This document provides information about various geometric concepts in Cartesian coordinates (R2). It defines R2 as the set of all ordered pairs (a,b) of real numbers. It discusses representing points in R2 using coordinates, and defines concepts like distance, midpoint, linear equations, circles, parabolas, ellipses, and hyperbolas. It provides examples of finding distances between points, finding midpoints of line segments, graphing linear equations, finding equations of circles, and identifying graphs of parabolas, ellipses and hyperbolas based on their standard equations.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto-Edo Lara
Integrante:
Yigneth Araujo
CI: 28.363.626
Sección (0102)
PNF en Administración
Barquisimeto, 12 de Febrero de 2021

2. PLANO NUMÉRICO (CARTESIANO)
Un conjunto sumamente importante y qué aparecerá con mucha frecuencia
más adelante, es el conjunto R2 formado por todos los pares ordenados (a, b) de
números reales. Esto es,
𝑅2 {= (a,b)/a,b ∈ R}
Estamos usando la misma notación para expresar tanto el par ordenado (a, b)
como al intervalo (a, b). Para evitar confusiones, en el contexto seremos
suficientemente explícitos para indicar cual de los dos conceptos se está tratando.
Recordemos que un par ordenado d números reales es una pareja de números reales,
en la cual se distingue un orden. Es decir, en general, (a, b) ≠ (b, a).
Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales, si y sólo si a = c y b = d.
Es de fundamental importancia tener una representación geométrica de R2.
Para esto tomamos un plano cualquiera al cual fijamos. Sobre este plano tomamos
dos rectas numéricas perpendiculares a la misma escala y cuyos orígenes coinciden.

3. Estas dos rectas nos permiten establecer una correspondencia biunívoca entre
los puntos P del plano y los pares ordenados (x, y) de números reales, en la forma que
indica la figura anterior. A la recta X se le llama eje X o eje de las abscisas. La recta
Y es el eje Y o eje de las ordenadas.
El punto de intersección O de los ejes es el origen. Si al punto P le
corresponde el par (x, y), diremos que x e y son las coordenadas de P, siendo x su
abscisa e y su ordenada. Con el objeto de abreviar, identificamos el punto P con el par
(x, y), y escribiremos P = (x, y). Así, tenemos, por ejemplo, O = (0, 0). Esta
correspondencia biunívoca también nos permite identificar al plano R2.
Ejercicio
Sea P1 = (3, 2)
a. Hallar el punto P2 que es simétrico respecto al eje X al punto P1 = (3, -
2)
b. Hallar el punto P3 que es simétrico respecto al eje Y al punto P1 = ( 3,
2)
c. Hallar el punto P4 que es simétrico respecto al origen al punto P1 = (3,
2)
Solución:
a. P2 = (3, -2)
b. P3 = (3, 2)
c. P4 = (3, 2)

4. DISTANCIA
La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que
los une, expresado numéricamente. Distancia entre dos puntos. Dados dos puntos
cualesquiera A (x1y1), B (x2y2), definimos la distancia entre ellos, d(A, B), como la
longitud del segmento que los separa.
La distancia entre los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) es
d(P1, P2)=√ (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
Demostración:
Tomemos el triángulo que tiene por hipotenusa el segmento que une P1 = (x1,
y1) y P2 = (x2, y2) y por catetos, los segmentos paralelos a los ejes indicados en la
figura.
Las longitudes de los catetos son |x2 – x1| y |y2 – y2|. La distancia d (P2, P1) es
la longitud de la hipotenusa. Luego, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:
(d (P1, P2)) = |x2 – x1|2 + |y2 – y1|2

5. De donde obtenemos: d (P1, P2) = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Ejercicio
Empleando la fórmula de la distancia probar que los siguientes puntos son los
vértices de un triángulo rectángulo:
A = (1, 1), B = (3, 0) y C = (4, 7)
Solución
Calculamos la longitud de los lados del triángulo:
d(A, B) = √(3 − 1)2 + (0 − 1)² = √2² + 1²= √5
d(A, C) = √(4 − 1)2 + (7 − 1)²= √3² + 6²=√45
d(B, C) = √(4 − 3)² + (7 − 0)²=√1² + 7²= √50
Como se cumple que:
d(A, B)² + d(A, C)² = 5+ 45 = 50 = d(B, C)²,
el triángulo debe ser rectángulo, por el teorema recíproco al teorema de
Pitágoras.

6. PUNTO MEDIO
Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia
de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la
misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas,
etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En
ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento.
El punto medio del segmento de recta de extremos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2)
es el punto
M = (x1 + x2, y1 + y2)
2 , 2
Demostración
Sea M = (x, y).
Proyectamos el segmento sobre los ejes.

7. Por ser M = (x, y) el punto medio, x e y deben ser los puntos medios de los
intervalos [x1, x2] e [y1, y2], respectivamente. Luego,
x- x1 = x2 – x e y1 = y2 = y2 – y →
2x = x1 + x2 e 2y = y1 + y2 → x = x1 + x2 e y = y1 + y2
2 2
Ejercicio
Hallar el punto medio del segmento de recta de extremos (-3, 0) y (1, 2)
Solución
M= (−3+1
2
,
0+2
2
) = (-1, 1)
ECUACIONES

8. Ecuación lineal recordemos que una ecuación lineal en dos variables, x e y, es
una ecuación de la forma
Ax + By + C = 0, donde A ≠ 0 ó B ≠ 0
El gráfico de la ecuación lineal Ax +By + C = 0, A ≠ 0 ó B ≠ 0 es una recta.
Además:
1. Si A ≠ 0 y B ≠ 0, la recta es oblicua.
2. Si A = 0 y B ≠ 0, la recta es horizontal.
3. Si A ≠ 0 y B = 0, la recta es vertical.
Demostración
Caso 1. Si A ≠ 0 y B ≠ 0, despejamos y: y = −
𝐴
𝐵
x −
𝐶
𝐵
Su gráfica es una recta oblicua, ya que su pendiente 𝑚 = −
𝐴
𝐵
≠ 0.
Caso 2. Si A = 0, la ecuación lineal se convierte en By + C = 0. De donde, despejando
y obtenemos 𝑦 = −
𝐶
𝐵
, la cual tiene por gráfica una recta horizontal.
Caso 3. Si B = 0, la ecuación se convierten Ax + C = 0. De donde, 𝑥 = −
𝐶
𝐴
, la cual
tiene por gráfica una recta vertical.
Ejercicio
Dada la recta L: 2x – 3y + 12 = 0, hallar su pendiente, ordenada en el origen y
abscisa en el origen. Graficarla.
Solución:
Despejamos y: 𝑦 =
2
3
𝑥 + 4. Luego la pendiente es 𝑚
2
3
Si en 𝑦 =
2
3
𝑥 + 4 hacemos x = 0 obtenemos que y = 4. Luego la ordenada en el
origen es 4.
Si en 2x – 3y +12 = 0 ó en 𝑦 =
2
3
𝑥 + 4 hacemos y = 0, obtenemos que x = -6.

9. Luego, la abscisa en el origen es -6.
Para graficar una recta basta conocer dos de sus puntos. De esta recta ya
conocemos los puntos (0, 4) y (-6, 0), obtenidos a partir de la ordenada y la abscisa
en el origen. El gráfico se obtiene trazando la recta que une estos dos puntos.
LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a
la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
La circunferencia de centro 𝐶 = (ℎ,𝑘) y radio r tiene por ecuación:
(𝑥 – ℎ)² + (𝑦 − 𝑘)² = 𝑟²
En particular, si el centro es el origen, 𝑥² + 𝑦² = 𝑟²
Demostración:

10. 𝑃 = (𝑥, 𝑦) Está en la circunferencia
𝑑(𝑃, 𝐶) = 𝑟 √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)² = r
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟
Observar que la circunferencia
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
Puede ser vista como la circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
a la cual le hemos aplicado la
traslación que lleva el origen (0,0) al punto (ℎ, 𝑘).
Ejercicio
Hallar una ecuación de la circunferencia de centro (2, 1) y radio 3.
Solución:
Por la proposición anterior, una ecuación de esta circunferencia es:
(x - 2)² + (y -1)² = 3²
Esta ecuación también podemos presentarla desarrollando los cuadrados y
simplificando esto es,
x² + y² - 4x – 2y – 4 = 0

11. PARÁBOLA
La parábola es una curva simétrica. Se llama vértice de la parábola al punto
donde el eje de simetría corta a la parábola.
Llamaremos parábola al gráfico de cualquiera de las dos ecuaciones
siguientes, donde a, b y c son constantes con a ≠ 0.
(1) y = ax² + bx + c (2) x = ay² + by + c
Las parábolas más simples, y de las cuales se pueden obtener todas las otras
mediante traslaciones y reflexiones en la diagonal principal, son las parábolas que se
obtienen por ecuación
(3) y = ax², a ≠ 0
La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo según a ˃ 0 o a ˂ 0

12. y = ax², a ˃ 0 y = ax², a ˂ 0
Ejercicio
Graficar las siguientes parábolas:
a. 𝑦 = −
1
2
𝑥² b. 2y = - x² - 2x + 5
Solución:
a. El gráfico de 𝑦 = −
1
2
𝑥² es una parábola
con vértice en el origen. Como a = - ½ ˂ 0,
la parábola se abre hacia abajo.
Para x = 1 ó x = -1, obtenemos y = -1/2
Luego, la curva pasa por los puntos
(-1, -1/2) y (1, -1/2).
b. Completamos cuadrados:

13. 2y = - x² - 2x + 5 →
2y = - (x² + 2x +1) + 1 + 5 →
𝑦 = −
1
2
(𝑥 + 1)2
+ 3 →
𝑦 − 3 = −
1
2
(𝑥 + 1)²
En consecuencia, la gráfica de 2y = - x² - 2x +5 se obtiene de la gráfica de
𝑦 = −
1
2
𝑥² mediante la traslación que lleva el origen al punto (-1, 3).
ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Llamaremos elipse en posición normal al gráfico de la siguiente ecuación:
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
= 1
Donde a y b son dos números positivos. A esta ecuación llamaremos ecuación
no se altera si cambiamos x por – x ó y por – y. Esto significa que la elipse es
simétrica respecto a eje X, al eje Y y, por tanto, también al origen.
Hallemos las intersecciones con los ejes:
y = 0 → x² = a² → x = a ó x = - a.
Luego, la curva intersecta al eje X en
(a, 0) y (- a, 0).
x = 0 → y² = b² → y = b ó y = - b.
Luego, la curva intersecta al eje Y en (0, b) y (0, -b).

14. Por ser la elipse en posición normal simétrica respecto al origen, diremos que
éste es su centro.
Ejemplo
Identificar y bosquejar el gráfico de la ecuación:
4x² + 9y² = 36
Solución:
Dividimos ambos lados de la ecuación entre 36:
4𝑥²
36
+
9𝑦²
36
=
36
36
→
𝑥²
3²
+
𝑦²
2²
= 1
Vemos que se trata de una elipse en posición
normal con centro en el origen. Además,
tenemos que a = 3 y b = 2. Esto significa
que corta al eje X en los puntos (-3, 0) y
(3, 0), y al eje Y en (0, -2) y (0, 2).
HIPÉRBOLA
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de
distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.
Llamaremos hipérbola en posición normal al gráfico de cualquiera de las dos
ecuaciones siguientes, donde a y b son dos constantes positivas. A estas ecuaciones
las llamaremos ecuaciones normales de la hipérbola con centro en origen.

15. (1)
𝑥²
2²
−
𝑦²
𝑏²
= 1 (2)
𝑦²
𝑎²
−
𝑥²
𝑏²
= 1
Analicemos cada una de estas ecuaciones:
1. La ecuación
𝑥²
2²
−
𝑦²
𝑏²
= 1 no se altera si se cambia x por – x ó y por – y.
Luego, esta hipérbola es simétrica respecto a los dos ejes y al origen.
Esta hipérbola intersecta al eje X. En efecto:
y = 0 → x² = a² → x = a ó x = -a.
Estos dos puntos de intersección:
V1 = (-a, 0) y V2 = (a, 0),
Son los vértices de la hipérbola.
Esta hipérbola no intersecta al eje Y. En efecto: x = 0 → y² = -b², pero esta última
ecuación no tiene soluciones reales.
De (1) obtenemos:

16. 𝑥²
𝑎²
= 1 +
𝑦²
𝑏²
≥ 1 → 𝑥² ≥ 𝑎² → |x| ≥ a → x ≥ a ó x ≤ −a
Esto quiere decir que la hipérbola se compone de dos partes, a las que se les llama
ramas.
Se llaman asíntotas de esta hipérbola a las rectas:
𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥, 𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥,
Estas rectas se obtienen igualando a 0 el primer miembro de la izquierda de la
ecuación de la hipérbola. Así:
𝑥²
𝑎²
−
𝑦²
𝑏²
= 0 → (
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
) (
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
) = 0
→
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
= 0 ó
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 0 → 𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥 = −
𝑏
𝑎
𝑥.
Las asíntotas tienen la particularidad de que ambas ramas de la hipérbola se van
aproximando cada vez más a ellas, a medida que nos alejamos del origen.
Para graficar la hipérbola se recomienda trazar las asíntotas primero.
2. Para la ecuación (2),
𝑦²
𝑎²
−
𝑥²
𝑏²
= 1, esta ecuación se puede obtener de la (1)
intercambiando la x por la y. Esto significa que la hipérbola correspondiente a
(2) se obtiene reflejando en la diagonal principal la hipérbola correspondiente
a (1). Para esta hipérbola se tiene:
Vértices: V1 = (0, -a), V2 = (0, a). Asíntotas: 𝑦 =
𝑎
𝑏
𝑥, 𝑦 = −
𝑎
𝑏
𝑥
Ejercicio
Identificar y bosquejar la gráfica de la siguiente ecuación:
9x² - 4y² = 36
Solución:
Dividiendo entre 36 obtenemos:

17. 𝑥²
4
−
𝑦²
9
= 1
Es una hipérbola en posición normal y centro en el origen.
Vértices:
y = 0→ x² = -2 ó x = 2.
Luego, V1 = (-2, 0) y V2 = (2, 0)
Asíntotas:
𝑥²
4
−
𝑦²
9
= 0 → (
𝑥
2
−
𝑦
3
)(
𝑥
2
+
𝑦
3
) =→ 𝑦 =
3
2
𝑥 ó 𝑦 = −
3
2
𝑥.