Coordenadas Polares

1. COORDENADAS
POLARES
YSABELA HERNANEZ
27529579
MATEMATICA 2

2. Se utilizan para representar, mediante ecuaciones con dichas coordenadas,
algunas curvas clásicas como la Cardioide, la Lemniscata de Bernoulli, los Lazos, las
Cónicas y algunas espirales, entre otras.
En este tipo de representación los puntos del plano tienen asociados dos
coordenadas: su distancia al polo y el ángulo con el eje polar. A la distancia se le suele
llamar radio y se designa por la letra r o la letra griega r (rho), al ángulo se le suele
designar por la letra griega q (theta).
SISTEMA DE COORDENADAS
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir
unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de
un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en
el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto,
constituyen lo que se denomina sistema de referencia.
Este sistema de referencia está constituido por un eje que pasa por el origen. La primera
coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el
ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.

3. SISTEMA DE COORDENADAS
Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los
números reales de las equis ("x"); y al eje vertical
o de las ordenadas se le asignan los números
reales de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas,
dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que
se conocen con el nombre de cuadrantes:
Primer cuadrante "I": Región superior derecha
Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
El plano
cartesiano se
utiliza para
asignarle una
ubicación a
cualquier punto
en el plano. En la
gráfica se indica el
punto +2 en las
abscisas y +3 en
las ordenadas. El
conjunto (2 , 3) se
denomina "par
ordenado" y del
mismo modo se
pueden ubicar
otros puntos.
Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha.

4. CONVERSIÓN DE COORDENADAS
La representación de un punto en el plano o el espacio, se puede hacer mediante diferentes sistemas de coordenadas. En
estos momentos nos ocupan los sistemas de coordenadas rectangulares y polares.
Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos de la conversión
del rectangular al polar y viceversa.
En este tópico se incluyen algunas gráficas para mostrar la ubicación de un punto en cada uno de los sistemas respectivos.
Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo
θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de
coordenadas, se tiene:
x = r cos θ
y = r sen θ
Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas
rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r
es:
r = V x 2 + y 2 (aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben
distinguir dos casos: Para r = 0, el ángulo θ puede
tomar cualquier valor real.
Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe
limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por
convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π,
π].

5. ECUACIONES POLARES
• Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En
muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante
consiste en una serie de puntos en la forma r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una
función r.
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar r. Si r(−θ) = r(θ) la
curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si r(180°−θ) = r(θ) será simétrica respecto al eje
vertical (90°/ 270°), y si r(θ−α°) = r(θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al
polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con
una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de
las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y
la cardioide.
Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en
el dominio y rango de la curva.

6. CIRCUNFERENCIA
La ecuación general para una
circunferencia con centro en r0, φ) y
radio a es
r 2( al cuadrado) − 2 r r 0 (sub cero)
cos ( θ − φ ) + r 0 2( sub0 al cuadrado)
= a
En ciertos casos específicos, la
ecuación anterior se puede simplificar.
Por ejemplo, para una circunferencia
con centro en el polo y radio a, se
obtiene:
r ( θ ) = a
LINEA
Las líneas radiales (aquellas que
atraviesan el polo) se representan
mediante la ecuación
θ = φ
donde φ es el ángulo de elevación
de la línea, esto es, φ = arctan m
donde m es la pendiente de la línea
en el sistema de coordenadas
cartesianas. La línea no radial que
cruza la línea radial θ = φ
perpendicularmente al punto (r0, φ)
tiene la ecuación
r ( θ ) = r 0(SUB CERO) sec ( θ − φ )
ROSA POLAR
La rosa polar es una famosa curva
matemática que parece una flor con
pétalos, y puede expresarse como
una ecuación polar simple,
r ( θ ) = a cos ( k θ + ϕ 0 )
para cualquier constante ϕ
(incluyendo al 0). Si k es un número
entero, estas ecuaciones
representan una rosa de k pétalos
cuando k es impar, o 2k pétalos si k
es par. Si k es racional pero no
entero, la gráfica es similar a una
rosa pero con los pétalos solapados.
Nótese que estas ecuaciones nunca
definen una rosa con 2, 6, 10, 14,
etc. pétalos. La variable a representa
la longitud de los pétalos de la rosa.

7. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES
La espiral de Arquímedes es una famosa
espiral descubierta por Arquímedes, la
cual puede expresarse también como una
ecuación polar simple. Se representa con
la ecuación
r ( θ ) = a + b θ
Un cambio en el parámetro a producirá
un giro en la espiral, mientras que b
controla la distancia entre los brazos, la
cual es constante para una espiral dada.
La espiral de Arquímedes tiene dos
brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0.
Los dos brazos están conectados en el
polo. La imagen especular de un brazo
sobre el eje vertical produce el otro
brazo. Además es el principal ejemplo de
curva que puede representarse de forma
más fácil con una ecuación polar.
SECCIONES CONICAS
Una sección cónica con un foco en el
polo y el otro en cualquier punto del
eje horizontal (de modo que el
semieje mayor de la cónica descanse
sobre el eje polar) es dada por:
r = ℓ /1 + e cos θ
donde e es la excentricidad y ℓ es el
semilado recto (la distancia
perpendicular a un foco desde el eje
mayor a la curva). Si e > 1, esta
ecuación define una hipérbola; si e =
1, define una parábola; y si e < 1,
define una elipse. Para la elipse, el
caso especial e = 0 resulta en un
círculo de radio ℓ.

8. INTERSECCIÓN DE GRAFICAS
El próximo paso consiste en extender las técnicas del cálculo al caso de intersección de ecuaciones en
dichas coordenadas polares, con el propósito de buscar todos los puntos de dicha intersección.
Puesto que un punto puede representarse de formas diferentes en coordenadas polares, debe
tenerse especial cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas polares, por lo que se
sugiere realizar el dibujo de las ecuaciones, inclusive cuando más adelante calculemos el área de una
región polar.
De igual forma el problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares con el de
encontrar los puntos de colisión de dos satélites en órbita alrededor de la tierra, dichos satélites no
entrarían en colisión en tanto lleguen a los puntos de intersección en tiempos diferentes (valores de q).
La colisión se producirá solamente en aquellos puntos de intersección que sean "puntos simultáneos",
aquellos a los que se llega en el mismo instante (valor de q).

9. CALCULO DE AREAS DE REGION PLANAS
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas
rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la
figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r viene dada por:
A continuación aproximamos el área de la región por la
suma de las mismas de los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior, podemos
decir que usar la fórmula para hallar el área de una región
limitada por la gráfica de una función continua no
negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si f
toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a , b ] .
Algunas veces lo más difícil a la hora de hallar el área
de una región polar es determinar los límites de
integración. Un buen dibujo de la región puede ayudar
mucho en estos casos.
Consideremos la función
dada por r= f(q), donde f
es continua y no
negativa en el intervalo [
a , b ] . La región limitada
por la gráfica para hallar
el área de esta región,
partimos el intervalo [ a ,
b ] en n subintervalos
iguales a = q < q < q
<........< q < q = b
A: ½.θ.r2( al cuadrado) θ en
radianes.