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凸包
- 4. 次元凸包を求めるアルゴリズム • 2 方法 計算量 愚直 (Naive) 𝑂(𝑁3) 包装法 (Gift wrapping) 𝑂(𝑛 × 辺の数) Graham Scan / Andrew's Monotone Chain 𝑂(𝑛 log 𝑛) 逐次構成法 (Incremental) 𝑂(𝑛 log 𝑛) 分割統治法 (Divide&Conquer) 𝑂(𝑛 log 𝑛) 4
- 5. 次元凸包を求めるアルゴリズム • 3 方法 計算量 愚直 (Naive) 𝑂(𝑁4) 包装法 (Gift wrapping) 𝑂(𝑛 × 面の数) Graham Scan / Andrew's Monotone Chain - 逐次構成法 (Incremental) 気になる 分割統治法 (Divide&Conquer) 気になる 5
- 6. 逐次構築法 (Incremental) • 10 分に収まらないので省略します • あとでアップロードしとくので 6
- 7. 逐次構築法 (Incremental) • まず同一平面上にない 4 点をとってくる • とれなかったら全点が同一平面上なので実質 2 次元凸包 • 残りの点をランダムな順に付け加えていく(つまり乱択) • 7
- 8. 逐次構築法 (Incremental) • 凸包 𝐶 に点 𝑣 を付け加えて新たな凸包 𝐶′ にすることを考える • 𝑣 が 𝐶 の内部にあったら何もしなくてよい．以下，𝑣 は 𝐶 の外部とする • 𝑣 の位置から 𝐶 を見たとき，見える面と見えない面に分けられる • • 8
- 9. 逐次構築法 (Incremental) • 凸包 𝐶 に点 𝑣 を付け加えて新たな凸包 𝐶′ にすることを考える • 𝑣 が 𝐶 の内部にあったら何もしなくてよい．以下，𝑣 は 𝐶 の外部とする • 𝑣 の位置から 𝐶 を見たとき，見える面と見えない面に分けられる • 𝐶 の辺から成る，可視領域を囲む閉曲線のことを 地平面(horizon) と呼ぶ • 見える面を全て消し，地平面の各点と 𝑣 を結ぶ 9
- 10. 逐次構築法 (Incremental) • 愚直に書くと 𝑂 𝑁2 • 工夫すると平均計算量が落ちる 10
- 11. 逐次構築法 (Incremental) • 「いまある面」と「これから追加する点」をそれぞれ頂点として 左右においた2部グラフを考える • お互いに見える面と点の間に辺を張る • この2部グラフを 衝突グラフ(conflict graph) と呼ぶ • これは，辺で結ばれた面と点に関して， 最終的な凸包に両方とも含まれることが無いことからいう 11
- 12. 逐次構築法 (Incremental) • 衝突グラフの初期化は簡単 (4つの面に対して愚直にやる) • 点 𝑣 を追加するときの更新を考えよう • まず，追加した点 𝑣 と消した面を衝突グラフから消し去る • 追加した面を衝突グラフに加え，各面について，その面が見える点との 間に辺を張る • これ以外の面に変化はない • 下線部の操作をどうするか? 12
- 13. 追加した面が見える点を列挙する • 面 𝑓 を追加したとする • 既にある面と同一平面上にあって統合される場合は， 見える点のリストが変化することはないので無視できる • 統合されない場合，その面が接している地平線の 1 辺 𝑒 に注目する 13
- 14. 追加した面が見える点を列挙する • その面が接している地平線の 1 辺 𝑒 に注目する • 𝑓 が見える点からは，少なくとも辺 𝑒 が見えるはず • ここで， • 面 𝑓 を追加する直前にも辺 𝑒 はあった • 辺 𝑒 が見える条件 = その辺を持つ 2 つの面の少なくとも片方が見える • ということから，辺 𝑒 を持っていた 2 つの面の衝突リストの点だけ 調べればよいとわかる 14
- 15. 計算量 • この工夫によって，平均計算量が 𝑂(𝑁 log 𝑁) に落ちる • ただし最悪計算量は 𝑂(𝑁3 ) • 証明は難しいし時間もかかるので省略 15 方法 計算量 愚直 (Naive) 𝑂(𝑁4) 包装法 (Gift wrapping) 𝑂(𝑛 × 面の数) Graham Scan / Andrew's Monotone Chain - 逐次構成法 (Incremental) 平均𝑂(𝑁 log 𝑁) 分割統治法 (Divide&Conquer) 気になる
- 16. 分割統治法 (Divide&Conquer) • みなさんご存じ分割統治法 • 2 次元でも 3 次元でも使えます 16
- 17. 17 話の流れ • merge の仕方 • merge の計算量 • ちょっとした工夫 • 辺の数を抑える
- 18. 分割統治法 (Divide&Conquer) • 𝑁 ≤ 7 のときは分けてもしょうがないので愚直にやる • 𝑁 ≥ 8 のとき，𝑥 座標の小さい方と大きい方で半々で分割し， 再帰的に作ってからそれを merge する 18
- 19. How to merge? • 𝐿 と 𝑅 の間に辺をつける • それらの辺によって面ができるが， それに包まれて不要になった点を消し去る 19
- 20. How to merge? (もっと詳しく) • 凸包の 1 辺を見つける(一応簡単にできる) • そこからギフト包装法の要領で，AB->CB->CD->ED->FD->FG->…->AB と 辺を追加する(ここがキモ) • 消さない点と消す点は地平面できれいに二分されるので， 不要になった点の消去は簡単にできる 20
- 21. 包装のしかた • 直前に追加した辺を 𝑎 − 𝑏 とする • 明らかに，点 𝑎 か点 𝑏 と隣接している点のうちから選ぶのがよい • 直感的には「角度」の最も大きな点を選ぶのがよい • 適切に「角度」を設定することで実際にそのようにできる 21
- 22. 包装のしかた • 直前に追加した辺を 𝑎 − 𝑏 とする • 明らかに，点 𝑎 か点 𝑏 と隣接している点のうちから選ぶのがよい • 直感的には「角度」の最も大きな点を選ぶのがよい • 適切に「角度」を設定することで実際にそのようにできる • 愚直に全て試すと 𝑂(𝑁2 ) だが， 工夫によって落ちる 22
- 23. 23 包装の工夫 • 𝐿 側の点 𝑣 𝐿 と結ばれた場合，愚直だと 𝑅 側の点をもう 1 周 調べることになるが，これは無駄そう • 前の辺からはじめて反時計回りに見ていき， 「角度」が最大になった時点でその辺を選ぶ • ここで飛ばした辺は，以後凸包の内部に含まれてしまう • したがって，すべての辺は高々定数回しか 調べる必要が無い
- 24. 24 マージの計算量 • よって merge の計算量は 𝑂(𝑉 + 𝐸) •
- 25. 25 Steinitz の定理 • ところで，以下が成り立ちます • ある単純で連結な無向グラフが，凸多面体のスケルトングラフたりえる 必要十分条件は，「3 連結な平面的グラフ」であること •
- 26. 26 Steinitz の定理 • ところで，以下が成り立ちます • ある単純で連結な無向グラフが，凸多面体のスケルトングラフたりえる 必要十分条件は，「3 連結な平面的グラフ」であること • したがって，凸包のグラフは平面的です • (Wikipedia に証明が書いてます)
- 27. 27 Steinitz の定理 • ところで，以下が成り立ちます • ある単純で連結な無向グラフが，凸多面体のスケルトングラフたりえる 必要十分条件は，「3 連結な平面的グラフ」であること • したがって，凸包のグラフは平面的です • 余談ですが，グラフが 3 連結かも平面的かも DFS と同じ計算量で判定できる • つまり 𝑂(𝑉 + 𝐸) • 3 連結かの判定: 下とは別の，Hopcroft と Tarjan の論文 • 平面的かの判定: Hopcroft-Tarjan のアルゴリズム
- 28. 28 Euler の定理 • ついでに，以下が成り立ちます • 平面的グラフを交差しないよう平面に埋め込んだとき， (頂点数) − 辺の数 + 面の数 = 2 が成り立つ • 証明は昨年のスライドを参照
- 29. 29 つまり • 凸多面体について， (頂点数) − 辺の数 + 面の数 = 2 が成り立つ • まあわざわざ先の 2 つを組み合わせなくても Euler の多面体定理で一発なんですけどね，初見さん
- 30. 30 つまり • 凸多面体について， (頂点数) − 辺の数 + 面の数 = 2 が成り立つ • 全ての面は 3 角形であるとしてよい • 厳密に凸ではなくなるが，多角形を分割しても上の式に影響はない • このとき 面の数 = 2 3 (辺の数) • 上の 2 式から 辺の数 = 3 頂点数 − 6 = 𝑂(頂点数) がわかる
- 31. 31 マージの計算量 • さっき merge の計算量は 𝑂 𝑉 + 𝐸 と言ったが，𝐸 = 𝑂(𝑉) なので 結局 𝑂(𝑉) となり，実家のような安心感を得る
- 32. 32 実装? • ここで紹介した分割統治法は，3 次元凸包を 𝑂(𝑁 log 𝑁) で求める最初の手法 • Preparata と Hong によって 1977 年に提案された • お察しの通り実装が重い • 2003 年になってより実装量の少ない(100 行ほど)手法が現れた • 提案者 Timothy M. Chan の論文の末尾に実際の実装がなされている 超短い • A Minimalist’s Implementation of the 3-d Divide-and-Conquer Convex Hull Algorithm
- 33. 33 より高次元の凸包? • 2, 3 次元の凸包は(出力に依存しないとき) 𝑂(𝑁 log 𝑁) で最適 ← 2 次元の東方 次元が増えても 𝑂(𝑁 log 𝑁) 時間で できないかな？
- 34. 34 より高次元の凸包? • 2, 3 次元の凸包は(出力に依存しないとき) 𝑂(𝑁 log 𝑁) で最適 • できない 次元が増えても 𝑂(𝑁 log 𝑁) 時間で できないかな？
- 35. 35 より高次元の凸包 • 𝑑 次元 (𝑑 ≤ 4) の凸包を求めるアルゴリズムの計算量は Θ 𝑉 𝑑 2 が最適とわかっている
- 36. 36 より高次元の凸包 • 𝑑 次元 (𝑑 ≤ 4) の凸包を求めるアルゴリズムの計算量は Θ 𝑉 𝑑 2 が最適とわかっている • (Voronoi 図についてもなんかあった気がする)
- 38. 38 参考文献 • 4人ぐらい, “Computational Geometry: Algorithms and Applications 第2版”, 2008 • 杉原厚吉, “計算幾何工学”, 1994 • F. P. Preparata & S. J. Hong, “Convex Hulls of Finite Sets of Points in Two and Three Dimensions”, 1977
- 39. 39 参考文献 • J. E. Hopcroft & R. E. Tarjan, “Dividing a Graph into Triconnected Components”, 1973 • 同上, “Efficient planarity testing”, 1974 • Timothy M. Chan, “A Minimalist’s Implementation of the 3-d Divide-and-Conquer Convex Hull Algorithm”, 2003 • Bernard Chazelle, “An Optimal Convex Hull Algorithm in Any Fixed Dimension”, 1993
- 40. 40 画像出典 • いらすとや • p.2 車，p.9,11 ずんだもち，p.11 ビーム，p.25-27 パイナップル，p25-27 ペン，p-28 ペン • Wikipedia • p.16 とんかつ • square1001 の AtCoder プロフィール • p.28 二つのりんご • dairi さん • p.33 チルノ