^[2 x 2]
27 x 27
28 x 28
29 x 29
32 x 32

4. 33 x 33
= 9 ^ 18 ^ 09
= [90 + 6*3]^9
= 3*(33 + 3)^9
= 1089
= 1089
= 1089
= [3*(33 - 3) + (2*3 x 3)]^[3 x 3]
= 9 ^ 24 ^ 16
= [90 + 6*4]^16
= 3*(34 + 4)^16
= 1156
= 1156
= 1156
= [3*(34 - 4) + (2*3 x 4)]^[4 x 4]
35 x 35
= 12^25
= 1225
= [3 x (3 + 1)]^25
ab * ab
= a*(a + 1) ^ u*(a + 1) ^ b²
Con 2b > 10
36 x 36
= 12 ^ 08 ^ 16
= [90 + 6*6]^36
= 3*(36 + 6)^36
= 1296
= 1296
= 1296
= [3*(36 - 6) + (2*3 x 6)]^[6 x 6]
= 12 ^ 16 ^ 09
= [90 + 6*7]^49
= 3*(44)^49
= 1369
= 1369
= 1369
= [3*(37 - 7) + (2*3 x 7)]^[7 x 7]
= 12 ^ 24 ^ 04
= [90 + 6*8]^64
= 3*(46)^64
= 1444
= 1444
= 1444
= [3*(38 - 8) + (2*3 x 8)]^[8 x 8]
= 12 ^ 32 ^ 01
= 3*(48)^81
= 1521
= 1521
34 x 34
37 x 37
38 x 38
39 x 39
1.4
Cuadrados de los números del 37 al 60. Usando (25, 50)
Nota; Sea ab y cde, Así ab ^ cde = a^(b + c)^de.
N x N = 100(N – 25) + (50 – N)(50 – N)
37 x 37 = 12^169 = 1369
= (37 – 25)^(50 - 37)²
38 x 38 = 13^144 = 1444
= (38 – 25)^(50 – 38)²
39 x 39 = 14^121 = 1521
= (39 – 25)^(50 – 39)²
40 x 40 = 16^00
= 1600
= (4 x 4)^00
41 x 41 = 16^81
= 1681
= (41 – 25)^(50 – 41)²

5. 42 x 42 = 17^64
= 1784
= (42 – 25)^(50 – 42)²
43 x 43 = 18^49
= 1929
= (43 – 25)^(50 – 43)²
44 x 44 = 19^36
= 1936
= (44 – 25)^(50 – 44)²
45 x 45 = 12^25
= 1225
= [4 x (4 + 1)]^25
46 x 46 = 21^16
= 2116
= (46 – 25)^(50 – 46)²
47 x 47 = 22^09
= 2209
= (47 – 25)^(50 – 47)²
48 x 48 = 23^04
= 2304
= (48 – 25)^(50 – 48)²
49 x 49 = 24^01
= 2401
= (49 – 25)^(50 – 49)²
50 x 50 = 25^00
= 2500
= (5 x 5)^00
51 x 51 = 26^01
= 2601
= (51 – 25)^(50 – 51)²
52 x 52 = 27^04
= 2704
= (52 – 25)^(50 – 52)²
53 x 53 = 28^09
= 2809
= (53 – 25)^(50 – 53)²
54 x 54 = 29^16
= 2916
= (54 – 25)^(50 – 54)²
55 x 55 = 30^25
= 3025
= [5 x (5 + 1)]^25
56 x 56 = 31^36
= 3136
= (56 – 25)^(50 – 56)²
57 x 57 = 32^49
= 3249
= (57 – 25)^(50 – 57)²
58 x 58 = 33^64
= 3364
= (58 – 25)^(50 – 58)²
59 x 59 = 34^81
= 3481
= (59 – 25)^(50 – 59)²
60 x 60 = 36^00
= 3600
= [6 x 6]^00
1.5 Cuadrado de números entre 61 y 79. Con 6 * 6 = 24 y D = 2
ab x ab = a² + b ^ D*b ^ b². && ==> D = 2*a – 10 con D > 0.

6. 61 x 61
= 3721
= 37 ^ 02 ^ 01
&&
= (61 – 24) ^ (2 * 1) ^ 1
62 x 62
= 3844
= 38 ^ 04 ^ 04
&&
= (62 – 24) ^ (2 * 2) ^ 4
63 x 63
= 3969
= 39 ^ 06 ^ 09
&&
= (63 – 24) ^ (2 * 3) ^ 9
64 x 64
= 4096
= 40 ^ 08 ^ 16
&&
= (64 – 24) ^ (2 * 4) ^ 16
65 x 65
= 4225
66 x 66
= 4356
= 42 ^ 12 ^ 36
&&
= (66 – 24) ^ (2*6) ^ 36
67 x 67
= 4489
= 43 ^ 14 ^ 49
&&
= (67 – 24) ^ (2*7) ^ 49
68 x 68
= 4624
= 44 ^ 16 ^ 64
&&
= (68 – 24) ^ (2*8) ^ 64
69 x 69
= 4761
= 45 ^ 26 ^ 01  * de. ab * ab = a² + b ^ D*b + u ^ b².
= (69 – 24) ^ (2*9) ^ 81
70 x 70
= 4900
= 49^00
Con 7 * 7 = 7 * 3 = 21 y D = 4 y el Producto = a² + b ^ D*b ^ b² &
71 x 71
= 5041
= (71 – 21) ^ (4*1) ^ 1
72 x 72
= 5184
= (72 – 21) ^ (4*2) ^ 4
73 x 73
= 5329
= (73 – 21) ^ (4*3) ^ 9
74 x 74
= 5476
= (74 – 21) ^ (4*4) ^ 16
75 x 75
= 5625
= 7*8 ^ 25
76 x76
= 5776
= (76 – 21) ^ (4*6) ^ 36

7. 77 x 77
= 5929
= (77 – 21) ^ (4*7) ^ 49
78 x 78
= 6084
= (78 – 21) ^ (4*8) ^ 64
79 x 79
= 6241
= (79 – 21) ^ (4*9) ^ 81
80 x 80
= 6400
= 64^00
1.6 Ahora aplicamos el complemento a la centena. (n – n)^ n² Siendo, n = 100 – n
También con 8 * 8 = 16 y D = 6 y producto = a² + b ^ D*b ^ b² &
81 x 81
= 8 * 8 + 1 ^ 6*1 ^ 01
= (81 – 16) ^ 6*1 ^ 01
= (81 – 19) ^ 19² = 62^361
= 6561
= 6561
= 6561
&
82 x 82
= 66 ^ 12 ^ 04
= (82 – 16) ^ 6*2 ^ 04
= (82 – 18) ^ 18² = 64^324
= 6724
= 6724
= 6724
&
83 x 83
= 67 ^ 18 ^ 09
= (83 – 17) ^ 17² = 66^289
= 6889
= 6889
&
= (86 – 20)^ [(17 + 7)^49]
84 x 84
= 68 ^ 24 ^ 16
= (84 – 16) ^ 16² = 68^256
= 7056
= 7056
&
85 x 85
= 7225
86 x 86
= (86 – 14) ^ 14² = 72 ^ 196
= 7396
87 x 87
= (87 – 13) ^ 13² = 74 ^ 169
= 7569
88 x 88
= (88 – 12) ^ 12² = 76 ^ 144
= 7744
89 x 89
= (89 – 11) ^ 11² = 78 ^ 121
= 7921
90 x 90
= 8100
91 x 91
= (91 – 09) ^ 81
= 8281
92 x 92
= (92 – 08) ^ 64
= 8464
93 x 93
= (93 – 07) ^ 49
= 8649
= (82 – 20)^[(19 + 9)^81]

8. 94 x 94
= (94 – 06) ^ 36
95 x 95
= 8836
= 9025
96 x 96
= (96 – 04) ^ 16
= 9216
97 x 97
= (97 – 03) ^ 09
= 9409
98 x 98
= (98 – 02) ^ 04
= 9604
99 x 99
= (99 – 01) ^ 01
= 9801
100 x 100
= 10000.
1.6.1 Producto de números cercanos a 100. y => a = 10 - a
Basados en la diferencia con 100.
92 x 97
= (92 – 7) ^ 2 x 7
= 8924
89 x 96
= (89 – 4) ^ 4 x 11
= 8544
102 x 102
= (102 + 2)^02²
= 10404
112 x 112
= (112 + 12)^12²
= 12544
107 x 113
= (113 + 7) ^ 7*13
= 12091
98 x 105
= (105 – 2) ^ – 2 * 5
= 10300 – 10
97 x 107
= 10400 – 21
= 10379
= 10290
1.6.2 Producto de números entre 900 y 1000 MC- 10³
998 x 985
= (985 – 02) ^ 02*15
= 983030
988 x 976
= (988 – 24) ^ 12*24
= 864288
896 x 904
= 900² – 4²
= 809984
= 810.000 - 16

9. 896 x 896
= (8100 – 72)^ 4²
= 802816 ==> 72 = 2*4*9 de (900 – 4)²
896 x 896
==> complemento de 1000 es 104 así
104 x 104 = (104 + 4)^ 4*4 = 10816
896 – 104 = 792, =>x 1000 =792000
896 x 896 = 792^ 10816
= 802816
1070 x 1130 = 1200 ^ (130*70)
= 1200 ^ 9100
= 1'209100
1012 x 1100 = 1112 ^ 1200
= 1'113200
1075 x 1023 = 1098 ^ 1725
= 1'099725
1093 x 1096 = 1189 ^ 8928
= 1'197.928
1.6.3 Producto con complemento de 10000
MC- 10³ con MC- 10²
MC-10.000
Siempre restamos tomando los números de por la izquierda, ósea en el siguiente ejemplo
99 y 95 el complemento de 95 es 5 y eso se lo restamos a 99.
Como los números están por debajo del múltiplo de 10, el complemento es negativo
9986 x 95 ==> producto de complementos – 14 * – 5 = 70
9986 – 5*100 = 9486 ==>
9986 x 95 = 9486 ^ 70
= 948670
Cuando están por encima del múltiplo de 10 el complemento es positivo aquí 103 y 102
dará 105 el 14 no cambia ya que miramos la cifras por la izquierda.
10314 x 102
= 10514 ^ 628
= 1'052.028
10314 x 112
= 11514 ^ 3768
= 1'155.168

10. Metodo “Willabel”
2.0 Multiplicación de números de dos o más cifras terminados en cinco
Con h = b – a,
b>a
a5 * x5 = [a( x + 1) ^ h*5 ^ 25.
15 x 25 = 375
= 1(2 + 1) ^ 1*5 ^ 25
25 x 35 = 875
= 2(3 + 1) ^ 1*5 ^25
= 6 ^ 5*(2 + 3) ^ 25
= 8 ^ 05 ^ 25
15 x 35 = 525
= 1(3 + 1) ^ 2*5 ^ 25
= 4 ^ 10 ^ 25
25 x 55 = 1375
= 2(5 + 1) ^ 3*5 ^ 25
= 12 ^ 15 ^ 25
25 x 65 = 1625
= 2(6 + 1) ^ 5*5 ^ 25
= 14 ^ 20 ^ 25
25 x 95 = 2375
= 2(9 + 1) ^ 7*5 ^ 25
= 20 ^ 35 ^ 25
35 x 75 = 2625
= 3(7 + 1) ^ 4*5 ^ 25
= 24 ^ 20 ^ 25
45 x 95 = 4275
= 4(9 + 1) ^ 5*5 ^ 25
= 40 ^ 25 ^ 25
35 x 125 = 4375
= 3(12 + 1) ^ 9*5 ^ 25
= 39 ^ 45 ^ 25
125 x 135 = 16875
= 12(13 + 1) ^ 1*5 ^ 25
= 168 ^ 05 ^ 25
125 x 175 = 21875
= [12(17 + 1) ^ 5*5 ^ 25
= 216 ^ 25 ^ 25
35 x 1225 = 42875
= [3(123) + M(119/2)] ^ 75
= (369 + 59) ^ 75
Donde M(119/2) = la parte entera del cociente = 59 si el numerador es par el resultado
final termina en 25 si es impar termina en 75
3.0 Producto de números de dos cifras equidistantes en menos de 10 unidades

11. (a – b)(a + b)
= a*a – b*b
= a² – b²
29 x 31 = 899
= (30 – 1)(30 + 1) = 900 – 1
28 x 32 = 896
= (30 – 2)(30 + 2) = 900 – 4
27 x 33 = 891
= (30 – 3)(30 + 3) = 900 – 9
26 x 34 = 884
= (30 – 4)(30 + 4) = 900 – 16
25 x 35 = 875
= (30 – 5)(30 + 5) = 900 – 25
21 x 39 = 819
= 900 – 81
18 x 22 = 396
= 400 – 4
18 x 42 = 756
= 900 – 144
15 x 45 = 675
= 900 – 225
67 x 73 = 4891
= 4900 – 9
4.0 Producto de números cuyas unidades suman 10 y tienen la misma decena.
va x vb = v*(v + 1) ^ (a*b)
46 x 44 = 4*(4 + 1) ^ (6 x 4) = 2024
69 x 61 = 6*(6 + 1) ^ (1 x 9) = 4209
38 x 32 = 12 ^ 16
= 1216
81 x 89
= 7209
126 x 124
= 15624
= 125² – 1²
4.1 Producto de números cuyas decenas suman 10 y tienen las mismas unidades.
az * bz = [a*b + z]^z²
==> ax * bx = (a*b + x)^x²

12. 34 x 74 = [21 + 4]^16
= 2516
47 x 67
= 3149
83 x 23
= 1909
17 x 97
= 1649
4.2 Producto números cuyas unidades suman 10 + h. y tienen la misma decena.
De la forma ax*ay, donde x + y ≠ 10, ósea h = y + x – 10 .
ax * ay
= 100a*(a+1) + 10a*h + x*y
= [10*a(a + 1) + a*h] ^ x*y
87 x 86
= 720 + 24 ^ 42 = 7482
= 73 ^ 182 = 7482 MC
87 x 85
= 720 + 16 ^ 35
= 7395
= 7235 + 160
87 x 84
= 720 + 8 ^ 28
= 7308
= 7228 + 80
87 x 82
= 720 – 8 ^ 14
= 7134
= 7214 – 80
87 x 81
= 720 – 16 ^ 07
= 7047
= 7207 – 160
87 x 80
= 720 – 24 ^ 00
= 7960
= 7200 – 240
5.0 Multiplicar por 11
ab x 11 = a^(a + b)b
72 x 11 = 7^(7 + 2)^2
= 792
26 x 11 = 2^(2 + 6)^6
= 286
37 x 11 = 3^(3 + 7)^7
= 407
123 x 11 = 1^(1 +2)^(2 + 3)^3 = 1353

13. 6.0 Cuadrados para terminados en 9 por complementos M.C- 100, con b = 1.
(ab)*(ab) = [ ab – ab + (a – 1)²]^ b*{ab + (ab – b)}
Nota; a = 10 – a, ab = 100 – ab,
79 x 79 = (79 – 21 + 4) ^ (21 + 20)
= 6241
69 x 69 = (69 – 31 + 9) ^ (31 + 30)
= 4761
68 x 68 = (68 – 32 + 9) ^ 2*(32 + 30)
= 4624
67 x 67 = (67 – 33 + 9) ^ 3*(33 + 30)
= 4489
89 x 89 = (89 – 11 + 1) ^ (11 + 10)
= 7921
99 x 99 = 9801
6.1 Cuadrado de números terminados en 9; a9 x a9 B.C. Perfecto
a9 x a9 = [10(a + 1)*(a + 1) – 2(a + 1)]^1
69 x 69
= (10*7 x 7 ^ - 2*7) ^ 01
= [490 ^ -14]^1 = 4761
71 x 71
= 49 ^ + 2*7 ^ 01
= 5041
6.2 Cuadrados para terminados en; a, b > 5 por complementos, M.C- 100
(ab)*(ab) = [ ab – ab + (a + 1)²] ^ [2*b*(ab – b) + b²] E.G
66 x 66 = [66 – 34 + 9] ^ 8*30 + 16
= 66 – 24 ^ 2*6 ^ 6²
= 41 ^ 256 = 4356
= 42 ^ 156 = 4356
67 x 67 = [67 – 33 + 9] ^ 6*30 + 9
= 67 – 24 ^ 2*7 ^ 49
= 43 ^ 189 = 4489
= 43 ^ 189 = 4489

14. 68 x 68 = [68 – 32 + 9] ^ 4*30 +4
= 68 – 24 ^ 2*8 ^ 64
= 45 ^ 124 = 4624
= 44 ^ 224 = 4624
71 x 71
= 49 ^ 141 = 5041
= 49 ^ 70 + 71
72 x 72
= 72 – 21 ^ 4*2 ^ 2
-----------------------------------------------------------------81 x 81
= 64 ^ 80 + 81
= 64 ^ 161 = 6561
82 x 82
= 82 – 18 ^ 18²
= 64 ^ 324 = 6724
83 x 83
= 83 – 17 ^ 17²
= 66 ^ 289 = 6889
84 x 84
= 84 – 16 ^ 16²
= 68 ^ 256 = 7056
88 x 88
= 88 – 12 ^ 12²
= 76 ^ 144 = 7744
89 x 89
= 89 – 11 ^ 11²
= 78 ^ 121 = 7921
7.0
Ecuación general del producto de 2 por 2 cifras
ab * xy
= a*x ^ (a*y + b*x) ^ b*y
= pq ^ cd ^ wz
= p(q + c)(d + w)z
==> M. General
ab * xy
= (a*xy + b*x) ^ b*y
==> M. Alternativo
37 x 83
= 24 ^ (56 + 9) ^ 21
= (249 + 56) ^ 21
= 3071
= 3071
M.G
46 x 93
= 36 ^ 66 ^ 18
= (372 + 54) ^ 18
= 4278
= 4278
= 3(6 + 6)(6 + 1)8
M.G

15. 26 x 39
= 6 ^ 36 ^ 54
= (78 + 18) ^ 54
= 1014
= 1014
M.G
78 x 97
= 63 ^ 121 ^ 56
= (7*97 + 72) ^ 7*8
= [97 – 22] ^ [3*22]
= 7566
= 7566
= 7566
M.G
28 x 28
= 4 ^ 32 ^ 64
= 2*(28 + 8) ^ 64
= 784
= 784
M.G
83 x 92
= 72 ^ 43 ^ 6
= 75 ^ 136
= 7636
= 7636
M.G
M.C-100
M.C.- 100
E. General
ab * xy
43 x 89
= a*x ^ [b*x + a*y] ^ b*y
= 4*8 ^ [3*8 + 4*9] ^ 3*9
=
3827
E canónica A => E.Ca
ab * xy
= a(x + 1) ^ [h*b + u*a] ^ b*y
Donde h = x – a, x ≥ a -----u = b + y – 10
43 x 89
= 4(8 + 1)^[3(8 – 4) + 4(3 + 9 – 10)]^ 3*9 = 3827
= 36 ^ (12 + 8)^ 27
= 3827
E.Ca-0
Suma de unidades = 10, y decenas iguales con; b + y = 10, h = 0, y u = 0
ab * ay
= a(a + 1) ^ b*y
36 x 34
= 12 ^ 24
= 1224
E.Ca-1
Suma de unidades ≠ 10 y decenas iguales con; h = 0,
ab * ay
= a(a + 1) ^ u*a ^ b*y
43 x 49
= 4(4 + 1) ^ 2*4 ^ 3*9
= 2107
= 20 ^ 08 ^ 27
= 2107
u≠0
E.Ca-2
Suma de unidades = 10 y decenas desiguales con; x – a = h, esto es u = 0.
ab * xy
36 x 84
= a(x + 1) ^ h*b ^ b*y
= 3(8 + 1) ^ 5*6 ^ 6*4
= 3024;
h = 8 – 3.

16. Ecuación canónica B => E.Cb
ab * xy
= (ax + b) ^ (d*b + k*a) ^ b*y
Donde d = a + x – 10, k = y – b con y ≥ b
43 x 89
= (4*8 + 3) ^ (2*3 + 6*4) ^ 27 = 3827;
k=9–3
E.Cb-0
Suma de decenas = 10, y unidades iguales con; b = y, a + x = 10.
ab * xb
= (a*x + b) ^ b²
38 x 78
= (3*7 + 8) ^64
= 2964
E.Cb-1
Suma de las decenas = 10 y las unidades desiguales, con k = y – b, y ≥ b.
ab * xy
37 x 79
= (a*x + b) ^ (k*a) ^ b*y
= (3*7 + 7) ^ (2*3) ^ 7*9
= 2923.
k=9–7
36 x 78
= 27 ^ 06 ^ 48
= 2808
k=8–6
E.Cb-2
Suma de decenas d ≠ 10 y k = 0. ósea b + y = 10. para cuadrados 61 a 79
ab * xy
= (a*x + b) ^ d*b ^ b*y
87 x 67
38 x 68
= 8*6 + 7 ^ 4*7 ^ 49
= 3*6 + 8 ^ -1*8 ^ 64
7.1 Formula general para producto de 2 por 3 cifras
ab * xyz
= ax ^ (ay + bx) ^ (az + by) ^ bz
47 x 638
= 24 ^ 54 ^ 53 ^ 56
= 29986
= 5829
= 2584
d = 8 + 6 – 10
d = -1

17. ab * xyz
= x*ab ^ ab*yz
47 x 638
= 6*47 ^ 47*38
47 x 38
= 47 x 37 + 47 = 42² – 5² + 47 = 1764 + 22 = 1786
= 282 ^ 1786 = 2(82 + 17)86 = 29986
7.2 Formula general para productos de 3 por 3 cifras.
abc * xyz
= ax ^ (ay + bx) ^ (cx + by + az) ^ (bz + cy) ^ cz
248 x 375
= 06 ^ 26 ^ 62 ^ 76 ^ 40
= 93000
= (6 + 3 + 1)(6 + 6 + 1)(2 + 7 + 1)(6 + 4) 0 = 93000
Ósea que la respuesta hay que estructurarla de derecha a izquierda, la única que no
cambia es la unidad las demás varían de acuerdo a si la suma de dígitos da mayor que 10
o no.
Sea el primer numero A y su numero de dígitos A(n) y el segundo B y B(n) sus dígitos
entonces el numero de términos de un producto será; A(n)*B(n), pero en la forma
reducida el numero de parejas a estructurar solo son [A(n) + B(n) – 1] lo que lleva el
calculo de un producto a la concatenación de parejas de números.
7.2.1 Otro método partiendo de que sabemos hacer los productos de dos cifras
abc * xyz
= 10a*x ^ (a*yz + x*ab) ^ ab*yz
878 x 963
= 720 ^ 504 + 702 ^ 63*78
63 x 78
= 62 x 78 + 78 = 70² – 8² + 78 = 4914
878 x 963
= 720 ^ 1206 ^ 4914
= 720 ^ 1255 ^ 14
= 845.514

18. 789 x 978
= 630 ^ 546 + 801^ 89*78
89 x 78
= (78 – 11) ^ (11*22) = 67^242 = 6942
789 x 978
= 630 ^ 1347 ^ 6942
= 630 ^ 1416 ^ 42
= 771.642
723 x 641
= 420 ^ 287 + 138 ^ 23*41
= 420 ^ 425 ^ 943
= 420 ^ 434 ^ 43
= 463.443
=> 23*41 = 4*230 + 23 = 943
248 x 375
= 60 ^ 150 + 144 ^ 48*75
= 60 ^ 294 ^ 3600
= 60 ^ 330 ^ 00
= 93.000
=> 48*75 = 4*12*3*25 = 3600
347 x 864
= 240 ^ 192 + 376 ^ 47*64
= 240 ^ 568 ^ 3008
= 240 ^ 598 ^ 08
= 299.808
=> 46*64 + 64 = 55² – 9² +64 = 3025 – 17
=> 47*64 = 31 ^ -12 ^ 28 = 30 ^ 08 = 3008
=> Con D = 0 y k = -3; a*x + b ^ k*a ^ b*y
7.2.2 Método reducido para el producto 3 por 3
Reduce de 5 a 3 los guarismos a ordenar, de la E.G 3*3
abc * xyz
= a*xy + bx ^ (cx + by + az) ^ z*bc + c*y
347 x
864
=> 3*86 + 4*8
=> 3*4 + 4*6 + 7*8
=> 4*47 + 10*7*6
=> 290 ^ 92 ^ 608
248 x 375
= 290
= 92
= 608
= 299.808
= 60 ^ 150 + 144 ^ 48*75
=> si el producto 2 x 2 es simple
= 60 ^ 294 ^ 3600
=> 48*75 = 4*12*3*25 = 3600
= 60 ^ 330 ^ 00
= 93.000
En el caso anterior las unidades son múltiplos de 2 y de 5 respectivamente por eso
elegimos el método 7.2.1
En ambos métodos el grupo de la derecha aporta 2 cifras fijas al resultado (00) y el
siguiente una sola cifra (0), quedando el resto para el grupo de la izquierda (60 + 33)

19. 8.0 Producto de números de cuatro cifras
Ecuación General de 4*4 cifras
pcab * qzxy = T ^ U * V
T
U
V
8.1
=> p*q ^ p*z + q*c ^
=> p*x + c*z + a*q ^ p*y + c*x + a*z + b*q ^ c*y + a*x + b*z
=> a*y + b*x ^ b*y
Utilizando el producto de 3x3 cifras
pabc * qxyz = 100p*q ^ p*xyz + q*abc ^ abc*xyz
1115 x 3125 = 300 ^ 125 + 345 ^ 115*125 => u = 0, h = 1
= 300 ^ 470 ^ 14.375
=> 11*13^05^25 = 14375
= 300 ^ 484 ^ 375
/<= 1 dig, 3 dig
= 3.484.375
8.2
Usando grupos de tres cifras
pcab * qzxy
T
U
V
pcab
4321
*
6789
qzxy
8.3
=> p*qz + c*q ^
=> 10q*ab + z*cab + x*pca + y*pc
=> y*ab + 10x*b
=> 4*67 + 3*6
=> 10*6*21 + 7*321 + 8*432 + 9*43
=>1260 + 2247 + 3456 + 387
=> 9*21 + 10*8*1
=> 2(86 + 7)(350 + 2)69
= 286
= 7350
= 269
= 29.335.269 /<= 3 dig,2 dig
Producto de números de 4 cifras usando números pequeños
pcab * qzxy
T
U
=> p*qz + c*q ^
=> p*x + c*z + a*q ^ p*y + c*x + a*z + b*q ^ c*y + a*x + b*z

20. V
pcab
4321
*
6789
qzxy
=> y*ab + 10x*b
=> 4*67 + 3*6
=> 32+21+12 ^ 36+24+14+6 ^ 27+16+7
=> 65 ^ 80 ^ 50
=> 9*21 + 10*8*1
=> 2(86 + 7)(350 + 2)69
= 286
= 7350
digito a digito
= 269
= 29.335.269 /<= 3 dig, 2 dig
El ultimo espacio a la derecha maneja dos dígitos el siguiente maneja tres dígitos y el
tercero el resto (en el guarismo final), siempre se puede llevar algo a la izquierda.
pcab
3476
*
5298
qzxy
=> 3*52 + 4*5 = 156 + 20
=> 27+08+35 ^ 24+36+14+30 ^ 32+63+12
=> 70 ^ 104 ^ 107 =70^(104+10)7
=> 8*76 + 10*9*6
=> 1(76 + 8)(147 + 11)48
= 176
= 8147 Se arma digito a digito
= 1148
= 18.415.848 /<= 3 dig,2 dig
En resumen para los cuadrados de 2 cifras
17 x 17
= 10*(17 + 7) + 49
= 289
27 x 27
= 20*(27 + 7) + 49
= 729
33 x 33
= 30*(36) + 09
= 1089
37 x 37
= (37 – 25) ^ (50 – 37)²
= 1369
47 x 47
= (47 – 25), (50 – 47)²
= 2209
57 x 57
= (57 – 25), (57 – 50)²
= 3249
66 x 66
= 4225 + 65 + 66
= 4356
67 x 67
67 x 67
= 42 ^ 24 ^ 49
= 43 ^ 14 ^ 49
= 4489
= 4489
E.Ca
E.Cb
77 x 77
= 56 ^ 28 ^ 49
= 5929
E.Ca
87 x 87
= (87 – 13) ^ 13²
= 7569
E.C – 100
97 x 97
= (97 – 03) ^ (03)²
= 9409

21. En resumen para los productos de 2 cifras
13 x 18 = 10*(13 + 8) + 3*8
= 234
23 x 28 = 20*(28 + 3)) + 24
= 644
33 x 38 = 30*41 + 24
= 1254
33 x 38 = 12 ^ 03 ^ 24
= 1254
(35 – 2)(35 + 2) + 33
= 1225 -4 + 33
a(x + 1), U*a, b*y
h=0
= 1254
Producto de dos números de dos cifras cercanos a 50.
54 x 56 = [55 – 25] ^ [6*4]
= 3024,
57 x 58 = [57,5 – 25] ^ [7*8]
= 3250 + 56
46 x 58 = [52 – 25] ^ [-4*8]
= 2668.
46 x 48 = [47 – 25] ^ [-4*-2]
55 = (54 + 56)/2
= 2208
= 3306
Vamos a calcular el producto de dos números de dos cifras, usando un valor intermedio
escogido convenientemente (esto es usando una piedra común a los dos números).
A este número lo llamaremos Piedra o punto común (P).
ab * xy
= P² + P*Σu + Πu
numero común.
Siendo u el complemento de cada número con el
Ejemplo;
67 x 74 = 70*70 + 70*(-3 + 4) + -3*4
= 4900 + 70 -12 = 4958.
68 x 72 = 4900 – 04
= 4896.
72 x 72 = 4900 + 4*70 + 4
= 5184
63 x 82 = 4900 + (12 – 7)*70 – 7*12
= 4900 + 350 – 84 = 5166.

22. Usando 2 piedras o puntos fijos uno para cada número.
63 x 82 = 4800 + (2*60 + 3*80) + 6
= 4800 + 360 + 6 = 5166.
64 x 84 = 4800 + 4*(60 + 80) + 16
= 4800 + 560 + 16 = 5376.
56 x 84 = 4800 + 4*(60 – 80) – 16
= 4800 – 80 – 16 = 4704
58 x 63 = 35.5^8*13
= 3654.
= 3550 + 104
Con el M.C.-50
realizado por William hoyos hincapie “Willcox27”
Wilho.