ejercicios

1. Ejercicios resueltos de geometría plana Bachillerato
Página 1
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS
1.- Dada la recta r: 4x + 3y -6 = 0 , escribir la ecuación de la recta perpendicular a ella en el
punto de corte con el eje de ordenadas.
Solución:
- Hallamos el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas : x = 0









2
0
0
6
3
4
y
x
y
x
Luego el punto de corte es P(0,2)
la recta s perpendicular a r tiene por pendiente
4
3
hallamos la ecuación de la recta s de la
que conocemos su pendiente y el punto P : y – 2 =
4
3
x  3x – 4y + 8 = 0
2.- Escribir las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas:
a) Pasa por el punto A(-3,1) y su vector de dirección es v = (2,0)
b) Pasa por el punto P(5,-2) y es paralela a :






t
y
t
x
2
1
t 
c) Pasa por A(1,3) y es perpendicular a la recta r: 2x – 3y + 6 = 0
d) Es perpendicular al segmento PQ siendo P(0,4) y Q(-6,0) en su punto medio
Solución:
a)







1
2
3
y
t
x
t 
b) al ser paralela , su vector de dirección será (-1,2) la recta pedida es :








t
y
t
x
2
2
5
t 
c) el vector director de r es (3, 2), el de la perpendicular será (2. -3) su ecuación es







t
y
t
x
3
3
2
1
t 
d) Punto medio de PQ (-3, 2) , vector director : el perpendicular a PQ = ( -6, -4) , el
perpendicular (4, -6), la ecuación pedida es:








t
y
t
x
6
2
4
3
t 

2. Ejercicios resueltos de geometría plana Bachillerato
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3.- El punto P(5,-2) es el punto medio del segmento AB, siendo A(2, 3) . Hallar B.
Solución
P(5, -2) = 




 

2
3
,
2
2 y
x

2
2
3
5
2
2





y
x
x = 8 ; y = -7 B(8, -7)
4.- Hallar el punto simétrico de P(1, -2) respecto del punto H(3,0)
Solución
Si P´(x,y) es el simétrico de P (1, -2) respecto de H(3, 0) ; H es el punto medio de PP´







 

)
0
,
3
(
2
2
,
2
1 y
x





0
2
6
1
y
x
P´(5,2)
5.- Hallar las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A(1,2),
B(5, -1) y C(6, 3).
Solución
Debe de cumplirse : AB = DC ;
(5-1, -1-2) = (6-x, 3-y)  x = 2 ; y = 6 D(2,6)
6.- Dar las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(3, 4) y B(0, -2) en
dos partes tales que BP = 2PA
Solución
P(x,y) BP = 2PA  (x-0, y+2) = 2(3-x, 4-y)  x = 2 ; y = 2  P(2, 2)
7.- Determinar k para que los puntos A(-3, 5) , B(2, 1) y C( 6, k) estén alineados.
Solución
Debe ocurrir que AB y BC sean proporcionales AB = ( 5, -4) ; BC =(4, k-1) 
1
4
4
5



k

k =
5
11


3. Ejercicios resueltos de geometría plana Bachillerato
Página 3
8.- Hallar la distancia del punto P(2, -3) a las rectas:
a)
2
x t
t
y t




 

b) y =
4
9
c) 2x + 5 = 0
Solución
a) Hallamos la ecuación implícita de la recta . x + 2y = 0 ;
d(P, r) =
5
4
2
1
)
3
(
2
2
·
1
2
2




b) d(P, r) =
4
21
1
4
9
3



c) d(P, r) =
2
9
9.- Hallar la longitud del segmento que determina la recta x – 2y + 5 = 0 al cortar a los ejes
coordenados.
Solución
Hallamos los puntos de corte de la recta con los ejes







0
0
5
2
x
y
x
A(0, )
2
5
es el punto de corte con el eje OY







0
0
5
2
y
y
x
B(5.0) es el punto de corte con el eje OX ;
d(A , B) =
4
125
=
2
5
5
10.- Hallar la distancia entre las rectas r: x – 2y + 8 = 0 y r´: -2x + 4y -7 = 0
Solución
Al ser proporcionales los coeficientes de x e y  son paralelas , la distancia entre las dos
rectas es la distancia de un punto cualquiera P de r a r´ , si x = 0 ; y = 4 ; P(0,4)  r
d(r , r´) = d(p, r´) =
20
7
16 
=
10
5
9

4. Ejercicios resueltos de geometría plana Bachillerato
Página 4
11.- Determinar c para que la distancia de la recta x – 3y + c = 0 al punto (6, 2) sea 10
Solución
d(P,r) = 10
10
6
6


 c
hay dos soluciones:















10
10
10
10
10
10
2
1
c
c
c
c
Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas:
12.- Hallar el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:
a)








1
3
5
2
x
y
x
y
b)









0
3
6
10
0
7
5
3
y
x
y
x
c)
3 1 3
2 4
x t x s
s
y t y s
t
    
 

 
  
 

d)







0
3
2
0
2
y
y
x
Solución
a) mr=2 ; ms = -3 
 
 
2 3
1
1 2· 3
tg
 
 
 
  = 45º
b) vector director de r = (5,3)
vector director de s (-6, 10)
cos =
u
v
30
30 
= 0 º
90


c) vector director de r v= (-1,2)
vector director de s w =(-3,1)


cos
2
2
 = 45º
d)  = 63º 26´ 5,82´´

5. Ejercicios resueltos de geometría plana Bachillerato
Página 5
13.- ¿Qué ángulo forma la recta r: 3x – 2y + 6 = 0 con el eje de abscisas?
Solución
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo
que forma con el eje de abscisas, por tanto la
pendiente de r es
2
3
= tg ;º 18´35,8´´
14.- Hallar n para que la recta 3x + ny – 2 = 0 forme un ángulo de 60º con el eje OX
Solución
tg 60 =
n
3
3 
  n = 3

15.- Hallar n y m para que las rectas r: mx – 2y + 5 = 0 s: nx + 6y – 8 = 0 sean perpendicu-
lares y que la recta r pasa por el punto P(1,4)
Solución
P(1,4) r  m – 2·4 + 5 = 0  m = 3
r  s  (m,-2)·(n,6) = 0  n = 4
16.- Dada la recta r:
1 3
2
x t
t
y kt
  



 

hallar k de modo que r sea paralela a la bisectriz del
segundo cuadrante.
Solución
Ecuación de la bisectriz del 2º cuadrante: y = -x 






t
y
t
x
t 
su vector de dirección es v(1,-1).
El vector de dirección de r es w(3,k)
para que sean paralelas, sus vectores de dirección han de ser proporcionales:
k
1
3
1 
  k = -3

6. Ejercicios resueltos de geometría plana Bachillerato
Página 6
17.- En el triángulo de vértices A(-2, 3) , B(5, 1), C(3, -4) hallar las ecuaciones de:
a) La altura que parte de B.
b) La mediana que parte de B
c) La mediatriz del lado CA.
Solución
a) La altura que parte de B, es una recta perpendicular al lado AC, que pasa por B, su vector de
dirección: v(7,5) su ecuación en continua:
5
1
7
5 

 y
x
 5x -7y – 18 =0
b) La mediana pasa por B y por el punto medio de AC que es M )
2
1
,
2
1
(  su vector de
dirección es MB = 





2
3
,
2
9
su ecuación:









t
y
t
x
2
3
1
2
9
5
 6x – 18y – 12 = 0
c) La mediatriz de CA es perpendicular a CA en su punto medio M )
2
1
,
2
1
(  CA=(7,5)










t
y
t
x
5
2
1
7
2
1
 5x – 7y – 6 = 0
18.- La recta r: 2x + 3y – 6 = 0 determina al cortar a los ejes de coordenadas, un segmento AB.
Hallar la ecuación de la mediatriz de AB.
Solución
A = r  OY







0
0
6
3
2
x
y
x
A(0, 2)
B = r  OX







0
0
6
3
2
y
y
x
B(3,0)
 AB = (3, -2), vector director de la mediatriz v = (2,3)
M es el punto medio de AB, M(
2
3
,1)
La pendiente de la mediatriz es
2
3
.
la ecuación punto pendiente: y – 1 =
2
3
(x-
2
3
) 
6x – 4y – 5 = 0

7. Ejercicios resueltos de geometría plana Bachillerato
Página 7
19.- Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo.
Comprobarlo con el cuadrilátero de vértices A(3, 8) ; B(5, 2) ; C(1, 0) ; D(-1, 6)
Solución
Punto medio de AB: P (4,5).
Punto medio de BC: Q(3,1).
Punto medio de CD: R(0,3).
Punto medio de DA: S(1, 7)
PQ= (-1, -4) = SR y
SP = (3, -2) = RQ
20.- Hallar el pie de la perpendicular (proyección ortogonal) trazada desde P(1, -2) a la recta
2 4 0
x y
   .
Solución
Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r
Ecuación de s perpendicular a r desde P s: 2x + y = 0
P´= s  r P´( 






5
8
,
5
4
21.- Las ecuaciones de los lados del triángulo ABC son
AB
r : x + 2y – 4 = 0,
AC
r : x – 2y =0,
BC
r : x + y = 0.
Hallar:
a) Los vértices del triángulo.
b) El vector que une los puntos medios de AB y AC. Comprueba que es paralelo a BC.

8. Ejercicios resueltos de geometría plana Bachillerato
Página 8
Solución
a) A:








0
2
0
4
2
y
x
y
x
 A(2, 1)
B:








0
0
4
2
y
x
y
x
B(-4,4)
C:







0
0
2
y
x
y
x
C(0,0)
b) El punto medio de AB: M( -1,
2
5
) ,
el punto medio de AC: P(1,
2
1
)
MP = (2, -2) paralelo a BC = (4, -4)
22.- Calcular el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:
r: x = 3 s: 2x + 3y – 6 = 0 t: x – y – 7 = 0
Solución
A = r  s A(3,0)
B = r  t  B (3, -4)
C = s  tC(
5
8
,
5
27
 )
Si consideramos como base el segmento |AB| = 4 , la altura desde C = d(C, r) =
5
23
Área =
5
46

9. Ejercicios resueltos de geometría plana Bachillerato
Página 9
23.- En el triángulo de vértices A(-1, -1), B(2, 4) , C(4, 1), hallar las longitudes de la mediana
y de la altura que parten de B
Solución
M punto medio de AC , M(
2
3
, 0) vector BM = 






 4
,
2
1
,
longitud mediana = |BM| =
2
65
Altura es la distancia de B a la recta AC, ecuación de la recta AC; r: 2x – 5y – 3 = 0
d(B, r) =
29
3
20
4 

= 3´528
24.- Hallar el punto de la recta 3x – 4y + 8 = 0que equidistan de A(-6,0) y B(0, -6)
Solución
P verifica las condiciones
1ª d(P,A) = d(P, B)     2
2
2
2
6
6 



 y
x
y
x
 x = y
2ª P  r  3x – 4y + 8 = 0,
P( 8, 8)
25.- Determinar un punto de la recta r: y = 2x que diste 3 unidades de la recta r´: 3x – y + 8 = 0
Solución
P(x,y)  r  y = 2x ; P(x, 2x) ; dist(P, r´) = 3 =
10
8
2
3 
 x
x
 dos posibilidades:








8
10
3
8
10
3
2
1
x
x








16
10
6
16
10
6
2
1
y
y

10. Ejercicios resueltos de geometría plana Bachillerato
Página 10
26.- Los puntos P(-2,4) y Q(6,0) son vértices consecutivos de un paralelogramo que tiene el
centro en el origen de coordenadas. Hallar:
a) Los otros dos vértices
b) Los ángulos del paralelogramo
Solución
a) Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, que es el centro (0,0)
luego
R( 2, -4) y S(-6, 0)
b) PQ = SR = (8. -4) ;
PS = QR = (-4, -4)
cosP = 


PQ
PS
PQ
PS
-0´31623 
P = 108º26´5,8´´ = R
De forma similar obtenemos:
S = 71º33´54´´ = Q
27.- Hallar un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas:
r: 4x + 3y + 6 = 0 s: 3x + 4y – 9 = 0
Solución
P(x,0) debe verificar: d(Pr) = d(P, s) 
25
9
0
4
3
25
6
0
3
4 





 x
x
se obtienen dos
solucionesasociados a los dos valores del valorabsoluto
P1(-15,0)
P2 (
7
3
,0)

11. Ejercicios resueltos de geometría plana Bachillerato
Página 11
28.- Los puntos A(1,-2) y B(2,3) son vértices de un triángulo de área 8. El vértice C está sobre
la recta 2x + y – 2 = 0. Hallarlo
Solución
Área =
2
b
AB 
 8 =
2
26 b

 b =
26
16
y
b = ( , )
AB
d C r
Recta AB
r : 5x – y – 7 = 0 ; b =
26
16
=
26
7
5 
 y
x











16
7
5
16
7
5
y
x
y
x
hay dos soluciones: C1
:









0
2
2
16
7
5
y
x
y
x
C1 (
7
36
,
7
25 
)
C2:










0
2
2
16
7
5
y
x
y
x
C2 (-1,4)
29.- Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r y s
r: 4x – 3y + 8 =0 s: 12x + 5y – 7 = 0
Solución
d(P, r) = d(P,s) 
169
7
5
12
25
8
3
4 



 y
x
y
x

4 3 8 12 5 7
5 13
4 3 8 12 5 7
5 13
x y x y
x y x y
   





   
  











0
69
14
112
0
139
64
8
y
x
y
x
Luego hay dos soluciones, bisectrices de los
ánguloscóncavo y
convexoqueformanlasrectas r y s.
Ambasbisectrices se cortan en el punto de
corte de lasrectas r y s, y son
perpendiculares.