2. Las expresiones algebraicas son la composición de términos
algebraicos:
signo (sea positivo +o negativo -, que si no esta inscrito se
entiende que es +), un coeficiente (parte numérica), una
variable (parte literal, letras del alfabeto, que si no tiene
coeficiente se entiende que es 1) y exponente (si no tiene
exponente, se entiende que esta elevado al exponente 1)
estas expresiones las podemos clasificar como:
Monomio: Cuando solo hay un término algebraico. 5m2
Binomios: Cuando hay dos términos algebraicos separados por
un signo de operación matemática. 2n - 3t
Trinomio: Cuando hay tres términos , señalando dos
operaciones matemáticas. a2 + 3b *c
Polinomio: Cuando tiene más de tres términos con operaciones
dentro de ellas, desde la suma hasta la multiplicación. b+2(m-
3b)-5b+m Ejemplo:
Lenguaje Natural: Un número elevado al cuadrado más el doble del
mismo.
Lenguaje Algebraico: x2 + 2x Binomio
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3. Suma y Resta: Para determinar la suma y resta de expresiones
algebraicas se debe tener presente los términos semejantes (igual
variable y exponente), signos (+,-, si hay un – antes del paréntesis
primero se debe cambiar de signo a todo lo que esta dentro), signos
de agrupación (se desarrolla lo que esta dentro de ellos y se inicia por
paréntesis, corchetes, llaves) y en caso de que sean fracciones
heterogéneas (diferente denominador), se busca el término común de
sus denominadores y este se multiplica por el numerador de cada una
de las fracciones para realizar la suma o resta de fracciones
homogéneas.
Se suprimen los paréntesis, cambiando de signo a lo que
esta dentro de ellos en caso de que sea –, si es + queda
con signos iguales.
Ahora se buscan términos semejantes y se agrupan.
Se suman la parte numérica y se deja la misma parte
literal(variable)
Resultado de la suma de la expresión,
Ejemplo 1: 𝑚3
−3𝑚 − 2𝑚𝑛 + 3𝑛2
+ −12𝑚 + 8𝑚𝑛 − 5 + 𝑛 − 1
𝑚3 − 3𝑚 − 2𝑚𝑛 − 3𝑛2 − 12𝑚 + 8𝑚𝑛 − 5 + 𝑛 − 1
𝑚3 + −3𝑚 − 12𝑚 + 8𝑚𝑛 − 2𝑚𝑛 + 𝑛 − 3𝑛2 + (−1 − 5)
𝑚3
+ −3 − 12 𝑚 + 8 − 2 𝑚𝑛 + 𝑛 − 3𝑛2
+ (−1 − 5)
𝑚3 − 15𝑚 + 6𝑚𝑛 + 𝑛 − 3𝑛2 − 6
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Recordemos que, signos iguales
se suman, signos diferentes se
restan y el signo mayor manda.
4. 2𝑚3
3
−
7𝑚
24
+
5𝑚
6
−
3𝑛3
8
(24 ÷ 3)2𝑚3
− (24 ÷ 24)7𝑚 + (24 ÷ 6)5𝑚 − (24 ÷ 8)3𝑛3
24
(8)2𝑚3
− (1)7𝑚 + (4)5𝑚 − (3)3𝑛3
24
16𝑚3
− 7𝑚 + 20𝑚 − 9𝑛3
24
16𝑚3
+ (−7𝑚 + 20𝑚) − 9𝑛3
24
16𝑚3
+ (−7 + 20)𝑚 − 9𝑛3
24
16𝑚3
+ 13𝑚 − 24𝑛3
24
Después de tener el común denominador, se divide este entre los
denominadores de cada fracción y se multiplican por sus
numeradores.
Hacemos la división dada.
Multiplicamos el resultado de la división por su numerador.
Agrupamos términos semejantes
Sumamos los coeficientes y dejamos la misma variable
Obtenemos la solución de la suma de la fracción
3 24 6 8 3
1 8 2 8 2 = 3 ∗ 2 ∗ 4 = 24 → 𝑀𝐶𝑀 = 24
4 1 4 4
1 1
Ejemplo 2: Suma de Fraccionarios, con diferente
denominador
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5. Se multiplican los signos, además se observa que la cantidad de negativos es impar, por lo tanto el
signo que va a quedar es negativo.
Se multiplican los coeficientes, se entiende que si la variable esta sola, esta acompañada por el 1,
así mismo, si están las variables solas su exponente es 1 y se deja la misma base(variable) y se
suman exponentes.
Producto de la multiplicación.
Multiplicación: En esta se tiene en cuenta la ley de los signos, y las
propiedades de la potenciación.
En la multiplicación de fraccionarios, se multiplica numerado por
numerador y denominar por denominador, aplicando.
Si estas multiplicando muchos términos y la cantidad de números con
signo negativo es impar, el producto será con signo negativo, y si la
cantidad de negativos es par el producto es positivo
Ejemplo 1: (𝑛3)(−8𝑛𝑚)(2𝑚)
−(1 ∗ 8 ∗ 2)𝑚1+1
𝑛1+3
−8𝑚2
𝑛4
−2𝑚3
3
𝑥
(−7𝑚)
2
(2 ∗ 7)
3𝑥2
𝑚3+1
14
6
𝑚4
7
3
𝑚4
Ejemplo 2: Se multiplican los signos
Se multiplican los coeficientes: numerador por numerador y denominador por
denominador y se aplica los pasos del ejemplo anterior, sumando exponentes.
Se simplifica la fracción.
Producto de la multiplicación de la fracción
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6. Están formados por más de cuatro términos algebraicos, en estos se puede notar la presencia de suma, resta, multiplicación, excepto la
división puesto que cambia la forma del polinomio.
Sus elementos son:
Números Constantes
Letras Variables
Exponente
Ya que en el polinomio hace presencia la multiplicación, tenemos que tener presente que el termino que antecede a un signo de agrupación,
indica que se multiplicará por cada termino que este dentro de el.
Ejemplo:
− 𝑥2
+ 3𝑥 + 2 − 3𝑥 + 2 − 2𝑥 2𝑥2
− 3 − 1 + (𝑥 −
2
4
𝑥)
− 𝑥2
+ 3𝑥 + 2 −3𝑥 − 2 − 4𝑥3
+ 6𝑥 − 1 +
1
1
𝑥 −
1
2
𝑥
− 𝑥2
+ 3𝑥 + 2 3𝑥 − 2 − 4𝑥3
− 1 +
1
2
𝑥
− 𝑥2
+ 3𝑥 + 6𝑥 − 4 − 8𝑥3
− 1 +
1
2
𝑥
− 𝑥2
+ 9𝑥 − 5 − 8𝑥3
+
1
2
𝑥
−𝑥2
− 9𝑥 + 5 + 8𝑥3
+
1
2
𝑥
−𝑥2
+ (
−9
1
𝑥 +
1
2
𝑥) + 5 +8𝑥3
−𝑥2
+ (
−17𝑥
2
) + 5 +8𝑥3
8𝑥3
− 𝑥2
−
17
2
𝑥 + 5
Se procede a suprimir paréntesis, multiplicamos lo que este por multiplicar y cambiar de
signo si es necesario, el echo es deshacer paréntesis, hacemos operación de fracción
donde se debe buscar el factor común
Procedemos a sumar o restar los términos semejantes dentro del corchete
Eliminamos corchetes multiplicando el 2 por todo el polinomio que esta dentro de este.
Procedemos a sumar o restar términos semejantes que esta dentro de las llaves.
Suprimimos llaves, y como es el signo - que lo antecede, cambiamos toda la expresión.
Operamos con términos semejantes y nuevamente utilizamos factor común para la suma de
fracciones.
Como el signo que antecede al resultado de la suma de la fracción es positiva, se queda
con el signo que tiene.
Ordenamos el polinomio, y queda resuelto.
7. División entre polinomios: Para dividir un polinomio entre otro se puede hacer como la división normal, y se debe tener
presente la ley de los signos, al igual que las propiedades de la potenciación en la división. El polinomio se debe ordenar
respecto a una letra de mayor a menor exponente.
Ejemplo: Miramos cuantas veces cabe el 4 del dividendo en el 2 del sustraendo,, y en cuanto a su
variable restamos sus exponentes quedando 2𝑥2
, tal cual como se hace la división de
expresiones algebraicas siendo este el primer termino del cociente.
Procedemos a multiplicar el cociente por cada uno de los términos del divisor, sabiendo
que en la multiplicación sus exponentes se suman
Cada uno de los productos se ubican debajo del número con signo contrario al producto y
se procede a sumar o restar. Estos productos se ubican debajo de su termino común, es
decir si dio 4𝑥5
lo ubico con signo negativo −4𝑥5
debajo del termino 4𝑥5
Después de hacer la respectiva operación, donde el primer termino al restarlo siempre
será 0, bajamos el segundo termino y hacemos el primer paso hasta culminar con todos
los términos del dividendo.
El resultado es 0, y si multiplicamos el divisor por el cociente este será igual al
dividendo.
4𝑥5
− 6𝑥4
+ 2𝑥3
+ 9𝑥2
− 12𝑥
2𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥
4𝑥5
− 6𝑥4
+ 2𝑥3
+ 9𝑥2
− 12𝑥 2𝑥3
− 3𝑥2
+ 4𝑥
−4𝑥5
+ 6𝑥4
− 8𝑥3
0 + 0𝑥4
− 6𝑥3
+ 9𝑥2
2𝑥2 + 0𝑥 − 3
0𝑥4
+ 0𝑥3
+ 0𝑥2
0 − 6𝑥3 + 9𝑥2 − 12𝑥
6𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥
0
División sintética: En esta solo utilizamos los coeficientes de las variables del dividendo y despejamos la
variable del divisor para tener el coeficiente del divisor igualando a cero.
𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 − 2 ÷ 𝑥 − 2 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 2
1 1 − 5 2 2
2 6 2
1 3 1 0
Sustraemos los coeficientes del dividendo, al estar las variables solas se sobreentiende
que su coeficiente es 1. Despejamos la x en el divisor y obtenemos 2 como el coeficiente.
Bajamos el primer coeficiente tal cual esta en el dividendo y este se multiplica por el
divisor.
El producto de este, lo ubicamos debajo del segundo coeficiente del dividendo sin cambiar
signo y se suma o se resta.
El resultado de esa suma o resta se multiplica por el divisor y se hace el mismo proceso
del paso anterior.
El último coeficiente del dividendo es el residuo de la división.
𝑥2
+ 3𝑥 + 1
8. Existe la relación entre productos notables y la factorización, entendiendo que el producto notable
consta de amplificar una expresión bajo ciertos caso, y la factorización se rige por ciertos casos para
simplificarla. Presentamos algunos casos de factorización y la relación con el producto notable,
entiéndase que estos son unos de muchos otros casos
Producto Notable Factorización
Producto de la suma por
la diferencia de dos
cantidades
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) Diferencia de Cuadrados
𝑎2
− 𝑏2
Multiplicación de dos
polinomios
(𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) Factor común por
agrupación
𝑎𝑏 + 𝑎𝑒 + 𝑐𝑏 + 𝑐𝑒
Cuadrado de la suma de
dos cantidades
(𝑥 + 𝑦)2
Trinomio cuadrado
perfecto
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 +𝑦2
Cuadrado de la diferencia
de dos cantidades
(𝑥 − 𝑦)2
𝑥2
− 2𝑥𝑦 +𝑦2
Producto de binomios de
la forma (x+a)(x+b)
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) Trinomio de la forma
𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑥2
+ 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑏
Producto de binomios de
la forma (mx+a)(nx+b)
(𝑚𝑥 + 𝑎)(𝑛𝑥 + 𝑏) Trinomio de la forma
𝑎𝑥2
+𝑏𝑥 + 𝑐 𝑚𝑛𝑥2
+ 𝑏𝑚 + 𝑎𝑛 𝑥 + 𝑎𝑏
9. Ejemplo:𝑚2 − 4𝑚 + 3
𝑚2 = 𝑚
−3 − 1 = −4
−3 ∗ −1 = 3
= 𝑚 − 3 𝑚 − 1
Determinamos que es un caso de
factorización de Trinomio de la forma
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Ahora bien, al primer termino le
sacam0s la raíz puesteo que es un
cuadrado y lo ubicamos en dos
factores.
Ahora buscamos dos números que
sumados sea igual al segundo termino y
multiplicados sea igual al ultimo
termino.
Ahora, cada uno de los números
encontrados se distribuye en los dos
factores acompañando a m
Ahora ya queda como producto notable
Producto de binomios de la forma (𝑥 +
𝑎)(𝑥 + 𝑏)
Evidente relación entre la
factorización y producto notable
𝑚2
− 4𝑚 + 3 = 𝑚 − 3 𝑚 − 1
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10. Se consideran al ser expresiones que presentan en su numerador como en su denominador
polinomios, cabe resaltar que su denominador debe ser diferente de cero (0) y que así este
divido por la unidad se considera expresión algebraica racional.
En estas se pueden ver operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 3𝑦
∗
𝑥2 − 9𝑦2
𝑥2 − 𝑦2
=
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 3𝑦
∗
𝑥 − 3𝑦 𝑥 + 3𝑦
𝑥 − 𝑦 𝑥 + 𝑦
=
𝑥 − 𝑦 𝑥 − 3𝑦 𝑥 + 3𝑦
𝑥 + 3𝑦 𝑥 − 𝑦 𝑥 + 𝑦
=
𝑥 − 3𝑦
𝑥 + 𝑦
En este caso es una multiplicación, donde el multiplicando es
de grado 1 y el multiplicador es de grado dos (exponente con
respecto a la variable).
Dejamos intacto el multiplicando y el multiplicador al ser
cociente notable diferencia de cuadrados, lo factorizamos de
la manera (a+b)(a-b) tanto en su numerador y denominador si
este aplica.
Luego multiplicamos numerador por numerador y denominador
por denominador.
Dividimos términos semejantes del dividendo y el divisor
Queda simplificada la multiplicación de la expresión algebraica
racional
11. El dominio de una función son los elementos que corresponden a la variable independiente, es
decir, a “X”, ubicando en el eje x del plano cartesiano, se tiene que tener presente lo
siguiente:
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 Al ser lineal se cumple que puede x puede tomar cualquier valor real y cumple la
función. Entonces el dominio será (−∞, ∞)
𝑓 𝑥 = 𝑥 En este caso, x puede tomar cualquier valor positivo y el cero, diferente de
números negativos. Su dominio será [0, ∞)
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
Aquí x puede tomar cualquier valor diferente de cero (0).Su dominio es −∞, 0 ∪
(0, ∞)
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2
𝑓 𝑥 = 𝑦 = 𝑥 + 2 ≠ 0
𝑥 + 2 ≠ 0
𝑥 + 2 ≠ 0
𝑥 + 2 ≠ 0
𝑥 ≠ −2
Ejemplo:
Su dominio será: [-2, ∞)
Igualamos f(x) a cero
Bajamos el primer coeficiente tal cual esta en el dividendo y este
se multiplica por el divisor.
Ahora necesitamos determinar el valor de x por lo que
necesitamos dejarla solita y aplicamos las propiedades de la
radicación, así mismo lo que hagamos en un miembro lo hacemos en
el otro.
Después de ello hemos eliminado los radicales
Despejamos x
El 2 que estaba sumando pasa a restar
Nos indica que x puede tomar valores desde -2 hasta el infinito
positivo para que se cumpla la función Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-NC-ND
12. López, C. (2020). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Repositorio
Institucional UNAD. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/36117
Ramírez, V. A. P., & Cárdenas, A. J. C. (2001). Matemática universitaria: conceptos y
aplicaciones generales. Vol. 1. San José, CR: Editorial Cyrano. Páginas 59 - 82.
https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/85383?page=66
Rondón, J. (2005) Matemática Básica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y
a Distancia. http://hdl.handle.net/10596/7425
Rondón, J. (2017). Modulo Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá
D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 136 – 235.
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
