Exercícios de Cálculo Integral e Diferencial

1. Universidade Federal do Recˆoncavo da Bahia
Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas
C´alculo Diferencial e Integral II
2a
Lista de exerc´ıcios
1. Quest˜ao: Verifique se as seguintes integrais impr´oprias convergem ou divergem:
a)
+∞
0
e−x
dx b)
+∞
1
1
x2
dx c)
+∞
−∞
1
1 + x2
dx
d)
1
0
1
√
x
dx e)
1
0
1
x2
dx f)
9
1
1
3
√
x2 − 9
dx
g)
+∞
−∞
xe−x
dx h)
+∞
−∞
xe−x2
dx i)
+∞
1
ln(x)
x
dx
2. Quest˜ao:Calcule as seguintes integrais se existirem:
a)
1
0
ln(x)dx b)
2
−1
1
4 − x2
dx c)
1
0
1
x
dx
d)
3
1
x2
√
x3 − 1
dx e)
π/4
0
cos(x)
sen(x)
dx
3. Quest˜ao:Suponha f integr´avel em [a, t) para t ≥ a. Prove que se
+∞
0
|f(x)|dx
´e convergente, ent˜ao
+∞
0
f(x)dx tamb´em ´e convergente. (Sugest˜ao: Use que 0 ≤
|f(x)| + f(x) ≤ 2|f(x)| e que f(x) = |f(x)| + f(x) − |f(x)|).
4. Quest˜ao: Pelo exerc´ıcio anterior, mostre que a integral
+∞
0
e−x
sen3
(x)dx ´e conver-
gente.
5. Quest˜ao: A integral
+∞
1
sen(x)
x
dx ´e convergente ou divergente? Justifique sua res-
posta.

2. –2
6. Quest˜ao: Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
1)y =
1
4
x4
+
1
8x2
; 1 ≤ x ≤ 2 2)x =
1
3
y3
+
1
4y
; 1 ≤ y ≤ 3
3)y =
1
2
(ex
+ e−x
); de(0, 1)a(1,
e + e−1
2
) 4)y = ln(x);
√
3 ≤ x ≤
√
8
5)y =
√
x3; de(0, 0)at´e(4, 8) 6)y = 4
√
x3 + 2; de(0, 2)at´e(1, 6)
7)y = a
2
(ea/2
− e−a/2
); de(0, 0)a(x, y) 8)y = 1 − log(cos(x)); 0 ≤ x ≤
π
4
9)(y − 1)2
= (x + 4)3
; de(−3, 2)at´e(0, 9)
7. Quest˜ao: Determinar a express˜ao da integral que permite calcular o comprimento de
arco das seguintes curvas dadas:
1)y =
1
x
;
1
4
≤ x ≤ 4 2)x2
− y2
= 1; de(3, −2
√
2)at´e(3, 2
√
2)
3)y = x2
+ 2x − 1; 0 ≤ x ≤ 1 4)y =
√
x; 2 ≤ x ≤ 4

3. –3
8. Quest˜ao: Para as seguintes curvas dadas na forma param´etrica, calcule seu compri-
mento de arco.
a)



x = 2(t − sen(t))
y = 2(1 − cos(t)), t ∈ [0, π]
b)



x = −sen(t)
y = cos(t), t ∈ [0, 2π]
c)



x = 3t + 2
y = t − 1, t ∈ [0, 2]
d)



x = et
cos(t)
y = et
cos(t), t ∈ [1, 2]
e)



x = 2cos(t) + 2tsen(t)
y = 2sen(t) − 2tcos(t), t ∈ [0, π
2
]
f)



x = acos(t)
y = asen(t), t ∈ [0, 2π]
9. Quest˜ao: Calcule a ´area da regi˜ao limitada pelas curvas
a)



x = cos(t)
y = sen(t)
e



x = cos(t)
y = 1/2sen(t)
b)



x = 2cos3
(t)
y = 2sen3
(t)
e



x = 2cos(t)
y = 2sen(t)
10. Quest˜ao: Encontrar a ´area da regi˜ao limitada `a esquerda pela reta x = 3
√
3
2
e `a direita
pela elipse



x = 3cos(t)
y = 2sen(t)
11. Quest˜ao: Calcular a ´area entre o arco da hipocicl´oide



x = 3cos3
(t)
y = 3sen3
(t); t ∈ [0, π/2]
e
a reta x + y = 3.
12. Quest˜ao: Determinar o volume do s´olido de revolu¸c˜ao gerado pela rota¸c˜ao em torno
do eixo dos x, da regi˜ao R delimitada pelos gr´aficos das seguintes equa¸c˜oes:
1)y = x2
+ 1, x = 0, x = 2 e y = 0 2)y = x2
e y = x3
3)y = x3
, x = −1, x = 1 e y = 0 4)y = cos(x), y = sen(x), x = 0 e x =
π
4

4. –4
13. Quest˜ao: Determinar o volume do s´olido de revolu¸c˜ao gerado pela rota¸c˜ao em torno
do eixo dos y, da regi˜ao R delimitada pelos gr´aficos das seguintes equa¸c˜oes:
1)y = ln(x), y = −1, y = 2 e y = 0 2)x = y2
+ 1, x =
1
2
, y = −2 e y = 2
3)x = 3 + sen(y), x = 0, y =
−5π
2
e y =
5π
2
14. Quest˜ao: Calcule o volume do s´olido de revolu¸c˜ao obtido pela rota¸c˜ao das regi˜oes
indicadas:
a)y = 2x − 1, y = 0, x = 0, x = 4 ao redor do eixo dos x.
b)y2
= 2x, y = 0, x = 0, y = 2 ao redor do eixo dos y.
c)y = 2x2
, y = 2, x = 1, x = 2 ao redor do eixo y = 2.
d)y = x + x2
, y = x2
+ 1ex = 0, x = 4 ao redor do eixo y = 1.
e)y = 1 − x2
, x = −2, x = 2, y = 2 ao redor da reta y = 2.
f)y = cos(x), y = −2, x = 0, x = 2π ao redor da reta y = −2.
g)y = x2
, x = 1, y = 0 ao redor do eixo dos x.
h)y = ex
, y = 0, x = 0, x = 1 ao redor do eixo dos x.
i)y = 1/x, x = 1, x = 2, y = 0 ao redor do eixo dos x.
j)y =
√
x − 1, x = 2, x = 5, y = 0 ao redor do eixo dos x.
k)y = x2
, 0 ≤ x ≤ 2, y = 4, x = 0 ao redor do eixo dos y.
l)x = y − y2
, x = 0 ao redor do eixo dos y.
m)y = x2
, y2
= x ao redor do eixo dos x.
n)y = x, y =
√
x ao redor de y = 1.
o)y = 1/x, y = 0, x = 1, x = 3 ao redor do eixo de y = −1.
p)y = x, y =
√
x ao redor do eixo de x = 2.
15. Quest˜ao: Determine a express˜ao da integral que permite calcular o volume do s´olido
obtido pela rota¸c˜ao da regi˜ao limitada pelas curvas dadas ao redor das retas especifi-
cadas.

5. –5
a)y = tg3
(x), y = 1, x = 0 ao redor do eixo y = 1.
b)y = (x − 2)4
, 8x − y = 16 ao redor do eixo x = 10.
c)y = 0, y = sen(x), 0 ≤ x ≤ π ao redor do eixo de y = 1.
16. Quest˜ao: Calcule a ´area da superf´ıcie gerada pela rota¸c˜ao do arco da curva dado, em
torno do eixo indicado.
1)y = 2x3
, 0 ≤ x ≤ 2; eixo x 2)x =
√
y, 1 ≤ y ≤ 4; eixo y
3)y = x2
, −2 ≤ x ≤ 2; eixo x 4)y =
√
16 − x2, −3 ≤ x ≤ 3; eixo x
17. Quest˜ao: Calcule a ´area da superf´ıcie do cone gerado pela revolu¸c˜ao do segmento de
reta y = 4x, 0 ≤ x ≤ 2
a) Ao redor do eixo dos x
b) Ao redor do eixo dos y
18. Quest˜ao: Encontre o comprimento de arco das curvas dada abaixo:
1)r = e2θ
; 0 ≤ θ ≤ π/3 2)r = 1 + cos(θ)
3)r = e2θ
; 0 ≤ θ ≤ 3π/2
19. Quest˜ao: Encontrar a integral que d´a o comprimento de arco total da curva dada.
1)r = 3sen(3θ) 2)r = 2 − 3cos(θ)
3)r = 3 + 2cos(θ) 4)r2
= 9cos(2θ)
20. Quest˜ao: Calcule a ´area limitada pela curva dada.

6. –6
1)r = cos(3θ) 2)r = 2 − cos(θ)
3)r = 4(1 + cos(θ)) 4)r = 4(1 − cos(θ))
5)r = 4(1 + sen(θ)) 6)r = 4(1 − sen(θ))
21. Quest˜ao: Encontre a ´area da interse¸c˜ao entre r = 2acos(θ) e r = 2asen(θ).
22. Quest˜ao: Encontre a ´area interior ao c´ırculo r = 4 e exterior `a cardi´ode r4(1−cos(θ)).
23. Quest˜ao:Encontrar a ´area da regi˜ao delimitada pelo la¸co interno da lima¸con r =
1 + 2sen(θ)