Scalaで自然数を実装

1. 実践Scalaでペアノの公理
第6回 プログラマのための数学勉強会
Yasuki Okumura

2. Who?
● 教育学部数学科 出身
● @busterdayo
● https://jp.linkedin.com/in/yasuki-okumura-8561b32a
● サーバーサイドエンジニア at Tamecco

3. Agenda
● ペアノの公理
● 自然数 - オブジェクト
● 自然数 + 加法 - オブジェクト
● 自然数 + 加法 - 型
● 応用例 - N次元ベクトル

4. ペアノの公理 - wikipedia調べ
自然数は次の5条件を満たす。
● 自然数 0 が存在する。
● 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1
の "意味"）。
● 0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
● 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
● 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満
たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ペアノの公理

5. 自然数 - オブジェクト
sealed trait 自然数
object 零 extends 自然数
case class 後者(a: 自然数) extends 自然数

6. scala> val 壱 = 後者(零)
壱: com.github.buster84.後者 = 後者(com.github.buster84.零$@4161bf5f)
scala> val 弐 = 後者(壱)
弐: com.github.buster84.後者 = 後者(後者(com.github.buster84.零$@4161bf5f))
scala> val 参 = 後者(弐)
参: com.github.buster84.後者 = 後者(後者(後者(com.github.buster84.零$@4161bf5f)))
scala> val 肆 = 後者(参)
肆: com.github.buster84.後者 = 後者(後者(後者(後者(com.github.buster84.零$@4161bf5f))))
scala> 壱 != 弐
res0: Boolean = true
scala> 参 != 肆
res1: Boolean = true

7. 自然数 + 加法 - オブジェクト
自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。
● すべての自然数 a に対して、a + 0 = a
● すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)
https://ja.wikipedia.org/wiki/自然数
● すべての自然数 a に対して、零 + a = a
● すべての自然数 a, b に対して、後者(b) + a = 後者(a + b)

8. 自然数 + 加法 - オブジェクト
sealed trait 自然数 {
def +( n: 自然数 ) : 自然数
}
object 零 extends 自然数 {
def +( a: 自然数 ): 自然数 = a // 零 + a = a
}
case class 後者(b: 自然数) extends 自然数 {
def +( a: 自然数 ): 自然数 = 後者( a + b ) // 後者(b) + a = 後者(a + b)
}

9. scala> val 壱 = 後者(零)
scala> val 弐 = 後者(壱)
scala> val 参 = 後者(弐)
scala> val 肆 = 後者(参)
scala> 壱 + 壱 == 弐
res0: Boolean = true
scala> 壱 + 壱 + 壱 == 参
res1: Boolean = true
scala> 弐 + 弐 == 肆
res2: Boolean = true

10. 自然数 + 加法 - 型
sealed trait 自然数 {
def +( n: 自然数 ) : 自然数
}
object 零 extends 自然数 {
def +( a: 自然数 ): 自然数 = a
}
case class 後者(b: 自然数) extends
自然数 {
def +( a: 自然数 ): 自然数 =
後者( a + b )
}
sealed trait 自然数 {
type 足す[N <: 自然数] <: 自然数
}
trait 零 extends 自然数{
override type 足す[N <: 自然数] = N
}
trait 後者[N<:自然数] extends 自然数
{
override type 足す[O <: 自然数] =
後者[N#足す[O]]
}

11. 応用例 - N次元ベクトル
sealed trait ベクトル集合[次元 <: 自然数] {
def +( vector: ベクトル集合[次元] ): ベクトル集合[次元]
def append[Size <: 自然数]( vector: ベクトル集合[Size] ): ベク
トル集合[次元#足す[Size]]
}
https://github.
com/buster84/Natural/blob/master/src/main/scala/com/github/buster84/ベクトル.
scala

12. デモ

13. References
https://github.com/milessabin/shapeless
https://www.parleys.com/tutorial/type-level-
programming-scala-101
http://downloads.typesafe.
com/website/presentations/ScalaDaysSF2015/T4_B
arnes_Typelevel_Prog.pdf